【八年级下册】18.42 正方形的几何模型（三垂直模型）（基础篇）（专项练习）-（人教版）.docx

1、专题18.42 正方形的几何模型（三垂直模型）（基础篇）（专项练习）一、单选题1如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点分别在轴的正半轴上，则四边形的面积为（）ABCD2如图，四边形AFDC是正方形，和都是直角，且E，A，B三点共线，则图中阴影部分的面积是（）A12B10C8D6二、填空题3如图，四边形中，则_4如图，正方形的边长为4，点在边上，若点在正方形的某一边上，满足，且与的交点为则_5如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BGAE于G，延长BG至点F使CFB45，延长FC、AE交于点M，连接DF、BM，若C为FM中点，BM5，则FD的长为_6正方形ABCD在平面直角坐标系中的位

2、置如图所示，已知A点的坐标（0，4），B点的坐标（3，0），则点D的坐标是_7如图，在中，AC=8，BC=7，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，连接CE，则CE的长为_8如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为(1，)，则点C的坐标为_9如图，平面直角坐标系中有一正方形，点的坐标为点坐标为_10如图，点A，B，E在同一条直线上，正方形ABCD，BEFG的边长分别为2，3，H为线段DF的中点，则BH_11如图，直线l1/l2/l3，正方形ABCD的三个顶点A、B、C分别在l1、l2、l3上，l1、l2之间的距离是3，l2、l3之间的距离是4，则正方形ABCD的面积为_1

3、2如图，正方形的四个顶点分别在四条平行线上若每两条相邻平行线间的距离都是1 cm，则正方形的面积为_13如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BFa于点F，DEa于点E，若DE8，BF5，则EF的长为_三、解答题14如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把ADE绕点A顺时针旋转到ABF的位置，接EF（1）求证：AEF是等腰直角三角形；（2）若四边形AECF的面积为25，DE=2，求AE的长15已知，如图，在RtABC中，BAC90，ABC45，点D为直线BC上一动点(点D不与点B，C重合)以AD为边作正方形ADEF，连接CF，当点D在线段BC的反向延长线上，

4、且点A，F分别在直线BC的两侧时(1) 求证：ABDACF；(2) 若正方形ADEF的边长为，对角线AE，DF相交于点O，连接OC，求OC的长度16如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点，DEAG于点E，BFDE，且交AG于点F（1）求证：；（2）求证：DEBFEF；（3）若AB2，BG1，求线段EF的长17如图所示，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点（点G与不重合），于E，交DG于F.求证：.18如图，在正方形中，对角线、相交于点，、分别在、上，且，连接、，的延长线交于点（1）求证：；（2）求证：19如图所示，延长至，使，四边形为正方形，求的长.20如图所示，以为边作正方形

5、，求点、的坐标.21如图1，正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P是线段AO上（不与点A，O重合）的一个动点，过点P作PEPB且PE交边CD于点E（1）求证：PEPB；（2）如图2，若正方形ABCD的边长为2，过点E作EFAC于点F，在点P运动的过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值；若变化，请说明理由；（3）用等式表示线段PC，PA，CE之间的数量关系22四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EFDE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；（2）若AB4，CE2，求CG的长度；

6、（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40时，直接写出EFC的度数23（1）如图1，正方形ABCD中，E为边CD上一点，连接AE，过点A作AFAE交CB的延长线于F，猜想AE与AF的数量关系，并说明理由；（2）如图2，在（1）的条件下，连接AC，过点A作AMAC交CB的延长线于M，观察并猜想CE与MF的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：王师傅有一块如图所示的板材余料，其中A=C=90，AB=AD王师傅想切一刀后把它拼成正方形请你帮王师傅在图3中画出剪拼的示意图24问题情景：如图1，在等腰直角三角形ABC中ACB90，BCa将AB绕点B顺时针旋转90得到线段BD，连接CD，过点D作

7、BCD的BC边上的高DE易证ABCBDE，从而得到BCD的面积为简单应用：如图2，在RtABC中，ACB90，BCa，将边AB绕点B顺时针旋转90得到线段BD，连接CD，用含a的代数式表示BCD的面积，并说明理由参考答案1B【分析】过点P作，证明，再根据面积计算即可；解：如图所示，过点P作，点的坐标为，PM=PN，又，故答案选B【点拨】本题主要考查了四边形与坐标系结合，全等三角形的应用，准确判断计算是解题的关键2C【分析】易证AECFBA，得AB=EC，即可求得解：四边形AFDC是正方形AC=AF，FAC=90CAE+FAB=90又CAE+ACE=90ACE=FAB又CEA=FBA=90AEC

