福建省福州市城门中学2023-2024学年高一上学期数学期末考试卷（解析版）.pdf

1、第 1页/共 21页学科网（北京）股份有限公司高一数学上册期末复习试题（含答案）一、选择题1.已知全集1,2,3,4,5U，集合2,4A=，3,4B，则UAB （）A.2，3，4B.1，2，4，5C.2，5D.2【答案】B【解析】【分析】根据补集的定义求出 U B，再利用并集的定义求解即可.【详解】因为全集1,2,3,4,5U，3,4B，所以1,2,5U B，又因为集合2,4A=，所以1,2,4,5UAB，故选：B.2.sin1080 （）A.12B.1C.0D.1【答案】C【解析】【分析】直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数求解即可【详解】sin(1080)sin 33600sin00 故选

2、：C3.命题“x R，210 xx”的否定为（）A.x R，210 xx B.x R，210 xx C.x R，210 xx D.xR，210 xx【答案】C【解析】第 2页/共 21页学科网（北京）股份有限公司【分析】由全称命题的否定是特称命题可得答案.【详解】根据全称命题的否定是特称命题，所以“x R，210 xx”的否定为“x R，210 xx”.故选：C.4.已知lgae，ln0.8b，0.12c，则（）A.abcB.bacC.cabD.bc 在 R 上不是恒成立的，所以0m，所以“不等式2+0mxxm在 R 上恒成立”，等价于201 40mm ，解得12m.A 选项是充要条件，不成立

3、；B 选项中，12m 不可推导出01m，B 不成立；C 选项中，12m 可推导14m，且14m 不可推导12m，故14m 是12m 的必要不充分条件，正确；D 选项中，1m 可推导1 2m，且1 2m不可推导1m，故1m是12m 的充分不必要条件，D 不正确.第 5页/共 21页学科网（北京）股份有限公司故选：C.【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若 p 是q的必要不充分条件，则q对应集合是 p 对应集合的真子集；（2）p 是q的充分不必要条件，则 p 对应集合是q对应集合的真子集；（3）p 是q的充分必要条件，则 p 对应集合与q对应集合相等；（4

4、）p 是q的既不充分又不必要条件，q对的集合与 p 对应集合互不包含二、多选题9.下列四个命题中正确的命题是（）A.1cos4802 B.函数 2223fxxx在0,上单调递增C.44cossincos2D.当0ab 时恒有2baab【答案】BC【解析】【分析】根据特殊角对应的三角函数值，以及诱导公式，可判断 A 错；根据二次函数的性质，可判断 B 正确；根据二倍角的余弦公式，可判断 C 正确；根据特殊值法，可判断 D 错.【详解】A 选项，1cos480cos 360120cos1202 ，故 A 错；B 选项，函数 2223fxxx是开口向上，且对称轴为12x 的二次函数，所以其在0,上单

5、调递增；故 B 正确；C 选项，22242224cossincossincossincossincos2，故 C 正确；D 选项，当1a，1b=-时，满足0ab，但此时2baab ，故 D 错.故选：BC.10.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学(一个数学分支)里一个非常重要的定理，简单的讲就是对于满足一定条件的图象为连续不断的函数 f x，存在一个点0 x，使得00f xx，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（）第 6页/共 21页学科网（北京）股份有限公司A.1f xxB.1fxxx，0 x C.23fxxxD.12logf xx【答案】BD【解析】【分析】对于

6、ABC：通过解方程00f xx可得答案；对于 D，通过作出两个函数的图象可得答案.【详解】四个选项中的函数的图象显然都是连续不断的，对于 A：当001xx 时，该方程无解，故 A 不满足；对于 B：当0001xxx，00 x 时，解得022x，故 B 满足；对于 C：当20003xxx，即20120 x 时，无实数根，故 C 不满足；对于 D；画出 12logf xx与 yx的图象显然有交点，即存在一个点0 x，使得00f xx，故 D 满足；综上，BD 均满足.故选：BD【点睛】关键点点睛：利用“不动点”函数的定义求解是解题关键.11.已知函数 sin0,0,0f xAxA的最小正周期为 4

