数学●全国Ⅱ卷丨2025年普通高等学校招生全国统一考试试卷及答案.pdf

1、1/102025 年全国统一高考数学试卷（新高考 II 卷）注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。一、单选题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题 目要求的。1.样本数据 2，8，14，16，20 的平均数为()A 8B 9C 12D 18【答案】C【解析】15 2+8+14+16+20=15 60=122

2、.已知 =1+i，则1z1=()A B iC 1D 1【答案】A【解析】11=1=i3.已知集合 A=4,0,1,2,8,B=xx3=x，则 =()A 0,1,2B 1,2,8C 2,8D 0,1【答案】D【解析】3=，即 3 =0，即 +1 1=0 解得 =0,1 或 1即 =0,1,1，所以 =0,14.不等式41 2 的解集是()A 2 1B 2C 2 1【答案】C【解析】41 2 21 0+21 0 1+2 0 1 0 2 0 的焦点为 ，点 在 上，过 作 的准线的垂线，垂足为 .若直线 的方程为 y=2x+2，则 =()A 3B 4C 5D 6【答案】C【解析】由直线 y=2x+2

3、 知 1,0，所以2=1,=2所以抛物线方程为 2=4，准线为 =1所以 1,4，所以 =4，代入抛物线方程得 4,4所以 =2+=1+4=57.记 为等差数列 的前 项和，若 S3=6,S5=5，则 6=()A 20B 15C 10D5【答案】B【解析】因为 3=32=6，所以 2=2，因为 5=53=5，所以 3=1所以 的公差 =3 2=3 所以 1=5，所以 6=61+15=6 5 15 3=158.已知 0 ,cos2=55，则 sin 4=()A210B25C 3 210D 7 1210【答案】D【解析】由 0 可知 0 2 0，若 3=7,3=1，则()A =12B 5=19C

4、5=8D +=8【答案】AD【解析】由题可知1+1+12=812=1 0=121=4所以 =12 33/10又 5=1253=14,5=4 1 125112=314+=123+4 1 121 12=123+8 8 12=8故选 10.已知 是定义在 上的奇函数，且当 0 时，=2 3 +2，则()A f 0=0B 当 0 时，=2 3 2C 2 当且仅当 3D =1 是 的极大值点【答案】ABD【解析】:由奇函数的性质可知，定义域中有 0 的奇函数即得 f 0=0，所以正确:当 0,=2 3 e+2又因为 f x=f x，所以 =2 3 2，所以正确、:当 0 时，=+3 1 e所以 在 0,

5、1 ，在 1,+0 时，1 1=2e+2 0所以 的图象大致为因为 2e 2 3，所以 错误由奇函数图象关于原点对称可知 正确11.双 曲线:22 22=1 0,0的 左右 焦 点 分别 是 1,2，左、右 顶 点分 别 为1,2，以 12 为直径的圆与 的一条渐近线交于,两点，且 1=56，则A 12=6B 1=2 24/10C 的离心率为13D 当 a=2 时，四边形 12 的面积为 8 3【答案】ACD【解析】因为 12 与 1 互相平行，所以四边形 12 是平行四边形，所以 12=6,正确以 12 为直径的圆的方程为 2+2=2不妨设渐近线 =由2+2=2=，设 ,又因为 2,0 所以

6、 2 12 21 中 12=6,所以 1:2=2:3，所以 错误所以 1=122+22=42+2=32+2由 1=2 12 得32+2=4即 2=132，即 e2=13，所以 =13，所以 正确因为当 a=2 时，2=26，从而 2=24，即 =2 6所以 12=221=2 2 12=2=2 2 2 6=8 3，所以 正确三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。12.已知平面向量 =,1,=1,2，若 ，则=_.【答案】2【解析】因为 =,1 1,2=1,1 2所以 =+1 2=1 =0，解得 =1所以=2+1=213.若 =2 是函数 =1 2 的极值点，则 0=_.【答

