【八年级下册】18.53 矩形、菱形、正方形（中考真题专练）（培优篇）（专项练习）-（人教版）.docx

1、专题18.53 矩形、菱形、正方形（中考真题专练）（培优篇）（专项练习）一、单选题1（2021安徽统考中考真题）在中，分别过点B，C作平分线的垂线，垂足分别为点D，E，BC的中点是M，连接CD，MD，ME则下列结论错误的是（）ABCD2（2020山东泰安中考真题）如图，点A，B的坐标分别为，点C为坐标平面内一点，点M为线段的中点，连接，则的最大值为（ ）ABCD3（2015广西北海中考真题）如图，在矩形OABC中，OA=8，OC=4，沿对角线OB折叠后，点A与点D重合，OD与BC交于点E，则点D的坐标是（ ）A（4，8）B（5，8）C（，）D（，）4（2022四川广安统考中考真题）如图，菱形A

2、BCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边AD、DC的中点，则PE + PF的最小值是（）A2BC1.5D5（2021安徽统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（）ABCD6（2022四川资阳中考真题）如图，正方形的对角线交于点O，点E是直线上一动点若，则的最小值是()ABCD7（2018四川攀枝花中考真题）如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点给出以下

3、结论：四边形AECF为平行四边形；PBA=APQ；FPC为等腰三角形；APBEPC；其中正确结论的个数为（）A1B2C3D48（2021湖南衡阳统考中考真题）如图，矩形纸片，点M、N分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在矩形的边上，记为点P，点D落在G处，连接，交于点Q，连接下列结论：四边形是菱形；点P与点A重合时，；的面积S的取值范围是其中所有正确结论的序号是（ ）ABCD9（2021贵州黔西中考真题）如图，在正方形中，分别是，的中点，交于点，连接下列结论：；其中正确的结论是（）ABCD10（2021黑龙江绥化统考中考真题）如图所示，在矩形纸片中，点分别是矩形的边上的动点，将该

4、纸片沿直线折叠使点落在矩形边上，对应点记为点，点落在处，连接与交于点则下列结论成立的是（）；当点与点重合时；的面积的取值范围是；当时，ABCD二、填空题11（2022辽宁抚顺统考中考真题）如图，在中，点P为斜边上的一个动点（点P不与点AB重合），过点P作，垂足分别为点D和点E，连接交于点Q，连接，当为直角三角形时，的长是_12（2020辽宁中考真题）一张菱形纸片的边长为，高等于边长的一半，将菱形纸片沿直线折叠，使点与点重合，直线交直线于点，则的长为_13（2021辽宁盘锦统考中考真题）如图，四边形ABCD为矩形，AB，AD，点P为边AB上一点以DP为折痕将DAP翻折，点A的对应点为点A连结AA

5、，AA 交PD于点M，点Q为线段BC上一点，连结AQ，MQ，则AQMQ的最小值是_14（2021四川绵阳统考中考真题）如图，在菱形中，为中点，点在延长线上，、分别为、中点，则_15（2020云南统考中考真题）已知四边形是矩形，点是矩形的边上的点，且若，则的长是_16（2021天津统考中考真题）如图，正方形的边长为4，对角线相交于点O，点E，F分别在的延长线上，且，G为的中点，连接，交于点H，连接，则的长为_17（2021云南统考中考真题）已知的三个顶点都是同一个正方形的顶点，的平分线与线段交于点D若的一条边长为6，则点D到直线的距离为_18（2020内蒙古鄂尔多斯统考中考真题）如图，已知正方形

6、ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AMAB，CBE由平移得到，若过点E作EHAC，H为垂足，则有以下结论：点M位置变化，使得DHC60时，2BEDM；无论点M运动到何处，都有DMHM；在点M的运动过程中，四边形CEMD不可能成为菱形；无论点M运动到何处，CHM一定大于135以上结论正确的有_（把所有正确结论的序号都填上）三、解答题19（2022吉林长春统考中考真题）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图，矩形为它的示意图他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图中他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在上，点B的对应点为点E，折痕为；再沿过点F

