新高考新题型第19题新定义压轴解答题归纳（学生版）.pdf

1、1新高考新题型第 19 题新定义压轴解答题全归纳【目录】考点一：集合新定义考点二：函数与导数新定义考点三：立体几何新定义考点四：三角函数新定义考点五：平面向量与解三角形新定义考点六：数列新定义考点七：圆锥曲线新定义考点八：概率与统计新定义考点九：高等数学背景下新定义创新意识与创新应用是新时代的主旋律，也是高中数学教学与学习中需要不断渗透与培养的一种基本精神与能力！借助“新定义”，可以巧妙进行数学知识中的概念类比、公式设置、性质应用、知识拓展与创新应用等的交汇与融合，很好地融入创新意识与创新应用.所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了高中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求同学们

2、读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型。考点要求考题统计考情分析集合新定义2018 年北京卷第 20 题，14 分【命题预测】2024 年九省联考之后，第 19 题将考查新定义问题。现在也有部分地区考试采用该结构考试，比如安徽合肥一中省十联考等。预测 2024 年新高考试卷第 19 题结构考查新定义问题，压轴题，难度比较大数列新定义2023 年北京卷第 21 题，15 分2022 年北京卷第 21 题，15 分2021 年北京卷第 21 题，15 分1.代数型新定义问题的常见考查形式(1)概念中的新定义；(2)运算中的新定义；2(3)规则的新定义等2.解

3、决“新定义”问题的方法在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决！1(2018 北京)设 n 为正整数，集合 A=|=(t1，t2，tn)，tk 0，1，k=1，2，n，对于集合 A中的任意元素 =(x1，x2，xn)和 =(y1，y2，yn)，记 M(，)=12(x1+y1-|x1-y1|)+(x2+y2-|x2-y2|)+(xn+yn-|xn-yn|)(

4、)当 n=3 时，若 =(1，1，0)，=(0，1，1)，求 M(,)和 M(,)的值；()当 n=4 时，设 B 是 A 的子集，且满足：对于 B 中的任意元素，当，相同时，M(,)是奇数；当，不同时，M(,)是偶数求集合 B 中元素个数的最大值；()给定不小于 2 的 n，设 B 是 A 的子集，且满足：对于 B 中的任意两个不同的元素，M(,)=0，写出一个集合 B，使其元素个数最多，并说明理由2(2023 北京)数列 an，bn 的项数均为 m(m 2)，且 an，bn 1，2，m，an，bn 的前 n 项和分别为 An，Bn，并规定 A0=B0=0对于 k 0，1，2，m，定义 rk

5、=maxi|Bi Ak，i 0，1，2，m，其中，maxM 表示数集 M 中最大的数()若 a1=2，a2=1，a3=3，b1=1，b2=3，b3=3，求 r0，r1，r2，r3的值；()若 a1 b1，且 2rj rj+1+rj-1，j=1，2，m-1，求 rn；()证明：存在 0 p q m，0 r s m，使得 Ap+Bs=Aq+Br33(2022 北京)已知 Q:a1，a2，ak为有穷整数数列给定正整数 m，若对任意的 n 1，2，m，在 Q 中存在 ai，ai+1，ai+2，ai+j(j 0)，使得 ai+ai+1+ai+2+ai+j=n，则称 Q 为 m-连续可表数列()判断 Q:

6、2，1，4 是否为 5-连续可表数列？是否为 6-连续可表数列？说明理由；()若 Q:a1，a2，ak为 8-连续可表数列，求证：k 的最小值为 4；()若 Q:a1，a2，ak为 20-连续可表数列，且 a1+a2+ak 20，求证：k 74(2021 北京)设 p 为实数若无穷数列 an 满足如下三个性质，则称 an 为p数列：a1+p 0，且 a2+p=0；a4n-1 a4n(n=1，2，)；am+n am+an+p，am+an+p+1(m=1，2，；n=1，2，)()如果数列 an 的前四项为 2，-2，-2，-1，那么 an 是否可能为2数列？说明理由；()若数列 an 是0数列，求

