【八年级上册】15.15 分式方程（知识讲解）-（人教版）.docx

1、专题15.15 分式方程（知识讲解）【学习目标】1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程2. 会列出分式方程解简单的应用问题【要点梳理】要点一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.特别指出：（1） 分式方程的重要特征：是等式；方程里含有分母；分母中含有未知数.（2） 分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 要点二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程

2、两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 要点三、解分式方程产生增根的原因方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.产生增根的原

3、因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.特别指出：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.要点四、分式方程的应用分式方

4、程的应用主要就是列方程解应用题.列分式方程解应用题按下列步骤进行：（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；（2）设未知数；（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；（4）解这个分式方程；（5）验根，检验是否是增根；（6）写出答案.【典型例题】类型一、判别分式方程1、下列方程哪些是分式方程？（1）；（2）；（3）；（4）（a是常数）【答案】（1）（2）是分式方程【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的字母的方程叫做分式方程即可判断解：（1）是分式方程；（2）是分式方程；（3）不是分式方程；（4）（a是常数）不是分式方程，故（1）（2）是分式方程【点

5、拨】本题考查了分式方程的定义，解题的关键是：会利用定义去判断是否为分式方程举一反三：【变式】 下列哪些是分式方程？哪些是可化为一元二次方程的分式方程？（1）； （2）； （3）； （4）【答案】（1）、（2）、（4）是分式方程，（4）是可化为一元二次方程的分式方程【分析】按照分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程逐一判断，去分母后再来判断是否能化成一元二次方程解：（1）是分式方程，去分母可转化为3x+3=2，不是一元二次方程，（2）是分式方程，去分母可转化为3x=x-1，不是一元二次方程，（3）是分式，不是分式方程，（4）是分式方程，去分母可转化为x2+x=2，是可化为一元二次方程

6、的分式方程，（1）、（2）、（4）是分式方程，（4）是可化为一元二次方程的分式方程【点拨】本题考查了分式方程的定义，分母中含有未知数的方程叫做分式方程；熟练掌握分式方程的定义是解题的关键类型二、解分式方程2、 解下列方程：（1）； （2）【答案】（1）；（2）无解【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解解：（1）两边同乘（x2），得：3x2（x2），去括号得：3x2x4，移项合并得：3x1，解得：，经检验，是原方程的解；（2）两边同乘（x1）（x1），得：41，去括号得：2x141，移项合并得：2x2，解得：x1，经检验，x1是原方程的增根

7、，则原方程无解【点拨】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解解分式方程一定注意要验根举一反三：【变式1】解方程求x：（1）； （2）（，且）【答案】（1）；（2）【分析】（1）先两边同时乘以得：，然后解整式方程即可；（2）先两边同时乘以得：，然后解整式方程即可解：（1）两边同时乘以得：，经检验是原分式方程的解；（2），两边同时乘以得：，经检验是原方程的解【点拨】本题主要考查了解分式方程，解题的关键在于能够熟练掌握解分式方程的方法【变式2】解下列分式方程：（1） ； （2） 【答案】（1）；（2）无解【分析】将分式方程去分母整理为整式方程，求出整式

8、方程的解，检验即可解：（1）去分母：，去括号：，移项合并：，解得：，经检验是原分式方程的解；（2）去分母：，去括号：，移项合并：，系数化为：，经检验是分式方程的增根，故原方程无解【点拨】本题考查了解分式方程，熟知解分式方程的一般步骤是解题的关键，注意解分式方程需要验根类型三、分式方程的增根3、已知关于x的方程有增根，求m的值【答案】m3或5时【分析】根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根有增根，那么最简公分母x（x1）0，所以增根是x0或1，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值解：方程两边都乘x(x1)，得3(x1)6xxm，原方程有增根，最简公分母x(x1)0，解得x