7、的直线折叠，使点C落在上，点C的对应点为点H，折痕为；然后连结，沿所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想【问题解决】(1) 小亮对上面的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：证明：四边形是矩形，由折叠可知，请你补全余下的证明过程【结论应用】(2) 的度数为_度，的值为_；(3) 在图的条件下，点P在线段上，且，点Q在线段上，连结、，如图，设，则的最小值为_（用含a的代数式表示）20（2020吉林长春统考中考真题）【教材呈现】下图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容【问题解决】（1）如图，已知矩形纸片，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上，点的对应点为，折痕为，点在上求证：

8、四边形是正方形【规律探索】（2）由【问题解决】可知，图中的为等腰三角形现将图中的点沿向右平移至点处（点在点的左侧），如图，折痕为，点在上，点在上，那么还是等腰三角形吗？请说明理由【结论应用】（3）在图中，当时，将矩形纸片继续折叠如图，使点与点重合，折痕为，点在上要使四边形为菱形，则_21（2022福建统考中考真题）已知，ABAC，ABBC(1) 如图1，CB平分ACD，求证：四边形ABDC是菱形；(2) 如图2，将（1）中的CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于BAC），BC，DE的延长线相交于点F，用等式表示ACE与EFC之间的数量关系，并证明；(3) 如图3，将（1）中的CDE绕点C顺时针旋转

9、（旋转角小于ABC），若，求ADB的度数22（2022安徽统考中考真题）已知四边形ABCD中，BCCD连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE(1) 如图1，若，求证：四边形BCDE是菱形；(2) 如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC（）求CED的大小；（）若AFAE，求证：BECF23（2022辽宁朝阳统考中考真题）【思维探究】如图1，在四边形ABCD中，BAD60，BCD120，ABAD，连接AC求证：BC+CDAC(1) 小明的思路是：延长CD到点E，使DEBC，连接AE根据BAD+BCD180，推得B+ADC180，从而得到BADE，然后证明ADEA

10、BC，从而可证BC+CDAC，请你帮助小明写出完整的证明过程(2) 【思维延伸】如图2，四边形ABCD中，BADBCD90，ABAD，连接AC，猜想BC，CD，AC之间的数量关系，并说明理由(3) 【思维拓展】在四边形ABCD中，BADBCD90，ABAD，AC与BD相交于点O若四边形ABCD中有一个内角是75，请直接写出线段OD的长24（2022贵州黔东南统考中考真题）阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：如图，和都是等边三角形，点在上求证：以、为边的三角形是钝角三角形(1)【探究发现】小明通过探究发现：连接，根据已知条件，可以证明，从而得出为钝角三角形，故以、为边

11、的三角形是钝角三角形请你根据小明的思路，写出完整的证明过程(2)【拓展迁移】如图，四边形和四边形都是正方形，点在上试猜想：以、为边的三角形的形状，并说明理由若，试求出正方形的面积参考答案1A【分析】设AD、BC交于点H，作于点F，连接EF延长AC与BD并交于点G由题意易证，从而证明ME为中位线，即，故判断B正确；又易证，从而证明D为BG中点即利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求出，故判断C正确；由、和可证明再由、和可推出 ，即推出，即，故判断D正确；假设，可推出，即可推出由于无法确定的大小，故不一定成立，故可判断A错误解：如图，设AD、BC交于点H，作于点F，连接EF延长AC与BD并交于点

12、GAD是的平分线，HC=HF，AF=AC在和中，AEC=AEF=90，C、E、F三点共线，点E为CF中点M为BC中点，ME为中位线，故B正确，不符合题意；在和中，即D为BG中点在中，故C正确，不符合题意；，AD是的平分线， ，故D正确，不符合题意；假设，在中，无法确定的大小，故原假设不一定成立，故A错误，符合题意故选A【点拨】本题考查角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，三角形中位线的判定和性质以及含角的直角三角形的性质等知识，较难正确的作出辅助线是解答本题的关键2B【分析】如图所示，取AB的中点N，连接ON，MN，根据三角形的三边关系可知OMON+MN，则当ON与MN共线

13、时，OM= ON+MN最大，再根据等腰直角三角形的性质以及三角形的中位线即可解答解：如图所示，取AB的中点N，连接ON，MN，三角形的三边关系可知OMON+MN，则当ON与MN共线时，OM= ON+MN最大，则ABO为等腰直角三角形，AB=，N为AB的中点，ON=，又M为AC的中点，MN为ABC的中位线，BC=1，则MN=，OM=ON+MN=，OM的最大值为故答案选：B【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质以及三角形中位线的性质，解题的关键是确定当ON与MN共线时，OM= ON+MN最大3C解：矩形ABCD中，OA=8，OC=4，BC=OA=8，AB=OC=4，由折叠得到OD=OA=BC，AO

