福建省泉州第一中学2023-2024学年九年级上学期数学期末考试卷（解析版）.pdf

1、第1页/共21页 学科网（北京）股份有限公司泉州一中 2023-2024 学年上学期九年级期末考试数学试题一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的在答题卡相应的答题区域内作答 1.下列选项中是一元二次方程的是（）A.2310 xx=B.212x=C.210 xy+=D.380 x=【答案】A【解析】【分析】本题考查一元二次方程的定义找到只含有一个未知数，未知数的最高次数是 2，二次项系数不为0 的整式方程的选项即可【详解】解：A、是一元二次方程，故本选项符合题意；B、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C、不是一元二次方程，故

2、本选项不符合题意；D、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；故选：A 2.tan 45的值等于（）A.33 B.22 C.3 D.1【答案】D【解析】【分析】本题考查特殊角的三角函数值，直接根据特殊角的三角函数值得出答案【详解】解：tan 451=，故选：D 3.下列事件中，属于必然事件的是（）A.泉州明天会下大雨 B.在 369 个人中，一定有两个人在同日出生 C.打开电视机，正好在播新闻 D.小明这学期数学期末考试得分是 146【答案】B 第2页/共21页 学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】本题考查了事件的分类，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念根据必然事件指

3、在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，对每一项进行分析即可【详解】解：A泉州明天会下大雨是随机事件；B在 369 个人中，一定有两个人在同日出生是必然事件；C打开电视机，正好在播新闻是随机事件；D小明这学期数学期末考试得分是 146 是随机事件 故选 B 4.下列二次根式中，能与3 2 合并的是（）A.0.2 B.4 C.6 D.8【答案】D【解析】【分析】本题考查了二次根式的化简和同类二次根式，先化简，再看被开方数是否等于 2，即可判断，熟练掌握知识点是解题的关键【详解】A.50.25=，

4、不能与3 2 合并，不符合题意；B.42=，不能与3 2 合并，不符合题意；C.6，不能与3 2 合并，不符合题意；D.82 2=，能与3 2 合并，符合题意；故选：D 5.用配方法解一元二次方程2430 xx+=，下列变形结果正确的是（）A.2(2)1x=B.2(2)7x=C.2(2)1x+=D.2(2)7x+=【答案】A【解析】【分析】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键 将方程的常数项移到右边后，方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，即可得到结果 详解】解：移项得：243xx=，【第3页/共21页 学科网（北京）股份有限公司配方得：24434xx+=+，

5、即：()221x=故选：A 6.如图，D 是 ABC边 AB 上一点，添加一个条件后，仍不能使ACDABC的是（）A.ACDB=B.ADCACB=C.ADCDACBC=D.ACABADAC=【答案】C【解析】【分析】本题考查添加条件证明三角形相似根据相似三角形的判定方法，逐一进行判断是解题的关键【详解】解：在 ACD和 ABC中，BACDAC=，A、ACDB=，利用两组对应角相等的三角形相似，得到ACDABC，不符合题意；B、ADCACB=，利用两组对应角相等的三角形相似，得到ACDABC，不符合题意；C、ADCDACBC=，不能证明ACDABC，符合题意；D、ACABADAC=，根据两组对应

6、边对应成比例，夹角相等，得到ACDABC，不符合题意；故选 C 7.抛物线22(4)3yx=经过平移得到抛物线2yx，则平移过程正确的是（）A.先向左平移 4 个单位，再向下平移 3 个单位 B.先向左平移 4 个单位，再向上平移 3 个单位 C.先向右平移 4 个单位，再向下平移 3 个单位 D.先向右平格 4 个单位，再向上平移 3 个单位【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象平移的规律，掌握二次函数图象平移的规律是解题关键 直接根据二次函数的图像平移方法“左加右减，上加下减”进行排除选项即可【详解】抛物线22(4)3yx=经过平移得到抛物线2yx，第4页/共2

7、1页 学科网（北京）股份有限公司则平移过程是先向左平移 4 个单位，再向上平移 3 个单位 故选：B 8.如图，若 ABC与111A B C是位似图形，则位似中心的坐标为（）A.()2,2 B.()1,1 C.()1,0 D.()0,1【答案】B【解析】【分析】本题考查了位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键连接1AA，并延长与1BB 延长线相交，交点坐标即为位似中心的坐标【详解】解：如图，连接1AA，并延长与1BB 延长线相交，交点 P 即为位似中心，由图可知，位似中心的坐标为()1,1，故选：B 9.如图，点 A，B，C 在半径为 5 的O上，6BC=，则cosCAB的值为（）A.43

