非对称韦达定理问题（解析版）.pdf

1、1非对称韦达定理问题考点解密在一些定点、定值、定线问题中，还常出现需要证明类似y2-2x1y1+2x2为定值的情形，通过直线代换可得：y2-2x1y1+2x2=kx2+2x1kx1+6x2=kx1x2+2x1kx1x2+6x2，但此时式子并不能完全整理为韦达定理的形式，这种式子一 般 称 为“非 对 称 韦 达 定 理”或 者 在 处 理 斜 率 比 值 的 时 候：kPAkPB=y1 tx1y2 tx2=x2y1 tx2x1y2 tx1=kx1x2+(m t)x2kx1x2+(m t)x1我们明明求了韦达定理却无法代入，这时我们就需要通过所求得的韦达定理找到 x1+x2和 x1 x2之间的关

2、系，将其中一个替换，常用手段是把乘法的替换成加法这样的非对称形式，即韦达定理无法直接代入，可以通过韦达定理构造互化公式，先局部互化，然后可整理成对称型.具体办法：联立方程后得到韦达定理：x1+x2=f(t)x1x2=g(t)m(t)(x1+x2)=n(t)x1x2代入之后进行代换消元解题.利用点在椭圆方程上代换题型解密题型一：利用非对称韦达定理思想解决定点问题【精选例题】1 已知双曲线 C:x2a2-y23a2=1(a 0)的左顶点为 A，右焦点为 F，P 是直线 l:x=a2 上一点，且 P 不在 x 轴上，以点 P 为圆心，线段 PF 的长为半径的圆弧 AF 交 C 的右支于点 N(1)证

3、明：APN=2NPF；(2)取 a=1，若直线 PF 与 C 的左、右两支分别交于 E，D 两点，过 E 作 l 的垂线，垂足为 R，试判断直线 DR 是否过定点若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析【分析】(1)过 N 作 l 的垂线，垂足为 H，且与圆弧 AF 交于点 M，则 MN AF，结合圆的知识可得 AM=NF，MH=HN，设点 N x0,y0，则 x20a22-y203a2=1，由 NFHN=2，可得 NF=2 HN，即得 AM=NF=MN(用双曲线的第二定义来说明，也可以)，由相等弦长所对的圆心角相等，得 APM=MPN=NPF，进而求

4、解；(2)设直线PF 的方程为 x=my+2，由题意可得 m -,-3333,+，联立方程组，结合韦达定理可得 y1+y2，y1y2，由题知，直线 DR 的方程为 y-y2=y2-y112-x1x-12，令 y=0，化简即可求解.【详解】(1)证明：过 N 作 l 的垂线，垂足为 H，且与圆弧 AF 交于点 M，则 MN AF，连接 AM，PM，NF因为在圆 P 中，PH AF，PH MN，所以|AM|=|NF|，|MH|=|HN|由题易知右焦点 F(2a,0)，设点 N x0,y0，则 x20a2-y203a2=1，整理得 y20=3x20-3a2因为|NF|HN|=x0-2a2+y20 x

5、0-a2=x0-2a2+3x20-3a2x0-a2=2x0-a2x0-a2=2x0-ax0-a2=2，所以|NF|=2|HN|，所以|AM|=|NF|=|MN|【这里若学生用双曲线的第二定义来说明，也可以见下：因为直线 l:x=a2 为双曲线 C:x2a2-y23a2=1(a 0)的准线，根据双曲线的第二定义，可知|NF|HN|=ca=2，即|NF|=2|HN|，即得|AM|=|NF|=|MN|】在圆 P 中，由相等弦长所对的圆心角相等，得 APM=MPN=NPF，所以 APN=2NPE(2)由题知双曲线 C:x2-y23=1，渐近线为：y=33 x，右焦点为 F 2,0，直线 PF 的斜率不

6、为 0，设直线 PF 的方程为 x=my+2因为直线 PF 与 C 的左，右两支分别交于 E，D 两点，则 m -,-3333,+设 D x1,y1，E x2,y2，R 12,y2y1 y2，3联立方程组x=my+2x2-y23=1，得 3m2-1y2+12my+9=0，则 y1+y2=12m3m2-1,y1y2=-93m2-1由题知，直线 DR 的方程为 y-y2=y2-y112-x1x-12，令 y=0，得 x=x1y2-12 y1y2-y1=my1+2y2-12 y1y2-y1=my1y2+2y2-12 y1y2-y1=-34 y1+y2+2y2-12 y1y2-y1=54 y2-y1y

7、2-y1=54，所以直线 DR 过定点54,0.【跟踪训练】1 已知椭圆 E 的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点 A 2,0，B 1,32，M，N 为椭圆 E上关于 x 轴对称的两点(不与点 B 重合)，Q 1,0，直线 MQ 与椭圆 E 交于另一点 C，直线 QP 垂直于直线 NC，P 为垂足(1)求 E 的方程；(2)证明：(i)直线 NC 过定点，(ii)存在定点 R，使 PR为定值【答案】(1)x24+y2=1；(2)(i)证明见解析；(ii)证明见解析.【分析】(1)设方程为 mx2+ny2=1 m 0,n 0,m n，代入 A,B 点的坐标，得出方程组，求解即得.(2)(i)

8、设 MQ 的方程为 x=ty+1 t 0，与椭圆方程联立，根据韦达定理表示出坐标关系，得出 NC的方程为 y-y1=y1+y2x1-x2(x-x1，令 y=0，整理可得 x=4，即可得出定点；(ii)由已知可得 QP PH，即可得出 P 的轨迹，得出答案.【详解】(1)设 E 的方程为 mx2+ny2=1 m 0,n 0,m n，则4m=1m+34 n=1，解得 m=14n=1，所以 E 的方程为 x24+y2=1.(2)(i)依题意，直线 MQ 的斜率存在且不为 0，设 MQ 的方程为 x=ty+1 t 0，设点 C x1,y1，M x2,y2，则 N x2,-y2，由 x=ty+1x2+4