8、FBAAB=EC=4图中阴影部分的面积= 故选C【点拨】本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定条件是解题的关键345【分析】作AEBC于E，AFCD延长线于点F，易证四边形AECF为矩形，可得FAE90，再根据DAB90，可得DAFBAE，即可证明BAEDAF，可得AEAF，即可判定矩形AECF为正方形，即可解题解：作AEBC于E，AFCD延长线于点F，AECAFCBCD90，四边形AECF为矩形，FAE90，即DAFDAE90，DAEBAE90，DAFBAE，在BAE和DAF中，AEBF，BAEDAF，ABAD，BAEDAF（AAS），AEAF，矩形AECF为正方形，ACB45；故答

9、案为：45【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、正方形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键4或【分析】分两种情况进行讨论，点F在AD上或点F在AB上，依据全等三角形的性质以及矩形的性质，即可得到CM的长解：分两种情况：如图1所示，当点F在AD上时，由CF=BE，CD=BC，BCE=CDF=90可得，RtBCERtCDF（HL），DCF=CBE，又BCF+DCF=90，BCF+CBE=90，BMC=90，即CFBE，BC=4，CE=3，BCE=90，BE=5，CM=；如图2所示，当点F在AB上时，同理可得，RtBCFRtCBE（HL），

10、BF=CE，又BFCE，四边形BCEF是平行四边形，又BCE=90，四边形BCEF是矩形，CM=BE=5=故答案为：或【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件5【分析】过C点作CHBF于H点，过B点作BKCM于K，过D作DQMF交MF延长线于Q，只要证明AGBBHC，BKCCQD即可解决问题解：如图，过C点作CHBF于H点，过B点作BKCM于K，过D作DQMF交MF延长线于QCFB45CHHF，ABG+BAG90，FBE+ABG90，BAGFBE，AGB

11、F，CHBF，AGBBHC90，在AGB和BHC中，AGBBHC，BAGHBC，ABBC，AGBBHC（AAS），AGBH，BGCH，BHBG+GH，BHHF+GHFG，AGFG；CHGF，CHGM，C为FM的中点，CHGM，BGGM，BM5，BG，GM2，AG2，AB5，HF，CF，CM，CKCMCF，BK，在BKC和CQD中，CBKDCQ，BKCCQD90，BCCD，BKCCQD（AAS），CQBK，DQCK，QFCQCF，DQQF，DF故答案为【点拨】此题考查的是全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质和正方形的性质，掌握全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质和正方形的性质

12、是解题关键6（4，1）【分析】过点D作DEy轴于E，由“AAS”可证ABODAE，可得AEOB，DEOA，即可求解解：如图，过点D作DEy轴于E，BAO+DAEADE+DAE90，BAOADE，在ABO和DAE中，ABODAE（AAS），AEOB，DEOA，A（0，4），B（3，0），OA4，OB3，OE431，点D的坐标为（4，1）【点拨】本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定和性质，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键717【分析】过E作EFAC，垂足为F，由ABDE为正方形，利用正方形的性质得到一对角为直角，AEAB，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一

13、对直角相等，利用AAS得到AEFBAC，利用全等三角形的对应边相等得到EFAC8，AFBC7，由FAAC求出FC的长，在直角三角形CEF中，利用勾股定理即可求出EC的长解：过E作EFAC，交CA的延长线于F，四边形ABDE为正方形，BAE90，AEAB，EAFAEF90，EAFBAC90，AEFBAC，在AEF和BAC中，AEFBAC（AAS），EFAC8，AFBC7，在RtECF中，EF8，FCFAAC8715，根据勾股定理得：CE17故答案为：17【点拨】此题考查了勾股定理，正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键8【分析】如图作AFx轴于F，CEx轴于E，