8、 B.34 C.45 D.35【答案】C 第5页/共21页 学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】作直径CD，连接 BD，勾股定理求得 BD，根据同弧所对的圆周角相等得出DCAB=，进而根据余弦的定义即可求解【详解】解：如图所示，作直径CD，连接 BD，90CBD=，2 510,6CDBC=，228BDCDBC=，BCBC=DCAB=，84cos=cos105BDCABDCD=，故选：C【点睛】本题考查了求余弦，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，熟练掌握以上知识是解题的关键 10.已知抛物线 y=ax2+bx+c（02ab）的顶点为 P（x0，y0），点 A（1，yA

9、），B（0，yB），C（1，yC）在该抛物线上，当 y00 恒成立时，ABCyyy的最小值为（）A.1 B.2 C.4 D.3【答案】D【解析】【分析】主要是要是通过相似三角形边的对应关系，构造所求的式子，并对结果找到限制条件即可 第6页/共21页 学科网（北京）股份有限公司【详解】由 02ab，得 x0=b2a1，由题意，如图，过点 A 作 AA1x 轴于点 A1，则 AA1=yA，OA1=1，连接 BC，过点 C 作 CDy 轴于点 D，则 BD=yByC，CD=1，过点 A 作 AFBC，交抛物线于点 E（x1，yE），交 x 轴于点 F（x2，0），则FAA1=CBD，于是 RtAFA

10、1RtBCD，所以1AABD=1FACD，即ABCyyy=21x1，过点 E 作 EGAA1于点 G，易得AEGBCD 有 AGBD=EGCD，即AEBCyyyy=11x1，点 A（1，yA）、B（0，yB）、C（1，yC）、E（x1，yE）在抛物线 y=ax2+bx+c 上，得 yA=a+b+c，yB=c，yC=ab+c，yE=ax12+bx1+c，AEBCyyyy=()()211abcaxbxccabc+=1x1，化简，得 x12+x12=0，解得 x1=2（x1=1 舍去），y00 恒成立，根据题意，有 x2x11，则 1x21x1，即 1x23，ABCyyy3，ABCyyy的最小值为

11、3 故选 D.二、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分在答题卡相应的答题区域内作答第7页/共21页 学科网（北京）股份有限公司11.若式子24x+在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_【答案】2x 【解析】【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求解即可【详解】解：式子24x+在实数范围内有意义，240 x+，2x ，故答案为：2x 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件、解一元一次不等式，熟知二次根式的被开方数是非负数是解答的关键 12 已知32ab=，则 abab+=_【答案】5【解析】【分析】根据比例设 a=3k，b=2k，然后代入比例式进行计算即可得解【详解】解：32

12、ab=，设 a=3k，b=2k，则32532abkkabkk+=，故答案为：5【点睛】本题考查了比例的性质，利用“设 k 法”求解更简便 13.一只盒子中有红球 10 个，白球 6 个，黑球 a 个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得“红球”的概率与“不是红球”的概率相同，那么 a 的值是_【答案】4【解析】【分析】此题考查了概率的应用，根据题意得到红球的数量等于白球加黑球的数量，然后列方程求解即可【详解】解：从中任取一个球，取得是红球的概率与不是红球的概率相同，610a+=，解得4a=.第8页/共21页 学科网（北京）股份有限公司故答案为：4 14.若直线 l 上有四点 A，B，C，

13、D，直线 l 外有一点 P，则经过图中的三个点作圆，最多可以作_个【答案】6【解析】【分析】本题考查了确定圆的条件，理解“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”是解题的关键直线 l上的四点 A，B，C，D，选其中三个点不能确定圆，只能从中选择二个点，与点 P 三个点作圆，再列举出选取的方式即可【详解】解：不在同一条直线上的三个点确定一个圆，A，B，C，D，四点中选择二个点，与点 P，三个点作圆，选取的方式有：A，B，P；A，C，P；A，D，P；B，C，P；B，D，P；C，D，P，共 6 个 故答案为：6 15.一个等腰三角形的底边长是 6，腰长是一元二次方程 x27x+12=0 的一个根，则此三

