福建省永春一中、培元中学、石光中学、2023-2024学年高三下第二次联合考试数学试卷.pdf

1、学科网（北京）股份有限公司1永春一中 培元中学 季延中学 石光中学2024 届高三年第二次联合考试试卷（数学科）考试时间：120 分钟满分：150 分一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若一组数据 1，1，a，4，5，5，6，7 的 75 百分位数是 6，则 a （）A.4B.5C.6D.72.抛物线214yx的焦点坐标为（）A.(1,0)B.(0,1)C.1,016D.10,163.等差数列na的前 n 项和为nS，55a，11167aS，则312aa是na中的（）A.第 30 项B.第 36 颔C.第 48 项

2、D.第 60 项4.已知直线 l，m，n 与平面、，下列命题正确的是（）A.若，l，则lB.若l，/l ，则C.若ln，mn，则/l mD.若/，l，n，则/l n5.中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的传统工艺品.经过历代灯彩艺人的继承和发展，形成了丰富多彩的品种和高超的工艺水平，从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型.现将 4 盏相同的宫灯、3 盏不同的纱灯、2 盏不同的吊灯挂成一排，要求吊灯挂两端，同一类型的灯笼至多 2 盏相邻挂，则不同挂法种数为（）A.216B.228C.384D.4866.已知实数 m，n 满足(1)(1)2mn，则 m，n 可能是（）A.tan 16m，3tan 16

3、nB.tan 8m，3tan 8nC.cos16m，3tan 16nD.cos 8m，3tan 8n7.已知实数 a，b，c 成公差非 0 的等差数列，在平面直角坐标系中，点 P 的坐标为(3,2)，点 N 的坐标为(2,3).过点 P 作直线0axbyc的垂线，垂足为点 M，则 M，N 间的距离的最大值与最小值的乘积是（）A.10B.6 2C.4 2D.前三个答案都不对8.宋代理学家周敦颐的太极图和太极图说是象数和义理结合的表达.朱子语类卷七五：“太极只是一个混沦底道理，里面包含阴阳、刚柔、奇偶，无所不有”.太极图（如下图）将平衡美、对称美体现的淋漓尽致.定义：对于函数()f x，若存在圆

4、C，使得()f x 的图象能将圆 C 的周长和面积同时平分，则称()f x 是学科网（北京）股份有限公司2圆 C 的太极函数.下列说法正确的是（）对于任意一个圆，其太极函数有无数个；121()log212xf xx是22(1)1xy的太极函数；太极函数的图象必是中心对称图形；存在一个圆 C，()sincosf xxx是它的太极函数.A.B.C.D.二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分.9.在ABC中，6AB，2BC，45A，则ABC的面积可以为（）A.332B.32C

5、.332D.62210.设1z、2z 为复数，则下列命题正确的是（）A.若120zz，则21zzB.若120z z，则10z 或20z C.若12zz，则2212zzD.若12zzzz，则 z 在复平面对应的点在一条直线上11.已知函数()f x 的定义域为 R，且()()()1f xyf xf y，(1)0f，则（）A.(0)1f B.()f x 有最小值C.(2024)2023fD.()1f x 是奇函数三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12.已知1a，(1,0)b，且 2 abab，则 a 在b上的投影向量为_.13.已知圆锥 SO 的母线5SA，侧面积为15，

6、则圆锥 SO 的内切球半径为_；若正四面体1111AB C D能在圆锥 SO 内任意转动，则正四面体1111AB C D的最大棱长为_.14.如图，画一个正三角形，不画第三边；接着画正方形，对这个正方形，不画第四边，接着画正五边形；对这个正五边形不画第五边，接着画正六边形；，这样无限画下去，形成一条无穷伸展的等边折线.设第 n学科网（北京）股份有限公司3条线段与第1n 条线段所夹的角为n（*n N，(0,)n），则2022 _.四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答题应写出文字说明，证明过程成演算步骤.15.（本题满分 13 分）已知函数()e1xf xabx 在0 x 处有极值

