（2019-2023）五年高考数学真题分类汇编 学生版.pdf

1、五年高考真题分类汇编（2019-2023）学生版专题 01 集合与常用逻辑用语专题 02 函数的基本概念与基本初等函数 I专题 03 导数及其应用专题 04 立体几何专题 05 平面解析几何专题 06 三角函数及解三角形专题 07 数列专题 08 计数原理、概率及统计专题 09 平面向量、不等式及复数专题 01 集合与常用逻辑用语高频考点考点精析考点一 元素与集合关系的判断1(2023 上海)已知 P=1，2，Q=2，3，若 M=x|x P，x Q，则 M=()A.1B.2C.3D.1，2，3考点二 集合的包含关系判断及应用2(2023 新高考)设集合 A=0，-a，B=1，a-2，2a-2，

2、若 A B，则 a=()A.2B.1C.23D.-13(2021 上海)已知集合 A=x|x-1，x R，B=x|x2-x-2 0，x R，则下列关系中，正确的是()A.A BB.RA RBC.A B=D.A B=R1考点三 并集及其运算4(2022 浙江)设集合 A=1，2，B=2，4，6，则 A B=()A.2B.1，2C.2，4，6D.1，2，4，65(2020 山东)设集合 A=x|1 x 3，B=x|2 x 4，则 A B=()A.x|2 x 3B.x|2 x 3C.x|1 x 4D.x|1 x 4考点四 交集及其运算6(2023 新高考)已知集合 M=-2，-1，0，1，2，N=x

3、|x2-x-6 0，则 M N=()A.-2，-1，0，1B.0，1，2C.-2D.27(2022 上海)若集合 A=-1，2)，B=Z，则 A B=()A.-2，-1，0，1B.-1，0，1C.-1，0D.-18(2022 新高考)若集合 M=x|x 4，N=x|3x 1，则 M N=()A.x|0 x 2B.x 13 x 2C.x|3 x 16D.x 13 x 169(2022 新高考)已知集合 A=-1，1，2，4，B=x|x-1|1，则 A B=()A.-1，2B.1，2C.1，4D.-1，410(2021 新高考)设集合 A=x|-2 x 4，B=2，3，4，5，则 A B=()A.

4、2，3，4B.3，4C.2，3D.2211(2021 浙江)设集合 A=x|x 1，B=x|-1 x-1B.x|x 1C.x|-1 x 1D.x|1 x 212(2020 浙江)已知集合 P=x|1 x 4，Q=x|2 x 3，则 P Q=()A.x|1 x 2B.x|2 x 3C.x|3 x 4D.x|1 x 413(2021 上海)已知 A=x|2x 1，B=-1，0，1，则 A B=14(2020 上海)已知集合 A=1，2，4，集合 B=2，4，5，则 A B=15(2019 上海)已知集合 A=(-,3)，B=(2,+)，则 A B=3考点五 交、并、补集的混合运算16(2021 新

5、高考)若全集 U=1，2，3，4，5，6，集合 A=1，3，6，B=2，3，4，则 A UB=()A.3B.1，6C.5，6D.1，317(2019 浙江)已知全集 U=-1，0，1，2，3，集合 A=0，1，2，B=-1，0，1，则(UA)B=()A.-1B.0，1C.-1，2，3D.-1，0，1，3考点六 命题的真假判断与应用18(2020 浙江)设集合 S，T，S N*，T N*，S，T 中至少有 2 个元素，且 S，T 满足：对于任意的 x，y S，若 x y，则 xy T；对于任意的 x，y T，若 x y，则 yx S下列命题正确的是()A.若 S 有 4 个元素，则 S T 有

6、7 个元素B.若 S 有 4 个元素，则 S T 有 6 个元素C.若 S 有 3 个元素，则 S T 有 5 个元素D.若 S 有 3 个元素，则 S T 有 4 个元素考点七 充分条件与必要条件19(2020 上海)命题 p：存在 a R 且 a 0，对于任意的 x R，使得 f(x+a)0 恒成立；命题 q2:f(x)单调递增，存在 x0 0，b 0，则“a+b 4”是“ab 4”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件22(2019 上海)已知 a、b R，则“a2 b2”是“|a|b|”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D

7、.既非充分又非必要条件5专题 02 函数的基本概念与基本初等函数 I高频考点考点精析考点一 函数的值域1(2019 上海)下列函数中，值域为 0，+)的是()A.y=2xB.y=x12C.y=tanxD.y=cosx2(2023 上海)已知函数 f(x)=1,x 0,2x,x 0，则函数 f(x)的值域为63(2022 上海)设函数 f(x)满足 f(x)=f11+x对任意 x 0，+)都成立，其值域是 Af，已知对任何满足上述条件的 f(x)都有 y|y=f(x)，0 x a=Af，则 a 的取值范围为考点二 函数的图象与图象的变换4(2021 浙江)已知函数 f(x)=x2+14，g(x)

8、=sinx，则图象为如图的函数可能是()A.y=f(x)+g(x)-14B.y=f(x)-g(x)-14C.y=f(x)g(x)D.y=g(x)f(x)75(2020 浙江)函数 y=xcosx+sinx 在区间-，上的图象可能是()A.B.C.D.6(2019 浙江)在同一直角坐标系中，函数 y=1ax，y=loga x+12(a 0 且 a 1)的图象可能是()A.B.C.D.8考点三复合函数的单调性7(2023 新高考)设函数 f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)单调递减，则 a 的取值范围是()A.(-，-2B.-2，0)C.(0，2D.2，+)8(2020 海南)已知函数 f(x

9、)=lg(x2-4x-5)在(a,+)上单调递增，则 a 的取值范围是()A.(2,+)B.2，+)C.(5,+)D.5，+)9考点四 函数的最值及其几何意义9(2021 新高考)函数 f(x)=|2x-1|-2lnx 的最小值为10(2019 浙江)已知 a R，函数 f(x)=ax3-x若存在 t R，使得|f(t+2)-f(t)|23，则实数 a的最大值是10考点五 函数奇偶性的性质与判断11(2023 新高考)若 f(x)=(x+a)ln 2x-12x+1 为偶函数，则 a=()A.-1B.0C.12D.112(2021 上海)以下哪个函数既是奇函数，又是减函数()A.y=-3xB.y

10、=x3C.y=log3xD.y=3x13(2019 上海)已知 R，函数 f(x)=(x-6)2 sin(x)，存在常数 a R，使 f(x+a)为偶函数，则 的值可能为()A.2B.3C.4D.51114(2021 新高考)写出一个同时具有下列性质的函数 f(x):f(x1x2)=f(x1)f(x2)；当 x (0,+)时，f(x)0；f(x)是奇函数15(2021 新高考)已知函数 f(x)=x3(a 2x-2-x)是偶函数，则 a=16(2023 上海)已知 a，c R，函数 f(x)=x2+(3a+1)x+cx+a(1)若 a=0，求函数的定义域，并判断是否存在 c 使得 f(x)是奇

11、函数，说明理由；(2)若函数过点(1,3)，且函数 f(x)与 x 轴负半轴有两个不同交点，求此时 c 的值和 a 的取值范围1217(2021 新高考)已知函数 f(x)的定义域为 R(f(x)不恒为 0)，f(x+2)为偶函数，f(2x+1)为奇函数，则()A.f-12=0B.f(-1)=0C.f(2)=0D.f(4)=018(2020 海南)若定义在 R 的奇函数 f(x)在(-,0)单调递减，且 f(2)=0，则满足 xf(x-1)0 的x 的取值范围是()A.-1，1 3，+)B.-3，-1 0，1C.-1，0 1，+)D.-1，0 1，313考点七 分段函数的应用19(2022 上

12、海)若函数 f(x)=a2x-1x 00 x=0，为奇函数，求参数 a 的值为20(2022 浙江)已知函数 f(x)=-x2+2,x 1,x+1x-1,x 1,则 f f12=3728 ；若当 x a，b 时，1 f(x)3，则 b-a 的最大值是14考点八 抽象函数及其应用21(2022 新高考)已知函数 f(x)的定义域为 R，且 f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)，f(1)=1，则22k=1f(k)=()A.-3B.-2C.0D.122【多选】(2023 新高考)已知函数 f(x)的定义域为 R，f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，则()A.f(0)=0B.f(1)=0C