14、B=DOB，ODB=BAO=90，在RtCBP和RtDOB中，CB=DO，OB=BO，RtCBPRtDOB（HL），CBO=DOB，OE=EB，设CE=x，则EB=OE=8x，在RtCOE中，根据勾股定理得：，解得：x=3，CE=3，OE=5，DE=3，过D作DFBC，可得COEFDE，即，解得：DF=，EF=，DF+OC=，CF=，则D（，），故选C【点拨】1翻折变换（折叠问题）；2坐标与图形性质；3综合题4A【分析】取AB中点G点，根据菱形的性质可知E点、G点关于对角线AC对称，即有PE=PG，则当G、P、F三点共线时，PE+PF=PG+PF最小，再证明四边形AGFD是平行四边形，即可求得

15、FG=AD解：取AB中点G点，连接PG，如图，四边形ABCD是菱形，且边长为2，AD=DC=AB=BC=2，E点、G点分别为AD、AB的中点，根据菱形的性质可知点E、点G关于对角线AC轴对称，PE=PG，PE+PF=PG+PF，即可知当G、P、F三点共线时，PE+PF=PG+PF最小，且为线段FG，如下图，G、P、F三点共线，连接FG，F点是DC中点，G点为AB中点，在菱形ABCD中，四边形AGFD是平行四边形，FG=AD=2，故PE+PF的最小值为2，故选：A【点拨】本题考查了菱形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质等知识，找到E点关于AC的对称点是解答本题的关键5A【分析】依次求出

16、OE=OF=OG=OH，利用勾股定理得出EF和OE的长，即可求出该四边形的周长解：HFBC,EGAB,BEO=BFO=90，A=120，B=60，EOF=120，EOH=60，由菱形的对边平行，得HFAD,EGCD，因为O点是菱形ABCD的对称中心，O点到各边的距离相等，即OE=OF=OG=OH，OEF=OFE=30，OEH=OHE=60，HEF=EFG=FGH=EHG=90，所以四边形EFGH是矩形；设OE=OF=OG=OH=x，EG=HF=2x，如图，连接AC，则AC经过点O，可得三角形ABC是等边三角形，BAC=60，AC=AB=2,OA=1,AOE=30，AE=，x=OE=四边形EFG

17、H的周长为EF+FG+GH+HE=,故选A【点拨】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等内容，要求学生在理解相关概念的基础上学会应用，能分析并综合运用相关条件完成线段关系的转换，考查了学生的综合分析与应用的能力6D【分析】本题为典型的将军饮马模型问题，需要通过轴对称，作点A关于直线BC的对称点，再连接，运用两点之间线段最短得到为所求最小值，再运用勾股定理求线段的长度即可解：如图所示，作点A关于直线BC的对称点，连接，其与BC的交点即为点E，再作交AB于点F，A与关于BC对称，当且仅当，O，E在同一条线上的时候和最小，如图所示，此时，正方形，

18、点O为对角线的交点，对称，在中，故选：D【点拨】本题为典型的将军饮马模型，熟练掌握轴对称的性质，并运用勾股定理求线段长度是解题关键。7B【分析】根据三角形内角和为180易证PAB+PBA=90，易证四边形AECF是平行四边形，即可解题；根据平角定义得：APQ+BPC=90，由正方形可知每个内角都是直角，再由同角的余角相等，即可解题；根据平行线和翻折的性质得：FPC=PCE=BCE，FPCFCP，且PFC是钝角，FPC不一定为等腰三角形；当BP=AD或BPC是等边三角形时，APBFDA，即可解题解：如图，EC，BP交于点G；点P是点B关于直线EC的对称点，EC垂直平分BP，EP=EB，EBP=E

