福建省三明第一中学2022-2023学年高三数学上学期期中考试试卷（PDF版含答案）.pdf

1、第 1页/共 6页学科网（北京）股份有限公司三明一中 2022-2023 学年上学期半期考高三数学科试卷（考试时间：120 分钟，满分 150 分）注意事项：1答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、准考证号考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号非选择题用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答在试题卷上作答，答案无效一、单选题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是

2、符合题目要求的.)1.已知集合2Z4Axx，21,1,ZBx xkkk，则 ABA.1,1B.1,3C.1,1,3D.1,0,1,32.已知直线420mxy与直线 250 xyn互相垂直，垂足为1,p.则 mnp等于A.24B.20C.4D.03.九章算术是我国古代的一本数学名著.全书为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，收有 246 个与生产、生活实践有联系的应用问题.在第六章“均输”中有这样一道题目：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：“现有五个人分 5 钱，每人所得成等差数列，且较多的两份之和等于较少的三份之和，问五人各得多少？”在此

3、题中，任意两人所得的最大差值为多少？A.13B.23C.16D.564.已知圆2200:4,O xyM xy为圆 O 上位于第一象限的一点，过点 M 作圆 O 的切线l当 l 的横纵截距相等时，l 的方程为A.2 20 xyB.202xyC.4 20 xyD.2 20 xy5.已知 22ab，且02ab，则112abab的最小值为A.2B.3C.4D.56.f x 为R 上的偶函数，0 x 时，exf x，1ln,3af 31log,ebf 第 2页/共 6页学科网（北京）股份有限公司1e1log 9cf 则下述关系式正确的是（）A.bacB.bcaC.cabD.abc7.ABC中，若235C

4、ACBABAB，则 tantanAB的值为A.2B.4C.3D.2 38.已知双曲线222210,0 xyabab的左、右焦点分别是12,F F，过点1F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，现将平面12AF F 沿12F F 所在直线折起，点 A 到达点 P 处，使二面角12PF FB的平面角的大小为30，且三棱锥12PBF F的体积为216 a c，则双曲线的离心率为A.2B.3C.2D.5二、多选题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分。)9.已知抛物

5、线22ypx0p 的焦点 F 到准线的距离为 4，直线l 过点 F 且与抛物线交于11,A x y，22,B xy两点，若,2M m是线段 AB 的中点，则A4p B抛物线的方程为216yxC直线l 的方程为24yxD=10AB10.已知数列 na满足11a，123nnnaanaN，则A.13na为等比数列B.na的通项公式为1123nnaC.na为递增数列D.1na的前 n 项和2234nnTn11.已知函数 sincos2f xxx，则下列结论正确的是（）A.函数 f x 的图像关于原点对称B.函数 f x 在,02上单调递增C.函数 f x 在0,上的值域为91,8D.函数 f x 在,

6、上有且仅有 3 个零点12.在四棱锥 PABCD中，已知1ABBDAD，216PAPBPCPD，第 3页/共 6页学科网（北京）股份有限公司33BCCD则A.四边形 ABCD 内接于一个圆B.四棱锥 PABCD的体积为336C.四棱锥 PABCD外接球的球心在四棱锥 PABCD的内部D.四棱锥 PABCD外接球的半径为 712三、填空题：（本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.）13.已知36(13i)i(,R)(1 i)aba b，则 ab*14.2022 年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱.某商店有 4 个不同

7、造型的“冰墩墩”吉祥物和 3 个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同的排列方法种数为*（用数字作答）15.已知双曲线2222:10,0 xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，过2F 的直线与C 的右支交于 A，B 两点，若1221F AFAF F，222F BF A，则 C 的离心率为*16.已知锐角 ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，sinsin2ACabA，2c，则 B*；ABC面积的取值范围为*四、解答题(本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)17.（本题 10 分）近年来，美国

8、方面滥用国家力量，不择手段打压中国高科技企业，随着贸易战的不断升级，中国某科技公司为了不让外国“卡脖子”，决定在企业预算中减少宣传广告预算，增加对技术研究和人才培养的投入，下表是的连续 7 年研发投入 x 和公司年利润 y的观测数据，根据绘制的散点图决定用回归模型：21eC xyC来进行拟合.表 I研发投入 x（亿元）20222527293135年利润 y（亿元）711212465114325表 II（注：表中lniity）71iix71iiy71iit721iixx721iiyy第 4页/共 6页学科网（北京）股份有限公司18956725.2716278106721iitt71iiixxyy