13、.f(x)是偶函数D.x=0 为 f(x)的极小值点23(2020 上海)已知非空集合 A R，函数 y=f(x)的定义域为 D，若对任意 t A 且 x D，不等式f(x)f(x+t)恒成立，则称函数 f(x)具有 A 性质(1)当 A=-1，判断 f(x)=-x、g(x)=2x 是否具有 A 性质；(2)当 A=(0,1)，f(x)=x+1x，x a，+)，若 f(x)具有 A 性质，求 a 的取值范围；(3)当 A=-2，m，m Z，若 D 为整数集且具有 A 性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的 m 的值15考点九 函数的周期性24(2019 上海)已知函数 f(x)周期为 1，且

14、当 0 x 1 时，f(x)=log2x，则 f32=考点十 函数恒成立问题25(2021 上海)已知 x1，x2 R，若对任意的 x2-x1 S，f(x2)-f(x1)S，则有定义：f(x)是在 S 关联的(1)判断和证明 f(x)=2x-1 是否在 0，+)关联？是否有 0，1 关联？(2)若 f(x)是在 3 关联的，f(x)在 x 0，3)时，f(x)=x2-2x，求解不等式：2 f(x)3(3)证明：f(x)是 1 关联的，且是在 0，+)关联的，当且仅当“f(x)在 1，2 是关联的”16考点十一 对数的运算性质26(2022 浙江)已知 2a=5，log83=b，则 4a-3b=

15、()A.25B.5C.259D.53考点十二 对数值大小的比较27(2022 新高考)设 a=0.1e0.1，b=19，c=-ln0.9，则()A.a b cB.c b aC.c a bD.a c b28(2021 新高考)已知 a=log52，b=log83，c=12，则下列判断正确的是()A.c b aB.b a cC.a c bD.a b c考点十三 反函数29(2021 上海)已知 f(x)=3x+2，则 f-1(1)=30(2020 上海)已知函数 f(x)=x3，f-1(x)是 f(x)的反函数，则 f-1(x)=17考点十四 函数与方程的综合运用31(2019 浙江)设 a，b

16、R，函数 f(x)=x,x 0,13 x3-12(a+1)x2+ax,x 0 若函数 y=f(x)-ax-b 恰有3 个零点，则()A.a-1，b 0B.a 0C.a-1，b-1，b 032(2019 上海)已知 f(x)=2x-1-a(x 1,a 0)，f(x)与 x 轴交点为 A，若对于 f(x)图象上任意一点 P，在其图象上总存在另一点 Q(P、Q 异于 A)，满足 AP AQ，且|AP|=|AQ|，则 a=33(2019 上海)已知 f(x)=ax+1x+1，a R(1)当 a=1 时，求不等式 f(x)+1 0)是听觉下限阈值，p 是实际声压下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/

17、m声压级/dB燃油汽车106090混合动力汽车105060电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 10m 处测得实际声压分别为 p1，p2，p3，则()A.p1 p2B.p2 10p3C.p3=100p0D.p1 100p21936(2023 上海)为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数”S=F0V0，其中 F0为建筑物暴露在空气中的面积(单位：平方米)，V0为建筑物的体积(单位：立方米)(1)若有一个圆柱体建筑的底面半径为 R，高度为 H，暴露在空气中的部分为上底面和侧面，试求该建筑体的“体形系数”S；(结果用含 R、H 的代数式表示)(2)定义建筑物的“形状因子

18、”为 f=L2A，其中 A 为建筑物底面面积，L 为建筑物底面周长，又定义 T 为总建筑面积，即为每层建筑面积之和(每层建筑面积为每一层的底面面积)设 n 为某宿舍楼的层数，层高为 3 米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为 S=f nT+13n 当 f=18，T=10000 时，试求当该宿舍楼的层数 n 为多少时，“体形系数”S 最小37(2021 上海)已知一企业今年第一季度的营业额为 1.1 亿元，往后每个季度增加 0.05 亿元，第一季度的利润为 0.16 亿元，往后每一季度比前一季度增长 4%(1)求今年起的前 20 个季度的总营业额；(2)请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的

19、 18%？2038(2020 上海)在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为 v=qx，x 为道路密度，q 为车辆密度，交通流量 v=f(x)=100-135 1380 x,0 x 95，求道路密度 x 的取值范围；(2)已知道路密度 x=80 时，测得交通流量 v=50，求车辆密度 q 的最大值21专题 03 导数及其应用高频考点考点精析考点一 导数的运算1【多选】(2022 新高考)已知函数 f(x)及其导函数 f(x)的定义域均为 R，记 g(x)=f(x)若f32-2x，g(2+x

20、)均为偶函数，则()A.f(0)=0B.g-12=0C.f(-1)=f(4)D.g(-1)=g(2)考点二 利用导数研究曲线上某点切线方程2(2021 新高考)若过点(a,b)可以作曲线 y=ex的两条切线，则()A.eb aB.ea bC.0 a ebD.0 b ea223(2022 新高考)若曲线 y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，则 a 的取值范围是4(2022 新高考)曲线 y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为，5(2021 新高考)已知函数 f(x)=|ex-1|，x1 0，函数 f(x)的图象在点 A(x1，f(x1)和点 B(x2，f(x2)的两条切线互相垂直，且分

21、别交 y 轴于 M，N 两点，则|AM|BN|的取值范围是23考点三 利用导数研究函数的单调性6(2023 新高考)已知函数 f(x)=aex-lnx 在区间(1,2)上单调递增，则 a 的最小值为()A.e2B.eC.e-1D.e-27(2023 新高考)已知函数 f(x)=a(ex+a)-x(1)讨论 f(x)的单调性；(2)证明：当 a 0 时，f(x)2lna+32 248(2022 浙江)设函数 f(x)=e2x+lnx(x 0)()求 f(x)的单调区间；()已知 a，b R，曲线 y=f(x)上不同的三点(x1，f(x1)，(x2，f(x2)，(x3，f(x3)处的切线都经过点(

22、a,b)证明：()若 a e，则 0 b-f(a)12ae-1；()若 0 a e，x1 x2 x3，则 2e+e-a6e2 1x1+1x3 0 时，f(x)ln(n+1)2510(2021 新高考)已知函数 f(x)=(x-1)ex-ax2+b()讨论 f(x)的单调性；()从下面两个条件中选一个，证明：f(x)恰有一个零点 12 2a；0 a 1，函数 f(x)=ax-bx+e2(x R)()求函数 f(x)的单调区间；()若对任意 b 2e2，函数 f(x)有两个不同的零点，求 a 的取值范围；()当 a=e 时，证明：对任意 b e4，函数 f(x)有两个不同的零点 x1，x2，满足

23、x2 blnb2e2 x1+e2b(注:e=2.71828 是自然对数的底数)2612(2021 新高考)已知函数 f(x)=x(1-lnx)(1)讨论 f(x)的单调性；(2)设 a，b 为两个不相等的正数，且 blna-alnb=a-b，证明：2 1a+1b 0()当 a=-34 时，求函数 f(x)的单调区间；()对任意 x 1e2，+均有 f(x)x2a，求 a 的取值范围注：e=2.71828 为自然对数的底数28考点四 利用导数研究函数的极值15【多选】(2023 新高考)若函数 f(x)=alnx+bx+cx2(a 0)既有极大值也有极小值，则()A.bc 0B.ab 0C.b2

24、+8ac 0D.ac 016【多选】(2022 新高考)已知函数 f(x)=x3-x+1，则()A.f(x)有两个极值点B.f(x)有三个零点C.点(0,1)是曲线 y=f(x)的对称中心D.直线 y=2x 是曲线 y=f(x)的切线2917(2023 新高考)(1)证明：当 0 x 1 时，x-x2 sinx x；(2)已知函数 f(x)=cosax-ln(1-x2)，若 x=0 为 f(x)的极大值点，求 a 的取值范围30考点五 利用导数研究函数的最值18(2022 新高考)已知函数 f(x)=ex-ax 和 g(x)=ax-lnx 有相同的最小值(1)求 a；(2)证明：存在直线 y=

25、b，其与两条曲线 y=f(x)和 y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列31专题 04 立体几何高频考点考点精析考点一 空间几何体的侧面积和表面积1(2021 新高考)已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为()A.2B.2 2C.4D.4 22(2022 上海)已知圆柱的高为 4，底面积为 9，则圆柱的侧面积为3(2021 上海)已知圆柱的底面圆半径为 1，高为 2，AB 为上底面圆的一条直径，C 是下底面圆周上的一个动点，则 ABC 的面积的取值范围为324(2021 上海)已知圆柱的底面半径为 1，高为 2，则圆柱的侧面积为5(

26、2019 上海)一个直角三角形的两条直角边长分别为 1 和 2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为()A.1B.2C.4D.86(2020 浙江)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为 2，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是7(2022 新高考)已知正三棱台的高为 1，上、下底面边长分别为 3 3 和 4 3，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A.100B.128C.144D.1928(2021 新高考)北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果在卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为 3600

27、0km(轨道高度是指卫星到地球表面的距离)将地球看作是一个球心为 O，半径 r 为 6400km 的球，其上点 A 的纬度是指 OA 与赤道平面所成角的度数地球表面上能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，该卫星信号覆盖地球表面的表面积 S=2r2(1-cos)(单位：km2)，则 S 占地球表面积的百分比约为()A.26%B.34%C.42%D.50%33考点二 空间几何体的体积9(2022 新高考)已知正四棱锥的侧棱长为 l，其各顶点都在同一球面上若该球的体积为 36，且3 l 3 3，则该正四棱锥体积的取值范围是()A.18，814B.274，814C.274，643D.