19、PB，点E为AB中点，AE=EB，AE=EP，PAB=PBA，PAB+PBA+APB=180，即PAB+PBA+APE+BPE=2（PAB+PBA）=180，PAB+PBA=90，APBP，AFEC；AECF，四边形AECF是平行四边形，故正确；APB=90，APQ+BPC=90，由折叠得：BC=PC，BPC=PBC，四边形ABCD是正方形，ABC=ABP+PBC=90，ABP=APQ，故正确；AFEC，FPC=PCE=BCE，PFC是钝角，当BPC是等边三角形，即BCE=30时，才有FPC=FCP，如右图，PCF不一定是等腰三角形，故不正确；AF=EC，AD=BC=PC，ADF=EPC=90

20、，RtEPCFDA（HL），ADF=APB=90，FAD=ABP，当BP=AD或BPC是等边三角形时，APBFDA，APBEPC，故不正确；其中正确结论有，2个，故选B【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，矩形的性质，翻折变换，平行四边形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键8C【分析】根据矩形的性质与折叠的性质，证明出，通过等量代换，得到PM=CN，则由一组邻边相等的平行四边形是菱形得到结论正确；用勾股定理，由菱形的性质对角线互相垂直，再用勾股定理求出；当过点D时，最小面积，当P点与A点重合时，S最大为，得出答案解：如图1，折叠，NC=NP，PM=C

21、N，四边形为平行四边形，平行四边形为菱形，故正确，符合题意；当点P与A重合时，如图2所示设，则，在中，即，解得：，又四边形为菱形，且，故错误，不符合题意当过点D时，如图3所示：此时，最短，四边形的面积最小，则S最小为，当P点与A点重合时，最长，四边形的面积最大，则S最大为，故正确，符合题意故答案为：故选：C【点拨】本题主要考查了菱形的判定与性质、折叠问题、勾股定理的综合应用，熟练掌握菱形的判定定理与性质定理、勾股定理是解决本题的关键9D【分析】根据正方形的性质得到 AB=BC=CD=AD， BBCD90，得到，根据全等三角形的性质得到 ECBCDF，CEDF，故正确；求得CGD90，根据垂直的

22、定义得到 CE DF，故正确；延长CE交DA的延长线 于H，根据线段中点的定义得到AE=BE，根 据全等三角形的性质得到BC=AH=AD，由AG是斜边的中线，得到， 求得ADGAGD，根据余角的性质得到 AGECDF，故正确解：四边形是正方形，分别是，的中点，在与中，故正确；，故正确；，如图，延长交的延长线于，AD/BC，AHE=BCE，点是的中点，是斜边的中线，故正确；故选：D【点拨】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用10D【分析】根据题意可知四边形BFGE为菱形，所以EFBG且BN=GN，若B

23、N=AB，则BG=2AB=6，又因为点E是AD边上的动点，所以3BG从而判断不正确；如图，过点E作EHBC于点H，再利用勾股定理求解即可；当点E与点A重合时，的面积有最小值，当点G与点D重合时的面积有最大值故因为，则EG=BF=6-=根据勾股定理可得ME= ，从而可求出MEG的面积解：根据题意可知四边形BFGE为菱形，EFBG且BN=GN，若BN=AB，则BG=2AB=6，又点E是AD边上的动点，3BG故错误；如图，过点E作EHBC于点H，则EH=AB=3，在RtABE中即解得：AE=，BF=DE=6-=HF=-=在RtEFH中 =；故正确；当点E与点A重合时，如图所示，的面积有最小值= =，

24、当点G与点D重合时的面积有最大值=故故错误因为，则EG=BF=6-=根据勾股定理可得ME= ，故正确故选D【点拨】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的判定与性质，勾股定理，翻折的性质等知识，掌握相关知识找到临界点是解题的关键113或【分析】根据题意，由为直角三角形，可进行分类讨论：当；当两种情况进行分析，然后进行计算，即可得到答案解：根据题意，在中，当为直角三角形时，可分情况进行讨论当时，如图：则，；在直角ACP中，由勾股定理，则；当时，如图，四边形CDPE是矩形，CQ=PQ，AQCP，ACP是等腰三角形，即AP=AC=综合上述，的长是3或；故答案为：3或；【点拨】本题考查了等腰三角形的判定和性