7、 a5；()设数列 an 的前 n 项和为 Sn，是否存在p数列 an，使得 Sn S10恒成立？如果存在，求出所有的 p；如果不存在，说明理由4考点一：集合新定义1(2024北京顺义高三统考期末)给定正整数 n 3，设集合 A=a1,a2,an若对任意 i，j 1,2,n，ai+aj，ai-aj两数中至少有一个属于 A，则称集合 A 具有性质 P(1)分别判断集合 1,2,3与-1,0,1,2是否具有性质 P；(2)若集合 A=1,a,b 具有性质 P，求 a+b 的值；(3)若具有性质 P 的集合 B 中包含 6 个元素，且 1 B，求集合 B2(2024北京高三北京四中校考期末)已知集合

8、 S=a1,a2,ann 3，集合 T x,yx S,y S,x y，且满足，ai,aj S i,j=1,2,n,i j，ai,aj T 与 aj,ai T 恰有一个成立.对于 T 定义 dT a,b=1,a,b T0,b,a T，以及 lT ai=nj=1,jidT ai,aj，其中 i=1,2,n.例如 lT a2=dT a2,a1+dT a2,a3+dT a2,a4+dT a2,an.(1)若 n=4，a1,a2,a3,a2,a2,a4 T，求 lT a2的值及 lT a4的最大值；(2)从 lT a1,lT an中任意删去两个数，记剩下的数的和为 M，求 M 的最小值(用 n 表示)；

9、(3)对于满足 lT ai 2,n N)的所有子集中的自邻集的个数为 an.(1)直接写出 A4的所有自邻集；(2)若 n 为偶数且 n 6，求证：An的所有含 5 个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；(3)若 n 4，求证：an 2an-1.6考点二：函数与导数新定义1(2024广东茂名统考一模)若函数 f x在 a,b上有定义，且对于任意不同的 x1,x2 a,b，都有f x1-f x2 k x1-x2，则称 f x为 a,b上的“k 类函数”.(1)若 f x=x22+x，判断 f x是否为 1,2上的“3 类函数”；(2)若 f x=a x-1ex-x22-xlnx 为 1,e上的“2

10、 类函数”，求实数 a 的取值范围；(3)若 f x为 1,2上的“2 类函数”，且 f 1=f 2，证明：x1，x2 1,2，f x1-f x2 1-ln2；若fn x没有最小值，说明理由(注：e=2.71828 是自然对数的底数)73(2024上海嘉定统考一模)对于函数 y=f(x)，把 f(x)称为函数 y=f(x)的一阶导，令 f(x)=g(x)，则将 g(x)称为函数 y=f(x)的二阶导，以此类推 得到 n 阶导.为了方便书写，我们将 n 阶导用 f(x)n表示.(1)已知函数 f(x)=ex+alnx-x2，写出其二阶导函数并讨论其二阶导函数单调性.(2)现定义一个新的数列：在

11、y=f(x)取 a1=f(1)作为数列的首项，并将 f(1+n)n,n 1 作为数列的第 n+1 项.我们称该数列为 y=f(x)的“n 阶导数列”若函数 g(x)=xn(n 1)，数列 an 是 y=g(x)的“n 阶导数列”，取 Tn 为 an 的前 n 项积，求数列TnTn-1的通项公式.在我们高中阶段学过的初等函数中，是否有函数使得该函数的“n 阶导数列”为严格减数列且为无穷数列，请写出它并证明此结论.(写出一个即可)4(2024上海高三上海市七宝中学校联考阶段练习)已知函数 f x=ex-x，g x=e-x+x，其中 e 为自然对数的底数，设函数 F x=af x-g x，(1)若

12、a=e，求函数 y=F x的单调区间，并写出函数 y=F x-m 有三个零点时实数 m 的取值范围；(2)当 0 a 0 对任意 a 0,1恒成立，求实数 t 的取值范围.(3)对于函数 y=f x，若实数 x0满足 f x0f x0+F=D，其中 F、D 为非零实数，则 x0称为函数 f x的“F-D-笃志点”.已知函数 f x=ex,x 01x+a,x 0 且 a 1)的图象与函数 y=x 的图象有公共点，证明：g x为“T 函数”；(3)若函数 h(x)=cosmx 为“T 函数”，求实数 m 的取值范围2 若对于定义在 R 上的连续函数 f(x)，存在常数 a(a R)，使得 f(x+