28、18，2710(2022 新高考)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库已知该水库水位为海拔 148.5m 时，相应水面的面积为 140.0km2；水位为海拔 157.5m 时，相应水面的面积为 180.0km2将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔 148.5m 上升到157.5m 时，增加的水量约为(7 2.65)()A.1.0 109m3B.1.2 109m3C.1.4 109m3D.1.6 109m311(2021 新高考)正四棱台的上、下底面的边长分别为 2，4，侧棱长为 2，则其体积为()A.20+12 3B.28 2C.563D

29、.28 2312【多选】(2023 新高考)下列物体中，能够被整体放入棱长为 1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有()A.直径为 0.99m 的球体B.所有棱长均为 1.4m 的四面体C.底面直径为 0.01m，高为 1.8m 的圆柱体D.底面直径为 1.2m，高为 0.01m 的圆柱体3413【多选】(2022 新高考)如图，四边形 ABCD 为正方形，ED 平面 ABCD，FB ED，AB=ED=2FB记三棱锥 E-ACD，F-ABC，F-ACE 的体积分别为 V1，V2，V3，则()A.V3=2V2B.V3=V1C.V3=V1+V2D.2V3=3V114【多选】(202

30、1 新高考)在正三棱柱 ABC-A1B1C1中，AB=AA1=1，点 P 满足 BP=BC+BB1，其中 0，1，0，1，则()A.当 =1 时，AB1P 的周长为定值B.当 =1 时，三棱锥 P-A1BC 的体积为定值C.当 =12 时，有且仅有一个点 P，使得 A1P BPD.当 =12 时，有且仅有一个点 P，使得 A1B 平面 AB1P15(2023 新高考)底面边长为 4 的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为 2，高为 3 的正四棱锥，所得棱台的体积为3516(2023 新高考)在正四棱台 ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，A1B1=1，AA1=2，则该棱台的

31、体积为17(2020 海南)已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 2，M、N 分别为 BB1、AB 的中点，则三棱锥 A-NMD1的体积为18(2022 上海)如图所示三棱锥，底面为等边 ABC，O 为 AC 边中点，且 PO 底面 ABC，AP=AC=2(1)求三棱锥体积 VP-ABC；(2)若 M 为 BC 中点，求 PM 与面 PAC 所成角大小19(2020 上海)已知四棱锥 P-ABCD，底面 ABCD 为正方形，边长为 3，PD 平面 ABCD(1)若 PC=5，求四棱锥 P-ABCD 的体积；(2)若直线 AD 与 BP 的夹角为 60，求 PD 的长36考点三 空间中

32、直线与直线之间的位置关系20(2022 上海)如图正方体 ABCD-A1B1C1D1中，P、Q、R、S 分别为棱 AB、BC、BB1、CD 的中点，联结 A1S，B1D空间任意两点 M、N，若线段 MN 上不存在点在线段 A1S、B1D 上，则称 MN 两点可视，则下列选项中与点 D1可视的为()A.点 PB.点 BC.点 RD.点 Q21(2021 浙江)如图，已知正方体 ABCD-A1B1C1D1，M，N 分别是 A1D，D1B 的中点，则()A.直线 A1D 与直线 D1B 垂直，直线 MN 平面 ABCDB.直线 A1D 与直线 D1B 平行，直线 MN 平面 BDD1B1C.直线 A

33、1D 与直线 D1B 相交，直线 MN 平面 ABCDD.直线 A1D 与直线 D1B 异面，直线 MN 平面 BDD1B122(2020 上海)在棱长为 10 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，P 为左侧面 ADD1A1上一点，已知点 P到 A1D1的距离为 3，P 到 AA1的距离为 2，则过点 P 且与 A1C 平行的直线交正方体于 P、Q 两点，则 Q 点所在的平面是()A.AA1B1BB.BB1C1CC.CC1D1DD.ABCD3723(2023 上海)如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，点 P 为边 A1C1上的动点，则下列直线中，始终与直线 BP 异面的是()

34、A.DD1B.ACC.AD1D.B1C考点四 异面直线及其所成的角24【多选】(2022 新高考)已知正方体 ABCD-A1B1C1D1，则()A.直线 BC1与 DA1所成的角为 90B.直线 BC1与 CA1所成的角为 90C.直线 BC1与平面 BB1D1D 所成的角为 45D.直线 BC1与平面 ABCD 所成的角为 45考点五 空间中直线与平面之间的位置关系25(2019 上海)已知平面、两两垂直，直线 a、b、c 满足：a ，b ，c ，则直线 a、b、c 不可能满足以下哪种关系()A.两两垂直B.两两平行C.两两相交D.两两异面3826【多选】(2021 新高考)如图，下列正方体

35、中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M，N 为正方体的顶点，则满足 MN OP 的是()A.B.C.D.考点六 直线与平面所成的角27(2020 山东)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间把地球看成一个球(球心记为 O)，地球上一点 A 的纬度是指 OA 与地球赤道所在平面所成角，点 A 处的水平面是指过点 A 且与 OA 垂直的平面在点 A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点 A 处的纬度为北纬 40，则晷针与点 A 处的水平面所成角为()A.20B.40C.50D.903928(2021 上海)如图，在长方体 ABCD-A1B1C

36、1D1中，已知 AB=BC=2，AA1=3(1)若 P 是棱 A1D1上的动点，求三棱锥 C-PAD 的体积；(2)求直线 AB1与平面 ACC1A1的夹角大小29(2021 浙江)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，ABC=120，AB=1，BC=4，PA=15，M，N 分别为 BC，PC 的中点，PD DC，PM MD()证明：AB PM；()求直线 AN 与平面 PDM 所成角的正弦值4030(2020 海南)如图，四棱锥 P-ABCD 的底面为正方形，PD 底面 ABCD设平面 PAD 与平面 PBC 的交线为 l(1)证明：l 平面 PDC；(2)已知 P

37、D=AD=1，Q 为 l 上的点，QB=2，求 PB 与平面 QCD 所成角的正弦值31(2020 上海)已知 ABCD 是边长为 1 的正方形，正方形 ABCD 绕 AB 旋转形成一个圆柱(1)求该圆柱的表面积；(2)正方形 ABCD 绕 AB 逆时针旋转 2 至 ABC1D1，求线段 CD1与平面 ABCD 所成的角4132(2020 山东)如图，四棱锥 P-ABCD 的底面为正方形，PD 底面 ABCD设平面 PAD 与平面 PBC 的交线为 l(1)证明：l 平面 PDC；(2)已知 PD=AD=1，Q 为 l 上的点，求 PB 与平面 QCD 所成角的正弦值的最大值33(2020 浙

38、江)如图，在三棱台 ABC-DEF 中，平面 ACFD 平面 ABC，ACB=ACD=45，DC=2BC()证明：EF DB；()求直线 DF 与平面 DBC 所成角的正弦值4234(2019 上海)如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，M 为 BB1上一点，已知 BM=2，CD=3，AD=4，AA1=5(1)求直线 A1C 和平面 ABCD 的夹角；(2)求点 A 到平面 A1MC 的距离35(2019 浙江)如图，已知三棱柱 ABC-A1B1C1，平面 A1ACC1 平面 ABC，ABC=90，BAC=30，A1A=A1C=AC，E，F 分别是 AC，A1B1的中点()证明：EF

