【机构秘籍】小学奥数题库《数论》因数和倍数-倍数-5星题（含解析）全国通用版【唯一店：教师学科网资料】.docx

1、数论-因数和倍数-倍数-5星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率倍数C1、理解倍数的定义2、能够准确写出一个数的较小的倍数。少考知识提要倍数 定义对于整数 a 和 b，如果 ab，我们就称 b 是 a 的倍数。精选例题倍数 1. 从 1999 中选出连续 6 个自然数，使得它们的乘积的末尾恰有 4 个 0，一共有 种选法【答案】17【分析】连续的 6 个自然数中，必有 3 个偶数，这 3 个偶数是 3 个连续偶数，其中至少有 1 个是 4 的倍数，那么这 3 个偶数的积肯定是 24 的倍数，所以任意的连续 6 个自然数的积都是 24 的倍数另外，连续的 6 个自然数中，至少有一个 5 的倍

2、数，至多有两个 5 的倍数：如果其中只有 1 个 5 的倍数，由于末尾要有 4 个 0，那么这个 5 的倍数应是 54 的倍数，即是 625 的倍数，又小于 1000，只能是 625，那么这 6 个数可以是 621626，622627，623628，624629，共 4 种；如果其中有 2 个 5 的倍数，那么只能是这连续 6 个自然数中的最大数和最小数都是 5 的倍数由于这两个 5 的倍数不可能同时是 25 的倍数，所以其中必有一个是 53=125 的倍数，可能为 125，250，375，500，625，750，875对于其中除 625 外的 6 个数，每个数都可以是这连续 6 个自然数中的

3、最大数和最小数，所以对这 6 个数，每个数都有 2 种取法，共有 26=12 种取法；而对于 625 来说，与另一个 5 的倍数相乘，将会是 55 的倍数，要想使末尾恰有 4 个 0，则这连续 6 个自然数的乘积要是 24 的倍数但又不是 25 的倍数检验 620625 和 625630 这两组的连续 6 个自然数，后者满足题意，前者则不合题意所以有 2 个 5 的倍数的情况下共有 12+1=13 种选法根据加法原理，共有 4+13=17 种选法小结：本题容易出错的地方在于容易忽略掉 625630 这一组数，因为在平常做题中面对此类问题基本上都是 2 比 5 多的情况，所以对于 2 比 5 少

4、的可能性根本不予考虑 2. 小于 200 且与 200 互质的所有自然数的和是 【答案】8000【分析】200 分解质因数得 200=2352，所以小于 200 且与 200 互质的数不能有质因数 2 或者 5而 200 以内 2 的倍数有 2、4、6、198，和为2+4+198=9900;200 以内 5 的倍数有 5、10、15、195，和为5+10+195=3900;既是 2 的倍数又是 5 的倍数有 10、12、190，和为10+20+190=1900;所以所求数和为1+2+3+199-9900-3900+1900=8000. 3. 非零数字 a，b，c 能组成 6 个没有重复数字的三

5、位数，且这 6 个数的和是 5994，则这 6 个数中的任意一个数都 被 9 整除（填”能”或“不能”）【答案】不能【分析】a，b，c 组成的所有三位数都是由 a，b，c 三个数字组成，且 a，b，c 在个位、十位、百位都出现两次，所以和应该为：(a+b+c)21+(a+b+c)210+(a+b+c)2100=5994,a+b+c=27,a=b=c=9,与题意矛盾，故不能 4. 某班共有 30 名学生去看电影，他们的学号依次为 1,2,30；他们手中的电影票恰好为某排的 1 号，2 号，30 号现在按如下要求将电影票发给这些同学：对 于任意两人甲、乙，若甲的学号能被乙的学号整除，则甲的电影票号

6、码也能被乙的电影票号码整除那么电影票共有 种不同的发放方式【答案】48【分析】1 号学生有 29 人是其倍数，故 1 号学生只能拿 1 号电影票；2 号学生有 14 人是其倍数，故 2 号学生只能拿 2 号电影票；3 号学生有 9 人是其倍数，故 3 号学生只能拿 3 号电影票；4 号学生有 6 人是其倍数，故 4 号学生只能拿 4 号电影票；5 号学生有 5 人是其倍数，故 5 号学生只能拿 5 号电影票；6 号学生有 4 人是其倍数，故 6 号学生只能拿 6 号电影票；7 号学生有 3 人是其倍数，故 7 号学生只能拿 7 号电影票；8 号学生必须是 2 号学生（2）的倍数，也必须是 4