9、y2=4消去 x 并整理得 t2+4y2+2ty-3=0，则 =16t2+48 0，y1+y2=-2tt2+4，y1y2=-3t2+4，显然 2ty1y2=3(y1+y2)，4直线 NC 的斜率 kNC=y1+y2x1-x2，直线 NC 的方程为 y-y1=y1+y2x1-x2x-x1，令 y=0，则 x=x1-y1 x1-x2y1+y2=y2x1+x2y1y1+y2=y2 ty1+1+ty2+1y1y1+y2=2ty1y2+y1+y2y1+y2=4，所以直线 NC 恒过定点 4,0.(ii)令直线 NC 过的定点 4,0为点 H，由 QP NC=0，P 在 NC 上，得 QP PH，则点 P

10、 在以 QH 为直径的圆上，从而 QH 的中点 R 52,0为定点，使 PR为定值 32.【点睛】思路点睛：设 MQ 的方程为 x=ty+1 t 0，与椭圆联立得出方程，根据韦达定理得出坐标关系.进而整理化简，即可得出定点坐标.2 椭圆 C:x2a2+y2b2=1 a b 0的一个焦点为 F 1,0，且过点 M 1,32(1)求椭圆 C 的标准方程和离心率；(2)若过点23,0且斜率不为 0 的直线与椭圆 C 交于 M，N 两点，点 P 在直线 x=6 上，且 NP 与 x 轴平行，求直线 MP 恒过的定点【答案】(1)标准方程为 C：x24+y23=1，离心率为 12；(2)103,0【分析

11、】(1)法一：由题意可得c=11a2+94b2=1a2=b2+c2，解方程即可求出 a,b,c，可求出椭圆 C 的标准方程和离心率；法二：由椭圆的定义求出 a=1，再结合 b2=a2-c2求出 b，可求出椭圆 C 的标准方程和离心率；(2)设方程为 x=my+23，M x1,y1，N x2,y2，联立直线 MN 方程和椭圆的方程可得 my1y2=83 y1+y2，表示出直线 MP 方程，对称性可知直线 MP 恒过的定点在 x 轴上，令 y=0，将 my1y2=83 y1+y2代入化简即可得出答案.【详解】(1)法一：由题意c=11a2+94b2=1a2=b2+c2，可得a2=4b2=3c2=1

12、，则椭圆 C 的标准方程为 C：x24+y23=1，离心率为 e=ca=12；5法二：设椭圆的左焦点为 F-1,0，则由椭圆的定义知 2a=MF+MF=1+12+322+1-12+322=52+32=4，所以 a=2，又 c=1，得 b2=a2-c2=3，则椭圆 C 的标准方程为 C：x24+y23=1，离心率为 e=ca=12；(2)因为直线 MN 过点23,0且斜率不为 0，所以设直线 MN 方程为 x=my+23，M x1,y1，N x2,y2，则 P 6,y2，联立x=my+23x24+y23=1，消去 x 得，3m2+4y2+4my-323=0，所以 0y1+y2=-4m3m2+4y

13、1y2=-3233m2+4，所以 my1y2=83 y1+y2，直线 MP 方程为 y-y2=y1-y2x1-6 x-6，由对称性可知直线 MP 恒过的定点在 x 轴上，所以令 y=0，得 x-6=y2 x1-6y2-y1，且 x1=my1+23，所以 x-6=y2 my1+23-6y2-y1=my1y2-163 y2y2-y1=83 y1+y2-163 y2y2-y1=-83，可得 x=103，直线 MP 恒过的定点103,0 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：(1)“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；(2)“一般推理，特殊求

14、解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；(3)求证直线过定点 x0,y0，常利用直线的点斜式方程或截距式 y=kx+b 来证明.题型二：利用非对称韦达定理思想解决斜率定值问题6【精选例题】2 椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的长轴长为 4，且椭圆 C 过点3,32.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)已知 A、B 为椭圆 C 的左、右顶点，过右焦点 F 且斜率不为 0 的直线交椭圆 C 于点 M、N，直线AM 与直线 x=4 交于点 P，记 PA、PF、BN 的斜

15、率分别为 k1、k2、k3，问 k1+k3k2是否是定值，如果是，求出该定值，如果不是，请说明理由.【答案】(1)C:x24+y23=1；(2)k1+k3k2是定值 2，理由见解析【分析】(1)先求出 a=2，将3,32代入求出 b2=3，得到椭圆方程；(2)设直线 MN：x=my+1，联立椭圆方程，设 M x1,y1,N x2,y2，得到两根之和，两根之积，表达出k1=y1x1+2，k2=2y1x1+2，k3=y2x2-2，计算出 k1+k3k2=12+my1y2+3y22my1y2-2y1，将两根之积代入，化简得到k1+k3k2=3m2+4-3 y1+y2+4y1+18m2 3m2+4y1

16、+18m，再代入两根之和，得到 k1+k3k2是定值 2.【详解】(1)由题意得 2a=4，解得 a=2，将3,32代入椭圆方程 C:x24+y2b2=1 中得，34+34b2=1，解得 b2=3，故椭圆方程为 C:x24+y23=1(2)因为 a=2，c=4-3=1，所以 F 1,0，A-2,0，B 2,0，设直线 MN：x=my+1，联立 x=my+1 与 C:x24+y23=1 可得，3m2+4y2+6my-9=0，=36m2+36 3m2+4 0 恒成立，设 M x1,y1,N x2,y2，则 y1+y2=-6m3m2+4,y1y2=-93m2+4，直线 AM：yy1=x+2x1+2，