39、BC；()求直线 EF 与平面 A1BC 所成角的余弦值43考点七 二面角的平面角及求法36(2022 浙江)如图，已知正三棱柱 ABC-A1B1C1，AC=AA1，E，F 分别是棱 BC，A1C1上的点记 EF 与 AA1所成的角为，EF 与平面 ABC 所成的角为，二面角 F-BC-A 的平面角为，则()A.B.C.D.37(2019 浙江)设三棱锥 V-ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱 VA 上的点(不含端点)记直线 PB 与直线 AC 所成角为，直线 PB 与平面 ABC 所成角为，二面角 P-AC-B 的平面角为，则()A.，B.，C.，D.，0)与圆 x2+y2=1

40、 和圆(x-4)2+y2=1 均相切，则 k=，b=13(2023 新高考)设椭圆 C1:x2a2+y2=1(a 1)，C2:x24+y2=1 的离心率分别为 e1，e2若 e2=3e1，则 a=()A.2 33B.2C.3D.614(2021 新高考)已知 F1，F2是椭圆 C:x29+y24=1 的两个焦点，点 M 在 C 上，则|MF1|MF2|的最大值为()A.13B.12C.9D.65315(2023 新高考)已知椭圆 C:x23+y2=1 的左焦点和右焦点分别为 F1和 F2，直线 y=x+m 与 C交于点 A，B 两点，若 F1AB 面积是 F2AB 面积的两倍，则 m=()A.

41、23B.23C.-23D.-2316(2022 新高考)已知直线 l 与椭圆 x26+y23=1 在第一象限交于 A，B 两点，l 与 x 轴、y 轴分别相交于 M，N 两点，且|MA|=|NB|，|MN|=2 3，则 l 的方程为17(2021 上海)已知椭圆 x2+y2b2=1(0 b b 0)，焦点 F1(-c,0)，F2(c，0)(c 0)若过 F1的直线和圆 x-12 c2+y2=c2相切，与椭圆的第一象限交于点 P，且 PF2 x 轴，则该直线的斜率是，椭圆的离心率是19(2019 浙江)已知椭圆 x29+y25=1 的左焦点为 F，点 P 在椭圆上且在 x 轴的上方若线段 PF

42、的中点在以原点 O 为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线 PF 的斜率是20(2019 上海)已知椭圆 x28+y24=1，F1，F2为左、右焦点，直线 l 过 F2交椭圆于 A，B 两点(1)若直线 l 垂直于 x 轴，求|AB|；(2)当 F1AB=90 时，A 在 x 轴上方时，求 A、B 的坐标；(3)若直线 AF1交 y 轴于 M，直线 BF1交 y 轴于 N，是否存在直线 l，使得 SF1AB=SF1MN，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由5521(2022 新高考)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)，C 的上顶点为 A，两个焦点为 F1，F2，离心率

43、为 12 过 F1且垂直于 AF2的直线与 C 交于 D，E 两点，|DE|=6，则 ADE 的周长是22(2020 海南)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)过点 M(2,3)，点 A 为其左顶点，且 AM 的斜率为 12(1)求 C 的方程；(2)点 N 为椭圆上任意一点，求 AMN 的面积的最大值23(2020 山东)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的离心率为22，且过点 A(2,1)(1)求 C 的方程；(2)点 M，N 在 C 上，且 AM AN，AD MN，D 为垂足证明：存在定点 Q，使得|DQ|为定值5624(2022 上海)双曲线 x29-y2

44、=1 的实轴长为25(2019 浙江)渐近线方程为 x y=0 的双曲线的离心率是()A.22B.1C.2D.226(2021 新高考)已知双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的离心率 e=2，则该双曲线的渐近线方程为27(2023 新高考)已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为 F1，F2点 A 在 C上，点 B 在 y 轴上，F1A F1B，F2A=-23 F2B，则 C 的离心率为5728(2022 浙江)已知双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的左焦点为 F，过 F 且斜率为 b4a 的直线交双曲线于点 A(x1，y1)，交双

45、曲线的渐近线于点 B(x2，y2)且 x1 0 1)上，直线 l 交 C 于 P，Q 两点，直线 AP，AQ 的斜率之和为 0(1)求 l 的斜率；(2)若 tanPAQ=2 2，求 PAQ 的面积5830(2021 新高考)在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F1(-17，0)，F2(17，0)，点 M 满足|MF1|-|MF2|=2记 M 的轨迹为 C(1)求 C 的方程；(2)设点 T 在直线 x=12 上，过 T 的两条直线分别交 C 于 A，B 两点和 P，Q 两点，且|TA|TB|=|TP|TQ|，求直线 AB 的斜率与直线 PQ 的斜率之和31(2022 新高考)已知双曲线 C

46、:x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的右焦点为 F(2,0)，渐近线方程为 y=3x(1)求 C 的方程；(2)过 F 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点，点 P(x1，y1)，Q(x2，y2)在 C 上，且 x1 x2 0，y10过 P 且斜率为-3 的直线与过 Q 且斜率为3 的直线交于点 M 从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立 M 在 AB 上；PQ AB；|MA|=|MB|注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分5932(2020 上海)已知双曲线 1:x24-y2b2=1 与圆 2:x2+y2=4+b2(b 0)交于点 A(xA，yA)(第一象限)

47、，曲线 为 1、2上取满足|x|xA的部分(1)若 xA=6，求 b 的值；(2)当 b=5，2与 x 轴交点记作点 F1、F2，P 是曲线 上一点，且在第一象限，且|PF1|=8，求 F1PF2；(3)过点 D 0,b22+2斜率为-b2 的直线 l 与曲线 只有两个交点，记为 M、N，用 b 表示 OM ON，并求OM ON的取值范围33(2023 新高考)已知双曲线 C 中心为坐标原点，左焦点为(-2 5，0)，离心率为5(1)求 C 的方程；(2)记 C 的左、右顶点分别为 A1，A2，过点(-4,0)的直线与 C 的左支交于 M，N 两点，M 在第二象限，直线 MA1与 NA2交于

48、P，证明 P 在定直线上6034(2021 新高考)若抛物线 y2=2px(p 0)的焦点到直线 y=x+1 的距离为2，则p=()A.1B.2C.2 2D.435【多选】(2022 新高考)已知 O 为坐标原点，过抛物线 C:y2=2px(p 0)焦点 F 的直线与 C 交于 A，B 两点，其中 A 在第一象限，点 M(p,0)若|AF|=|AM|，则()A.直线 AB 的斜率为 2 6B.|OB|=|OF|C.|AB|4|OF|D.OAM+OBM 0)，若第一象限的 A，B 在抛物线上，焦点为 F，|AF|=2，|BF|=4，|AB|=3，求直线 AB 的斜率为37(2021 新高考)已知

49、 O 为坐标原点，抛物线 C:y2=2px(p 0)的焦点为 F，P 为 C 上一点，PF与 x 轴垂直，Q 为 x 轴上一点，且 PQ OP若|FQ|=6，则 C 的准线方程为6138(2020 山东)斜率为3 的直线过抛物线 C:y2=4x 的焦点，且与 C 交于 A，B 两点，则|AB|=39(2019 上海)过曲线 y2=4x 的焦点 F 并垂直于 x 轴的直线分别与曲线 y2=4x 交于 A，B，A 在 B上方，M 为抛物线上一点，OM=OA+(-2)OB，则 =40【多选】(2023 新高考)设 O 为坐标原点，直线 y=-3(x-1)过抛物线 C:y2=2px(p 0)的焦点，且

50、与 C 交于 M，N 两点，l 为 C 的准线，则()A.p=2B.|MN|=83C.以 MN 为直径的圆与 l 相切D.OMN 为等腰三角形41【多选】(2022 新高考)已知 O 为坐标原点，点 A(1,1)在抛物线 C:x2=2py(p 0)上，过点 B(0,-1)的直线交 C 于 P，Q 两点，则()A.C 的准线为 y=-1B.直线 AB 与 C 相切C.|OP|OQ|OA|2D.|BP|BQ|BA|26242(2023 上海)已知抛物线:y2=4x，在 上有一点 A 位于第一象限，设 A 的纵坐标为 a(a 0)(1)若 A 到抛物线 准线的距离为 3，求 a 的值；(2)当 a=