9、0或1，当x0时，m3；当x1时，m5.故当m3或5时，原方程有增根【点拨】本题考查的是分式方程，熟练掌握分式方程是解题的关键.举一反三：【变式1】如果解关于的方程会产生增根，求的值.【答案】k=2【分析】首先根据分式方程的解法求出方程的解，然后根据增根求出k的值解：两边同时乘以(x2)可得：x=2(x2)+k， 解得：x=4k，方程有增根，x=2， 即4k=2，解得：k=2【点拨】本题主要考查的是分式方程有增根的情况，属于基础题型解决这种问题时，首先我们将k看作已知数，求出方程的解，然后根据解为增根得出答案【变式2】已知方程有增根x=1,求k的值.【答案】3试题分析：增根是化为整式方程后产生

10、的不适合分式方程的根所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x+1）（x-1）=0，得到x=1或-1，然后代入化为整式方程的方程算出k的值解：方程两边都乘（x+1）（x-1），得2（x-1）+k（x+1）=6原方程有增根x=1，当x=1时，k=3，故k的值是3类型四、分式方程的无解4、关于未知数x的分式方程：无解，求a的值【答案】【分析】首先解方程得，解得，令求解即可解：去分母得整理得 解因为此分式方程无解，所以为此分式方程的增根，所以得【点拨】本题考查了分式方程无解的情况，理解增根概念是解题的关键举一反三：【变式1】已知关于的方程无解，求的值【答案】或或【分析】直接利用分式方程的解的意义分别

11、分析得出答案解：方程两边同乘以，得：，化简得：，当时，原方程无解，可能的增根是或，当时，当时，当或时，原方程唯一的实根是增根，原方程无解，或或时原方程无解【点拨】本题考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题的关键【变式2】若关于的分式方程无解但有增根，求的值【答案】的值为或【分析】将分式方程变为整式方程，然后根据增根的定义将分式方程的增根代入求值即可解：方程同乘以约去分母，得原分式方程无解但有增根，即或解得或当时，；当时，的值为或【点拨】此题考查的是根据分式方程有增根，求参数的值，掌握增根的定义和分式方程的解法是解决此题的关键类型五、分式方程解为正数、负数问题5、已知关于x的分式方程，（1）若分

12、式方程有增根，求m的值；（2）若分式方程的解是正数，求m的取值范围【答案】（1）m=0；(2)m6且m0【分析】（1）方程两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使最简公分母等于0的未知数的值求出的x的值，然后代入进行计算即可求出的值；（2）解分式方程得，根据方程的解为正数得出，且，解不等式即可得出答案解：（1）方程两边都乘以得，分式方程有增根解得解得（2）方程两边都乘以得， 解得方程的根为正数，且，且【点拨】本题考查了分式方程无解的情况，将分式方程化为整式方程是解题的关键举一反三：【变式1】请你利用我们学习的“分式方程及其解法”解决下列问题：（1）已知关于x的方

13、程的解为负数，求m的取值范围；（2）若关于x的分式方程无解求n的取值范围【答案】（1）且；（2）或n=1【分析】（1）先求出分式方程的解，然后根据方程的解为负数可得关于m的不等式组，解不等式组即可求出答案；（2）先把分式方程转化为整式方程，然后由方程无解分整式方程无解和分式方程有增根两种情况解答即可解：（1）去分母，得，当时，解得：， 方程有解，且解为负数，解得且；（2）方程两边同时乘以（x3），约去分母得：，整理得：，当n1=0时，方程无解，此时n=1；当时，要使方程无解，则有，解得：；综上，或n=1【点拨】本题考查了分式方程的解法和分式方程无解问题，正确理解题意、熟练掌握分式方程的解法是解

14、题的关键【变式2】（1）已知关于的方程 的解是正数，求的取值范围（2）若方程 无解，求的值【答案】（1）且；（2）【分析】（1）先解关于x的方程，再依据解为正数及分式方程分母不为0建立不等式，求解即可；（2）先解关于x的方程，再依据无解时即分母为零进行求解即可解：（1）原方程整理得 解得 关于的方程 的解是正数且即且且（2）原方程整理得 解得 关于的方程 无解即【点拨】本题考查了解分式方程和分式方程的增根产生的原因，熟练掌握上述知识是解题的关键类型六、列分式方程6、甲、乙两人各加工300个零件，甲比乙少用1小时完成任务；乙改进操作方法，使生产效率提高了1倍，结果乙完成300个零件所用的时间比甲

