山东实验中学2024届高三下学期2月调研考试数学试卷.pdf

1、学科网（北京）股份有限公司山东省实验中学 2024 届高三调研考试数学试题 2024.2 说明：本试卷满分 150 分.试题答案请用 2B 铅笔和 0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间 120 分钟.一选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.设21,4,2,1,AxBx=，若 BA，则 x=（）A.0 B.0 或 2 C.0 或-2 D.2 或-2 2.若22nxx+展开式中只有第 6 项的二项式系数最大，则n=（）A.9 B.10 C.11 D.12 3.已知向量()()1,3,2,

2、2ab=，则cos,ab ab+=（）A.117 B.1717 C.55 D.2 55 4.等差数列 na的首项为 1，公差不为 0.若236,a a a 成等比数列，则 na前 6 项的和为（）A.-24 B.-3 C.3 D.8 5.要得到函数cos2yx=的图象，只需将函数sin 23yx=+的图象（）A.向右平移 6个单位 B.向左平移 6个单位 C.向右平移 12个单位 D.向左平移 12个单位 6.在三棱锥 PABC中，线段 PC 上的点 M 满足13PMPC=，线段 PB 上的点 N 满足23PNPB=，则三棱锥 PAMN和三棱锥 PABC的体积之比为（）A.19 B.13 C.

3、29 D.49 7.为研究某池塘中水生植物的覆盖水塘面积 x（单位：2dm）与水生植物的株数 y（单位：株）之间的相关关系，收集了 4 组数据，用模型e(0)kxycc=去拟合 x 与 y 的关系，设ln,zy x=与 z 的数据如表格所示：得到 x 与 z 的线性回归方程21.zxa=+，则c=（）学科网（北京）股份有限公司x 3 4 6 7 z 2 2.5 4.5 7 A.-2 B.-1 C.2e D.1e 8.双曲线2222:1(0,0)xyMabab=的左右顶点分别为,A B，曲线 M 上的一点C 关于 x 轴的对称点为D，若直线 AC 的斜率为m，直线 BD 的斜率为n，则当9mnm

4、n+取到最小值时，双曲线离心率为（）A.3 B.4 C.3 D.2 二多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.9.已知复数 z 满足210zz+=，则（）A.13 i22z=+B.1z=C.2zz=D.2320240zzzz+=10.过线段()4 04xyx+=上一点 P 作圆22:4O xy+=的两条切线，切点分别为,A B，直线 AB 与,x y轴分别交于点,M N，则（）A.点O 恒在以线段 AB 为直径的圆上 B.四边形 PAOB 面积的最小值为 4 C.AB 的

5、最小值为2 2 D.OMON+的最小值为 4 11.已知函数()()2ln11f xxx=+，则（）A.()f x 在其定义域上是单调递减函数 B.()yf x=的图象关于()0,1 对称 C.()f x 的值域是()0,+D.当0 x 时，()()f xfxmx恒成立，则m 的最大值为-1 学科网（北京）股份有限公司三填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12.已知随机变量(),XB n p.若()()30,20E XD X=，则 p=_.13.已知抛物线22(0)ypx p=的焦点 F 为椭圆22143xy+=的右焦点，直线l 过点 F 交抛物线于,A B 两点，且8AB

6、=.直线 12,l l 分别过点,A B 且均与 x 轴平行，在直线 12,l l 上分别取点,M N（,M N 均在点,A B的右侧），ABN和BAM的角平分线相交于点 P，则 PAB的面积为_.14.已知正方体1111ABCDA B C D的棱长为2 3,M N 为1BD 的三等分点，动点 P 在1ACB内，且 PMN的面积为 2 63，则点 P 的轨迹长度为_.四解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.15.（13 分）如图所示，圆O 的半径为 2，直线 AM 与圆O 相切于点,4A AM=，圆O 上的点 P 从点 A 处逆时针转动到最高点 B 处，

7、记(,0,AOP=.（1）当23=时，求 APM的面积；（2）试确定 的值，使得 APM的面积等于 AOP的面积的 2 倍.16.（15 分）如图，直三棱柱111ABCA B C中，,D E 分别是1,AB BB 的中点，122AAACCBAB=.（1）证明：1BC 平面1ACD；学科网（北京）股份有限公司（2）求二面角1DACE的正弦值.17.（15 分）盒中有大小颜色相同的 6 个乒乓球，其中 4 个未使用过（称之为新球），2 个使用过（称之为旧球）.每局比赛从盒中随机取 2 个球作为比赛用球，比赛结束后放回盒中.使用过的球即成为旧球.（1）求一局比赛后盒中恰有 3 个新球的概率；（2）设

8、两局比赛后盒中新球的个数为 X，求 X 的分布列及数学期望.18.（17 分）已知函数()()21ln,2f xxa x afx=R是()f x 的导函数，()exg xx=.（1）求()f x 的单调区间；（2）若()f x 有唯一零点.求实数a 的取值范围；当0a 时，证明：()()4g xfx+.19.（17 分）已知有穷数列()12:,3nA a aan中的每一项都是不大于n 的正整数.对于满足1 m n 的整数m，令集合(),1,2,kA mk am kn=.记集合()A m 中元素的个数为()s m（约定空集的元素个数为 0）.（1）若:6,3,2,5,3,7,5,5A，求()5A