51、4 时，若 x 轴上存在一点 B，使 AB 的中点在抛物线 上，求 O 到直线 AB 的距离；(3)直线 l:x=-3，抛物线上有一异于点 A 的动点 P，P 在直线 l 上的投影为点 H，直线 AP 与直线 l 的交点为 Q若在 P 的位置变化过程中，|HQ|4 恒成立，求 a 的取值范围43(2020 浙江)如图，已知椭圆 C1:x22+y2=1，抛物线 C2:y2=2px(p 0)，点 A 是椭圆 C1与抛物线C2的交点，过点 A 的直线 l 交椭圆 C1于点 B，交抛物线 C2于点 M(B，M 不同于 A)()若 p=116，求抛物线 C2的焦点坐标；()若存在不过原点的直线 l 使

52、M 为线段 AB 的中点，求 p 的最大值6344(2019 浙江)如图，已知点 F(1,0)为抛物线 y2=2px(p 0)的焦点过点 F 的直线交抛物线于A，B 两点，点 C 在抛物线上，使得 ABC 的重心 G 在 x 轴上，直线 AC 交 x 轴于点 Q，且 Q 在点 F 的右侧记 AFG，CQG 的面积分别为 S1，S2()求 p 的值及抛物线的准线方程；()求 S1S2的最小值及此时点 G 的坐标45(2020 浙江)已知点 O(0,0)，A(-2,0)，B(2,0)设点 P 满足|PA|-|PB|=2，且 P 为函数 y=3 4-x2 图象上的点，则|OP|=()A.222B.4

53、 105C.7D.1046【多选】(2020 海南)已知曲线 C:mx2+ny2=1()A.若 m n 0，则 C 是椭圆，其焦点在 y 轴上B.若 m=n 0，则 C 是圆，其半径为nC.若 mn 0，则 C 是两条直线6447(2022 上海)设有椭圆方程:x2a2+y2b2=1(a b 0)，直线 l:x+y-4 2=0，下端点为 A，M在 l 上，左、右焦点分别为 F1(-2，0)、F2(2，0)(1)a=2，AM 中点在 x 轴上，求点 M 的坐标；(2)直线 l 与 y 轴交于 B，直线 AM 经过右焦点 F2，在 ABM 中有一内角余弦值为 35，求 b；(3)在椭圆 上存在一点

54、 P 到 l 距离为 d，使|PF1|+|PF2|+d=6，随 a 的变化，求 d 的最小值48(2022 浙江)如图，已知椭圆 x212+y2=1设 A，B 是椭圆上异于 P(0,1)的两点，且点 Q 0,12在线段 AB 上，直线 PA，PB 分别交直线 y=-12 x+3 于 C，D 两点()求点 P 到椭圆上点的距离的最大值；()求|CD|的最小值6549(2021 新高考)已知椭圆 C 的方程为 x2a2+y2b2=1(a b 0)，右焦点为 F(2，0)，且离心率为63()求椭圆 C 的方程；()设 M，N 是椭圆 C 上的两点，直线 MN 与曲线 x2+y2=b2(x 0)相切证

55、明：M，N，F 三点共线的充要条件是|MN|=350(2021 浙江)如图，已知 F 是抛物线 y2=2px(p 0)的焦点，M 是抛物线的准线与 x 轴的交点，且|MF|=2()求抛物线的方程：()设过点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，若斜率为 2 的直线 l 与直线 MA，MB，AB，x 轴依次交于点P，Q，R，N，且满足|RN|2=|PN|QN|，求直线 l 在 x 轴上截距的取值范围6651(2021 浙江)已知 a，b R，ab 0，函数 f(x)=ax2+b(x R)若 f(s-t)，f(s)，f(s+t)成等比数列，则平面上点(s,t)的轨迹是()A.直线和圆B.直线和椭圆

56、C.直线和双曲线D.直线和抛物线52(2020 上海)已知椭圆 x22+y2=1，作垂直于 x 轴的垂线交椭圆于 A、B 两点，作垂直于 y 轴的垂线交椭圆于 C、D 两点，且 AB=CD，两垂线相交于点 P，则点 P 的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.圆D.抛物线53(2023 新高考)在直角坐标系 xOy 中，点 P 到 x 轴的距离等于点 P 到点 0,12的距离，记动点P 的轨迹为 W(1)求 W 的方程；(2)已知矩形 ABCD 有三个顶点在 W 上，证明：矩形 ABCD 的周长大于 3 367专题 06 三角函数及解三角形高频考点考点精析考点一 同角三角函数间的基本关系1(2021

57、 新高考)若 tan=-2，则 sin(1+sin2)sin+cos=()A.-65B.-25C.25D.652(2022 新高考)记函数 f(x)=sin x+4+b(0)的最小正周期为 T若 23 T 0)在区间 0，2 有且仅有 3 个零点，则 的取值范围是4(2022 上海)函数 f(x)=cos2x-sin2x+1 的周期为5(2020 上海)函数 y=tan2x 的最小正周期为6(2020 上海)已知函数 f(x)=sinx，0(1)f(x)的周期是 4，求，并求 f(x)=12 的解集；(2)已知 =1，g(x)=f2(x)+3 f(-x)f2-x，x 0，4，求 g(x)的值域

58、697(2023 上海)已知 a R，记 y=sinx 在 a，2a 的最小值为 sa，在 2a，3a 的最小值为 ta，则下列情况不可能的是()A.sa 0，ta 0B.sa 0，ta 0，ta 0D.sa 08(2021 上海)已知 f(x)=3sinx+2，对任意的 x1 0，2，都存在 x2 0，2，使得 f(x1)=2f(x2+)+2 成立，则下列选项中，可能的值是()A.35B.45C.65D.759(2021 浙江)已知，是互不相同的锐角，则在 sincos，sincos，sincos 三个值中，大于12 的个数的最大值是()A.0B.1C.2D.310(2021 新高考)下列区

59、间中，函数 f(x)=7sin x-6单调递增的区间是()A.0，2B.2，C.，32D.32，27011(2019 浙江)设函数 f(x)=sinx，x R()已知 0，2)，函数 f(x+)是偶函数，求 的值；()求函数 y=f x+122+f x+42的值域12(2022 浙江)为了得到函数 y=2sin3x 的图象，只要把函数 y=2sin 3x+5图象上所有的点()A.向左平移 5 个单位长度B.向右平移 5 个单位长度C.向左平移 15 个单位长度D.向右平移 15 个单位长度13【多选】(2020 海南)如图是函数 y=sin(x+)的部分图象，则 sin(x+)=()A.sin

60、 x+3B.sin 3-2xC.cos 2x+6D.cos 56-2x7114(2023 新高考)已知函数 f(x)=sin(x+)，如图，A，B 是直线 y=12 与曲线 y=f(x)的两个交点，若|AB|=6，则 f()=15(2023 新高考)已知 sin(-)=13，cossin=16，则 cos(2+2)=()A.79B.19C.-19D.-7916(2022 新高考)若 sin(+)+cos(+)=2 2cos +4sin，则()A.tan(-)=1B.tan(+)=1C.tan(-)=-1D.tan(+)=-117(2019 上海)已知 tantan=tan(+)有下列两个结论：

61、存在 在第一象限，在第三象限；存在 在第二象限，在第四象限；则()A.均正确B.均错误C.对错D.错对18(2022 浙江)若 3sin-sin=10，+=2，则 sin=，cos2=7219(2023 上海)已知 tan=3，则 tan2=20(2020 浙江)已知 tan=2，则 cos2=，tan -4=21(2023 新高考)已知 为锐角，cos=1+54，则 sin 2=()A.3-58B.-1+58C.3-54D.-1+5422(2021 浙江)设函数 f(x)=sinx+cosx(x R)()求函数 y=f x+22的最小正周期；()求函数 y=f(x)f x-4在 0，2上的最

62、大值7323(2023 上海)已知 ABC 中，角 A，B，C 所对的边 a=4，b=5，c=6，则 sinA=24(2021 浙江)在 ABC 中，B=60，AB=2，M 是 BC 的中点，AM=2 3，则 AC=；cosMAC=25(2019 上海)在 ABC 中，AC=3，3sinA=2sinB，且 cosC=14，则 AB=26(2021 新高考)在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边长为 a，b，c，b=a+1，c=a+2(1)若 2sinC=3sinA，求 ABC 的面积；(2)是否存在正整数 a，使得 ABC 为钝角三角形？若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由7427(2