13、a)+af(x)=0 对任意的实数 x 成立，则称 f(x)是回旋函数，且阶数为 a.(1)试判断函数 f(x)=sinx 是否是一个阶数为 1 的回旋函数，并说明理由；(2)已知 f(x)=sinx 是回旋函数，求实数 的值；(3)若回旋函数 f(x)=sinx-1(0)在 0,1恰有 100 个零点，求实数 的值12考点五：平面向量与解三角形新定义1 已知 O 为坐标原点，对于函数 f(x)=asinx+bcosx，称向量 OM=(a,b)为函数 f(x)的相伴特征向量，同时称函数 f(x)为向量 OM的相伴函数(1)记向量 ON=(1,3)的相伴函数为 f(x)，若当 f(x)=85 且

14、 x -3,6时，求 sinx 的值；(2)已知 A(-2,3)，B(2,6)，OT=(-3,1)为 h(x)=msin x-6的相伴特征向量，(x)=h x2-3，请问在 y=(x)的图象上是否存在一点 P，使得 AP BP.若存在，求出 P 点坐标；若不存在，说明理由；(3)记向量 ON=(1,3)的相伴函数为 f(x)，若当 x 0,1112时不等式 f(x)+kf x+2 0 恒成立，求实数 k 的取值范围2 如图，半圆 O 的直径为 2cm，A 为直径延长线上的点，OA=2cm，B 为半圆上任意一点，以 AB 为一边作等边三角形 ABC.设 AOB=.(1)当 =3 时，求四边形 O

15、ACB 的周长；(2)克罗狄斯 托勒密(Ptolemy)所著的天文集中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段 OC 的长取最大值时，求 AOC.(3)问：B 在什么位置时，四边形 OACB 的面积最大，并求出面积的最大值133 将平面直角坐标系中的一列点 A1 1,a1、A2 2,a2、An n,an、，记为 An，设 f n=AnAn+1j，其中 j 为与 y 轴方向相同的单位向量若对任意的正整数 n，都有 f n+1 f n，则称 An为 T 点列(1)判断 A1 1,1、A2 2

16、,12、A3 3,13、An n,1n、是否为 T 点列，并说明理由；(2)若 An为 T 点列，且 a2 a1.任取其中连续三点 Ak、Ak+1、Ak+2，证明 AkAk+1Ak+2为钝角三角形；(3)若 An为 T 点列，对于正整数 k、l、m k l m，比较 AlAm+k j 与 Al-kAm j 的大小，并说明理由4 对于给定的正整数 n，记集合 Rn=|=(x1,x2,x3,xn),xj R,j=1,2,3,n，其中元素 称为一个 n 维向量特别地，0=(0,0,0)称为零向量设 k R，=(a1,a2,an)Rn，=(b1,b2,bn)Rn，定义加法和数乘：+=(a1+b1,a2

17、+b2,an+bn)，k=(ka1,ka2,kan).对一组向量 1，2，s(s N+,s 2)，若存在一组不全为零的实数 k1，k2，ks，使得 k11+k22+kss=0，则称这组向量线性相关否则，称为线性无关()对 n=3，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由 =(1,1,1)，=(2,2,2)；=(1,1,1)，=(2,2,2)，=(5,1,4)；=(1,1,0)，=(1,0,1)，=(0,1,1)，=(1,1,1).()已知向量，线性无关，判断向量 +，+，+是线性相关还是线性无关，并说明理由()已知 m(m 2)个向量 1，2，m 线性相关，但其中任意 m-1 个都线

18、性无关，证明下列结论：()如果存在等式 k11+k22+kmm=0(ki R,i=1,2,3,m)，则这些系数 k1，k2，km或者全为零，或者全不为零；()如果两个等式 k11+k22+kmm=0，l11+l22+lmm=0(ki R,li R,i=1,2,3,m)同时成立，其中 l1 0，则 k1l1=k2l2=kmlm.14考点六：数列新定义1(2024北京高三北京市第五中学校考阶段练习)若数列 an满足：an 0,1,n N*，且 a1=1，则称an为一个 X 数列.对于一个 X 数列 an，若数列 bn满足：b1=1，且 bn+1=an-an+12bn,n N*，则称 bn为 an的