7、，其图象的一个最高点为1,23A，下列结论正确的是（）A.yf x图象的一个对称中心为 4,03B.yf x的图象关于1x 对称C.若124f xf x，则12xx的最小值为 2D.将 f x 图象上各点的横坐标变为原来的 12，纵坐标不变，得到 h x 图象；再将 h x 图象向右平移 16个第 7页/共 21页学科网（北京）股份有限公司单位长度，得到函数2sin6yx的图象【答案】ACD【解析】【分析】根据函数的周期，求出，再由函数的最高点求出 A 和，得到 2sin23f xx；根据正弦函数的对称性，由选项代入验证，可判断 A 正确，B 错；根据函数周期性，可判断 C 正确；根据三角函数

8、图象变换的原则，可判断 D 正确.【详解】由已知 24，2，2A，12sin223，23k，k Z，又0，3，2sin23f xx.对于 A，令 23xk，则223xk，k Z，当1k 时，43x，故函数图象的一个对称中心为 4,03，故 A 正确.对于 B，在 f x 中，令1x，52362xk，k Z，B 错.对于 C，因为 max2f x，min2f x ，又因为124f xf x，所以12xx的最小值为半个周期，即 2，故 C 正确.对于 D，将 f x 图象上各点的横坐标变为原来的 12，纵坐标不变，得 2sin3h xx，再将 h x图象向右平移 16个单位长度，得图象的解析式为1

9、2sin2sin636yxx，D 正确.故选：ACD.12.已知函数 3log,092sin,91744xxf xxx，若 f af bf cf d，且 abcd，则（）A.1ab 第 8页/共 21页学科网（北京）股份有限公司B.26cdC.abcd 的取值范围是153,165D.abcd 的取值范围是31628,9【答案】ACD【解析】【分析】作出函数 f x 的图象，利用对数的运算性质可判断 A 选项的正误，利用正弦型函数的对称性可判断 B 选项的正误；利用二次函数的基本性质可判断 C 选项的正误；利用双勾函数的单调性可判断 D 选项的正误.【详解】由3log2x 可得32log2x，解

10、得 199x.作出函数 f x 的图象如下图所示：由图象可得 11911 15179abcd，由33loglogab，可得33loglogab，即333logloglog0abab，得1ab，A 选项正确；令442xkkZ，解得41xkkZ，当9,17x时，令941 17k，解得24k，由于Zk，3k，所以，函数2sin9,1744xyx的图象关于直线13x 对称，则点,c f c、,d f d关于直线13x 对称，可得26cd，B 选项错误；22613169153,165abcdccc，C 选项正确；126abcdaa，下面证明函数1yxx在0,1 上为减函数，任取1x、20,1x 且12x

11、x，则第 9页/共 21页学科网（北京）股份有限公司12121212121111yyxxxxxxxx1212211212121xxx xxxxxx xx x，1201xx，则120 xx，1201x x，所以，12yy，所以，函数1yxx在0,1 上为减函数，119a，则13162628,9abcdaa，D 选项正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在

12、同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.三、填空题13.已知53a，32b 则5log 10ab _.【答案】1【解析】【分析】先把 a、b 用对数表示出来，再借助于换底公式计算 ab，然后计算5log 10ab即可【详解】53a，5log 3a，同理3log 2b 553555log 2log 3 log 2log 3log 2log 3ab，5555510log 10=log 10log 2=log=log 5=12ab故答案为：1【点睛】对数运算技巧：(1)应用常用对数值；(2)灵活应用对数的运算性质；(3)逆用法则、公式；(4)应用换底公式，化为同底结构第 10页/

