【机构秘籍】小学奥数题库《几何》-直线型-金字塔和沙漏模型-1星题（含解析）全国通用版【唯一店：教师学科网资料】.docx

1、几何-直线型几何-金字塔和沙漏模型-1星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率金字塔和沙漏模型C1.能够准确理解金字塔和沙漏模型2.能够用相似模型解决复杂的几何问题少考知识提要金字塔和沙漏模型 金字塔模型 CDCA=CECB=DEAB 沙漏模型 ABCD=AODO=BOCO 精选例题金字塔和沙漏模型 1. 如图，已知 DE 平行 BC，BO:EO=3:2，那么 AD:AB= 【答案】2:3【分析】由沙漏模型得 BO:EO=BC:DE=3:2，再由金字塔模型得 AD:AB=DE:BC=2:3 2. 如图，DE 平行 BC，若 AD:DB=2:3，那么 SADE:SECB= 【答案】4:15【分

2、析】根据金字塔模型 AD:AB=AE:AC=DE:BC=2:(2+3)=2:5，SADE:SABC=22:52=4:25，设 SADE=4 份，则 SABC=25 份，SBEC=2553=15 份，所以 SADE:SECB=4:15 3. 如图，ABC 中，DE，FG，MN，PQ，BC 互相平行，AD=DF=FM=MP=PB，则 SADE:S四边形DEGF:S四边形FGNM:S四边形MNQP:S四边形PQCB= 【答案】1:3:5:7:9【分析】设 SADE=1 份，SADE:SAFG=AD2:AF2=1:4，因此 SAFG=4 份，进而有 S四边形DEGF=3 份，同理有 S四边形FGNM=

3、5 份，S四边形MNQP=7 份，S四边形PQCB=9 份所以有 SADE:S四边形DEGF:S四边形FGNM:S四边形MNQP:S四边形PQCB=1:3:5:7:9. 4. 如图，ABC 中，DE，FG，BC 互相平行，AD=DF=FB，则 SADE:S四边形DEGF:S四边形FGCB= 【答案】1:3:5【分析】设 SADE=1 份，根据面积比等于相似比的平方，所以 SADE:SAFG=AD2:AF2=1:4，SADE:SABC=AD2:AB2=1:9，因此 SAFG=4 份，SABC=9 份，进而有 S四边形DEGF=3 份，S四边形FGCB=5 份，所以 SADE:S四边形DEGF:S

4、四边形FGCB=1:3:5 5. 如下图所示，将边长 8 厘米和 12 厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的面积是 平方厘米【答案】43.2【分析】给图中标上字母，如下图根据沙漏模型 OCOF=BCEF=812=23所以 OF=1232+3=7.2(厘米)SEFO=7.2122=43.2(平方厘米) 6. 如图，ABC 中，AE=14AB，AD=14AC，ED 与 BC 平行，EOD 的面积是 1 平方厘米那么 AED 的面积是 平方厘米【答案】53【分析】因为 AE=14AB，AD=14AC，ED 与 BC 平行，根据相似模型可知 ED:BC=1:4，EO:OC=1:4，SCOD

5、=4SEOD=4 平方厘米，则 SCDE=4+1=5 平方厘米，又因为 SAED:SCDE=AD:DC=1:3，所以 SAED=513=53(平方厘米) 7. 如图，四边形 ABCD 和 EFGH 都是平行四边形，四边形 ABCD 的面积是 16，BG:GC=3:1，则四边形 EFGH 的面积 = 【答案】3【分析】因为 FGHE 为平行四边形，所以 ECAG，所以 AGCE 为平行四边形 BG:GC=3:1，那么 GC:BC=1:4，所以 S平行四边形AGCE=14S平行四边形ABCD=1416=4又 AE=GC，所以 AE:BG=GC:BG=1:3，根据沙漏模型，FG:AF=BG:AE=3