14、先证明COEOAF，推出CEOF，OEAF，由此即可解决问题解：如图作AFx轴于F，CEx轴于E四边形ABCO是正方形，OAOC，AOC90，COE+AOF90，AOF+OAF90，COEOAF，在COE和OAF中，COEOAF，CEOF，OEAF，A（1，），CEOF1，OEAF，点C坐标，故答案为：【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键9【分析】过点作轴于，过点作轴，过点作交CE的延长线于先证明，得到，根据点的坐标定义即可求解解：如图，过点作轴于，过点作轴，过点作交CE的延长线于，四边形是正方形，易求又，点的坐标为，点到轴的距离为，点的坐标为故答案为：

15、【点拨】本题考查了平面直角坐标系点的坐标，全等三角形的判定与性质，根据题意，添加辅助线构造全等三角形是解题关键10【分析】根据题意，利用勾股定理可以求得DF的长，然后根据正方形的性质可以得到DBF的形状，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到BH的长解：延长DC交FE于点M，连接BD、BF，正方形ABCD，BEFG的边长分别为2，3，DM5，MF1，DMF90，DF，BD、BF分别是正方形ABCD，BEFG的对角线，DBC=GBF=90，DBF90，DBF是直角三角形， 点H为DF的中点，BHDF，故答案为：【点拨】本题考查了正方形的性质、直角三角形斜边上的中线与斜边的关系、勾股

16、定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答1125【分析】画出1到2，2到3的距离，分别交2，3于E，F，通过证明ABEBCF，得出BF=AE，再由勾股定理即可得出结论解：过点A作AEl2，过点C作CFl2，CBF+BCF=90，四边形ABCD是正方形，AB=BC=CD=AD，DAB=ABC=BCD=CDA=90，ABE+CBF=90，ABE=BCF，在ABE和BCF中，ABEBCF（AAS）BF=AE，123，且l1、l2之间的距离是3，l2、l3之间的距离是4，BF=AE=3，CF=4,BF2+CF2=BC2，BC2=42+32=25故答案为：25【点拨】本题主要考查了正方形的

17、性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质以及正方形面积的求解方法证得ABEBCF是解题的关键125【分析】过D点作直线EF与平行线垂直，与l1交于点E，与l4交于点F易证ADEDCF，得CF1，DF2根据勾股定理可求CD2得正方形的面积解：过D点作EFl2，交l1于E点，交l4于F点l1l2l3l4，EFl2，EFl1，EFl4，即AEDDFC90四边形ABCD为正方形，ADC90ADECDF90又ADEDAE90，CDFDAE在ADE和DCF中ADEDCF（AAS），CFDE1DF2，CD212225，即正方形ABCD的面积为5故答案为：5【点拨】此题主要考查了正方形的性质和面积计算，根据平行

18、线之间的距离构造全等的直角三角形是关键1313【分析】本题是典型的一线三角模型，根据正方形的性质、直角三角形两个锐角互余以及等量代换可以证得AFBAED；然后由全等三角形的对应边相等推知AFDE、BFAE，所以EFAF+AE13解：ABCD是正方形（已知）ABAD，ABCBAD90又FAB+FBAFAB+EAD90FBAEAD（等量代换）BFa于点F，DEa于点E在RtAFB和RtAED中 AFBDEA（AAS）AFDE8，BFAE5（全等三角形的对应边相等）EFAF+AEDE+BF8+513故答案为：13【点拨】本题考查了正方形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质及熟悉一线三角模

19、型是解本题的关键14（1）见分析；（2）AE的长为【分析】（1）由旋转的性质可得AE=AF，EAF=90，可得结论；（2）由题意可得四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于25，可求正方形的边长，由勾股定理可求解解：（1）把ADE绕点A顺时针旋转90到ABF的位置，ADEABF，EAF=90，AE=AF，AEF是等腰直角三角形；（2）ADE绕点A顺时针旋转90到ABF的位置四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于25，AD=DC=5，DE=2，RtADE中，AE=【点拨】本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理，正确利用旋转的性质得出对应边关系是

20、解题关键15(1)证明见分析； (2)【分析】（1）由题意易得ADAF，DAF90，则有DABFAC，进而可证ABAC，然后问题可证；（2）由（1）可得ABDACF，则有ABDACF，进而可得ACF135，然后根据正方形的性质可求解解：(1)证明：四边形ADEF为正方形，ADAF，DAF90，又BAC90，DABFAC，ABC45，BAC90，ACB45，ABCACB，ABAC，ABDACF(SAS)；(2)解：由(1)知ABDACF，ABDACF，ABC45，ABD135，ACF135，由(1)知ACB45，DCF90，正方形ADEF边长为，DF4，OCDF42【点拨】本题主要考查正方形的性