7、2.（）求 a，b 的值；（）证明：()ef xxx.16.（本题满分 15 分）为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动.竞赛共有 A 和 B 两类试题，每类试题各 10 题，其中每答对 1 道 A 类试题得 10 分；每答对 1 道 B 类试题得 20 分，答错都不得分.每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出 3 道题回答（每道题抽后不放回）.已知某同学 A 类试题中有 7 道题能答对，而他答对各道 B 类试题的概率均为 23.（1）若该同学只抽取 3 道 A 类试题作答，设 X 表示该同学答这 3 道试题的总得分，求 X 的分布和期望；（2）若该

8、同学在 A 类试题中只抽 1 道题作答，求他在这次竞赛中仅答对 1 道题的概率.17.（本题满分15分）如图，四棱锥 PABCD中，PA 底面 ABCD，四边形 ABCD 中，ABAP，ABAD，6ABAD，2CD，45CDA.（1）若 E 为 PB 的中点，求证：平面 PBC 平面 ADE；（2）若平面 PAB 与平面 PCD所成的角的余弦值为66.（）求线段 AB 的长；（）设 G 为PAD内（含边界）的一点，且2GBGA，求满足条件的所有点 G 组成的轨迹的长度.18.（本题满分 17 分）已知椭圆2222:1(0)yxCabab的离心率是53，点(2,0)A 在 C 上.（1）求 C

9、的方程；学科网（北京）股份有限公司4（2）过点(2,3)的直线交 C 于 P，Q 两点，直线 AP，AQ 与 y 轴的交点分别为 M，N，证明：线段 MN 的中点为定点.19.（本题满分 17 分）已知集合12,0,1,1,2,nniSX Xx xxxin，其中2n.对于12,nAa aa，12,nnBb bbS，定义 A 与 B 之间的距离为1(,)niiid A Bab.（1）记4(1,1,1,1)IS，写出所有4AS使得(,)3d I A；（2）记(1,1,1)nIS，A、nBS，并且(,)(,)d I Ad I Bpn，求(,)d A B 的最大值；（3）设nPS，P 中所有不同元素间

10、的距离的最小值为 k，记满足条件的集合 P 的元素个数的最大值为 m，求证：0112CCCnknnnm.学科网（北京）股份有限公司5永春一中 培元中学 季延中学 石光中学2024 届高三年第二次联合考试试卷（数学科）参考答案1234567891011CBBBAAADACBDACD12.35 b（或3,05）13.32614.174.46（或1806365）6.解：由(1)(1)2mn，得11mnmn，类比tantantan()1tantan，3tantan31616tan1316161tantan1616.7.解：直线0axbyc中 a，b，c 成等差数列即直线0axbyc恒过点(1,2)Q，

11、又 PMQM，于是点 M 的轨迹是以 PQ 为直径的圆，如图.该圆的圆心为(1,0)C，半径为 2 2，因此22:(1)8Cxy，故|3 2CN，于是最大值与最小值之积为5 2210.8.解：对于：过圆心的直线都可以将圆的周长和面积平分，所以对于任意一个圆，太极函数有无数个，故正确；对于：112211 21()log21log222xxxfxxx，1221()()log0212xxxf xfxxxx ，所以()f x 关于 y 轴对称，故错误；对于：中心对称图形必定是太极函数，对称点即为圆心.但太极函数只需平分圆的周长和面积，不一定是中心对称图形，故错误；对于：曲线()sincos2 sin4

12、f xxxx存在对称中心，必是某圆的太极函数，正确.10.解：对于 A，令11 iz ，2iz ，则1210zz，此时21zz，A 错误；学科网（北京）股份有限公司6对于 B，设1izab，2izcd（a，b，c，d R），则1 2()()i0z zacbdadbc，所以00acbdadbc，即 acbdadbc，则22a cdb cd；若0cd，则22a cdb cd 成立，此时20z；若0c，0d，由 acbd知0b；由 adbc 知：0a，此时10z；同理可知：当0c，0d 时，10z；若0c，0d，由22a cdb cd 得：22ab，则0ab，此时10z；综上所述：若1 20z z，