15、完成250个零件所用时间少小时，甲、乙两人原来每小时各加工多少个零件？【答案】甲每小时加工60个零件，乙原来每小时加工50个零件【分析】设乙原来每小时加工x个零件，则改进操作方法后乙每小时加工2x个零件，利用工作时间=工作总量工作效率，结合乙完成300个零件所用的时间比甲完成250个零件所用的时间少小时，列出分式方程，解分式方程，再利用甲的工作效率=300（乙加工300个零件所需时间-1），即可求出甲的工作效率解：设乙原来每小时加工x个零件，则改进操作方法后乙每小时加工2x个零件，依题意得：，解得：x=50，经检验，x=50是原方程的解，且符合题意，在300（）=60，答：甲每小时加工60个零

16、件，乙原来每小时加工50个零件【点拨】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键举一反三：【变式1】某部队工兵连接到抢修一段长3600米道路的任务，按原计划完成总任务的后，为了让道路尽快投入使用，工兵连将工作效率提高了50%，一共用了9小时完成任务(1)按原计划完成总任务的时，已抢修道路_米；(2)求原计划每小时抢修道路多少米?【答案】(1)900(2)原计划每小时抢修道路300米【分析】（1）按原计划完成总任务的时，列式计算即可；（2）设原计划每天修道路x米根据原计划工作效率用的时间+实际工作效率用的时间=9，等量关系列出方程（1）解：（1）按原计划完成总任务的时，

17、已抢修道路为（米），答：按原计划完成总任务的时，已修建道路900米；故答案为：900；（2）解：设原计划每小时抢修道路米，根据题意得：，解得：经检验：是原方程的解答：原计划每小时抢修道路300米【点拨】本题考查了分式方程的应用分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键本题应用的等量关系为：工作时间=工作总量工作效率【变式2】某商店用1000元人民币购进某种水果销售，过了一周时间，又用2400元人民币购进这种水果，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每千克的价格比第一次购进的价格贵了2元(1) 该商店第一次购进这种水果多少千克？(2) 假设该商店两次购进的这种水果按相同的标价销售，最后剩下的20

18、千克按标价的五折优惠销售，若两次购进的这种水果全部售完，利润不低于950元，则每千克这种水果的标价至少是多少元？【答案】(1)100千克(2)15元【分析】（1）设该商店第一次购进水果x千克，则第二次购进水果2x千克，然后根据每千克的价格比第一次购进的价格贵了2元，列出方程求解即可；（2）设每千克水果的标价是y元，然后根据两次购进水果全部售完，利润不低于950元列出不等式，然后求解即可得出答案（1）解：设该商店第一次购进水果x千克，则第二次购进这种水果2x千克由题意，得，解得经检验，是所列方程的解答：该商店第一次购进水果100千克（2）设每千克这种水果的标价是y元，则，解得答：每千克这种水果的

19、标价至少是15元【点拨】此题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的等量关系与不等关系是解决问题的关键类型七、分式方程的应用7、华昌中学开学初在金利源商场购进、两种品牌的足球，购买品牌足球花费了元，购买品牌足球花费了元，且购买品牌足球数量是购买品牌足球数量的倍，已知购买一个品牌足球比购买一个品牌足球多花元(1) 求购买一个品牌、一个品牌的足球各需多少元？(2) 华昌中学响应习总书记“足球进校园”的号召，决定两次购进、两种品牌足球共个，恰逢金利源商场对两种品牌足球的售价进行调整，品牌足球售价比第一次购买时提高了，品牌足球按第一次购买时售价的折出售，如果这所中学此次购买