19、伴随数列.(1)若 X 数列 an中，a2=1，a3=0，a4=1，写出其伴随数列 bn中 b2,b3,b4的值；(2)若 an为一个 X 数列，bn为 an的伴随数列.证明：“an为常数列”是“bn为等比数列”的充要条件；求 b2019的最大值.2(2024北京西城北京师大附中校考模拟预测)已知 A 为有限个实数构成的非空集合，设 A+A=ai+aj ai,aj A，A-A=ai-aj ai,aj A，记集合 A+A 和 A-A 其元素个数分别为 A+A，A-A.设 n A=A+A-A-A.例如当 A=1,2时，A+A=2,3,4，A-A=-1,0,1，A+A=A-A，所以 n A=0.(1

20、)若 A=1,3,5，求 n A的值；(2)设 A 是由 3 个正实数组成的集合且 A+A A=,A=A 0，证明：n A-n A为定值；(3)若 an是一个各项互不相同的无穷递增正整数数列，对任意 n N*，设 An=a1,a2,an，bn=n An.已知 a1=1,a2=2，且对任意 n N*,bn 0，求数列 an的通项公式.153(2024上海浦东新华师大二附中校考模拟预测)已知数列 an：1，-2，-2，3，3，3，-4，-4，-4，-4，(-1)k-1k,(-1)k-1kk 个，即当(k-1)k2 n k(k+1)2(k N*)时，an=(-1)k-1k，记 Sn=a1+a2+an

21、(n N*).(1)求 S2020的值；(2)求当 k(k+1)2 0)为.(1)分别判断点 A 0,1，B(1,2)是否在 的某条直线上，并说明理由；(2)对于给定的正实数 x0，点 P(x0,y0)不在 的任意一条直线上，求 y0的取值范围(用 x0表示)；(3)直线族的包络被定义为这样一条曲线：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上每一点处的切线都是该直线族中的某条直线求 的包络和 的包络172(2024贵州贵阳高三统考期末)阅读材料：在平面直角坐标系中，若点 M x,y与定点 F c,0(或 F-c,0的距离和它到定直线 l:x=a2c(或 l:x=-a2c)的距离之

22、比是常数 ca(0 c 0)，则得到方程 x2a2+y2b2=1(a b 0)，所以点 M 的轨迹是一个椭圆，这是从另一个角度给出了椭圆的定义.这里定点 F c,0是椭圆的一个焦点，直线 l:x=a2c 称为相应于焦点 F 的准线；定点 F-c,0是椭圆的另一个焦点，直线 l:x=-a2c 称为相应于焦点 F 的准线.根据椭圆的这个定义，我们可以把到焦点的距离转化为到准线的距离.若点 M x,y在椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)上，F c,0是椭圆的右焦点，椭圆的离心率 e=ca，则点 M x,y到准线 l:x=a2c 的距离为 a2c-x，所以 MF=ca a2c-x=a-ca x

23、=a-ex，我们把这个公式称为椭圆的焦半径公式.结合阅读材料回答下面的问题：已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的右焦点为 F，点 P 是该椭圆上第一象限的点，且 PF x 轴，若直线 l:x=9 是椭圆右准线方程，点 P 到直线 l 的距离为 8.(1)求点 P 的坐标；(2)若点 M,N 也在椭圆 C 上且 MNP 的重心为 F，判断 FM,FP,FN是否能构成等差数列？如果能，求出该等差数列的公差，如果不能，说明理由.183(2024重庆高三重庆八中校考阶段练习)类似平面解析几何中的曲线与方程，在空间直角坐标系中，可以定义曲面(含平面)S 的方程，若曲面 S 和三元方程 F