17、令 x=4 得 y=6y1x1+2，故 P 4,6y1x1+2，k1=y1x1+2，k2=6y1x1+2-04-1=2y1x1+2，k3=y2x2-2，则 k1+k3k2=y1x1+2+y2x2-22y1x1+2=12+y2x2-2 x1+22y1=12+y2 my1+32y1 my2-17=12+my1y2+3y22my1y2-2y1=12+-9m3m2+4+3y2-18m3m2+4-2y1=12-3 3m2+4y2-9m2 3m2+4y1+18m=3m2+4y1-3y2+18m2 3m2+4y1+18m=3m2+4-3 y1+y2+4y1+18m2 3m2+4y1+18m=3m2+418m

18、3m2+4+4y1+18m2 3m2+4y1+18m=4 3m2+4y1+36m2 3m2+4y1+18m=2.k1+k3k2为定值 2.【点睛】定值问题常见方法：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；(2)直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.3 已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1(a b 0)的左、右顶点分别为 A，B，离心率为 12，点 P 1,32为椭圆上一点(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)如图，过点 C(0，1)且斜率大于 1 的直线 l 与椭圆交于 M，N 两点，记直线 AM 的斜率为 k1，直线BN 的斜率为 k2，若 k1=2k2，求直线

19、 l 斜率的值【答案】(1)x24+y23=1；(2)32.【分析】(1)由椭圆的离心率,和点 P 1,32在椭圆上求出椭圆的标准方程;(2)由椭圆的对称性可知直线 l 的斜率一定存在，设其方程为 y=kx+1,设 M(x1，y1)，N(x2，y2),联立方程组消去 y,再将 k1=2k2用坐标表示,利用点在椭圆上和韦达定理求出直线 l 的斜率.【详解】(1)因为椭圆的离心率为 12，所以 a=2c.又因为 a2=b2+c2，所以 b=3c.所以椭圆的标准方程为 x24c2+y23c2=1.8又因为点 P 1,32为椭圆上一点，所以 14c2+943c2=1，解得 c=1.所以椭圆的标准方程为

20、 x24+y23=1.(2)由椭圆的对称性可知直线 l 的斜率一定存在，设其方程为 y=kx+1.设 M(x1，y1)，N(x2，y2)联立方程组消去 y 可得(3+4k2)x2+8kx-8=0.所以由根与系数关系可知 x1+x2=-8k3+4k2，x1x2=-83+4k2.因为 k1=y1x1+2，k2=y2x2-2，且 k1=2k2，所以y1x1+2=2y2x2-2.即y12x1+22=4y22x2-22.又因为 M(x1，y1)，N(x2，y2)在椭圆上，所以 y21=34(4-x21)，y22=34(4-x22)将代入可得：2-x12+x1=4 2+x22-x2，即 3x1x2+10(

21、x1+x2)+12=0.所以 3-83+4k2+10-8k3+4k2+12=0，即 12k2-20k+3=0.解得 k=16 或 k=32，又因为 k 1，所以 k=32.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系,考查椭圆的标准方程和椭圆的几何性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.【跟踪训练】3 已知点 F 为椭圆 E:x24+y23=1 的右焦点，A，B 分别为其左、右顶点，过 F 作直线 l 与椭圆交于 M，N 两点(不与 A，B 重合)，记直线 AM 与 BN 的斜率分别为 k1,k2,证明 k1k2为定值解析：方法 1.先联x24+y23=1x=ty+1，消 x 得(4+3t2)y

22、2+6ty-9=0，易知 0，则y1+y2=-6t4+3t2y1y2=-94+3t2 ty1y2=32(y1+y2)，代入目标信息得，k1k2=ty1y2-y1ty1y2+3y2=32(y1+y2)-y132(y1+y2)+3y2稍作整理，即可得 k1k2=12 y1+32 y232 y1+92 y2=13，为定值，得证94 已知双曲线 C：x2a2-y2b2=1 a 0,b 0的离心率为2，点 3,-1在双曲线 C 上.过 C 的左焦点 F 作直线 l 交 C 的左支于 A、B 两点.(1)求双曲线 C 的方程；(2)若 M-2,0，试问：是否存在直线 l，使得点 M 在以 AB 为直径的圆

23、上?请说明理由.(3)点 P-4,2，直线 AP 交直线 x=-2 于点 Q.设直线 QA、QB 的斜率分别 k1、k2，求证：k1-k2为定值.【答案】(1)x28-y28=1；(2)不存在，理由见解析；(3)证明见解析【分析】(1)根据题意列式求 a,b,c，进而可得双曲线方程；(2)设 l:x=my-4，A x1,y1，B x2,y2，联立方程，利用韦达定理可得 MA MB=-4，结合圆的性质分析判断；(3)用 A,B 两点坐标表示出直线 AP，得点 Q 坐标，表示出 k1,k2，结合韦达定理，证明 k1-k2为定值.【详解】(1)由题意，双曲线 C:x2a2-y2b2=1 的离心率为2

24、，且 M 3,-1在双曲线 C 上，可得9a2-1b2=1e=ca=2c2=a2+b2，解得 a2=8，b2=8，所以双曲线的方程为 x28-y28=1.(2)双曲线 C 的左焦点为 F-4,0，当直线 l 的斜率为 0 时，此时直线为 y=0，与双曲线 C 左支只有一个交点，舍去；当直线 l 的斜率不为 0 时，设 l:x=my-4，联立方程组 x=my-4x2-y2=8，消 x 得 m2-1y2-8my+8=0，易得 0，由于过点 F 作直线 l 交 C 的左支于 A,B 两点，设 A x1,y1，B x2,y2，则 y1+y2=8mm2-1，y1y2=8m2-1 0，可得-1 m BC，

25、故由椭圆的定义可知 P 的轨迹 T 是以 B-1,0,C 1,0为焦点的椭圆(不包括长轴的端点)，且 a=2,c=1，所以 b=3，所以 P 的轨迹 T 的方程为 x24+y23=1 x 2；(2)11解：设直线 PQ 的方程为：x=my-3，P x1,y1，Q x2,y2，联立方程x=my-3x24+y23=1得：3m2+4y2-18my+15=0，则 y1+y2=18m3m2+4，y1y2=153m2+4，所以 2my1y2=53 y1+y2，又直线 PE 的方程为：y=y1x 1+2 x+2=y1my 1-1 x+2，又直线 QF 的方程为：y=y2x 2-2 x-2=y2my 2-5