13、共 21页学科网（北京）股份有限公司14.当=_时，函数 sinf xx在区间4,33上单调(写出一个值即可).【答案】6（集合526k 或2,6kkZ中的任何一个值都行）【解析】【分析】由函数的周期，和区间长度可以确定 3 和 43 是单调区间的端点值，由此列式，求 值.【详解】f x的周期是2，而区间4,33的长度是 个单位长度，则4,33一个周期内完整的一个单调增区间或减区间，当433x时，433x，所以2324232kk，解得：52,6kkZ，或23243232kk，解得：26k，Zk，所以其中一个6，故答案为：6（集合526k 或2,6kkZ中的任何一个值都行）【点睛】关键点点睛：本

14、题考查三角函数的性质，求参数的取值范围，本题的关键是确定 3 和 43 是单调区间的端点值，列式后就比较容易求解.15.某单位要租地建仓库，已知每月土地费用与仓库到码头的距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到码头的距离成正比.经测算，若在距离码头 10km 处建仓库，则每月的土地费用和运输费用分别为 2 万元和8 万元.那么两项费用之和的最小值是_万元.【答案】8【解析】【分析】由题意求出土地费用与运输费用，作和求出总费用与距离的函数解析式，利用基本不等式可求得两项费用第 11页/共 21页学科网（北京）股份有限公司之和的最小值.【详解】设仓库与车站距离为 x，土地费用为1y，运输费用为2y

15、，于是1122,kyyk xx12210810kk，解得12420,5kk，设总费用为 y，则20420 42855xyxxx，当且仅当 2045xx 即5x 时取等号，两项费用之和的最小值是 8 万元.故答案为：816.已知函数 12,01,33,1.22xxxf xxx 若方程 f xa aR有两个不同的实根12,x x，且满足121223x x，则实数 a 的取值范围为_.【答案】9,2【解析】【分析】首先画出函数图象，结合函数图象可得2 2a，对3a 和3a 分类讨论，当3a 时，ya分别与12yxx、3322yx有交点，设12xx，则1210,12xx由112123322xaxxa消

16、去 a 得211213321022xx xx，再根据121223x x，即可求出1x 的取值范围，从而求出1f x的取值范围，即可求出参数 a 的取值范围；【详解】解：因为 12,01,33,1.22xxxf xxx，函数图象如下所示：第 12页/共 21页学科网（北京）股份有限公司当01x 时，12f xxx，由图可知当12xx即22x 时，函数取得最小值 min2 2f x，又 13f，132f 当2 2a 时，方程 f xa aR才有两个不同的实根，当3a 时，方程 f xa aR有两个不同的实根，即12xax有两个解，即2210 xax 有两个根，此时1212x x，不符题意，当3a

17、时，ya分别与12yxx、3322yx有交点，设12xx，则1210,12xx 由112123322xaxxa消去 a 得211213321022xx xx，所以212114233x xxx，因为121223x x，所以21114222333xx，解得1104x，或1112x，又因为110 x2，所以1104x，由函数图象可知 f x 在10,4上单调递减，又1942f 所以19,2fx，故9,2a故答案为：9,2第 13页/共 21页学科网（北京）股份有限公司【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令 f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理：利用定理

18、不仅要函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且 f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点四、解答题17.设函数 2sin 23f xx，xR（1）求函数 f x 的最小正周期；（2）求使函数 f x 取最大值时自变量 x 的集合【答案】（1）；（2）,12x xkkZ.【解析】【分析】（1）利用周期公式即可求出 f（x）的最小正周期；（2）根据正弦函数的性质确定出 f（x）的最大值，以及此时 x 的值即可【详解】（1）f x 的

19、最小正周期为22T；（2）依题意得，2232xk，k Z，解得12xk，k Z 所以函数 f x 取最大值时自变量 x 的集合,12x xkkZ18.在 AB，ABAR，ABA这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并求解下列问题：已知集合|123Ax axa，|74Bxx，若_，求实数 a 的取值范围注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】答案见解析【解析】【分析】若选择，AB ，则当 A ，构造不等式，解得 a 的范围；若选择，ABAR，得到 A 是RB的子集，构造不等式，解得 a 的范围；若选择，ABA可得 AB，构造不等式，第 14页/共 21页学科网（北京）股份有限公