9、71iiixxtt71iiiyytt11.06304042.12825.09（1）请借助表 II 中的数据，求出回归模型的方程；（2）试求研发投入为 20 亿元时年利润的残差.（精确到 0.01）参考数据：3.410.261.795.20e0.03,e1.30,e5.46,e181.88，附：回归方程中yx和1|21,niiiniixxyyyxxx，残差 iiieyy18.（本题 12 分）如图，在三棱锥 ABCD中，平面 ABD 平面 BCD，ABAD，O为 BD 的中点.（1）证明：OACD；（2）若 OCD是边长为 1 的等边三角形，点 E 在棱 AD 上，2DEEA，且二面角EBCD的

10、大小为 45，求三棱锥 ABCD的体积.第 5页/共 6页学科网（北京）股份有限公司19.（本题 12 分）已知数列 na各项都是正数，11a，对任意 nN*都有222211213nnaaaa数列 nb满足11b，121nnbbn（nN*）（1）求数列 na，nb的通项公式；（2）数列 nc满足 cn21nnba，数列 nc的前 n 项和为nT，若不等式24 393nnnT对一切 nN*恒成立，求 的取值范围20.（本题 12 分）记 ABC是内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知2bac，点 D在边 AC 上，sinsinBDABCaC.（1）证明：BDb；（2）若2ADDC，求c

11、osABC.21.（本题 12 分）已知函数 eln2xh xx（1）若 ln2g xh xxax，讨论 g x 的单调性；（2）若不等式 0h xk恒成立，求整数 k 的最大值第 6页/共 6页学科网（北京）股份有限公司22.（本题 12 分）已知曲线2222:10 xyCabab的上顶点到右顶点的距离为3，离心率为22，右焦点为 F，过点 F 的直线（不与 x 轴重合）与椭圆 C 相交于 A、B 两点，直线:2l x 与 x 轴相交于点 H，过点 A 作 ADl，垂足为 D（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）求四边形 OAHB（O 为坐标原点）面积的取值范围；证明直线 BD 过定点 E，并

12、求出点 E 的坐标第 1页/共 8页学科网（北京）股份有限公司三明一中 2022-2023 学年上学期数学半期考答案解析题号123456789101112答案DDBAACBAACDADBDAD13.114.14415.5316.3,3(,2 3)2四、解答题(本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)17.(1)由21eC xyC得12lnlnyCC x，令21ln,lnty bC aC，得tabx，-2 分由表 II 数据可得：7172142.120.26,162iiiiixxttbxx20.26Cb-4 分25.271890.263.4177atbx，3.4

13、110.03Ce-6 分0.263.41tx.所以回归方程为：0.260.03exy.-7 分(2)在20 x=时的残差：0.26 2010.035.4564ye1175.45641.54yy.-10 分18.（1）因为 ABAD，O 是 BD 中点，所以OABD，-1 分因为OA 平面 ABD，平面 ABD 平面 BCD，且平面 ABD 平面 BCDBD，所以OA 平面 BCD-3 分因为CD 平面 BCD，所以OACD.-4 分（2）方法一：通性通法坐标法如图所示，以 O 为坐标原点，OA 为 z 轴，OD 为 y 轴，垂直OD 且过 O 的直线为 x 轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则3

14、 1(,0),(0,1,0),(0,1,0)22CDB，设1 2(0,0,),(0,)3 3Am Em，-6 分所以423 3(0,),(,0)3322EBm BC，设,nx y zr为平面 EBC的法向量，则由00EB nEC n 可求得平面 EBC 的一个法向量为2(3,1,)nm-8 分又平面 BCD的一个法向量为0,0,OAm，-9 分第 2页/共 8页学科网（北京）股份有限公司所以222cos,244n OAmm，解得1m -10 分又点 C 到平面 ABD 的距离为32，所以11332 13226A BCDCABDVV ，所以三棱锥 ABCD的体积为36-12 分方法二【最优解】：