25、质，矩形的判定和性质，勾股定理，30度直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，运用分类讨论的思想进行解题12或【分析】先根据题目中描述画出两种可能的图形，再结合勾股定理即可得解解：由题干描述可作出两种可能的图形MN交DC的延长线于点F，如下图所示高AE等于边长的一半在RtADE中，又沿MN折叠后，A与B重合MN交DC的延长线于点F，如下图所示同理可得，此时，故答案为：或【点拨】本题主要考查菱形的性质、折叠的性质、勾股定理等相关知识点，根据题意作出两种图形是解题关键13【分析】如图，作点A关于BC的对称点T，取AD的中点R，连接BT，QT，RT，RM想办法求出RM，RT，求出MT

26、的最小值，再根据QAQMQMQTMT，可得结论解：如图，作点A关于BC的对称点T，取AD的中点R，连接BT，QT，RT，RM四边形ABCD是矩形，RAT90，ARDR，AT2AB4，RT，A，A关于DP对称，AADP，AMD90，ARRD，RMAD，MTRTRM，MT4，MT的最小值为4，QAQMQTQMMT，QAQM4，QAQM的最小值为4故答案为：4【点拨】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是求出MT的最小值，属于中考常考题型144【分析】连接CG，过点C作CM AD，交AD的延长线于M，利用平行线的性质和三角形中位线定理可得CG= 2HF= ，由ABCD，得CD

27、M= A= 60，设DM= x，则CD= 2x，CM=x，在RtCMG中，借助勾股定理得，即可求出x的值，从而解决问题解：如图，连接CG，过点C作CM AD，交AD的延长线于M，F、H分别为CE、GE中点，FH是CEG的中位线，HF=CG，四边形ABCD是菱形， ADBC，ABCD，DGE =E，EHF= DGE，E=EHF，HF = EF = CF，CG= 2HF =，ABCD，CDM= A = 60，设DM= x，则CD= 2x，CM=x，点G为AD的中点，DG= x，GM=2x，在RtCMG中，由勾股定理得：，x=2，AB = CD= 2x= 4故答案为：4【点拨】本题主要考查了菱形的性

28、质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，有一定综合性，作辅助线，构造直角三角形，利用方程思想是解题的关键15 或【分析】根据，则在的中垂线上，作的中垂线交于 交于，所以：如图的都符合题意，先证明四边形是菱形，再利用菱形的性质与勾股定理可得答案解： ，在的中垂线上，作的中垂线交于 交于，所以：如图的都符合题意，矩形 四边形是菱形， ， ， 设 则 的长为： 或故答案为： 或【点拨】本题考查的是矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，线段的垂直平分线的性质，掌握以上知识是解题的关键16【分析】先作辅助线构造直角三角形，求出CH和MG的长，再求出MH的长，最后利用勾股定理求解即可解：解:如图,

29、作OKBC，垂足为点K，正方形边长为4，OK=2，KC=2，KC=CE，CH是OKE的中位线，作GMCD，垂足为点M，G点为EF中点，GM是FCE的中位线，在RtMHG中，故答案为：【点拨】本题综合考查了正方形的性质、三角形中位线定理、勾股定理等内容，解决本题的关键是能作出辅助线构造直角三角形，得到三角形的中位线，利用三角形中位线定理求出相应线段的长，利用勾股定理解直角三角形等173或或或【分析】将ABC放入正方形中，分ABC=90，BAC=90，再分别分AB=BC=6，AC=6，进行解答解：ABC三个顶点都是同一个正方形的顶点，如图，若ABC=90，则ABC的平分线为正方形ABCD的对角线，

30、D为对角线交点，过点D作DFAB，垂足为F，当AB=BC=6，则DF=BC=3；当AC=6，则AB=BC=，DF=BC=；如图，若BAC=90，过点D作DFBC于F，BD平分ABC，ABD=CBD，AD=DF，又BAD=BFD=90，BD=BD，BADBFD（AAS），AB=BF，当AB=AC=6，则BC=，BF=6，CF=，在正方形ABEC中，ACB=45，CDF是等腰直角三角形，则CF=DF=AD=；当BC=6，则AB=AC=，同理可得：，综上：点D到直线AB的距离为：3或或或，故答案为：3或或或【点拨】本题考查了正方形的性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角