63、021 上海)在 ABC 中，已知 a=3，b=2c(1)若 A=23，求 SABC(2)若 2sinB-sinC=1，求 CABC28(2021 新高考)记 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 b2=ac，点 D 在边 AC上，BDsinABC=asinC(1)证明：BD=b；(2)若 AD=2DC，求 cosABC29(2020 浙江)在锐角 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知 2bsinA-3a=0()求角 B 的大小；()求 cosA+cosB+cosC 的取值范围7530(2020 山东)在 ac=3，csinA=3，c=3b 这三个条件

64、中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在 ABC，它的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 sinA=3sinB，C=6，？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分31(2023 新高考)已知在 ABC 中，A+B=3C，2sin(A-C)=sinB(1)求 sinA；(2)设 AB=5，求 AB 边上的高32(2022 新高考)记 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知cosA1+sinA=sin2B1+cos2B(1)若 C=23，求 B；(2)求 a2+b2c2的最小值7633(2

65、022 新高考)记 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，分别以 a，b，c 为边长的三个正三角形的面积依次为 S1，S2，S3已知 S1-S2+S3=32，sinB=13(1)求 ABC 的面积；(2)若 sinAsinC=23，求 b34(2022 浙江)在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知 4a=5c，cosC=35()求 sinA 的值；()若 b=11，求 ABC 的面积35(2023 上海)某公园欲建设一段斜坡，坡顶是一条直线，斜坡顶点距水平地面的高度为 4 米，坡面与水平面所成夹角为 行人每沿着斜坡向上走 1m 消耗的体力为(1.025-

66、cos)，欲使行人走上斜坡所消耗的总体力最小，则 =7736(2021 浙江)我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)若直角三角形直角边的长分别为 3，4，记大正方形的面积为 S1，小正方形的面积为 S2，则 S1S2=37(2019 浙江)在 ABC 中，ABC=90，AB=4，BC=3，点 D 在线段 AC 上，若 BDC=45，则 BD=，cosABD=38(2023 新高考)记 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ABC 面积为3，D 为BC 的中点，且 AD=1(1)若 ADC=

67、3，求 tanB；(2)若 b2+c2=8，求 b，c7839(2022 上海)如图，在同一平面上，AD=BC=6，AB=20，O 为 AB 中点，曲线 CD 上任一点到O 距离相等，角 DAB=ABC=120，P，Q 关于 OM 对称，MO AB；(1)若点 P 与点 C 重合，求 POB 的大小；(2)P 在何位置，求五边形 MQABP 面积 S 的最大值40(2019 上海)如图，A-B-C 为海岸线，AB 为线段，BC 为四分之一圆弧，BD=39.2km，BDC=22，CBD=68，BDA=58(1)求 BC 的长度；(2)若 AB=40km，求 D 到海岸线 A-B-C 的最短距离(

68、精确到 0.001km)79专题 07 数列高频考点考点精析考点一 数列的函数特性1(2020 浙江)已知数列 an 满足 an=n(n+1)2，则 S3=2(2023 新高考)记 Sn为数列 an 的前 n 项和，设甲：an 为等差数列；乙：Snn为等差数列，则()A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件803(2022 上海)已知等差数列 an 的公差不为零，Sn为其前 n 项和，若 S5=0，则 Si(i=1，2，100)中不同的数值有个4(2020 上海)已知数列 an 是公差不为零的等差数列，且

69、 a1+a10=a9，则 a1+a2+a9a10=5(2020 海南)将数列 2n-1 与 3n-2 的公共项从小到大排列得到数列 an，则 an 的前 n 项和为6(2021 新高考)记 Sn是公差不为 0 的等差数列 an 的前 n 项和，若 a3=S5，a2a4=S4()求数列 an 的通项公式 an；()求使 Sn an成立的 n 的最小值817(2023 新高考)记 Sn为等比数列 an 的前 n 项和，若 S4=-5，S6=21S2，则 S8=()A.120B.85C.-85D.-1208(2022 浙江)已知等差数列 an 的首项 a1=-1，公差 d 1记 an 的前 n 项和

70、为 Sn(n N*)()若 S4-2a2a3+6=0，求 Sn；()若对于每个 n N*，存在实数 cn，使 an+cn，an+1+4cn，an+2+15cn成等比数列，求 d 的取值范围9(2022 新高考)已知 an 是等差数列，bn 是公比为 2 的等比数列，且 a2-b2=a3-b3=b4-a4(1)证明：a1=b1；(2)求集合 k|bk=am+a1，1 m 500 中元素的个数8210(2020 上海)已知各项均为正数的数列 an，其前 n 项和为 Sn，a1=1(1)若数列 an 为等差数列，S10=70，求数列 an 的通项公式；(2)若数列 an 为等比数列，a4=18，求满

71、足 Sn 100an时 n 的最小值11(2022 浙江)已知数列 an 满足 a1=1，an+1=an-13 a2n(n N*)，则()A.2 100a100 52B.52 100a100 3C.3 100a100 72D.72 100a100 10B.当 b=14 时，a10 10C.当 b=-2 时，a10 10D.当 b=-4 时，a10 1014【多选】(2021 新高考)设正整数 n=a0 20+a1 21+ak-1 2k-1+ak 2k，其中 ai 0，1，记(n)=a0+a1+ak，则()A.(2n)=(n)B.(2n+3)=(n)+1C.(8n+5)=(4n+3)D.(2n-

72、1)=n15(2021 上海)已知 ai N*(i=1，2，9)对任意的 k N*(2 k 8)，ak=ak-1+1 或 ak=ak+1-1 中有且仅有一个成立，a1=6，a9=9，则 a1+a9的最小值为16(2019 上海)已知数列 an 前 n 项和为 Sn，且满足 Sn+an=2，则 S5=8417(2022 上海)数列 an 对任意 n N*且 n 2，均存在正整数 i 1，n-1，满足 an+1=2an-ai，a1=1，a2=3(1)求 a4可能值；(2)命题 p：若 a1，a2，a8成等差数列，则 a9 30，证明 p 为真，同时写出 p 逆命题 q，并判断命题 q 是真是假，说

73、明理由；(3)若 a2m=3m，(m N*)成立，求数列 an 的通项公式18(2021 浙江)已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，a1=-94，且 4Sn+1=3Sn-9(n N*)()求数列 an 的通项公式；()设数列 bn 满足 3bn+(n-4)an=0(n N*)，记 bn 的前 n 项和为 Tn，若 Tn bn对任意 n N*恒成立，求实数 的取值范围8519(2021 浙江)已知数列 an 满足 a1=1，an+1=an1+an(n N*)记数列 an 的前 n 项和为 Sn，则()A.32 S100 3B.3 S100 4C.4 S100 92D.92 S100 5 时，

74、Tn Sn8623(2023 新高考)设等差数列 an 的公差为 d，且 d 1令 bn=n2+nan，记 Sn，Tn分别为数列 an，bn 的前 n 项和(1)若 3a2=3a1+a3，S3+T3=21，求 an 的通项公式；(2)若 bn 为等差数列，且 S99-T99=99，求 d24(2021 新高考)已知数列 an 满足 a1=1，an+1=an+1,n 为奇数,an+2,n 为偶数(1)记 bn=a2n，写出 b1，b2，并求数列 bn 的通项公式；(2)求 an 的前 20 项和25(2020 海南)已知公比大于 1 的等比数列 an 满足 a2+a4=20，a3=8(1)求 a

75、n 的通项公式；(2)求 a1a2-a2a3+(-1)n-1anan+18726(2020 山东)已知公比大于 1 的等比数列 an 满足 a2+a4=20，a3=8(1)求 an 的通项公式；(2)记 bm为 an 在区间(0，m(m N*)中的项的个数，求数列 bm 的前 100 项和 S10027(2020 浙江)已知数列 an，bn，cn 满足 a1=b1=c1=1，cn=an+1-an，cn+1=bnbn+2cn(n N*)()若 bn 为等比数列，公比 q 0，且 b1+b2=6b3，求 q 的值及数列 an 的通项公式；()若 bn 为等差数列，公差 d 0，证明：c1+c2+c