7、案】4【解析】因为 =2 3+2 5/10所以 =2 3 +2 3+2由 f 2=0 得:2 =0，所以 =2所以 =1 2 2 且 =2 3 2+1 2=23 4,434343,222,+00+极大值极小值即 =2 时，=2 确定 的极值点所以 0=414.一个底面半径为 4 cm，高为 9 cm 的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为_ .【答案】52【解析】设铁球半径为 所以 42=9 2 2+8 2 2即 42 68+145=0即 2 292 5=0解得:=52 或292（舍）四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证

8、明过程或演算步骤。15.（本小题 13 分）已知函数 =cos 2+0 ,0=12，（1）求 ；（2）设函数 =+6，求 g x 的值域和单调区间.【答案】（1）=3；（2）值域为 3,3，单调增区间为 712 +,12+,6/10，单调递减区间为 12+,512 +,.【解析】（1）因为 0=cos=12 且 0 0 的离心率为22.长轴长为 4.（1）求 的方程;（2）过点（0，2）的直线 与 交于,两点，为坐标原点.若 的面积为2.求 .【答案】（1）24+22=1；（2）5【解析】（1）2=4，所以=2.离心率=22，而离心率公式为=，因此=2 22=2.根据椭圆的性质，2=2 2=4

9、 2=2，所以椭圆的方程为24+22=1.（2）斜率不存在时舍去 设 方程为 =2,1,1,2,2联立=224+22=1 得 1+22 2 8+4=0所以 1+2=81+22,12=41+227/10所以 =1+2 1 2=2 8 2+142+2442+2=42+122122+1=21+2所以 =12 21+2 42+122122+1=422122+1=2，解得2=22所以 =432+1 23+1=517.（本小题 15 分）如图，在四边形 中，/,=90，为 的中点，点 在 上，/,=3,=2，将四边形 沿 翻折至四边形 ，使得面 与面 所成的二面角为 60.（1）证明:/平面 ;（2）求面

10、 与面 所成的二面角的正弦值.【答案】（1）证明略；（2）427【解析】（1）面/面 /面（2）如图建系:法向量 =3,3,18/10法向量 =3,0,1所以 cos=cos,=317 4=77所以 =42718.（本小题 17 分）已知函数 f x=ln 1+x x+12 x2 kx3，其中 0 13.（1）证明:在区间 0,+存在唯一的极值点和唯一的零点;（2）设 1,2 分别为 在区间 0,+的极值点和零点.（i）设函数 =1+1 ，证明:在区间 0,1 单调递减;（ii）比较 21 与 2 的大小，并证明你的结论.【答案】证明见解析【解析】定义域:0,+=1+1 1+32 =1+1 2

11、+1 6 =2+1 3 6所以 0 0,+，使得 0=0所以 在 0,0 ,3,+0=0,+,)所以 1 0,+，使得 4=0所以 在 0,4 ,4+0=0,+,0,+,0所以 有唯一极大值，也有唯一零点 =1+1 =1+1 =1+1 0所以 在 0,1 0=1+1=0所以 0所以 在 0,1 9/10 1=21 0 0所以 21 0g 0=0 1=1 0 0所以 21 219.（本小题 17 分）甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得 1 分，负者得 0 分.设每个球甲胜的概率为12 1，乙胜的概率为,+=1，且各球的胜负相互独立，对正整数 2，记 为打完 个球后甲比乙至少多得 2 分的概率

12、，为打完 个球后乙比甲至少多得 2 分的概率.（1）求 3,1（用 表示）;（2）若4343=4，求 ;（3）证明:对任意正整数,2+1 2+1 2 2 2+2 2+2.【答案】（1）3=3,1=4+113；（2）=23；（3）证明略【解析】（1）3=3,3=31=4+113,1=4+113（2）4343=4 4+4334+433=4 433433=4所以 =23,=13（3）设甲左 局得分 先证左边 2 2 21 2+1+11 2+11+1即 显然成立在证明右边 2+2 胜 +2 即前 2 胜 +2 或前 2 胜 +1 再胜 1 局或前 2 胜 再胜一局2+2=2+2+2=2+2+2=+12+2+2=2=2 2 2=+1+2=22+2 2=2 2=+1+2 2=10/102+2 2 2+2 2 2 2 2=+1+2 0 2 2 0