20、司解得 a 的范围.【详解】若选择，AB，则当 A ，满足 AB ，即123aa，解得4a ，满足题意；当4a 时，应满足4237aa ，或414aa ，解得5a 综上，实数 a 的取值范围是 45，若选择，ABAR，则 A 是BR的子集，74RB，.当123aa，即4a 时，A ，满足题意；当4a 时，满足4237aa ，或414aa ，解得5a.综上，实数 a 的取值范围是45，若选择，ABA则 AB，当123aa，即4a 时，A ，满足题意；当4a 时，应满足17234aa ，解得162a.综上，实数 a 的取值范围是12，19.已知函数 21,0log,0axxf xx x 第 15页

21、/共 21页学科网（北京）股份有限公司（1）当2a 时，在给定的平面直角坐标系中作出函数 f x 的图象，并写出它的单调递减区间；（2）若02f x，求实数0 x【答案】（1）图像见解析，,0和0,1；（2）当0a 时，04x 或014x；当 a0 时，01xa或04x 或014x.【解析】【分析】（1）将2a 代入，由对数函数图象以及一次函数图象即可作出 f x 的图象，结合图象写出单调区间即可.（2）根据分段函数，讨论0 x、a 的取值，解方程即可求解.【详解】（1）当2a 时，221,0log,0 xxf xx x，图象如下图所示，由图可知 f x 的单调递减区间为,0和0,1.（2）依

22、题意，当00 x 时，012ax ，即01ax ，第 16页/共 21页学科网（北京）股份有限公司若0a，方程无解；若 a0，得01xa；当00 x 时，2log2x，即20log2x ，解得04x 或014x.综上所述，当0a 时，04x 或014x；当 a0 时，01xa或04x 或014x.20.已知函数 223f xaxxaR.（1）当1a 时，求不等式 0f x 的解集；（2）解不等式 0f x.【答案】（1）|13xx（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解法解出即可；（2）分类讨论，分0,0,0aaa三种情况讨论求出解集.【小问 1 详解】当1a 时，223f

23、 xxx 0f x，即2230 xx，2230 xx.设方程2230 xx 的两根分别为1x，2x，则310 xx，解得11x ，23x，不等式的解为 13x，函数 0f x 的解集为|13xx【小问 2 详解】由题意，得2230axx，当0a 时，不等式化为 230 x，解得32x ；当0a 时，开口向上，此时412a，第 17页/共 21页学科网（北京）股份有限公司（i）0，即13a 时，方程2230axx无解，不等式解集为R；（ii）0，即13a 时，方程2230axx有唯一解3x ，不等式解集为|3x x ；（iii）0，即103a时，方程2230axx有两解，1113axa，2113

24、axa，且12xx，则不等式解集为11 3|ax xa 或11 3 axa a0 时，开口向下，此时412a，显然0，方程2230axx有两解，1113axa，2113axa，且12xx，不等式解集为11 311 3|aaxxaa 综上所述，当 a0 时，不等式解集为11 311 3|aaxxaa ；当0a 时，不等式解集为32x x；当103a时，不等式解集为11 3|ax xa 或11 3 axa；当13a 时，不等式解集为|3x x ；当13a 时，不等式解集为 R 21.生物学家认为，睡眠中的恒温动物依然会消耗体内能量，主要是为了保持体温脉搏率 f 是单位时间心跳的次数，医学研究发现，