31、形的判定和性质，知识点较多，解题时要结合题意画出符合题意的图形，分情况解答18【分析】正确证明ADM30，即可得出结论正确证明DHM是等腰直角三角形即可正确首先证明四边形CEMD是平行四边形，再证明，DMCD即可判断正确证明AHMBAC45，即可判断解：如图，连接DH，HM由题可得，AMBE，ABEMAD，四边形ABCD是正方形，EHAC，EMAD，AHE90，MEHDAH45EAH，EHAH，MEHDAH（SAS），MHEDHA，MHDH，MHDAHE90，DHM是等腰直角三角形，DMHM，故正确；当DHC60时，ADH604515，ADM451530，RtADM中，DM2AM，即DM2BE

32、，故正确；CDEM，ECDM，四边形CEMD是平行四边形，DMAD，ADCD，DMCD，四边形CEMD不可能是菱形，故正确，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AMAB，AHMBAC45，CHM135，故正确；由上可得正确结论的序号为故答案为：【点拨】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题19(1) 见分析(2) 22.5，(3) 【分析】（1）根据折叠的性质可得AD=AF，由HL可证明结论；（2）根据折叠的性质可得 证明是等腰直角三角形，可求出GF的长

33、，从而可得结论 ；（3）根据题意可知点F与点D关于AG对称，连接PD，则PD为PQ+FQ的最小值，过点P作PRAD，求出PR=AR=，求出DR，根据勾腰定理可得结论解：（1）证明：四边形是矩形，由折叠可知，由折叠得， 又AD=AF，AG=AG（2）由折叠得，又由得，又设则（3）如图，连接AG是FD的垂直平分线，即点F与点D关于AG轴对称，连接PD交AG于点Q，则PQ+FQ的最小值为PD的长；过点P作交AD于点R，又在中，的最小值为【点拨】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，最短路径问题，矩形的性质以及勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键20（1）见分析；（

34、2）是等腰三角形，见分析；（3）【分析】（1）由题意根据邻边相等的矩形是正方形进行分析证明即可（2）根据题意证明QFP=FPQ即可解决问题（3）由题意证明PFQ，PGA都是等边三角形，设QF=m，求出AB，AD（用m表示）即可解决问题解：（1）证明：如图中，四边形ABCD是矩形，A=ADA=90，由翻折可知，DAE=A=90，A=ADA=DAE=90，四边形AEAD是矩形，DA=DA，四边形AEAD是正方形（2）结论：PQF是等腰三角形理由：如图中，四边形ABCD是矩形，ABCD，QFP=APF，由翻折可知，APF=FPQ，QFP=FPQ，QF=QP，PFQ是等腰三角形（3）如图中，四边形PG

35、QF是菱形，PG=GQ=FQ=PF，QF=QP，PFQ，PGQ都是等边三角形，设QF=m，FQP=60，PQD=90，DQD=30，D=90，由翻折可知，故答案为：【点拨】本题属于四边形综合题，考查矩形的性质，正方形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题21(1) 见分析(2) ，见分析(3) 30【分析】（1）先证明四边形ABDC是平行四边形，再根据ABAC得出结论；（2）先证出，再根据三角形内角和，得到，等量代换即可得到结论；（3）在AD上取一点M，使得AMCB，连接BM，证得，得到，设，则，得到+的关系即可解：

36、（1），ACDC，ABAC，ABCACB，ABDC，CB平分ACD，四边形ABDC是平行四边形，又ABAC，四边形ABDC是菱形；（2）结论：证明：，ABAC，；（3）在AD上取一点M，使得AMCB，连接BM，ABCD，BMBD，设，则，CACD，即ADB30【点拨】本题考查了菱形的判定定理、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理等，灵活运用知识，利用数形结合思想，做出辅助线是解题的关键22(1) 见分析(2)（）；（）见分析【分析】（1）先根据DC=BC，CEBD，得出DO=BO，再根据“AAS”证明，得出DE=BC，得出四边形BCDE为平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形，

37、得出四边形BCDE为菱形；（2）（）根据垂直平分线的性质和等腰三角形三线合一，证明BEG=DEO=BEO，再根据BEG+DEO+BEO=180，即可得出；（）连接EF，根据已知条件和等腰三角形的性质，算出，得出，证明，再证明，即可证明结论解：（1）证明：DC=BC，CEBD，DO=BO，（AAS），四边形BCDE为平行四边形，CEBD，四边形BCDE为菱形（2）（）根据解析（1）可知，BO=DO，CE垂直平分BD，BE=DE，BO=DO，BEO=DEO，DE垂直平分AC，AE=CE，EGAC，AEG=DEO，AEG=DEO=BEO，AEG+DEO+BEO=180，（）连接EF，EGAC，AE=