13、则10z 或20z，B 正确；对于 C，令11z ，2iz ，则121zz，此时2212zz，C 错误；对于 D，设izab，111izab，222izab（a，b，1a，1b，2a，2b R），则 111 izzaabb，222 izzaabb，由12zzzz，可得 22221122aabbaabb，所以222212122121220a aab bbaabb，又12aa、12bb不全为零，所以 222212122121220aaabb baabb表示一条直线，即 z 在复平面对应的点在一条直线上，故 D 正确.11.解：对于 A 中，令0 xy，可得(0)1f ，所以 A 正确；对于 B，令

14、1xx，21yxx，且12xx，则 1211211f xxxf xf xx，可得 21211f xf xf xx，若0 x 时，()1f x 时，210f xf x，此时函数()f x 为单调递增函数；若0 x 时，()1f x 时，210f xf x，此时函数()f x 为单调递减函数，所以函数()f x 不一定有最小值，所以 B 错误；对于 C，令1y ，可得(1)()(1)1()1f xf xff x，即(1)()1f xf x，所以(2)(1)1ff，(3)(2)1ff，(2024)(2023)1ff，学科网（北京）股份有限公司7各式相加得(2024)(1)2023ff，所以(2024

15、)(1)20232023ff，所以 C 正确；对于 D，令 yx，可得(0)()()1ff xfx，可得()1()10f xfx ，即()1()1fxf x ，所以函数()1f x 是奇函数，所以 D 正确.13.解：如图，在圆锥 SO 中，设圆锥母线长为 l，底面圆半径为 r，因为侧面积为15，所以15rl，即15rl.因为5lSA，所以3r，所以22534SO.棱长为 a 的正四面体1111AB C D如图所示，则正方体的棱长为22 a，体对角线长为62 a，所以棱长为 a 的正四面体1111AB C D的外接球半径为64 a.取轴截面 SAB，设SAB内切圆的半径为 r，则 114 6(

16、655)22r ，解得32r，即圆锥 SO 的内切球半径为 32.因为正四面体1111AB C D能在圆锥 SO 内任意转动，所以6342a，即6a，所以正四面体1111AB C D的最大棱长为6.14.解：第一条线段与第二条线段所夹的角160，由此类推，290 ，390 ，4108 ，5108 ，6108，7120 ，8120 ，9120，观察规律，三角形会有 1 个相等的角，并且角的度数恰好是其内角的度数，正方形有 2 个90，正五边形有 3 个108，正六边形有 4 个120，n 多边形有2n 个180(2)nn.又观察图形得：正三角形画 2 条线段，正方形画 2 条线段，学科网（北京）

17、股份有限公司8正五边形画 3 条线段，正六边形画 4 条线段，正 n 边形画2n 条线段；画到正 n 多边形时，画线段的条数为(3)2234(2)22n nmn，当65n 时，2017m；当66n 时，2081m，第 2022 条线段应在正 65 边形中，202218063174.4665.15.解（）()exfxab，则00(0)e0,(0)e0 12.fabfab 解得1,1.ab 经检验，1a，1b 符合题意.（）证明：由（）可知，()e1xf xx.要证()ef xxx，只需证e1exxxx.即eex10 x .令()ee1xg xx，则()eexg x.令()0g x得1x.()g

18、x，()g x 的变化情况如下表所示.x(,1)1(1,)()g x0()g x单调递减1单调递增所以1x 时，()g x 有最小值1(1)ee 1 110g ，即()exf xx成立.16.解：（1）0,10,20,30X，33310C1(0)C120P X，2331017C C217(10)C12040P X，2173310C C6321(10)C12040P X，37310C357(30)C12024P X.所以 X 的分布为X0102030P11207402140724所以17217()010203021120404024E X.（2）记“该同学仅答对 1 道题”为事件 M.21271