21、质及等腰直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质及等腰直角三角形的性质是解题的关键16（1）见分析；（2）见分析；（3）【分析】（1）由正方形的性质可得ABAD，ABCBAD90，根据DEAG，利用直角三角形两锐角互余的关系可得BAFADE，利用AAS即可证明ADEBAF；（2）根据全等三角形的性质可得DE=AF，BF=AE，根据线段的和差关系即可得结论；（3）利用勾股定理可求出AG的长，利用面积法可求出BF的长，进而利用勾股定理可求出AF的长，根据BF=AE，EF=AF-AE即可得答案解：（1）四边形ABCD是正方形，ABAD，ABCBAD90，DEAG，AEDDEF90，BFDE，AFBDE

22、FAED90，BAFDAEADEDAE90BAFADE在ABF和DAE中，ADEBAF（2）DAEABF，AEBF，DEAFAFAEEF，DEBFEF（3）ABC90，AG2AB2BG212225，SABG，在RtABF中，AF2AB2BF222，AF=，AE=BF，EF=AF-AE，【点拨】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，解答本题的关键是根据AAS证明ABFDAE，此题难度一般17见分析.【分析】首先证明AEDDFC，则能得出DE=FC，AE=DF，进而得出结论解：证明：四边形ABCD是正方形，AD=DC，ADC=90又AEDG，CFAE，AED=DFC

23、=90，EAD+ADE=FDC+ADE=90，EAD=FDC，在AED和DFC中，AEDDFC（AAS）AE=DF，ED=FCDF=DE+EF，AE=FC+EF【点拨】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握正方形的性质以及三角形全等的判定方法是解题的关键18（1）见分析；（2）见分析【分析】（1）利用正方形的性质及SAS定理证AOEDOF，得出AE=DF即可；（2）由AOEDOF得出OEA=OFD，证出OAE+OFD=90，得出AMF=90，即可得出结论解：（1）四边形是正方形，又，即， 在和中， ；（2）由（1）得：， ， ，【点拨】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定

24、与性质以及直角三角形的性质等知识；解答本题的关键是通过全等的证明和利用等角代换解题，属于中考常考题型1910【分析】作AFx轴，DFy，CGDF通过证明AFDEOA，CDGDAF，可证DGAFEO2，GCDFAO4，从而求出点C与点E的坐标，然后根据勾股定理求解即可.解：正方形的中心如图：作AFx轴，DFy，CGDF DFy，ADF=EAO，ADAE，F=AOE，AFDEOA，DGC=AFD,DCG=ADF, CDAD，CDGDAF,DGAFEO2，GCDFAO4,C为(2+4，4+(4-2)，即(6，6),E为(-2，0)，C为(6，6).【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性

25、质，图形与坐标及勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键.20；【分析】过B作BEy轴，过C作CFx轴，垂足分别为E、F，可证明ABEDAOCDF，可求得OE、BE、CF、OF的长，可求得B、C的坐标解：如图，过B作BEy轴，过C作CFx轴，垂足分别为E、F，四边形ABCD为正方形，A=D=90，AB=CD，BAE+DAO=DAO+ADO=90，BAE=ADO，在ABE和DAO中，ABEDAO（AAS），同理可得DAOCDF，A（0，2），D（1，0），BE=DF=OA=2，AE=CF=OD=1，OE=OA+AE=2+1=3，OF=OD+DF=1+2=3，B点坐标为（2，3），C点坐标为（3，

26、2）【点拨】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，利用正方形的四边相等找到条件通过证明三角形全等求得BE、AE、CF、OF的长是解题的关键21（1）见分析；（2）在P点运动的过程中，PF的长度不发生变化PF的长为定值；（3）理由见分析【分析】（1）做辅助线，构建全等三角形，根据ASA证明即可求解（2）如图，连接OB，通过证明，得到PF=OB，则PF为定值是（3）根据AMP和PCN是等腰直角三角形，得，整理可得结论解：（1）证明：如图，过点P作MNAD，交AB于点M，交CD于点NPBPE，BPE90，MPB+EPN90四边形ABCD是正方形，BADD90ADMN，BMPBADPNED