14、角形的周长是_【答案】14【解析】【分析】先求出方程的解，再根据三角形的三边关系定理判断能否组成三角形，再求出即可 详解】解：解方程 x2-7x+12=0 得：x=3 或 4，当腰为 3 时，三角形的三边为 3，3，6，3+3=6，此时不符合三角形三边关系定理，此时不行；当腰为 4 时，三角形的三边为 4，4，6，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长为 4+4+6=14，故答案为 14【点睛】本题考查了解一元二次方程、等腰三角形的性质、三角形的三边关系定理等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键 16.如图，ABC为等边三角形，点 D 在 ABC外，连接 BD、CD 若2ABDACD=

15、，2 3tan5ACD=，37BD=，则CD=_ 【答案】11【第9页/共21页 学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】作ABD 的角平分线交 DC 于 E，连接 AE，作 AFDC于 F，延长 BE 交 AD 于 R，先证明BEDBEA，可得17ABBD=，再通过等腰三角形的中线定理得 BRAD，利用三角函数求出 DF，FC 的值，即可求出 CD 的值【详解】作ABD 的角平分线交 DC 于 E，连接 AE，作 AFDC于 F，延长 BE 交 AD 于 R 2ABDACD=ABEACE=A，E，C，D 四点共圆 60AECABC=60BECBAC=120BEDBEA=EBDEBA=，BE

16、BE=BEDBEA 17ABBD=ABAD=，ABRDBR=BRAD 37AC=，2 3tan5ACD=2 3AF=，5FC=37AB=,2 3tan5ABR=2 3AR=4 3AD=2 3AF=6DF=11CDDFFC=+=故答案为：11 第10页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 【点睛】本题考查了三角形的综合问题，掌握角平分线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质以及判定定理、锐角三角函数是解题的关键 三、解答题：本题共 9 小题，共 86 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤在答题卡相应的答题区域内作答 17.计算：23183|2 62|+【答案】2【解析】【分析】本题考查

17、了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键先算乘法、除法、绝对值，再算加减即可【详解】解：原式662 62=+2=18.解方程：2(3)2(3)xx=【答案】13x=，25x=【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的解法，利用因式分解法解一元二次方程即可；解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等 详解】解：2(3)2(3)xx=2(3)2(3)0 xx=(3)(32)0 xx=30 x=，50 x=13x=，25x=19.如图，沿 AC 方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工从 AC 上的一点 M 取150,600m,60AM

18、BMBB=另一边开工点 N 在直线 AC 上，求 MN 的长（结果保留根号）【第11页/共21页 学科网（北京）股份有限公司【答案】300 3m【解析】【分析】本题考查了勾股定理的应用，涉及含 30 度角的直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键先求出90MNB=，然后根据含 30 度角的直角三角形求出1300m2BNMB=，最后根据勾股定理求出结果即可【详解】解：150AMB=又180AMBBMN+=30BMN=60B=90BMNB+=，90MNB=，600mMB=，1300m2BNMB=，2222600300300 3(m)MNBMBN=答：MN 的长为300 3(m)20.如图，AB

19、，AC 分别交O于,D E 两点求证：AD ABAE AC=【答案】见解析 第12页/共21页 学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，相似三角形的性质与判定；根据圆内接四边形对角互补，可得ADEC=，进而证明 ADEACB，即可得证【详解】解：AB，AC 分别交O于,D E 两点 四边形 BCED 是O内接圆，180CBDE+=，180ADEBDE+=，ADEC=，又AA=，ADEACB，ADAEACAB=即 AD ABAE AC=21.已知 ABC，请按以下要求完成本题：（1）请作出 ABC的外接圆O（尺规作图，保留作图痕迹）：（2）若在 ABC中，65,

20、45,ABCACBO=的直径 AD 交CB 于 E，求DEC的度数【答案】（1）见解析 （2）70【解析】【分析】（1）作三角形两边的垂直平分线的交点为外心，再以外心到顶点的距离为半径作圆；（2）连接 BD，再根据圆周角定理和三角形的外角定理求解【小问 1 详解】如图所示为所求作的 ABC的外接圆O；【小问 2 详解】第13页/共21页 学科网（北京）股份有限公司连接 BD AD是O的直径，90ABD=又65ABC=25DBCABDABC=又45DACB=70DECDBCD=+=，故DEC的度数为70【点睛】本题考查了复杂作图，掌握三角形的外接圆，圆周角定理和三角形外角的性质是解题的关键 22