26、x-2，联立方程y=y1my 1-1 x+2y=y2my 2-5 x-2，解得 x=2 2my1y2-y2-5y1-y2+5y1，把 2my1y2=53 y1+y2代入上式得：x=223 y2-103 y1-y2+5y1=43 y2-5y1-y2+5y1=-43，所以当点 P 运动时，点 M 恒在定直线 x=-43 上5 已知双曲线 C 的中心为坐标原点，左焦点为-2 5,0，离心率为5(1)求 C 的方程；(2)记 C 的左、右顶点分别为 A1，A2，过点-4,0的直线与 C 的左支交于 M，N 两点，M 在第二象限，直线 MA1与 NA2交于点 P证明:点 P 在定直线上.【答案】(1)x

27、24-y216=1；(2)证明见解析.【分析】(1)由题意求得 a,b 的值即可确定双曲线方程；(2)设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线 MA1与 NA2的方程，联立直线方程，消去 y，结合韦达定理计算可得 x+2x-2=-13，即交点的横坐标为定值，据此可证得点 P 在定直线 x=-1 上.【详解】(1)设双曲线方程为 x2a2-y2b2=1 a 0,b 0，由焦点坐标可知 c=2 5，则由 e=ca=5 可得 a=2，b=c2-a2=4，双曲线方程为 x24-y216=1.(2)由(1)可得 A1-2,0,A2 2,0，设 M x1,y1,N x2,y2，显然直线的

28、斜率不为 0，所以设直线 MN 的方程为 x=my-4，且-12 m 0，则 y1+y2=32m4m2-1,y1y2=484m2-1，直线 MA1的方程为 y=y1x1+2 x+2，直线 NA2的方程为 y=y2x2-2 x-2，联立直线 MA1与直线 NA2的方程可得：x+2x-2=y2 x1+2y1 x2-2=y2 my1-2y1 my2-6=my1y2-2 y1+y2+2y1my1y2-6y1=m 484m2-1-2 32m4m2-1+2y1m 484m2-1-6y1=-16m4m2-1+2y148m4m2-1-6y1=-13，由 x+2x-2=-13 可得 x=-1，即 xP=-1，据

29、此可得点 P 在定直线 x=-1 上运动.【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键.【跟踪训练】5 已知圆 C1:(x+5)2+y2=1，圆 C2:(x-5)2+y2=25，动圆 C 与圆 C1和圆 C2均相切，且一个内切、一个外切(1)求动圆圆心 C 的轨迹 E 的方程(2)已知点 A(0,-2),B(0,2)，过点(0,1)的直线 l 与轨迹 E 交于 M,N 两点，记直线 AM 与直线 BN 的交点为 P试问：点 P 是否在一条定直线上？若在，求出该定直线

30、；若不在，请说明理由【答案】(1)x29+y24=1 x-6 55；(2)点 P 恒在定直线 y=4 上【分析】(1)设动圆的圆心为 C(x,y)，利用两圆外切和内切的关系得到 CC1+CC2=6 C1C2，由椭圆的定义即可得到动点的轨迹，利用待定系数法求出方程即可；(2)设直线 l 的方程为 y=kx+1，直曲联立，结合韦达定理得到 2kx1x2=3 x1+x2，求出直线 AM 与直线 BN 的方程，进而得到点 P 满足的关系式，整理化简可得点 P 恒在定直线 y=4 上【详解】(1)设点 C 的坐标为(x,y)，圆 C 的半径为 R由已知条件，得 C1C2=2 5当动圆 C 与圆 C1外切

31、，与圆 C2内切时，CC1=1+R,CC2=5-R，从而 CC1+CC2=6 C1C2当动圆 C 与圆 C1内切，与圆 C2外切时，CC1=1-R,CC2=5+R，13从而 CC1+CC2=6 C1C2综上可知，圆心 C 的轨迹 E 是以 C1,C2为焦点，6 为长轴长的椭圆易得圆 C1与圆 C2交于点-6 55,2 55与-6 55,-2 55，所以动圆圆心 C 的轨迹 E 的方程为 x29+y24=1 x-6 55(2)设直线 l 的方程为 y=kx+1，M x1,y1,N x2,y2联立直线 l 与轨迹 E 的方程，得y=kx+1x29+y24=1 x-6 55消去 y 并整理，得 9k

32、2+4x2+18kx-27=0 x-6 55所以 x1+x2=-18k9k2+4，x1x2=-279k2+4，则有 2kx1x2=3 x1+x2由已知条件，得直线 AM 的方程为 x=x1y1+2(y+2)，直线 BN 的方程为 x=x2y2-2(y-2)，则点 P 的坐标(x,y)满足 x1 y2-2(y+2)=x2 y1+2(y-2)又 y2=kx2+1,y1=kx1+1，所以 y=4kx1x2+6x2-2x13x2+x1把 2kx1x2=3 x1+x2代入上式，得 y=6x1+6x2+6x2-2x13x2+x1=12x2+4x13x2+x1=4故点 P 恒在定直线 y=4 上6 已知椭圆

33、 C：x2a2+y2b2=1 a b 1的左、右焦点分别为 F1，F2，上顶点为 A，F1到直线 AF2的距离为3，且 AF2=2.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)若过 F2且斜率为 k k 0的直线 l 与椭圆 C 交于 D，E 两点，椭圆 C 的左、右顶点分别为 A1，A2，证明：直线 A1D 与 A2E 的交点在定直线上.【答案】(1)x24+y23=1；(2)证明见解析【分析】(1)首先求出直线 AF2的方程，利用点到直线的距离公式得到 2bca=3，再由 AF2=a=2，即可求出 a、b，从而求出椭圆方程；(2)联立直线与椭圆方程，设 D x1,y1，E x2,y2，消元，列出韦