15、作出二面角的平面角如图所示，作 EGBD，垂足为点 G作GFBC，垂足为点 F，连结 EF，则OAEG因为OA 平面 BCD，所以 EG 平面 BCD，EFG为二面角 EBCD的平面角因为45EFG，所以 EGFG由已知得1OBOD，故1OBOC又30OBCOCB，所以3BC 因为24222,133333GDGBFGCDEGOA，11113322(1 1)1333226A BCDBCDBOCVSOSOAA 方法三：三面角公式考虑三面角 BEDC，记EBD为，EBC为 ，30DBC，记二面角 EBCD为 据题意，得45 对 使用三面角的余弦公式，可得coscoscos30，化简可得3coscos

16、2使用三面角的正弦公式，可得sinsinsin，化简可得sin2 sin将两式平方后相加，可得223 cos2sin14，由此得221sincos4，从而可得1tan2 第 3页/共 8页学科网（北京）股份有限公司如图可知(0,)2，即有1tan2，根据三角形相似知，点 G 为OD 的三等分点，即可得43BG，结合 的正切值，可得2,13EGOA 从而可得三棱锥 ABCD的体积为3619.(1)数列 na各项都是正数，11a，对任意 nN*都有222211213nnaaaa，当2n 时，222212113nnaaaa，可得22213nnnaaa，因为数列 na各项都是正数，所以可化为12nna

17、a，因为2221121,1,03aaaa，所以22a，所以212aa，所以数列 na是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，所以12nna-=，nN*；-3 分数列 nb满足11b，121nnbbn（nN*），可得2132bb，当2n 时，121nnbbn，又121nnbbn，两式相减可得112nnbb，所以 nb的奇数项和偶数项均为公差为 2 的等差数列，可得奇数项为 1，3，5，7，.，2n1，.，偶数项为 2，4，6，.，2n，.，所以nbn.-6 分（法二）数列 nb满足11b，121nnbbn（nN*），可得2132bb，3253bb,4374bb,由此猜测nbn，又因为1121nn

18、bbnnn，与已知条件吻合，所以猜想成立，所以nbn.（法三）设数列 nb的通项公式为nbanb，1(1)2221nnbbanba nbanban，22,21,1,0abaab，所以nbn.(2)因为22112nnnnbcna，所以21111123416642nnTn ，所以222111111123(1)4166412822nnnTnn 第 4页/共 8页学科网（北京）股份有限公司两式相减可得22231111144166422nnnTn2211(1)1441214nnn化为4341994nnnT，-9 分若不等式24 393nnnT对一切 nN*恒成立，即为39(34)4nn恒成立，设3(34

19、)4nndn，1nndd113(37)()43(34)()4nnnn1 9211216nn1351216nn，当1n 时，21dd，当2n 时，1nndd，所以2n 时，nd 取得最大值 458，则9 458，解得 58，即的取值范围是5,8-12 分20.（1）设 ABC的外接圆半径为 R，由正弦定理，得sinsin,22bcRABCCR，21.因为sinsinBDABCaC，-1 分所以22bcBDaRR，即 BD bac-3 分又因为2bac，所以 BDb-4 分（2）方法一【最优解】：两次应用余弦定理因为2ADDC，如图，在 ABC中，222cos2abcCab，在BCD中，222()

20、3cos23babbaC-6 分由得2222223()3babcab，整理得22211203abc又因为2bac，所以2261130aacc，解得3ca 或32ca，-8 分当22,33ccabac时，333ccabc（舍去）-9 分第 5页/共 8页学科网（北京）股份有限公司当2233,22ccabac时，22233()722cos3122 2ccABCccc所以7cos12ABC-12 分方法二：等面积法和三角形相似如图，已知2ADDC，则23ABDABCSS，即21221sinsin2332bacADABBC，而2bac，即sinsinADBABC，故有ADBABC，从而ABDC 由2b

21、ac，即 bcab，即 CABACBBD，即 ACBABD，故 ADABABAC，即23bccb，又2bac，所以23ca，则2227cos212cabABCac方法三：正弦定理、余弦定理相结合由（1）知 BDbAC，再由2ADDC得21,33ADb CDb在ADB中，由正弦定理得 sinsinADBDABDA又ABDC，所以s3sinn2iCbAb，化简得2sinsin3CA在 ABC中，由正弦定理知23ca，又由2bac，所以2223ba在 ABC中，由余弦定理，得222222242793cos221223aaaacbABCaca故7cos12ABC方法四：构造辅助线利用相似的性质如图，作