21、.一个不透明的纸箱里有三张完全相同的卡片，它们上面分别写着2618、，小丽从中抽取一张，看完数后，把卡片放回，搅均，然后小明再从中抽取一张（1）直接写出小丽取出的卡片恰好是2 的概率；（2）同学小颖帮他们设计了一个游戏规则：若两人抽取卡片上数字之积为有理数，则小丽获胜：否则小明获胜你认为这个游戏规则公平吗？若不公平，则对谁有利？请说明理由【答案】（1）13 （2）不公平，对小丽有利理由见解析【解析】【分析】（1）根据概率公式直接求解即可求得答案；（2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，游戏是否公平，求出游戏双方获胜的概率，比较是否相等即可

22、，若不相等，则不公平，概率大的则有利【小问 1 详解】依题意得：P（小丽取出的卡片恰好是2）13=；【小问 2 详解】列表如下：小丽 小明 26182222=622 3=1826=的第14页/共21页 学科网（北京）股份有限公司6262 3=666=1866 3=182186=6186 3=181818=从表格中可以看出共有 9 个等可能的结果，而数字之积为有理数有 5 个 P（小丽获胜）59=，P（小明获胜）54199=5499，对小丽有利【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件游戏双方获胜的概率相同，游戏就公

23、平，否则游戏不公平用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 23.如图，用一段 80 米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，左右两个长方形都有一个 1 米的门通往中间长方形，中间的长方形有一个 1 米的门通往外面，墙的最大可用长度为 50 米 （1）如果羊圈的总面积为 345 平方米，求边 AB 的长；（2）请问羊圈的总面积能为 480 平方米吗？若能，请求出边 AB 的长；若不能，请说明理由【答案】（1）边 AB 的长为 15 米；（2）羊圈的总面积不能为 480 平方米理由见解析【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题的关键（1）设边 A

24、B 的长为 x，则()834ADx=米，然后根据矩形面积公式可列出一元二次方程并求解即可获得答案；（2）由（1）可得(834)480 xx=，然后根据一元二次方程根的判别式可获得答案【小问 1 详解】设边 AB 的长为 x，依题意得：(834)345xx=第15页/共21页 学科网（北京）股份有限公司整理得：24833450 xx+=解得：115x=，2234x=，当234x=时，8346050 x=，不合题意 15x=答：边 AB 的长为 15 米；【小问 2 详解】设边 AB 的长为 x，依题意得：(834)480 xx=整理得：24834800 xx+=2(83)4 4 4807910

25、=此方程无解，故羊圈的总面积不能为 480 平方米 24.如图，O是 ABC的外接圆，BC 为O的直径，点 I 为 ABC的内心，连接 AI 并延长交O于D 点，连接 BD 并延长至 E，使得 BDDE=，连接CEBI、（1）求证：DBDI=；（2）求证：直线CE 为O的切线；（3）若4tan,203ADBBC=，求 AD 的长【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）14 2【解析】【分析】（1）先证明BADCBD=，再证明BIDDBI=，即可证明 DBDI=；（2）欲证明直线CE 为O的切线，只要证明 BCCE即可；第16页/共21页 学科网（北京）股份有限公司（3）要根据4tan

26、,203ADBBC=，求 AD 的长，只要求得 BD 的长即可，【小问 1 详解】点 I 为 ABC的内心 ABICBIBADCAD=，又CBDCAD=BADCBD=BIDBADABI=+DBICBDCBICADABIBADABI=+=+=+BIDDBI=；DBDI=；【小问 2 详解】连接CD，如图所示 由（1）得：BADCAD=则 BDCD=BDDE=BDDECD=BC 为O的直径，90BDCCDE=45BCDECD=90BCE=，即 BCCE 又 BC 为O的直径 直线CE 为O的切线；【小问 3 详解】BC为O的直径 第17页/共21页 学科网（北京）股份有限公司ABC为直角三角形 4

27、tantan3ACBADB=不妨设4,3ABx ACx=则有222(4)(3)20 xx+=，解得：4x=16,12ABAC=22161220BC=+=过点 I 作 IHAC交 AC 于点 H，连接CI，如图所示 点 I 为 ABC的内心，点 I 到 ABC三边的距离相等，11112222AB ACAB IHAC IHBC IH=+，16 12161220IHIHIH=+，4IH=由（2）得：,90BDDECDBCE=45HAICBD=44 2sin 45sin 45IHAI=同理可得：20 2BE=10 2DIDB=4 210 214 2ADAIDI=+=+=第18页/共21页 学科网（北京