34、达定理，即可得到直线 A1D、A2E 的方程，设直线 A1D 与 A2E 的交点坐标为 x0,y0，求出 x0，即可得解.14【详解】(1)依题意可得直线 AF2的方程为 xc+yb=1，即 bx+cy-bc=0，则 F1到直线 AF2的距离为-2bcb2+c2=2bca=3.又 AF2=b2+c2=a=2，a2=c2+b2，故 b=3，c=1，所以椭圆 C 的标准方程为 x24+y23=1.(2)由(1)得 F2 1,0，所以直线 l 的方程为 y=k x-1k 0，由y=k x-1x24+y23=1可得 3+4k2x2-8k2x+4k2-12=0，设 D x1,y1，E x2,y2，显然

35、0，所以 x1+x2=8k23+4k2=2-64k2+3，x1x2=4k2-123+4k2=1-154k2+3，故 x1x2=52 x1+x2-4.由(1)可得 A1-2,0，A2 2,0，则直线 A1D 的方程为 y=y1x1+2 x+2，直线 A2E 的方程为 y=y2x2-2 x-2，设直线 A1D 与 A2E 的交点坐标为 x0,y0，则y1x1+2 x0+2=y2x2-2 x0-2，故 x0+2x0-2=y2 x1+2y1 x2-2=k x2-1x1+2k x1-1x2-2=x1x2-x1+2x2-2x1x2-2x1-x2+2=52 x1+x2-4-x1+2x2-252 x1+x2-

36、4-2x1-x2+2=3x1+9x2-12x1+3x2-4=3，解得 x0=4，故直线 A1D 与 A2E 的交点在直线 x=4 上.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为 x1,y1、x2,y2；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 x(或 y)的一元二次方程，必要时计算；15(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为 x1+x2、x1x2的形式；(5)代入韦达定理求解.7 已知椭圆 W:x24m+y2m=1 m 0的长轴长为 4，左、右顶点分别为 A，B，经过点 P(1，0)的动直线与椭圆 W 相交于不同的两

37、点 C，D(不与点 A，B 重合)(1)求椭圆 W 的方程及离心率；(2)若直线 CB 与直线 AD 相交于点 M，判断点 M 是否位于一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，说明理由【答案】(1)椭圆方程为 x24+y2=1，离心率为32；(2)P 点在定直线 x=4 上【分析】(1)由长轴长求得 m 得椭圆方程，然后由离心率公式离心率；(2)设动直线方程为 x=ty+1，设 C(x1,y1),D(x2,y2)，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得 y1+y2,y1y2，写出直线 AC,BD 方程，联立求得 P 点横坐标 x，利用直线方程，及韦达定理的结果代入后可得 x=4，即为定直线方

38、程【详解】(1)由题意 2 4m=4，m=1，所以椭圆方程为 x24+y2=1，a=2，b=1，则 c=3，离心率为 e=ca=32；(2)由题意设动直线方程为 x=ty+1，设 C(x1,y1),D(x2,y2)，A(-2,0),B(2,0)，由x=ty+1x24+y2=1得(t2+4)y2+2ty-3=0，显然 0，y1+y2=-2tt2+4，y1y2=-3t2+4，直线 AC 方程为 y=y1x1+2(x+2)，直线 BD 方程为 y=y2x2-2(x-2)，联立方程组y=y1x1+2(x+2)y=y2x2-2(x-2)，得 x=2(x1y2+x2y1+2y2-2y1)x1y2-x2y1

39、+2y1+2y2又 x1=ty1+1x2=ty2+1，代入得 x=2(2ty1y2+3y2-y1)3y2+y1，由 y1+y2=-2tt2+4，y1y2=-3t2+4得 y1+y2y1y2=2t3，即 2ty1y2=3(y1+y2)，所以 x=23(y1+y2)+3y2-y13y2+y1=4，所以 P 点在定直线 x=4 上【点睛】方法点睛：椭圆中的定直线问题，可设出交点坐标为(x1,y1),(x2,y2)，设出动直线方程代入椭圆方程后应用韦达定理，然后由直线与椭圆的交点坐标求出相关的交点坐标，对这个坐标进行分析得出16定直线方程，本题中对横坐标进行分析，代入交点坐标的关系及韦达定理的结果即得

40、出结论，实际上本题可从对称性确定定直线与 x 轴垂直，再坐标特殊值(如动直线与 x 轴垂直)求得定直线方程，然后只要验证一般情形即可(这个寻找过程在解题中还不必反映出来)考点过关练1 已知椭圆 E 的左、右焦点分别为 F1-c,0，F2 c,0c 0，点 M 在椭圆 E 上，MF2 F1F2，MF1F2的周长为 4+2 3，面积为 12 c(1)求椭圆 E 的方程(2)设椭圆 E 的左、右顶点分别为 A，B，过点 1,0的直线 l 与椭圆 E 交于 C，D 两点(不同于左右顶点)，记直线 AC 的斜率为 k1，直线 BD 的斜率为 k2，问是否存在实常数，使得 k1=k2，恒成立？若成立，求出

41、 的值，若不成立，说明理由【答案】(1)x24+y2=1(2)存在实数 =13【分析】(1)根据焦点三角形面积及周长列方程求出 a,b,即可写出椭圆方程；(2)先设直线，再和椭圆联立方程组,结合韦达定理及斜率公式计算 k1k2=y1x1+2 x2-2y2化简求解即可.【详解】(1)依题意，得2a+2c=4+2 312 2c b2a=b2a c=14 c，即a+c=2+3b2a=12，解得 a2=4b2=1，所以椭圆 E 的方程为 x24+y2=1(2)依题意，可设直线 l 的方程为 x=ty+1，联立方程x24+y2=1x=ty+1，化简整理，得 t2+4y2+2ty-3=0，易得 0 恒成立