38、AF，（AAS），【点拨】本题主要考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，菱形的判定，直角三角形的性质，作出辅助线，得出，得出，是解题的关键23(1)AC=BC+CD；理由见详解；(2)CB+CD=AC；理由见详解；(3)或【分析】（1）如图1中，延长CD到点E，使DE=BC，连接AE证明ADEABC（SAS），推出DAE=BAC，AE=AC，推出ACE的等边三角形，可得结论；（2）结论：CB+CD=AC如图2中，过点A作AMCD于点M，ANCB交CB的延长线于点N证明AMDANB（AAS），推出DM=BN，AM=AN，证明RtACMRtACN（HL），推出CM

39、=CN，可得结论；（3）分两种情形：如图3-1中，当CDA=75时，过点O作OPCB于点P，CQCD于点Q如图3-2中，当CBD=75时，分别求解即可解：（1）证明：如图1中，延长CD到点E，使DE=BC，连接AEBAD+BCD=180，B+ADC=180，ADE+ADC=180B=ADE，在ADE和ABC中，ADEABC（SAS），DAE=BAC，AE=AC，CAE=BAD=60，ACE的等边三角形，CE=AC，CE=DE+CD，AC=BC+CD；（2）解：结论：CB+CD=AC理由：如图2中，过点A作AMCD于点M，ANCB交CB的延长线于点NDAB=DCB=90，CDA+CBA=180，

40、ABN+ABC=180，D=ABN，AMD=N=90，AD=AB，AMDANB（AAS），DM=BN，AM=AN，AMCD，ANCN，ACD=ACB=45，AC=CM，AC=ACAM=AN，RtACMRtACN（HL），CM=CN，CB+CD=CNBN+CM+DM=2CM=AC；（3）解：如图3-1中，当CDA=75时，过点O作OPCB于点P，CQCD于点QCDA=75，ADB=45，CDB=30，DCB=90，CD=CB，DCO=BCO=45，OPCB，OQCD，OP=OQ，AB=AD=，DAB=90，BD=AD=2，OD=如图3-2中，当CBD=75时，同法可证，综上所述，满足条件的OD的

41、长为或【点拨】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题24(1) 钝角三角形；证明见详解(2) 直角三角形；证明见详解；S四边形ABCD=【分析】（1）根据等边三角形性质得出，BE=BD，AB=CB，EBD=ABC=60，再证EBADBC（SAS）AEB=CDB=60，AE=CD，求出ADC=ADB+BDC=120，可得ADC为钝角三角形即可；（2）以、为边的三角形是直角三角形，连结CG，根据正方形性质，得出EBG=ABC，EB=GB，AB=CB，B

42、EA=BGE=45，再证EBAGBC（SAS）得出AE=CG，BEA=BGC=45，可证AGC为直角三角形即可；连结BD，根据勾股定理求出AC=，然后利用正方形的面积公式求解即可解：（1）证明：ABC与EBD均为等边三角形，BE=BD，AB=CB，EBD=ABC=60，EBA+ABD=ABD+DBC，EBA=DBC，在EBA和DBC中，EBADBC（SAS），AEB=CDB=60，AE=CD，ADC=ADB+BDC=120，ADC为钝角三角形，以、为边的三角形是钝角三角形（2）证明：以、为边的三角形是直角三角形连结CG，四边形和四边形都是正方形，EBG=ABC，EB=GB，AB=CB，EG为正方形的对角线，BEA=BGE=45，EBA+ABG=ABG+GBC=90，EBA=GBC，在EBA和GBC中，EBAGBC（SAS），AE=CG，BEA=BGC=45，AGC=AGB+BGC=45+45=90，AGC为直角三角形，以、为边的三角形是直角三角形；连结BD，AGC为直角三角形，由（2）可知，AE=CG，AC=，四边形ABCD为正方形，AC=BD=，S四边形ABCD=【点拨】本题考查等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，正方形的性质，勾股定理，掌握等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，正方形的性质，勾股定理是解题关键