19、31 219()C103103 390P M，这次竞赛中该同学仅答对 1 道题得概率为 1990.17.解：（1）四棱锥 PABCD中，PA 底面 ABCD，AD 平面 ABCD，则 PAAD，学科网（北京）股份有限公司9而 ABAD，ABPAA，AB，PA 平面 PAB，于是 AD 平面 PAB，（未写线线相交不得分）又 PB 平面 PAB，则 ADPB，由 ABAP，E 为 PB 的中点，得 AEPB，AEADA，AE，AD 平面 ADE，因此 PB 平面 ADE，（此处线线相交未写不再扣分，两处线线相交只要有一处未写即扣 1 分）而 PB 平面 PBC，所以平面 PBC 平面 ADE.（

20、2）（）由（1）知，直线 AB，AD，AP 两两垂直，以点 A 为原点，直线 AB，AD，AP 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，过 C 作CFAD于 F，由2CD，45CDA，得1CFDF，令(05)ABtt，则(0,0,)Pt，(0,6,0)Dt，(1,5,0)Ct，(0,6,)PDtt，(1,1,0)CD ，设平面 PCD的法向量(,)nx y z，则(6)00n PDt ytzn CDxy ，令 yt，得(,6)nt tt，由 AD 平面 PAB，得平面 PAB 的一个法向量(0,1,0)m，依题意，2221cos,6(6)tm nm nttmtn，整理得24120tt，而0t

21、，解得2t，所以线段 AB 的长为 2.（）显然 AB 平面 PAD，而 AG 平面 PAD，则 ABAG，又2BGAG，干是222(2)2AGAG，解得2 33AG，因此点 G 的轨迹是以点 A 为圆心，2 33为半径的圆的 14，所以点 G 的轨迹的长度为 12 33233.学科网（北京）股份有限公司1018.解：（1）由题意可得222253babccea ，解得325abc ，所以椭圆方程为22194yx.（2）直线 PQ 的斜率不存在时不合题意，设:(2)3PQ yk x，11,P x y，22,Q xy，由22(2)3194yk xyx得222498(23)1630kxkkxkk，令

22、222264(23)64 49317280kkkkkk ，得0k，1228(23)49kkxxk，212216349kkx xk，因为(2,0)A，则直线11:(2)2yAP yxx，令0 x，解得1122yyx，即1120,2yMx，同理可得2220,2yNx，则1212121222232322222yyk xk xxxxx 12211212121212(23)2(23)22(43)4(23)2224kxkxkxkxkx xkxxkxxx xxx2222223238(43)(23)4(23)108494933616316(23)44949k kkkkkkkkkkkkkk，所以线段 MN 的中

23、点是定点(0,3).学科网（北京）股份有限公司1119.解：（1）A 的所有情形有：(1,0,0,0)、(0,1,0,0)、(0,0,1,0)、(0,0,0,1)；（2）设12,nAa aa，12,nBb bb，因为11(,)11nniiiid I Aaap，则12naaanp，同理可得12nbbbnp，当2np时，1111(,)1 1112nnnniiiiiiiiiid A Babababp ；当2np时，111(,)22nnniiiiiiid A Bababnp.当11,1,1,0,0,0pA 个，10,0,0,1,1,1pB 个时，上式等号成立.综上所述，max 2,2(,)2(),2p

24、pnd A Bnppn；（3）设 P 是满足条件的最大集合，即 P 中的元素个数为 m，所以，A、BP且 AB，(,)d A Bk，CP，记集合(,1)(,)1nS C kXS d X Ck，那么(,1)S C k 中的元素个数为011CCCknnn，对于nS 中的任意元素 X，都存在CP，使得(,)1d X Ck，若不然，假设存在0nXS，CP 都有 0,d X Ck，那么集合0PPX 中所有不同元素间的距离的最小值为 k，且 P 中有1m 个元素，这与 m 的最大性矛盾.学科网（北京）股份有限公司12所以nS 中的每个元素必与 P 中某个元素间的距离不超过1k .从而(,1)nC PSC k，所以，1012CCCnknnnm.