24、 x,y,z=0 之间满足：曲面 S 上任意一点的坐标均为三元方程 F x,y,z=0 的解；以三元方程 F x,y,z=0 的任意解 x0,y0,z0为坐标的点均在曲面 S上，则称曲面 S 的方程为 F x,y,z=0，方程 F x,y,z=0 的曲面为 S.已知曲面 C 的方程为 x21+y21-z24=1.(1)已知直线 l 过曲面 C 上一点 Q 1,1,2，以 d=-2,0,-4为方向向量，求证：直线 l 在曲面 C 上(即 l 上任意一点均在曲面 C 上)；(2)已知曲面 C 可视为平面 xOz 中某双曲线的一支绕 z 轴旋转一周所得的旋转面；同时，过曲面 C 上任意一点，有且仅有

25、两条直线，使得它们均在曲面 C 上.设直线 l 在曲面 C 上，且过点 T2,0,2，求异面直线 l 与 l所成角的余弦值.194(2024广东中山高三统考期末)类比平面解析几何的观点，在空间中，空间平面和曲面可以看作是适合某种条件的动点的轨迹，在空间直角坐标系 O-xyz 中，空间平面和曲面的方程是一个三元方程F x,y,z=0(1)类比平面解析几何中直线的方程，直接写出：过点 P x0,y0,z0，法向量为 n=A,B,C的平面的方程；平面的一般方程；在 x，y，z 轴上的截距分别为 a，b，c 的平面的截距式方程(abc 0)；(不需要说明理由)(2)设 F1,F2为空间中的两个定点，F

26、1F2=2c 0，我们将曲面 定义为满足 PF1+PF2=2a a c的动点 P 的轨迹，试建立一个适当的空间直角坐标系 O-xyz，并推导出曲面 的方程5(2024湖南长沙高三雅礼中学校考阶段练习)定义：一般地，当 0 且 1 时，我们把方程 x2a2+y2b2=(a b 0)表示的椭圆 C称为椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)的相似椭圆.(1)如图，已知 F1-3,0,F23,0,M 为 O:x2+y2=4 上的动点，延长 F1M 至点 N，使得 MN=MF1,F1N的垂直平分线与 F2N 交于点 P，记点 P 的轨迹为曲线 C，求 C 的方程；(2)在条件(1)下，已知椭圆 C是

27、椭圆 C 的相似椭圆，M1,N1是椭圆 C的左右顶点.点 Q 是 C上异于四个顶点的任意一点，当 =e2(e 为曲线 C 的离心率)时，设直线 QM1与椭圆 C 交于点 A,B，直线 QN1与椭圆 C 交于点 D,E，求 AB+DE的值.206(2024全国高三专题练习)在平面直角坐标系中，定义 d A,B=max x1-x2,y1-y2为两点A x1,y1、B x2,y2的“切比雪夫距离”，例如：点 P1 1,2，点 P2 3,5，因为 1-3 0，若动点 P 所在的曲线所围成图形的面积是 36，求 r的值7(2024上海黄浦高三格致中学校考开学考试)定义：若椭圆 C:x2a2+y2b2=1

28、(a b 0)上的两个点A x1,y1,B x2,y2满足 x1x2a2+y1y2b2=0，则称 A,B 为该椭圆的一个“共轭点对”，记作 A,B.已知椭圆 C 的一个焦点坐标为 F1-2 2,0，且椭圆 C 过点 A 3,1.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)求“共轭点对”A,B中点 B 所在直线 l 的方程；(3)设 O 为坐标原点，点 P,Q 在椭圆 C 上，且 PQ OA，(2)中的直线 l 与椭圆 C 交于两点 B1,B2，且 B1点的纵坐标大于 0，设四点 B1,P,B2,Q 在椭圆 C 上逆时针排列.证明：四边形 B1PB2Q 的面积小于 8 3.21考点八：概率与统计新定义1

29、 在平面直角坐标系 xOy 中，设点集 An=(0,0),(1,0),(2,0),，(n,0)，Bn=(0,1),(n,1)，Cn=(0,2),(1,2),(2,2),，(n,2)，n N*.令 Mn=An Bn Cn.从集合 Mn中任取两个不同的点，用随机变量 X表示它们之间的距离(1)当 n=1 时，求 X 的概率分布；(2)对给定的正整数 n(n 3)，求概率 P(X n)(用 n 表示).2(2024河北高三雄县第一高级中学校联考期末)在信息论中，熵(entropy)是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵信源熵平均自信息量.这里，“消息”代表来自分布或数据流中的事件样本或