27、90，MPB+MBP90，EPNMBP在RtPNC中，PCN45，PNC是等腰直角三角形，PNCN，BMCNPN，BMPPNE（ASA），PBPE（2）解：在P点运动的过程中，PF的长度不发生变化理由：如图2，连接OB点O是正方形ABCD对角线AC的中点，OBAC，AOB90，AOBEFP90，OBP+BPO90BPE90，BPO+OPE90，OBPOPE由（1）得PBPE，OBPFPE（AAS），PFOBAB2，ABO是等腰直角三角形，PF的长为定值（3）解：理由：如图1，BAC45，AMP是等腰直角三角形，由（1）知PMNE，PCN是等腰直角三角形，【点拨】本题主要考查了四边形综合应用，通

28、过对三角形全等的证明找出边之间的关系，准确分析代换求解是解题的关键22（1）见分析；（2）2；（3）EFC130或40【分析】（1）作EPCD于P，EQBC于Q，证明RtEQFRtEPD，得到EFED，根据正方形的判定定理证明即可；（2）通过计算发现E是AC中点，点F与C重合，CDG是等腰直角三角形，由此即可解决问题；（3）分两种情形：如图3，当DE与AD的夹角为40时，求得DEC454085，得到CEF5，根据角的和差得到EFC130，如图4，当DE与DC的夹角为40时，根据三角形的内角和定理即可得到结论解：（1）证明：如图1，作EPCD于P，EQBC于Q，DCABCA，EQEP，QEFFE

29、C45，PEDFEC45，QEFPED，在EQF和EPD中，EQFEPD（ASA），EFED，矩形DEFG是正方形；（2）如图2中，在RtABC中，ACAB4，CE2，AECE，点F与C重合，此时DCG是等腰直角三角形，四边形DECG是正方形，CGCE2；（3）如图3，当DE与AD的夹角为40时，DEC454085，DEF90，CEF5，ECF45，EFC130，如图4，当DE与DC的夹角为40时，DEFDCF90，EFCEDC40，综上所述，EFC130或40【点拨】此题考查了正方形的判定以及性质，涉及了全等三角形的证明、等腰直角三角形等性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键23（1）AE=

30、AF，理由见分析；（2）CE=MF，理由见分析；（3）如图所示，见分析【分析】（1）根据两角互余的关系先求出BAF=DAE，再由ASA定理可求出ABFADE，由全等三角形的性质即可解答；（2）根据ABFADE及三角形外角的性质可求出AFM=AEC，根据两角互余的关系MAF=EAC，再由ASA定理求出AMFACE，可得CE=MF；（3）画出示意图，只要求出C、D、F共线，即可求出四边形AECF是正方形；解：（1）AE=AF理由：四边形ABCD是正方形，ABF=ADE=90，AB=ADBAF+BAE=90，DAE+BAE=90，BAF=DAE在ABF和ADE中，ABFADE（ASA）AE=AF；（

31、2）CE=MF理由：ABFADE，BAF=DAE，ABF+FAB=ADE+DAE，即AFM=AECMAF+FAC=90，EAC+FAC=90，MAF=EAC，在AMF和ACE中，AMFACE（ASA），CE=MF(3)如图所示过A作AEBC交BC于E，由于AB=AD，所以可以把ABE切下，拼到ADF的位置，C=BAD=90，B+ADC=180，ADF+ADC=180，C、D、F共线，AE=AF，AEC=ECF=AFC=90，四边形AECF是正方形【点拨】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、余角的性质、多边形的内角和等知识解题的关键是利用全等三角形进行割补24BCD的面积为【分析】根据问题情景的解题思路，如下图2，根据旋转的对应关系，可得ABCBDE（AAS），进而求出线段DE的长，根据三角形的面积公式计算即可.解：BCD的面积为 理由如下：过点D作BCD的BC边上的高DE如图2，边AB绕点B顺时针旋转90得到线段BD，BABD，ABD90，ABC+DBE90，ABC+A90，ADBE，在ABC和BDE中 ABCBDE（AAS），DEBCa，BCD的面积BCDE【点拨】本题主要考查了学生对新提出的问题情境的理解能力，学会和已有的知识（三角形全等）相结合是解答本题的关键.