76、3+cn 1+1d，n N*28(2022 新高考)记 Sn为数列 an 的前 n 项和，已知 a1=1，Snan是公差为 13 的等差数列(1)求 an 的通项公式；(2)证明：1a1+1a2+1an 0，则过点(a2，f(a2)做函数 f(x)的切线，该切线与 y 轴的交点记作(0,a3)，以此类推 a3，a4，直至 am 0 停止，由这些项构成数列 an(1)设 am(m 2)属于数列 an，证明：am=lnam-1-1；(2)试比较 am与 am-1-2 的大小关系；(3)若正整数 k 3，是否存在 k 使得 a1、a2、a3、ak依次成等差数列？若存在，求出 k 的所有取值；若不存在

77、，请说明理由30(2019 浙江)设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，a3=4，a4=S3数列 bn 满足：对每个 n N*，Sn+bn，Sn+1+bn，Sn+2+bn成等比数列()求数列 an，bn 的通项公式；()记 cn=an2bn，n N*，证明：c1+c2+cn S2021，则数列 an 是递增数列B.若 T2022 T2021，则数列 an 是递增数列C.若数列 Sn 是递增数列，则 a2022 a2021D.若数列 Tn 是递增数列，则 a2022 a20219033(2020 上海)已知数列 an 为有限数列，满足|a1-a2|a1-a3|a1-am|，则称 an 满足性

78、质 P(1)判断数列 3、2、5、1 和 4、3、2、5、1 是否具有性质 P，请说明理由；(2)若 a1=1，公比为 q 的等比数列，项数为 10，具有性质 P，求 q 的取值范围；(3)若 an 是 1，2，3，m 的一个排列(m 4)，bn 符合 bk=ak+1(k=1，2，m-1)，an、bn 都具有性质 P，求所有满足条件的数列 an34(2019 上海)数列 an(n N*)有 100 项，a1=a，对任意 n 2，100，存在 an=ai+d，i 1，n-1，若 ak与前 n 项中某一项相等，则称 ak具有性质 P(1)若 a1=1，d=2，求 a4所有可能的值；(2)若 an

79、不为等差数列，求证：数列 an 中存在某些项具有性质 P；(3)若 an 中恰有三项具有性质 P，这三项和为 c，使用 a，d，c 表示 a1+a2+a10091专题 08 计数原理、概率及统计高频考点考点精析考点一 众数、中位数、平均数1【多选】(2023 新高考)有一组样本数据 x1，x2，x6，其中 x1是最小值，x6是最大值，则()A.x2，x3，x4，x5的平均数等于 x1，x2，x6的平均数B.x2，x3，x4，x5的中位数等于 x1，x2，x6的中位数C.x2，x3，x4，x5的标准差不小于 x1，x2，x6的标准差D.x2，x3，x4，x5的极差不大于 x1，x2，x6的极差2

80、(2023 上海)现有某地一年四个季度的 GDP(亿元)，第一季度 GDP 为 232(亿元)，第四季度 GDP为 241(亿元)，四个季度的 GDP 逐季度增长，且中位数与平均数相同，则该地一年的 GDP 为3(2020 上海)已知有四个数 1，2，a，b，这四个数的中位数是 3，平均数是 4，则 ab=924【多选】(2021 新高考)下列统计量中，能度量样本 x1，x2，xn的离散程度的有()A.样本 x1，x2，xn的标准差B.样本 x1，x2，xn的中位数C.样本 x1，x2，xn的极差D.样本 x1，x2，xn的平均数5【多选】(2021 新高考)有一组样本数据 x1，x2，xn，

81、由这组数据得到新样本数据 y1，y2，yn，其中 yi=xi+c(i=1，2，n)，c 为非零常数，则()A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样本数据的样本极差相同6(2022 新高考)从 2 至 8 的 7 个整数中随机取 2 个不同的数，则这 2 个数互质的概率为()A.16B.13C.12D.237(2022 上海)为了检测学生的身体素质指标，从游泳类 1 项，球类 3 项，田径类 4 项共 8 项项目中随机抽取 4 项进行检测，则每一类都被抽到的概率为8(2021 上海)已知花博会有四个不同的场馆 A，B，C，D，甲、

82、乙两人每人选 2 个去参观，则他们的选择中，恰有一个馆相同的概率为9(2019 上海)某三位数密码，每位数字可在 0-9 这 10 个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同的概率是10(2021 新高考)有 6 个相同的球，分别标有数字 1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取 1 个球甲表示事件“第一次取出的球的数字是 1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是 2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是 8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 7”，则()A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立9311【多选】(2023 新高考)

83、在信道内传输 0，1 信号，信号的传输相互独立发送 0 时，收到 1 的概率为(0 1)，收到 0 的概率为 1-；发送 1 时，收到 0 的概率为(0 1)，收到 1 的概率为 1-考虑两种传输方案：单次传输和三次传输单次传输是指每个信号只发送 1 次，三次传输是指每个信号重复发送 3 次收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到 1，0，1，则译码为 1)()A.采用单次传输方案，若依次发送 1，0，1，则依次收到 1，0，1 的概率为(1-)(1-)2B.采用三次传输方案，若发送 1，则依次收到 1，0

84、，1 的概率为(1-)2C.采用三次传输方案，若发送 1，则译码为 1 的概率为(1-)2+(1-)3D.当 0 0.5 时，若发送 0，则采用三次传输方案译码为 0 的概率大于采用单次传输方案译码为 0 的概率12(2023 新高考)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值 c，将该指标大于 c 的人判定为阳性，小于或等于 c 的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为 p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为 q(c)

85、假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率(1)当漏诊率 p(c)=0.5%时，求临界值 c 和误诊率 q(c)；(2)设函数 f(c)=p(c)+q(c)当 c 95，105，求 f(c)的解析式，并求 f(c)在区间 95，105 的最小值9413(2022 新高考)在某地区进行流行病学调查，随机调查了 100 位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间 20，70)的概率；(3)已知该地区这种疾病患者的患病率为 0.1%，该地

86、区年龄位于区间 40，50)的人口占该地区总人口的16%从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间 40，50)，求此人患这种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到 0.0001)14(2020 上海)已知 A=-3，-2，-1，0，1，2，3，a、b A，则|a|b|的情况有种15(2023 新高考)某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取 60 名学生，已知该校初中部和高中部分别有 400 名和 200 名学生，则不同的抽样结果共有()A.C45400 C15200种B.C20

87、400 C40200种C.C30400 C30200种D.C40400 C20200种9516(2022 新高考)甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有()A.12 种B.24 种C.36 种D.48 种17(2020 海南)要安排 3 名学生到 2 个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有()A.2 种B.3 种C.6 种D.8 种18(2020 山东)6 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去 1 个场馆，甲场馆安排 1 名，乙场馆安排 2 名，丙场馆安排 3 名，则不同

88、的安排方法共有()A.120 种B.90 种C.60 种D.30 种19(2023 新高考)某学校开设了 4 门体育类选修课和 4 门艺术类选修课，学生需从这 8 门课中选修 2 门或 3 门课，并且每类选修课至少选修 1 门，则不同的选课方案共有种(用数字作答)20(2020 上海)从 6 个人挑选 4 个人去值班，每人值班一天，第一天安排 1 个人，第二天安排 1 个人，第三天安排 2 个人，则共有种安排情况21(2019 上海)首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派 4 人参加连续 5 天的志愿者活动，其中甲连续参加 2 天，其他人各参加 1 天，则不同的安排方法有种(结果用数值表

89、示)22(2023 上海)已知(1+2023x)100+(2023-x)100=a0+a1x+a2x2+a99x99+a100 x100，若存在 k 0，1，2，100 使得 ak 0，则 k 的最大值为9623(2022 上海)二项式(3+x)n的展开式中，x2项的系数是常数项的 5 倍，则 n=24(2022 浙江)已知多项式(x+2)(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则 a2=，a1+a2+a3+a4+a5=25(2022 新高考)1-yx(x+y)8的展开式中 x2y6的系数为(用数字作答)26(2021 浙江)已知多项式(x-1)3+(x+1)4=x

90、4+a1x3+a2x2+a3x+a4，则 a1=；a2+a3+a4=27(2021 上海)已知二项式(x+a)5展开式中，x2的系数为 80，则 a=28(2021 上海)已知(1+x)n的展开式中，唯有 x3的系数最大，则(1+x)n的系数和为29(2020 浙江)二项展开式(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则 a4=，a1+a3+a5=9730(2020 上海)已知二项式(2x+x)5，则展开式中 x3的系数为31(2019 上海)已知二项式(2x+1)5，则展开式中含 x2项的系数为32(2019 浙江)在二项式(2+x)9展开式中，常数项是，系数为有