42、，设 C x1,y1，D x2,y2，由韦达定理，得y1+y2=-2tt2+4y1y2=-3t2+4，可得 ty1y2=32 y1+y2，于是 k1k2=y1x1+2 x2-2y2=x2-2y1x1+2y2=ty2-1y1ty1+3y217=ty1y2-y1ty1y2+3y2=32 y1+y2-y132 y1+y2+3y2=12 y1+32 y232 y1+92 y2=12 y1+3y232 y1+3y2=13，故存在实数 =13，使得 k1=k2恒成立2 椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)的左、右顶点分别为 A，B，过左焦点 F(-1,0)的直线与椭圆交于C，D 两点(其中 C 点位

43、于 x 轴上方)，当 CD 垂直于 x 轴时，CD=3.(1)求椭圆的方程；(2)记直线 AC，BD 的斜率分别为 k1,k2，问；k1k2是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由【答案】(1)x24+y23=1(2)是定值，定值为 3【分析】(1)根据题意结合通径长即可求出椭圆的标准方程.(2)设出直线方程，与椭圆方程联立，得到根与系数关系，将 k1k2表示出化简即可.【详解】(1)因为椭圆 x2a2+y2b2=1 的左焦点为 F(-1,0)，所以 a2-b2=1，将 x=-1 代入 x2a2+y2b2=1，得 y=b2a，故 CD=2b2a=3，所以 a2-32 a=1 解得 a2

44、=4，所以 b2=3，所以椭圆方程为 x24+y23=1.(2)因为直线 CD 过点 F(-1,0)，且点 C 位于 x 轴上方，所以直线 CD 斜率不为 0，设直线 CD 的方程为 x=my-1，联立x24+y23=1x=my-1消去 x 得，3m2+4y2-6my-9=0.方程(3m2+4)y2-6my-9=0 的判别式 =36m2+36 3m2+4=144m2+144 0，设 C(x1,y1),D(x2,y2)，由已知 y1 0，于是 y1+y2=6m3m2+4,y1y2=-93m2+4 0，所以 my1y2=-32 y1+y2,y2 0,y2 0,-2 x1 2,-2 x2 0,k2

45、0，所以 k1k2=y1x1+2y2x2-2=y1 x2-2y2 x1+2=y1 my2-3y2 my1+1=my1y2-3y1my1y2+y2=-32 y1+y2-3y1-32 y1+y2+y2=-92 y1-32 y2-32 y1-12 y2=3所以 k1k2定值，定值为 33 已知圆 C1:(x+5)2+y2=1，圆 C2:(x-5)2+y2=25，动圆 C 与圆 C1和圆 C2均相切，且一个内切、一个外切(1)求动圆圆心 C 的轨迹 E 的方程(2)已知点 A(0,-2),B(0,2)，过点(0,1)的直线 l 与轨迹 E 交于 M,N 两点，记直线 AM 与直线 BN 的交点为 P试

46、问：点 P 是否在一条定直线上？若在，求出该定直线；若不在，请说明理由【答案】(1)x29+y24=1 x-6 55(2)点 P 恒在定直线 y=4 上【分析】(1)设动圆的圆心为 C(x,y)，利用两圆外切和内切的关系得到 CC1+CC2=6 C1C2，由椭圆的定义即可得到动点的轨迹，利用待定系数法求出方程即可；(2)设直线 l 的方程为 y=kx+1，直曲联立，结合韦达定理得到 2kx1x2=3 x1+x2，求出直线 AM 与直线 BN 的方程，进而得到点 P 满足的关系式，整理化简可得点 P 恒在定直线 y=4 上【详解】(1)设点 C 的坐标为(x,y)，圆 C 的半径为 R由已知条件

47、，得 C1C2=2 5当动圆 C 与圆 C1外切，与圆 C2内切时，CC1=1+R,CC2=5-R，从而 CC1+CC2=6 C1C2当动圆 C 与圆 C1内切，与圆 C2外切时，CC1=1-R,CC2=5+R，从而 CC1+CC2=6 C1C2综上可知，圆心 C 的轨迹 E 是以 C1,C2为焦点，6 为长轴长的椭圆易得圆 C1与圆 C2交于点-6 55,2 55与-6 55,-2 55，所以动圆圆心 C 的轨迹 E 的方程为 x29+y24=1 x-6 5519(2)设直线 l 的方程为 y=kx+1，M x1,y1,N x2,y2联立直线 l 与轨迹 E 的方程，得y=kx+1x29+y

48、24=1 x-6 55消去 y 并整理，得 9k2+4x2+18kx-27=0 x-6 55所以 x1+x2=-18k9k2+4，x1x2=-279k2+4，则有 2kx1x2=3 x1+x2由已知条件，得直线 AM 的方程为 x=x1y1+2(y+2)，直线 BN 的方程为 x=x2y2-2(y-2)，则点 P 的坐标(x,y)满足 x1 y2-2(y+2)=x2 y1+2(y-2)又 y2=kx2+1,y1=kx1+1，所以 y=4kx1x2+6x2-2x13x2+x1把 2kx1x2=3 x1+x2代入上式，得 y=6x1+6x2+6x2-2x13x2+x1=12x2+4x13x2+x1

49、=4故点 P 恒在定直线 y=4 上4 已知椭圆 W:x24m+y2m=1 m 0的长轴长为 4，左、右顶点分别为 A，B，经过点 P(1，0)的动直线与椭圆 W 相交于不同的两点 C，D(不与点 A，B 重合)(1)求椭圆 W 的方程及离心率；(2)若直线 CB 与直线 AD 相交于点 M，判断点 M 是否位于一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，说明理由【答案】(1)椭圆方程为 x24+y2=1，离心率为32；(2)P 点在定直线 x=4 上【分析】(1)由长轴长求得 m 得椭圆方程，然后由离心率公式离心率；(2)设动直线方程为 x=ty+1，设 C(x1,y1),D(x2,y2)