28、）股份有限公司故 AD 的长为14 2 【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，圆周角定理，切线的判定，等腰三角形的判定，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线 25.抛物线22yaxaxc=+与 x 轴只有一个交点(,0)A c，与直线 ya=交于 B，C 两点，点 C 恰好落在 y轴上（1）直接写出此抛物线的解析式：（2）在抛物线22yaxaxc=+的对称轴右侧图象上存在两点()11,P x y，()()2212,Q xyxx，且PCBQCB=，直线 PC 和直线QB 与抛物线22yaxaxc=+的对称轴的分别交于点 D 和点 E 求 tanODC的最大

29、值；若直线 EMQC，求证：MBD的面积是一个定值【答案】（1）221yxx=+（2）43；MBD的面积是定值 1【解析】【分析】（1）由题意知，抛物线过点 A 及点(0,)Ca，把这两点坐标代入二次函数中，即可求得 a、c，从而求得解析式；（2）设DOC的外心为点 F，过点 F 作 FGOC于点 G，连接 FOFCFD，则 在 RtOFG中，1tan2OGOFGFGFG=，即 当 FG 最 小 时，tanOFG最 大；由222214FGFOOGFD=，当 FD 最小时，2FG 最小，FG 最小，此时直线1x=与F相切，则当FD 垂直直线1x=时，D，F，G 三点共线，此时1FGFD=，代入

30、2214FGFD=中，即可求得 FD，从而求得最大值；设点 D 的纵坐标为 t，直线1x=交QC 于点 D，则可得点 D 坐标，从而求得CQ 的解析式，与二次函数联立，进而求得点 Q 的坐标；求出直线QB 解析式，则可求得点 E 的坐标，求得2ED=；由抛物线的对称及PCBQCB=，可得 BDCQ，则可得 EMBD，则MBDEBDSS=即可求解【小问 1 详解】解：抛物线22yaxaxc=+与直线 ya=交点 C 恰好落在 y 轴上，点(0,)Ca，第19页/共21页 学科网（北京）股份有限公司抛物线过点 A 及点(0,)Ca，把这两点坐标分别代入22yaxaxc=+中，得：220acaccc

31、a+=解得：1ac=，抛物线的解析式为221yxx=+；【小问 2 详解】解：由（1）得2221(1)yxxx=+=，此抛物线的对称轴为直线1x=，(1,0)(2,1)(0,1)1ABCOAOC=，121xxPCBQCB=，1212,2xx；如图，设DOC的外心为点 F，过点 F 作 FGOC于点 G，连接 FOFCFD，则111222OFGCFGOFCOGCGOC=，12ODCOFC=，OFGODC=，在 RtOFG中，1tan2OGOFGFGFG=，当1212,2xx时，tanOFG随着 FG 的增大而减小，当 FG 最小时，tanOFG最大；222214FGFOOGFD=，当 FD 最小

32、时，2FG 最小，FG 最小，此时直线1x=与F相切；则当 FD 垂直直线1x=时，D，F，G 三点共线，第20页/共21页 学科网（北京）股份有限公司1DGOAFGDGFD=，由2214FGFD=得：221(1)4FDFD=，解得：5388FDFG=，4tantan3OGODCOFGFG=，tanODC的最大值为 43；设点 D 的纵坐标为 t，直线1x=交QC 于点 D，如图；PCBQCB=，直线1x=垂直于直线 BC，点 D 与 D 点关于直线 BC 对称，2Dyt=，(1,2)Dt，由(0,1)(1,2)CDt，可得:(1)1CQ yt x=+，联立解方程组()()2111yt xyx

33、=+=，得：1221203,144xxtyytt=+，()23,44Qt tt+，由()2(2,1)3,44BQt tt+，可得:(3)25BQ yt xt=+，上式中，令1x=得：2yt=，(1,2)Et，(2)2EDtt=；BC，两点关于抛物线对称轴对称，DCDB=，PCBDBC=，2PDBPCBPCQ=，BDCQ，EMQC，第21页/共21页 学科网（北京）股份有限公司EMDB，()112(2 1)122MBDEBDBDSSEDyy=，MBD的面积是一个定值 【点睛】本题是二次函数与几何的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，三角形外接圆，圆周角定理，正切函数等知识，综合性强，难度较大，构造三角形外接圆是关键与难点