9、及()5s；（2）若()()()12111nns as as a+=，求证：12,na aa互不相同；（3）已知12,aa ab=，若对任意的正整数(),i j ij ij n+都有()iijA a+或()jijA a+，求12naaa+的值.学科网（北京）股份有限公司山东省实验中学 2024 届高三调研考试数学参考答案 2024.2 一选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案CBBADCCD二多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对

10、的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分题号91011答案BCBCDACD三填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分 12.13 13.8 2 14.2 63四解答题：共 77 分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）过点 P 作 PQAM交 AM 于点Q，如图：因为圆O 的半径为 2，由题意222cos22cos33PQ=，所以 APM的面积为 14 362 =（2）连接 AP，设 AOP的面积为1,SAPM的面积为2S，学科网（北京）股份有限公司又112 2 sin2sin2S=，()()2114 21 cos4 1 cos22SAM PQ=

11、，由题意212SS=，所以()4 1 cos4sin=，即sincos1+=，所以2sin42+=，因为()0,，所以 5,444+，所以344+=，所以2=，所以当2=时，使得 APM的面积等于 AOP的面积的 2 倍.16.【解析】（1）证明：连接1AC，交点1AC 于点 F，则 F 为1AC 的中点.又 D 是 AB 的中点.连接 DF，则1BC DF.因为 DF 平面1,ACD BC 平面1ACD.所以1BC 平面1ACD.（2）解：由22ACCBAB=，得 ACBC.以C 为坐标原点，1,CA CB CC 的方向分别为 x 轴 y 轴 z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxy

12、z 不妨设2CA=，则()()()11,1,0,0,2,1,2,0,2DEA.所以()()()11,1,0,0,2,1,2,0,2CDCECA=.设()111,nx y z=是平面1ACD 的法向量.学科网（北京）股份有限公司则100n CDn CA=，即11110220 xyxz+=+=，取()1,1,1n=.同理，设()222,mxyz=是平面1ACE 的法向量，则100m CEm CA=，即222220220yzxz+=+=，取()2,1,2m=.从而3cos,3n mn mn m=，故6sin,3n m=.所以二面角1DACE的正弦值为63.17.【解析】解答：（1）112426815

13、C CPC=（2）X 的可能取值为0,1,2,3,4.()2242226660225CCP XCC=，()22111134424222226666721225CCC CC CP XCCCC=+=，()11221122334442242222226666661142225C CCCC CCCP XCCCCCC=+=，()22111132424222226666323225CCC CC CP XCCCC=+=，()2222226614225CCP XCC=，所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P622572225114225322251225()672114321160123422522

14、52252252259E X=+=.18.【解析】学科网（北京）股份有限公司解：（1）()f x 的定义域为()()20,axafxxxx+=，当0a 时，()0fx恒成立，故()f x 的单调递增区间是()0,+，无单调递减区间；当0a 时，令()0fx得 xa；令()0fx得0 xa；所以()f x 单调递减区间为()0,a；单调递增区间为(),a+（2）法一；当0a=时，()f x 没有零点，不符合题意；当0a 时，函数()f x 在()0,+单调递增，因为()()2211ln122f xxa xxa x=，则()0f m，故存在唯一()0,1xm，使得()00f x=，符合题意；（此处

15、用极限说明也可以）当0a 时，由（1）可知，()f x 有唯一零点只需()0fa=，即ln022aaa=，解得ea=；综上，a 的取值范围为(),0e.法二：当0a=时，()f x 没有零点，不符合题意；所以()21ln02xf xax=，令()2lnxxx=，则()31 2lnxxx=，当()0,ex时，()()0,xx单调递增；当()e,x+时，()()0,xx单调递减；又 lim()0 xx+=.所以 102a 或()11e22ea=，即0a()()1 e2exh xx=+，()()2 e0 xhxx=+，所以()h x单调递增，又()10h=，故当()0,1x时，()()0,h xh

16、x单调递增；故()()10h xh=，故()1e2e2xg xxx=要证()()4g xfx+，只需证明()1e2e442xfxxx+=+，即证()()22e 1e4e0 xx+，由2222959512e 167e12ee16ee 12e16e2222=+=+=+95e 122.7167.2022+成立.故不等式得证.19.【解析】解：（1）因为4785aaa=，所以()54,7,8A=，则()53s=.（2）依题意()1,1,2,is ain=，则有()11is a ，因此()()()12111nns as as a+，又因为()()()12111nns as as a+=，所以()1is

17、a=，所以12,na aa互不相同.（3）依题意12,aa ab=.由()iijA a+或()jijA a+，知ijiaa+=或ijjaa+=.学科网（北京）股份有限公司令1j=，可得1iiaa+=或11iaa+=，对于2,3,1in=成立，故32aa=或31aa=.当ab=时，34naaaa=，所以12naaana+=当ab时，3aa=或3ab=.当3aa=时，由43aa=或41aa=，有4aa=，同理56naaaa=，所以()121naaanab+=+当3ab=时，此时有23aab=，令1,3ij=，可得()4A a或()4A b，即4aa=或4ab=.令1,4ij=，可得()5A a或()5A b.令2,3ij=，可得()5A b.所以5ab=.若4aa=，则令1,4ij=，可得5aa=，与5ab=矛盾.所以有4ab=.不妨设()235,kaaab k=令(),12,3,1it jkt tk=+=，可得()1kA b+，因此1kab+=.令1,ijk=，则1kaa+=或1kab+=.故1kab+=.所以()121naaanba+=+综上，ab=时，12naaana+=.3aab=时，()121naaanab+=+.3aba=时，()121naaanba+=+.