50、，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得 y1+y2,y1y2，写出直线 AC,BD 方程，联立求得 P 点横坐标 x，利用直线方程，及韦达定理的结果代入后可得 x=4，即为定直线方程【详解】(1)由题意 2 4m=4，m=1，所以椭圆方程为 x24+y2=1，a=2，b=1，则 c=3，离心率为 e=ca=32；(2)由题意设动直线方程为 x=ty+1，设 C(x1,y1),D(x2,y2)，A(-2,0),B(2,0)，20由x=ty+1x24+y2=1得(t2+4)y2+2ty-3=0，显然 0，y1+y2=-2tt2+4，y1y2=-3t2+4，直线 AC 方程为 y=y1x1+2(x+2

51、)，直线 BD 方程为 y=y2x2-2(x-2)，联立方程组y=y1x1+2(x+2)y=y2x2-2(x-2)，得 x=2(x1y2+x2y1+2y2-2y1)x1y2-x2y1+2y1+2y2又 x1=ty1+1x2=ty2+1，代入得 x=2(2ty1y2+3y2-y1)3y2+y1，由 y1+y2=-2tt2+4，y1y2=-3t2+4得 y1+y2y1y2=2t3，即 2ty1y2=3(y1+y2)，所以 x=23(y1+y2)+3y2-y13y2+y1=4，所以 P 点在定直线 x=4 上【点睛】方法点睛：椭圆中的定直线问题，可设出交点坐标为(x1,y1),(x2,y2)，设出动

52、直线方程代入椭圆方程后应用韦达定理，然后由直线与椭圆的交点坐标求出相关的交点坐标，对这个坐标进行分析得出定直线方程，本题中对横坐标进行分析，代入交点坐标的关系及韦达定理的结果即得出结论，实际上本题可从对称性确定定直线与 x 轴垂直，再坐标特殊值(如动直线与 x 轴垂直)求得定直线方程，然后只要验证一般情形即可(这个寻找过程在解题中还不必反映出来)5 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的左、右焦点分别为 F1，F2，O 为坐标原点，点 P-1,32在椭圆 C 上，且 PF2=52，直线 l 过点 F1且与椭圆 C 交于 A，B 两点(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)已知 OF1

53、=F1M，OF2=F2N，若直线 AM，BN 交于点 D，探究：点 D 是否在某定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由【答案】(1)x24+y23=1(2)点 D 在直线 x=-4 上【分析】(1)利用两点距离公式可计算焦点坐标，待定系数法计算椭圆方程即可；(2)由题意先确定 M、N 位置，设直线 l 与 A、B 坐标，联立直线与椭圆方程利用韦达定理得出 A、B 纵坐标关系式，再利用点 A、B 坐标表示直线 AM、BN，法一、求出 D 点横坐标化简计算即可；法二、直接利用直线 AM、BN 方程作比计算 xD+2xD-2 为定值，计算即可.【详解】(1)设 F1-c,0，F2 c,

54、0，(c 0)，21则 PF2=(-1-c)2+94=52，则(c+1)2=4，解得 c=1(c=-3 舍去)，则 a2-b2=1，代入点 P-1,32得 1a2+94b2=1，联立，解得 a2=4，b2=3，故椭圆 C 的标准方程为 x24+y23=1；(2)依题意，M-2,0，N 2,0，设直线 l:x=my-1，联立 x=my-13x2+4y2-12=0，整理得 3m2+4y2-6my-9=0，=36m2+36 3m2+4=144 1+m2 0；设 A x1,y1，B x2,y2，则 y1+y2=6m3m2+4，y1y2=-93m2+4，所以 2my1y2+3 y1+y2=0.可设直线

55、AM:y=y1x1+2 x+2，直线 BN:y=y1x1-2 x-2，法一：联立y=y1x1+2 x+2,y=y2x2-2 x-2,得 xD=2 y2 x1+2+y1 x2-2y2 x1+2-y1 x2-2=2 y2 my1+1+y1 my2-3y2 my1+1-y1 my2-3=2 2my1y2+y2-3y1y2+3y1=2 2my1y2+3 y1+y2-2 y2+3y1y2+3y1=-4，故点 D 在直线 x=-4 上法二：故 xD+2xD-2=y2 x1+2y1 x2-2=my1y2+y2my1y2-3y1=-32 y1+y2+y2-32 y1+y2-3y1=-32 y1-12 y2-9

56、2 y1-32 y2=13，解得 xD=-4，故点 D 在直线 x=-4 上【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为 x1,y1,x2,y2；22(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 x(或 y)的一元二次方程，必要时计算；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为 x1+x2、x1x2(或 y1+y2、y1y2)的形式；(5)代入韦达定理求解.6 已知椭圆 E：x2a2+y2b2=1 a b 0，F 2 2,0为椭圆 E 的右焦点，三点3 32,12，-3 32,12，2,13中恰有两点在椭圆 E 上.(1)求椭

57、圆 E 的标准方程；(2)设点 A,B 为椭圆 E 的左右端点，过点 M 2,0作直线交椭圆 E 于 P，Q 两点(不同于 A,B)，求证：直线 AP 与直线 BQ 的交点 N 在定直线上运动，并求出该直线的方程.【答案】(1)x29+y2=1(2)证明见解析，x=92【分析】(1)由对称性得到点3 32,12，-3 32,12在椭圆 E 上，结合焦点坐标，得到方程组，求出 a2=9，b2=1，求出椭圆方程；(2)设直线 PQ 的方程为 x=my+2，联立椭圆方程，设 P x1,y1，Q x2,y2，N x0,y0，得到两根之和，两根之积，由 A,P,N 和 B,Q,N 共线得到方程组，联立后