7、号学生（4）的倍数，同时有 2 人是其倍数，综上，8 号学生只能拿 8 号电影票；9 号学生必须是 3 号学生（3）的倍数，还不能是 6，同时有 2 人是其倍数，综上，9 号学生只能拿 9 号电影票；10 号学生必须是 2 号学生（2）的倍数，也必须是 5 号学生（5）的倍数，同时有 2 人是其倍数，综上，10 号学生只能拿 10 号电影票；12 号学生必须是 3 号学生（3）的倍数，也必须是 4 号学生（4）的倍数，同时有 1 人是其倍数，综上，12 号学生只能拿 12 号电影票；同时 24 号学生只能拿 24 号电影票；14 号学生必须是 2 号学生（2）的倍数，也必须是 7 号学生（7）

8、的倍数，同时有 1 人是其倍数，综上，14 号学生只能拿 14 号电影票；同时 28 号学生只能拿 28 号电影票；15 号学生必须是 3 号学生（3）的倍数，也必须是 5 号学生（5）的倍数，同时有 1 人是其倍数，综上，15 号学生只能拿 15 号电影票；同时 30 号学生只能拿 30 号电影票；之后的数，2,9=18，18 必拿 18 号，同时是 9 的倍数的 27 号只能拿 27；20=4,5，20 必拿 20；21=3,7，21 必拿 21 号；24=3,8，24 必拿 24，同时是 8的倍数的 16 号只能拿 16；28=4,7, 28 必拿 28；30=5,6, 30 必拿 30

9、，同时是 5 的倍数的 25 号只能拿 25 号目前还没有确定的数有：11、22、13、26、17、19、23、29 号11、22 互为一组成倍数，13、26 亦互为一组成倍数，有两种拿法：11 号拿 11，22 号拿 22，13 号拿 13，26 号拿 26；或 11 号拿 13，22 号拿 26，13 号拿 11，26 号拿 2217、19、23、29 是大质数，没有限制，可随意拿，有 A44=24(种) 拿法故共有 224=48(种) 拿法 5. 用 1、2、3、4、5、6 这 6 个数字各一次组成两个三位数 A 和 B请问：A、B、630 这三个数的最大公约数最大可能是多少？最小公倍数

10、最小可能是多少？【答案】最大公约数最大可能是 21，最小公倍数最小可能是 6930【分析】（1）这三个数的最大公约数也是 630 的约数，630=23257由于 1+2+3+4+5+6=21，所以不可能组成两个都是 9 的倍数的三位数；由于只有 1 个 5，所以不可能组成两个都是 5 的倍数的三位数，因此该最大公约数至多为 237=42，可能为 21 或 6 等若最大公约数为 3 的倍数，则由同余法知两个三位数的三位除以 3 的余数分别是 0、1、2；若还为 7 的倍数，尝试可知 231 和 546、315 和 462 等都满足条件；而无法再满足为 2 的倍数，所以最大公约数为 21（或者枚举

11、出 123654 之间所有有符合题意的 42 的倍数也可以看出没有符合题意的，进一步枚举出 123654 之间所有符合题意的 21 的倍数即可找出符合的情况）（2）解法一：枚举最小公倍数为 630、6302、6303、的情况若最小公倍数为 630，则 A、B 均为 630 的三位约数，630 的三位约数是 105、126、210、315、630，没有符合题意的若最小公倍数为 6302，则 A、B 均为 630 的三位约数，6302 的三位约数是 105、126、140、180、210、252、315、420、630，没有符合题意的若最小公倍数为 63011，则 A、B 均为 630 的三位约数

12、，63011 的三位约数是 105、110、126、154、165、198、210、231、315、330、385、462、495、630、693、770、990，其中 315 和 462 符合题意（当然这组数在（1）中出现时分解质因数过的话，这种情况就可以直接写出来了相信绝大多数在（2）中打算按这个方式来做的人都会提前分解一下 231 和 546、315 和 462，同时一般多问的题目的前面问题的解决对后面问题会有帮助）所以最小公倍数最小可能为 63011=6930解法二：16 这六个数字的分组有 10 种情况，分别为 (123,456)、(124,356)、(125,346)、(126,3

13、45)、(134,256)、(135,246)、(136,245)、(145,236)、(146,236)、(156,234)，每一种分组中的两个三位数又各自有六种可能性，分别枚举这些情况，即可找到想要的答案由于我们已经知道 315 和 462 这组可以让最小公倍数小到 63011，所以枚举其他组的时候只要看能不能使得最小公倍数更小即可对于 (123,456)，由于 123 这边的数字较小，所以考虑 123 的变化123 含 41；132=22311，最小公倍数最小也是 63022；213 含 71；231=3711，可能使得最小公倍数是 63011；312 含 13；321 含 107由于没