25、动物的体重W（单位：g）与脉搏率 f 存在着一定的关系表 1 给出一些动物体重与脉搏率对应的数据，图 1 画出了体重W 与脉搏率 f 的散点图，图 2 画出了lgW 与lg f 的散点图动物名体重脉搏率第 18页/共 21页学科网（北京）股份有限公司鼠25670大鼠200420豚鼠300300兔2000200小狗5000120大狗3000085羊5000070表 1为了较好地描述体重和脉搏率的关系，现有以下两种模型供选择：fkWblglgfkWb（1）选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；（2）不妨取表 1 中豚鼠和兔的体重脉搏率数据代入所选函数模型，求出 f 关于W 的函数解析式；第

26、19页/共 21页学科网（北京）股份有限公司（3）若马的体重是兔的 256 倍，根据（2）的结论，预计马的脉搏率（参考数据：lg 20.3，lg30.5）【答案】（1）模型lglgfkWb最符合实际，理由见解析；（2）2518410fW；（3）50.【解析】【分析】（1）由散点图呈现的图形特征与两个模型代表的曲线形状的匹配程度，得解；（2）将表 1 中的豚鼠和兔的数据分别代入（1）中得到模型，解出 k，b 的值，即可得解；（3）设马的体重和脉搏率分别为1W，1f，设兔的体重和脉搏率为2W，2f，先写出12WW 的值，再结合指数运算求出12ff的值，即可.【详解】（1）模型lglgfkWb最符合

27、实际根据散点图的特征，图 2 基本上呈直线形式，所以可以选择一次函数来刻画lgW 和lg f 的关系.（2）由题意知，lg300lg300lg 200lg 2000kbkb因为lg200lg222.3，lg2000lg233.3，lg300lg322.5.解得14258kb ，即lg25lg48Wf，所以 f 关于W 的函数解析式为2518410fW.（3）设马的体重和脉搏率为1W，1f，设兔的体重和脉搏率为2W，2f，由题意12256WW，11114481114412242125624fWWfWW，因为2200f，则150f，即马的脉搏率为 50.【点睛】思路点睛：一是回归分析是对具有相关关

28、系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值第 20页/共 21页学科网（北京）股份有限公司22.已知函数 xxf xeae，其中 e 是自然对数的底数，aR（1）若函数 yf x在区间1,内有零点，求 a 的取值范围；（2）当4a 时，0,x ，3xmf xem，求实数 m 的取值范围【答案】（1）2,e；（2）4,7.【解析】【分析】（1）解法：讨论0a 或 a0，判断函数的单调性，利用零点存在性定理即可求解；解法：将问题转化为0 xxeae在区间1,上

29、有解，即2xea e 有解，讨论0a 或 a0 解方程即可求解.（2）解法：分离参数可得43xxxemee，令xet，1,t ，求出43xxxeee的最大值即可求解；解法：不等式转化为23410 xxmemem 恒成立，令xet，1,t ，可得函数 2341f tmtmtm，1,t ，讨论0m 或0m 即可求解.【详解】（1）解法：当0a 时，0 xxxfxeaee，没有零点；当 a0 时，函数 yf x是增函数，则需要 10afee，解得2ae.lnln2ln10aafaeaeae ，满足零点存在定理 1ln0ffa.因此函数 yf x在区间1,内有一个零点综上所述，a 的取值范围为2,e.

30、解法：yf x的零点就是方程0 xxeae的解，即0 xxeae在区间1,上有解方程0 xxeae变形得2xea ，当0a 时，方程无解，当 a0 时，解为ln2ax，则ln12a，解得2ae，第 21页/共 21页学科网（北京）股份有限公司综上所述，a 的取值范围为2,e（2）解法由题意知，43xxxm eeem，即43xxxm eee因为432431xxxxeeee，则43xxxemee，又214334xxxxxeeeee，令xet，1,t ，则2221114343473724xxeettt（当且仅当32t 时等号成立），所以47m，即 m 的取值范围是 4,7.解法由题意知，43xxxm eeem，即23410 xxmemem，令xet，1,t ，即23410mtmtm，当0m 时，显然不成立，因此0m.对于函数 2341f tmtmtm，1,t ，min37124mf tf，则 7104m ，解得47m，即 m m 的取值范围是 4,7.