30、特征.(熵最好理解为不确定性的量度而不是确定性的量度，因为越随机的信源的熵越大)来自信源的另一个特征是样本的概率分布.这里的想法是，比较不可能发生的事情，当它发生了，会提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息(熵)定义为概率分布的对数的相反数是有道理的.事件的概率分布和每个事件的信息量构成了一个随机变量，这个随机变量的均值(即期望)就是这个分布产生的信息量的平均值(即熵).熵的单位通常为比特，但也用 Sh、nat、Hart 计量，取决于定义用到对数的底.采用概率分布的对数作为信息的量度的原因是其可加性.例如，投掷一次硬币提供了 1Sh 的信息，而掷 m 次就为 m 位.更一般地，你需要用 l

31、og2n 位来表示一个可以取 n 个值的变量.在 1948 年，克劳德 艾尔伍德 香农将热力学的熵，引入到信息论，因此它又被称为香农滳.而正是信息熵的发现，使得 1871 年由英国物理学家詹姆斯 麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻.设随机变量 所有取值为 1,2,n，定义 的信息熵 H()=-ni=1Pi log2Pi，ni=1Pi=1，i=1,2,n.(1)若 n=2，试探索 的信息熵关于 P1的解析式，并求其最大值；(2)若 P1=P2=12n-1，Pk+1=2Pk(k=2,3,n)，求此时的信息熵.223(2024北京高三阶段练习)设离散型随机变量 X

32、 和 Y 有相同的可能取值，它们的分布列分别为P X=ak=xk，P Y=ak=yk，xk 0，yk 0，k=1,2,n,nk=1xk=nk=1yk=1指标 D(XY)可用来刻画X 和 Y 的相似程度，其定义为 D(XY)=nk=1xkln xkyk设 XB(n,p),0 p 1(1)若 YB(n,q),0 q 1，求 D(XY)；(2)若 n=2,P(Y=k-1)=13,k=1,2,3，求 D(XY)的最小值；(3)对任意与 X 有相同可能取值的随机变量 Y，证明：D(XY)0，并指出取等号的充要条件234(2024山西朔州高三校考开学考试)某校 20 名学生的数学成绩 xi i=1,2,2

33、0和知识竞赛成绩 yii=1,2,20如下表：学生编号 i12345678910数学成绩 xi100999693908885838077知识竞赛成绩 yi29016022020065709010060270学生编号 i11121314151617181920数学成绩 xi75747270686660503935知识竞赛成绩 yi4535405025302015105计算可得数学成绩的平均值是 x=75，知识竞赛成绩的平均值是 y=90，并且20i=1xi-x2=6464，20i=1yi-y2=149450，20i=1xi-xyi-y=21650.(1)求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相

34、关系数(精确到 0.01)；(2)设 N N*，变量 x 和变量 y 的一组样本数据为xi,yii=1,2,N，其中 xi i=1,2,N两两不相同，yi i=1,2,N两两不相同.记 xi在 xn n=1,2,N中的排名是第 Ri位，yi在 yn n=1,2,N中的排名是第 Si位，i=1,2,N.定义变量 x 和变量 y 的“斯皮尔曼相关系数”(记为)为变量 x 的排名和变量 y 的排名的样本相关系数.(i)记 di=Ri-Si，i=1,2,N.证明：=1-6N N 2-1Ni=1d2i；(ii)用(i)的公式求得这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”约为 0.91，简述“

35、斯皮尔曼相关系数”在分析线性相关性时的优势.注：参考公式与参考数据.r=ni=1xi-xyi-yni=1xi-x2ni=1yi-y2；nk=1k2=n n+12n+16；6464 149450 31000.245(2024安徽合肥合肥一六八中学校考模拟预测)在一个典型的数字通信系统中，由信源发出携带着一定信息量的消息，转换成适合在信道中传输的信号，通过信道传送到接收端.有干扰无记忆信道是实际应用中常见的信道，信道中存在干扰，从而造成传输的信息失真.在有干扰无记忆信道中，信道输入和输出是两个取值 x1,x2,xn的随机变量，分别记作 X 和 Y.条件概率 P Y=xj X=xi,i,j=1,2,