6、:1，所以 S平行四边形FGHE=34S平行四边形AGCE=344=3 8. 如图，DE 平行 BC，且 AD=2，AB=5，AE=4，求 AC 的长【答案】10【分析】由金字塔模型得 AD:AB=AE:AC=DE:BC=2:5，所以 AC=425=10 9. 如图，正方形 ABCD 的边长是 6，E 点是 BC 的中点，求 AOD 的面积【答案】12【分析】连结DE，因为 BE 与 AD 之比是 1:2，可如图所示设份数，可知 AOD 的面积是正方形面积的三分之一，是 1210. 如图：MN 平行 BC，SMPN:SBCP=4:9，AM=4cm，求 BM 的长度【答案】2cm【分析】在沙漏模

7、型中，因为 SMPN:SBCP=4:9，所以 MN:BC=2:3，在金字塔模型中有：AM:AB=MN:BC=2:3，因为 AM=4cm，AB=423=6cm，所以 BM=6-4=2cm11. 图中 ABCD 是边长为 12cm 的正方形，从 G 到正方形顶点 C、D 连成一个三角形，已知这个三角形在 AB 上截得的 EF 长度为 4cm，那么三角形 GDC 的面积是多少？【答案】108cm2【分析】做 GM 垂直 DC 于 M，交 AB 于 N因为 EFDC，所以三角形 GEF 与三角形 GDC 相似，且为EF:DC=4:12=1:3,所以GN:GM=1:3,又因为MN=GM-GN=12,所以

8、GM=18(cm),所以三角形 GDC 的面积为121218=108(cm2).12. 如图，测量小玻璃管口径的量具 ABC，AB 的长为 15 厘米，AC 被分为 60 等份如果小玻璃管口 DE 正好对着量具上 20 等份处（DE 平行 AB），那么小玻璃管口径 DE 是多大？【答案】10 厘米【分析】有一个金字塔模型，所以 DE:AB=DC:AC，DE:15=40:60，所以 DE=10 厘米13. 两盏 4 米高的路灯相距 10 米，有一个身高 1.5 米的同学行走在这两盏路灯之间，那么他的两个影子总长度是多少米？【答案】6【分析】根据题意画出如图所示的图，延长 FE 与 AC 交于 I

9、，则 AEI 和 EFH 以及 CEI 和 EFG 都能组成沙漏三角不难看出，EI=4-1.5=2.5(米)而在沙漏 AIEFH 中，又有 AEEH=IEEF=2.51.5=53在沙漏 ACEGH 中，有 ACGH=AEEH=53由此可知 GH=35AC=3510=6(米)，这就是两个影子的总长度14. 如图，在 ABC 中，有长方形 DEFG，G、F 在 BC 上，D、E 分别在 AB、AC 上，AH 是 ABC 边 BC 的高，交 DE 于 M，DG:DE=1:2，BC=12 厘米，AH=8 厘米，求长方形的长和宽【答案】长和宽分别是 487 厘米，247 厘米【分析】观察图中有金字塔模型

10、 5 个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以DEBC=ADAB,DGAH=BDAB,所以有DEBC+DGAH=ADAB+BDAB=1,设 DG=x，则 DE=2x，所以有2x12+x8=1,解得x=247,2x=487,因此长方形的长和宽分别是 487 厘米，247 厘米15. 如图，已知在平行四边形 ABCD 中，AB=16，AD=10，BE=4，那么 FC 的长度是多少？【答案】8【分析】图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为 AB 平行于 CD，所以 BF:FC=BE:CD=4:16=1:4，所以 FC=1041+4=816. 如图所示，三角形 ABC 中，DE