58、得到 x0+3x0-3=5，求出 x0=92，得到交点 N 在定直线上，并求出该直线的方程.【详解】(1)因为 F 2 2,0为椭圆 E 的右焦点，所以 a2-b2=8,由对称性得，点3 32,12，-3 32,12在椭圆 E 上，代入得 274a2+14b2=1,联立解得，a2=9，b2=1，所以椭圆 E 的标准方程为：x29+y2=1.(2)由条件知直线 PQ 与直线 AB 不重合，故直线 PQ 的斜率不为 0，设直线 PQ 的方程为 x=my+2，联立x29+y2=1x=my+2，可得 m2+9y2+4my-5=0，设 P x1,y1，Q x2,y2，N x0,y0，则 y1+y2=-4

59、mm2+9，y1y2=-5m2+9，m=5 y1+y24y1y2，由(1)可得 A-3,0，B 3,0，由 A,P,N 共线得：x0+3y0=x1+3y1=my1+5y1，23由 B,Q,N 共线得：x0-3y0=x2+3y2=my2-1y2，由 消去 y0并整理得，x0+3x0-3=my1y2+5y2my1y2-y1=54 y1+y2+5y254 y1+y2-y1=5，即 x0+3x0-3=5，所以 x0=92，综上所述，直线 AP 与直线 BQ 的交点 N 在定直线 x=92 上运动.【点睛】定值问题常见方法：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；(2)直接推理计算，并在计算

60、推理的过程中消去变量，从而得到定值.7 已知 F 是椭圆 C:x2a2+y2b2=1 a b 0的左焦点，O 为坐标原点，M 为椭圆上任意一点，椭圆的离心率为32，MOF 的面积的最大值为32.(1)求椭圆 C 的方程；(2)A，B 为椭圆的左，右顶点，点 P 1,0，当 M 不与 A，B 重合时，射线 MP 交椭圆 C 于点 N，直线AM，BN 交于点 T，求 ATB 的最大值.【答案】(1)x24+y2=1，(2)6【分析】(1)根据条件，列出关于 a,b,c 的方程，即可求解；(2)首先设直线 MN 的方程为 x=my+1，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，并利用坐标表示直线 AM,B

61、N 的方程，并且联立方程求点 T 的轨迹方程，再利用两直线的倾斜角表示 ATB,利用斜率表示 tanATB，再利用基本不等式即可求解.【详解】(1)由ca=3212 cb=32a2=b2+c2，解得 a=2，b=1，c=3 所以椭圆 E 的方程为 x24+y2=1.(2)由题知 MN 不与 x 轴重合，设直线 MN 的方程为 x=my+1，联立方程组x24+y2=1x=my+1，消 x 整理得 m2+4y2+2my-3=0，=4m2+12 m2+4=48 m2+10，设 M x1,y1、N x2,y2，则 y1+y2=-2mm2+4，y1y2=-3m2+4.因为 AM 的方程为 y=y1x1+

62、2 x+2，AN 的方程为 y=y2x2-2 x-2两直线方程联立得：x-2x+2=y1 x2-2y2 x1+2=y1 my2+1-2y2 my1+1+2=my1y2-y1my1y2+3y224因为 my1y2=-3mm2+4=32 y1+y2.所以 x-2x+2=32 y1+y2-y132 y1+y2+3y2=12 y1+32 y232 y1+92 y2=13，解得 x=4.所以动点 T 的轨迹方程为 x=4 y 0由椭圆的对称性不妨设 T 4,tt 0，直线 TA、TB 的倾斜角为，由图可知 ，且 0 -b 0)的离心率为32，右焦点为 F3,0，A，B 分别为椭圆 C的左、右顶点.(1)

63、求椭圆 C 的方程；(2)过点 D 1,0作斜率不为 0 的直线 l，直线 l 与椭圆 C 交于 P，Q 两点，记直线 AP 的斜率为 k1，直线BQ 的斜率为 k2，求证：k1k2为定值；(3)在(2)的条件下，直线 AP 与直线 BQ 交于点 M，求证：点 M 在定直线上.【答案】(1)x24+y2=1(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)根据椭圆的几何性质列出方程组求出 a,b,c，即可得出椭圆 C 的方程；(2)设 P x1,y1，Q x2,y2，直线 l 的方程为 x=ty+1，与椭圆方程联立得到 y1+y2,y1y2，代入 k1k2的表达式，即可得出 k1k2为定值；(3)

64、根据(1)中的结论，设 k1=m，则 k2=3m，求出直线 AP、BQ 的方程，联立即可求出点 M 的坐标，从25而可知其在定直线上【详解】(1)依题可得 e=ca=32c=3，解得 a=2c=3，所以 b2=a2-c2=1，所以椭圆 C 的方程为 x24+y2=1(2)设 P x1,y1，Q x2,y2，因为直线 l 过点 D 1,0且斜率不为 0，所以可设 l 的方程为 x=ty+1，代入椭圆方程 x24+y2=1 得 t2+4y2+2ty-3=0，其判别式 =4t2+12 t2+4 0，所以 y1+y2=-2tt2+4，y1y2=-3t2+4.两式相除得 y1+y2y1y2=23 t，即

65、 ty1y2=32 y1+y2因为 A,B 分别为椭圆 C 的左、右顶点，所以点 A 的坐标为-2,0，点 B 的坐标为 2,0，所以 k1=y1x1+2=y1ty1+3，k2=y2x2-2=y2ty2-1 从而 k1k2=y1 ty2-1y2 ty1+3=3 y1+y22-y13 y1+y22+3y2=y1+3y23y1+9y2=13(3)由(1)知 k1k2=13，设 k1=m，则 k2=3m，所以直线 AP 的方程为 y=mx+2m，直线 BQ 的方程为 y=3mx-6m，联立 y=mx+2my=3mx-6m可得 x=4y=6m，所以直线 AP 与直线 BQ 的交点 M 的坐标为 4,6m，所以点 M 在定直线 x=4 上.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为 x1,y1、x2,y2；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 x(或 y)的一元二次方程，必要时计算；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为 x1+x2、x1x2的形式；(5)代入韦达定理求解.