20、、两种品牌足球的总费用不超过元，那么华昌中学此次最多可购买多少个品牌足球？【答案】(1)一个品牌的足球需元，则一个品牌的足球需元(2)华昌中学此次最多可购买个品牌足球【分析】（1）设购买一个A品牌足球需要x元，则购买一个B品牌足球需要（x30）元，根据数量总价单价结合2500元购买的A品牌足球数量是2000元购买的B品牌足球数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购买m个B品牌足球，则购买（50m）个A品牌足球，根据总价单价数量结合总价不超过3260元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论（1）解：设购买一个品牌的足球需元，则购买一

21、个品牌的足球需元，由题意得，解得：，经检验是原方程的解，答：一个品牌的足球需元，则一个品牌的足球需元；（2）解：设此次可购买个品牌足球，则购进牌足球个，由题意得，解得，是整数，最大值为，答：华昌中学此次最多可购买个品牌足球【点拨】本题考查用分式方程解实际应用题、一元一次不等式解实际应用题，读懂题意，根据题意设出未知数，列出方程是解决问题的关键举一反三：【变式1】某校701班学生通过捐零花钱的形式，筹集一定数目的资金购买笔和写字本送给农村希望小学的同学若每人捐4元，则比需要筹集的资金少20元；若每人捐5元，则比需要筹集的资金多25元已知写字本的单价比笔的单价少4元，且用18元买写字本的数量和用3

22、0元买笔的数量相同(1) 求701班的学生数和需要筹集的资金数(2) 求出这种笔和写字本的单价(3) 若用筹集的资金全部购买这种笔和写字本，并且笔和写字本都买，但笔的数量不超过5支，请列出所有购买的方案【答案】(1)701班有学生45人，需要筹集资金200元(2)笔的单价是10元/支，写字本的单价是6元/本(3)购买笔2支，写字本30本;购买笔5支，写字本25本【分析】（1）首先设701班有x名学生，需要筹集的资金为y元，根据“每人捐4元，则比需要筹集的资金少20元；若每人捐5元，则比需要筹集的资金多25元”列出二元一次方程组解出即可；（2）设笔的单价为z元/支，则写字本的单价为（z4）元/本

23、，根据条件列出分式方程，解出即可；（3）设购买笔m支，写字本n本，列出关于、 的二元一次方程，解出方程的正整数解即可（1）解：设701班有x名学生，需要筹集的资金为y元，则：， 解得.答：701班有学生45人，需要筹集资金200元；（2）解：设笔的单价为z元/支，则写字本的单价为（z4）元/本，则：， 解得z=10经检验，z=10是原方程的解，且符合题意.答：笔的单价是10元/支，写字本的单价是6元/本；（3）解：设购买笔m支，写字本n本，则：，所以m=2，n=30;m=5，n=25【点拨】本题主要考查分式方程很二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目的等量关系式【变式2】受新冠肺炎

24、疫情影响，原定于2022年6月27日举行的成都大运会，将延期至2023年举行家住新都苏宁易购广场附近的李磊和王东，相约周末骑自行车前往距离15km的凤凰山体育公园，打卡纪念两人同时同地一起出发，由于王东经常参加体育运动，比李磊早到10分钟，已知王东骑车的速度是李磊1.2倍，请问李磊和王东的速度各是多少km/h？【答案】李磊骑车的速度是15km/h，王东骑车的速度是18km/h【分析】设李磊骑车的速度是x km/h，则王东骑车的速度是1.2x km/h，利用时间=路程速度，结合王东比李磊早到10分钟，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出李磊骑车的速度，再将其代入1.2x中即可求出王东骑车的速度解：设李磊骑车的速度是x km/h，则王东骑车的速度是1.2x km/h，由题意可得：，解得：x=15，经检验，x=15是原方程的解，且符合题意，1.2x=1.215=18答：李磊骑车的速度是15km/h，王东骑车的速度是18km/h【点拨】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键