11、与 BC 平行，且 AD:DB=5:2，求 AE:EC 及 DE:BC【答案】5:2，5:7【分析】根据金字塔模型的结论即可直接得出答案17. 如图，将一个边长为 2 的正方形两边长分别延长 1 和 3，割出图中的阴影部分，求阴影部分的面积是多少？【答案】130【分析】根据相似三角形的对应边成比例有：NF1+2=32+3,EM2+3=11+2,则NF=59,EM=53,所以S阴=122-952-53=130.18. 已知正方形 ABCD，过 C 的直线分别交 AB、AD 的延长线于点 E、F，且 AE=10cm，AF=15cm，求正方形 ABCD 的边长【答案】6【分析】方法一：本题有两个金字

12、塔模型，根据这两个模型有BC:AF=CE:EF,DC:AE=CF:EF,设正方形的边长为 xcm，所以有BCAF+DCAE=CEEF+CFEF=1,即x15+x10=1,解得x=6,所以正方形的边长为 6cm方法二：或根据一个金字塔模型，列方程即x10=15-x15,解得x=6.19. 在图中的正方形中，A，B，C 分别是所在边的中点，CDO 的面积是 ABO 面积的几倍？【答案】3【分析】连接 BC，易知 OAEF，可知 OB:OD=AE:AD，且 OA:BE=DA:DE=1:2，所以 CDO 的面积等于 CBO 的面积；由 OA=12BE=14AC 可得 CO=3OA，所以 SCDO=SC

13、BO=3SABO，即 CDO 的面积是 ABO 面积的 3 倍20. 如右图，长方形 ABCD 中，EF=16，FG=9，求 AG 的长【答案】15【分析】因为 DGGB=AGGE=AG25，且 DGGB=FGGA=9AG，所以 AG25=9AG 即 AG2=259=225，所以 AG=1521. 如图，O 是矩形一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为 3 和 4，那么阴影部分的一块直角三角形的面积是多少？【答案】258【分析】连接 OB，由已知可得SOEB=4-3=1,所以OE:EA=1:3,可以得到CE:CA=5:8,由三角形相似可得阴影部分面积为8582=258.22. 如图，

14、正方形 ABCD 中E是 BC 边的中点，AE 与 BD 相交于F点，三角形 DEF 的面积是 2，那么正方形 ABCD 的面积是_【答案】12【分析】左边梯形 ABED，因为 E 为 BC 的中点，所以 BE:AD=1:2 所以 BF:FD=1:2 又因为三角形 DEF 的面积是 2 所以三角形 BEF 的面积是 1，三角形 ABF 的面积为 2，三角形 AFD 的面积为 4 而 SBED=SDEC，所以 SDEC=3 SABCD=1+2+2+4+3=1223. 已知 ABC 中，DE 平行 BC，若 AD:DB=2:3，且 S梯形DBCE 比 SADE 大 8.5cm2，求 SABC【答案

15、】12.5cm2【分析】根据金字塔模型AD:AB=DE:BC=2:(2+3)=2:5,SADE:SABC=22:52=4:25,设 SADE=4 份，则 SABC=25 份，S梯形DBCE=25-4=21 份，S梯形DBCE 比 SADE 大 17 份，恰好是 8.5cm2，所以 SABC=12.5cm224. 如图，三角形 ABC 是一块锐角三角形余料，边 BC=120 毫米，高 AD=80 毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？【答案】48【分析】观察图中有金字塔模型 5 个，用与已知边有关系的两个金字塔模

16、型，所以有PNBC=APAB,PHAD=BPAB,设正方形的边长为 x 毫米，PNBC+PHAD=APAB+BPAB=1,即x120+x80=1,解得x=48即正方形的边长为 48 毫米25. 如图，在长方形 ABCD 中，AB=6 厘米，AD=2 厘米，AE=EF=FB，求阴影部分的面积【答案】3.5 平方厘米【分析】连接 DE、FC，在梯形 CDEF 中，由梯形基本结论知：EF:DC=EO:OC=1:3，S长ABCD=62=12 由一半模型得所以 SDEC=6 又 EO:OC=1:3，SDEO=614=1.5（平方厘米）又 SADE=222=2（平方厘米）所以 S阴=2+1.5=3.5（平方厘米）