22、 DEAB，交 BC 于点 E，则DECABC由2ADDC，得2,333caaDEECBE第 6页/共 8页学科网（北京）股份有限公司在 BED中，2222()()33cos2323BEDacba c在 ABC中222cos2aaBCcAbc因为coscosABCBED，所以2222222()()3322233acbacba cac，整理得22261130abc又因为2bac，所以2261130aacc，即3ca 或32ac下同解法 1方法五：平面向量基本定理因为2ADDC，所以2ADDCuuuruuur以向量,BA BC 为基底，有2133BDBCBA所以222441999BDBCBA BC

23、BA，即222441cos999baccABCa，又因为2bac，所以22944cosacaacABCc由余弦定理得2222cosbacacABC，所以222cosacacacABC联立，得2261130aacc所以32ac或13ac下同解法 1方法六：建系求解以 D 为坐标原点，AC 所在直线为 x 轴，过点 D 垂直于 AC 的直线为 y 轴，DC 长为单位长度建立直角坐标系，如图所示，则0,0,2,0,1,0DAC由（1）知，3BDbAC，所以点 B 在以 D 为圆心，3 为半径的圆上运动设,33B x yx，则229xy由2bac知，2BABCAC，即2222(2)(1)9xyxy联立

24、解得74x 或732x（舍去），29516y，代入式得3 6|,|6,32aBCcBAb，由余弦定理得2227cos212acbABCac21.(1)因为 ln2e2,xh xxx，所以 ln2e(2)xg xh xxaxax x，求导()exg xa-1 分第 7页/共 8页学科网（北京）股份有限公司（1）当0a 时，()0g x，g x 在2,+上单调递增；-2 分（2）当0a 时，令()0g x，得lnxa-3 分当ln2a，即21ea，此时 g x 在2,lna上单调递减，在ln,a上单调递增；当ln2a，即210ea，此时 g x 在2,+上单调递增；-5 分综上，当21ea 时，g

25、 x 在2,+上单调递增；当21ea，此时 g x 在2,lna上单调递减，在ln,a上单调递增；-6 分(2)不等式 0h xk恒成立，即 h xk恒成立，只需min()kh x由 ln2e2,xh xxx，求导1()e2xh xx-7 分求二阶导21()e0(2)xh xx，所以()h x在2,+上单调递增；又(1)0h，(0)0h，所以()h x在2,+上存在唯一实数根0 x，满足001e02xx，即001e2xx且0(1,0)x，-9 分当02xx时，()0h x，则 h x 在02,x上单调递减，当0 xx时，()0h x，则 h x 在0,+x 上单调递增；-10 分 000000

26、min0001111eln2=ln=2e22+22xxh xh xxxxxxx因为0(1,0)x，所以01,22x ，又对勾函数1ytt 在1,2 上单调递增，所以5212tt，即1()0,2h x，又min()kh x，所以0k 且kZ所以整数 k 的最大值为 0.-12 分22.(1)由题可知：22222322abcaabc，所以2a，1b ，故椭圆的标准方程为2212xy；-4 分第 8页/共 8页学科网（北京）股份有限公司(2)由题1,0F，设直线:1AB xmymR，11,A x y，22,B xy，联立22112xmyxy，消去 x，得222210mymy，因为224420mm，1

27、2222myym，12212y ym，则2212121222 2142myyyyy ym所以四边形 OAHB 的面积21212212 2122mSOHyyyym，令21mt ，1t ，22 22 211tSttt，因为12tt（当且仅当1t 即0m 时取等号），所以02S，所以四边形 OAHB 的面积取值范围为0,2；-8 分22,B xy，12,Dy，所以直线 BD 的斜率1222yykx，所以直线 BD 的方程为121222yyyyxx，令0y，可得2121212121222x yymy yyyxyyyy，由（1）可得12222myym，12212y ym，12122yymy y化简可得12121212121323222yyyyyyxyyyy，则直线 BD 过定点3,02E-12 分