91、理数的项的个数是33(2019 上海)在 x+1x6的展开式中，常数项等于34(2019 浙江)设 0 a 1 时，p 1；()根据你的理解说明(2)问结论的实际含义10041(2021 新高考)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 A，B 两类问题每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束 A 类问题中的每个问题回答正确得 20 分，否则得 0 分；B 类问题中的每个问题回答正确得 80 分，否则得 0 分已知小明能正确回答 A 类问题的概率为 0.8，能正确

92、回答 B 类问题的概率为 0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关(1)若小明先回答 A 类问题，记 X 为小明的累计得分，求 X 的分布列；(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由42(2021 新高考)某物理量的测量结果服从正态分布 N(10,2)，则下列结论中不正确的是()A.越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.1)内的概率越大B.该物理量在一次测量中大于 10 的概率为 0.5C.该物理量在一次测量中小于 9.99 与大于 10.01 的概率相等D.该物理量在一次测量中结果落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等43(2022

93、新高考)已知随机变量 X 服从正态分布 N(2,2)，且 P(2 2.5)=10144(2023 上海)根据所示的散点图，下列说法正确的是()A.身高越大，体重越大B.身高越大，体重越小C.身高和体重成正相关D.身高和体重成负相关45(2022 新高考)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了 100 例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了 100 人(称为对照组)，得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090(1)能否有 99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异

94、？(2)从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该疾病”，P(B|A)P(B|A)与 P(B|A)P(B|A)的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为 R()证明：R=P(A|B)P(A|B)P(A|B)P(A|B)；()利用该调查数据，给出 P(A|B)，P(A|B)的估计值，并利用()的结果给出 R 的估计值附：K 2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K 2 k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.82810246(2020 山东)为加强环境保护，治理空气污染

95、，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了 100 天空气中的 PM2.5和 SO2浓度(单位：g/m3)，得下表：0，50(50，150(150，4750，3532184(35，756812(75，1153710(1)估计事件“该市一天空气中 PM2.5浓度不超过 75，且 SO2浓度不超过 150”的概率；(2)根据所给数据，完成下面的 2 2 列联表：0，150(150，4750，75(75，115(3)根据(2)中的列联表，判断是否有 99%的把握认为该市一天空气中 PM2.5浓度与 SO2浓度有关？附：K 2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K 2

96、 k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828103专题 09 平面向量、不等式及复数高频考点考点精析考点一 基本不等式及其应用1(2019 上海)若 x，y R+，且 1x+2y=3，则 yx 的最大值为2(2020 上海)下列不等式恒成立的是()A.a2+b2 2abB.a2+b2-2abC.a+b 2|ab|D.a2+b2-2ab3(2022 上海)若实数 a、b 满足 a b 0，下列不等式中恒成立的是()A.a+b 2 abB.a+b 2 abD.a2+2b 0，b 0，且 a+b=1，则()A.a2+b2 12B.2a-b 12C.log2a+log2b-2

97、D.a+b 21045(2021 上海)已知函数 f(x)=3x+a3x+1(a 0)的最小值为 5，则 a=6【多选】(2022 新高考)若 x，y 满足 x2+y2-xy=1，则()A.x+y 1B.x+y-2C.x2+y2 2D.x2+y2 17(2020 海南)在 ABC 中，D 是 AB 边上的中点，则 CB=()A.2CD+CAB.CD-2CAC.2CD-CAD.CD+2CA8(2019 浙江)已知正方形 ABCD 的边长为 1当每个 i(i=1，2，3，4，5，6)取遍 1 时，|1AB+2BC+3CD+4DA+5AC+6BD|的最小值是，最大值是9(2020 上海)已知 a1，

98、a2，b1，b2，bk(k N*)是平面内两两互不相等的向量，满足|a1-a2|=1，且|ai-bj|1，2(其中 i=1，2，j=1，2，k)，则 k 的最大值是10(2022 新高考)在 ABC 中，点 D 在边 AB 上，BD=2DA记 CA=m，CD=n，则 CB=()A.3m-2nB.-2m+3nC.3m+2nD.2m+3n11(2023 上海)已知向量 a=(-2,3)，b=(1,2)，则 a b=10512(2021 浙江)已知非零向量 a，b，c，则“a c=b c”是“a=b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件13(2021 上

99、海)如图正方形 ABCD 的边长为 3，求 AB AC=14(2021 新高考)已知向量 a+b+c=0，|a|=1，|b|=|c|=2，则 a b+b c+c a=15(2020 上海)三角形 ABC 中，D 是 BC 中点，AB=2，BC=3，AC=4，则 AD AB=16【多选】(2021 新高考)已知 O 为坐标原点，点 P1(cos,sin)，P2(cos,-sin)，P3(cos(+)，sin(+)，A(1,0)，则()A.|OP1|=|OP2|B.|AP1|=|AP2|C.OA OP3=OP1 OP2D.OA OP1=OP2 OP317(2022 上海)若平面向量|a|=|b|=

100、|c|=，且满足 a b=0，a c=2，b c=1，则 =10618(2020 山东)已知 P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一点，则 AP AB的取值范围是()A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)19(2021 上海)在 ABC 中，D 为 BC 中点，E 为 AD 中点，则以下结论：存在 ABC，使得 ABCE=0；存在 ABC，使得 CE(CB+CA)；它们的成立情况是()A.成立，成立B.成立，不成立C.不成立，成立D.不成立，不成立20(2022 浙江)设点 P 在单位圆的内接正八边形 A1A2 A8的边 A1A2上，则 PA1 2+PA2

101、 2+PA8 2的取值范围是21(2021 浙江)已知平面向量 a，b，c(c 0)满足|a|=1，|b|=2，a b=0，(a-b)c=0记平面向量 d 在 a，b 方向上的投影分别为 x，y，d-a 在 c 方向上的投影为 z，则 x2+y2+z2的最小值是22(2023 新高考)已知向量 a=(1,1)，b=(1,-1)若(a+b)(a+b)，则()A.+=1B.+=-1C.=1D.=-123(2023 新高考)已知向量 a，b 满足|a-b|=3，|a+b|=|2a-b|，则|b|=10724(2022 新高考)已知向量 a=(3,4)，b=(1,0)，c=a+tb，若=，则 t=()

102、A.-6B.-5C.5D.625(2020 浙江)已知平面单位向量 e1，e2 满足|2e1-e2|2设 a=e1+e2，b=3e1+e2，向量 a，b的夹角为，则 cos2 的最小值是26(2022 浙江)已知 a，b R，a+3i=(b+i)i(i 为虚数单位)，则()A.a=1，b=-3B.a=-1，b=3C.a=-1，b=-3D.a=1，b=327(2020 浙江)已知 a R，若 a-1+(a-2)i(i 为虚数单位)是实数，则 a=()A.1B.-1C.2D.-228(2023 新高考)在复平面内，(1+3i)(3-i)对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象

103、限29(2021 新高考)复数 2-i1-3i 在复平面内对应点所在的象限为()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限10830(2023 新高考)已知 z=1-i2+2i，则 z-z=()A.-iB.iC.0D.131(2022 新高考)(2+2i)(1-2i)=()A.-2+4iB.-2-4iC.6+2iD.6-2i32(2021 浙江)已知 a R，(1+ai)i=3+i(i 为虚数单位)，则 a=()A.-1B.1C.-3D.333(2020 海南)(1+2i)(2+i)=()A.4+5iB.5iC.-5iD.2+3i34(2020 山东)2-i1+2i=()A.1B.-1C

104、.iD.-i35(2023 上海)已知复数 z=1-i(i 为虚数单位)，则|1+iz|=10936(2021 上海)已知 z1=1+i，z2=2+3i，求 z1+z2=37(2020 上海)已知复数 z=1-2i(i 为虚数单位)，则|z|=38(2019 上海)已知 z C，且满足1z-5=i，求 z=39(2019 浙江)复数 z=11+i(i 为虚数单位)，则|z|=40(2022 新高考)若 i(1-z)=1，则 z+z=()A.-2B.-1C.1D.211041(2021 新高考)已知 z=2-i，则 z(z+i)=()A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i42(2022 上海)已知 z=1+i(其中 i 为虚数单位)，则 2z=43(2020 上海)已知复数 z 满足 z+2z=6+i，则 z 的实部为111