36、n，描述了输入信号和输出信号之间统计依赖关系，反映了信道的统计特性.随机变量 X 的平均信息量定义为：H(X)=-ni=1pX=xilog2p X=xi.当 n=2 时，信道疑义度定义为 H(Y X)=-2i=12j=1pX=xi,Y=xjlog2p Y=xj X=xi=-P X=x1,Y=x1log2p Y=x1 X=x1+P X=x1,Y=x2log2p Y=x2 X=x1+P X=x2,Y=x1log2p Y=x1 X=x2+P X=x2,Y=x2log2p Y=x2 X=x2(1)设有一非均匀的骰子，若其任一面出现的概率与该面上的点数成正比，试求扔一次骰子向上的面出现的点数 X 的平均

37、信息量 log23 1.59,log25 2.32,log27 2.81；(2)设某信道的输入变量 X 与输出变量 Y 均取值 0，1.满足：P X=0=,p Y=1 X=0=p Y=0 X=1=p(0 1,0 p 1).试回答以下问题：求 P Y=0的值；求该信道的信道疑义度 H Y X的最大值.6(2024北京海淀统考模拟预测)对于数组 a,b,c，各项均为自然数，如下定义该数组的放缩值：三个数最大值与最小值的差如果放缩值 m 1，可进行如下操作：若 a、b、c 最大的数字是唯一的，把最大的数减 2，剩下的两个数一共加 2，且每个数得到的相等；若 a、b、c 最大的数有两个，则把最大的数各

38、减 1，第三个数加上最大数共减少的值此为第一次操作，记为 f1 a,b,c放缩值记为 t1，可继续对 f1(a,b,c)再次进行该操作，操作 n 次以后的结果记为 fn(a,b,c)，放缩值记为 tn(1)若 a,b,c=1,3,14，求 t1,t4,t2021的值(2)已知 a,b,c的放缩值记为 t，且 a b c若 n=1，2，3时，均有 tn=t，若 t M，求集合 M(3)设集合 Q 中的元素是以 4 为公比均为正整数的等比数列中的项，P=a,b,c，且 P Q，a,b,c 在一个集合 P 中有唯一确定的数证明：存在 k 满足 tk=025考点九：高等数学背景下新定义1(2024河南

39、统考模拟预测)离散对数在密码学中有重要的应用设 p 是素数，集合 X=1,2,p-1，若 u,v X,m N，记 u v 为 uv 除以 p 的余数，um,为 um除以 p 的余数；设 a X，1,a,a2,ap-2,两两不同，若 an,=b n 0,1,p-2，则称 n 是以 a 为底 b 的离散对数，记为 n=log(p)ab(1)若 p=11,a=2，求 ap-1,；(2)对 m1,m2 0,1,p-2，记 m1 m2为 m1+m2除以 p-1 的余数(当 m1+m2能被 p-1 整除时，m1 m2=0)证明：log(p)a b c=log(p)ab log(p)ac，其中 b,c X；

40、(3)已知 n=log(p)ab对 x X,k 1,2,p-2，令 y1=ak,y2=x bk,证明：x=y2 yn p-2,12(2024北京海淀高三中关村中学校考阶段练习)设数阵 A0=a11a12a21a22，其中 a11,a12,a21,a221,2,3,4,5,6设 S=e1,e2,el 1,2,3,4,5,6，其中 e1 e2 1；(3)求不等式 1+1xx e 1+1xx+12 的解集，其中 e=2.71828 4(2024安徽六安安徽省舒城中学校考模拟预测)罗尔中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他两个分别为：拉格朗日中值定理、柯西中值定理罗尔定理描述如下：如果 R 上的函数 f(x)满足以下条件：在闭区间 a,b 上连续，在开区间(a,b)内可导，f(a)=f(b)，则至少存在一个 (a,b)，使得 f=0据此，解决以下问题：(1)证明方程 4ax3+3bx2+2cx-a+b+c=0 在 0,1内至少有一个实根，其中 a,b,c R；(2)已知函数 f x=ex-ax2-e-a-1x-1,a R 在区间 0,1内有零点，求 a 的取值范围