14、有 1 个可以使得最小公倍数比 63011 更小，所以 (123,456) 这种情况排除同理，分别验证其他情况，发现最小公倍数最小只能达到 63011 6. 有 3 个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而且其中任意两个数的乘积都能被第三个数整除请问：满足上述条件的 3 个自然数之和最小是多少？【答案】31【分析】先证明这 3 个数每个都至少含有 2 种质因数证法一：假设这三个数为 A、B、C，其中 A 只有一种质因数 p，那么 B 不可能只有质因数 p，否则 B 和 A 必定是倍数关系，同理，C 也不可能只有质因数 p根据 CAB，假设 C 有除 p 以外其他质因数 q，可以得到 q

15、B，同理，C 所有除了 p 以外的质因数都是 B 的质因数；再根椐 BCA，同理得，B 所有除了 p 以外的质因数也是 C 的质因数，那么 B、C 必定是倍数关系，与题意矛盾所以这 3 个数中不可能出现只含 1 种质因数的数，即每个都至少含有 2 种质因数证法二：假设这三个数为 A、B、C，其中 A 只有一种质因数 p，设 A=pa因为 ABC，所以乘积 BC 中一定含有质因数 p；但 A 不能整除 B，也不能整除 C，说明 B、C 中都含有 p，且次数都低于 a；又 B 不能整除 A，C 也不能整除 A，所以 B、C 中都含打除了 p 以外的质因数，设 B=bpb，C=cpb，其中 b 表示

16、 B 分解质因数后不包含 p 的部分，c 同理因为 BAC，所以 bc；同理，因为 CAB，所以 cb，说明 c=b，那么 B 和 C 是倍数关系，与题意矛盾所以这 3 个数中不可能出现只含 1 种质因数的数，即每个都至少含行 2 种质因数若这三个数里一共恰有 2 种质因数，最小为 2 和 3，最小符合题意的情况是 2232、233、233，和为 36+54+24=114；若这三个数里一共恰有 3 种质因数，最小为 2、3、5，最小符合题意的情况是 23、25、35，和为 6+10+15=31；若这三个数里一共恰有 4 种质因数，最小为 2、3、5、7，在不考虑题意的情况下，3 个不同的各含两

17、种质因数的数最小是 23、25、27，和为 30，但这组不符合题意，很明显如果要符合题意，和肯定大于 31；若这三个数里一共恰有 5 种质因数，最小为 2、3、5、7、11，在不考虑题意的情况下，3 个不同的各含两种质因数的数最小是 27、211、35，和为 51，大于 31；很明显，当含有的质因数种类再增多时，三个数的和肯定都大于 31；综上，满足上述条件的 3 个自然数之和最小是 31 7. 4 个连续的自然数，从小到大依次是 11 的倍数、7 的倍数、5 的倍数、3 的倍数，求这 4 个自然数的和的最小值【答案】1458【分析】方法一：设这 4 个连续的自然数为 a、a+1、a+2、a+

18、3根据题意，a+3 是 3 的倍数，所以，a 也是 3 的倍数，而 a 是 11 的倍数，则 a 是 33 的倍数又因为第三个数 a+2 是 5 的倍数，个位为 0 或者 5，则第一个数 a 的个位应该为 3 或者 8又 a 是 33 的倍数，a 最小为331=33,后面的数为 34、35、36，而 34 不是 7 的倍数，排除a 可以为336=168,后面的数为 169、170、171，而 169 不是 7 的倍数，排除a 可以为3311=363,后面的数为 364、365、366，验证，符合所以，这 4 个自然数的和的最小值是363+364+365+366=1458.方法二：设这 4 个自

19、然数分别为 11a、11a+1、11a+2、11a+311a+1 是 7 的倍数，那么 11a7 余 6，则 a7 余 511a+2 是 5 的倍数，那么 11a5 余 3，则 a5 余 311a+3 是 3 的倍数，那么 11a3 无余数，则 a3 无余数符合条件的 a 最小为57-2=33.则11a=1133=363.这 4 个自然数为 363、364、365、366所以和的最小值363+364+365+366=1458. 8. 一个正整数，它分别加上 75 和 48 以后都不是 120 的倍数，但这两个和的乘积却能被 120 整除这个正整数最小是多少？【答案】117【分析】先将 120

20、分解质因数 120=2335，设这个数为 A，依题意得后来的两个数分別是 A+75 和 A+48，这两个数相差 (A+75)-(A+48)=27因为 27 是 3 的倍数，所以 A+75 和 A+48 除以 3 的余数相同；因为 (A+75)(A+48) 是 120 的倍数，所以 A+75 和 A+48 都是 3 的倍数因为 27 不是 5 的倍数，所以 A+75 和 A+48 中只有 1 个是 5 的倍数；因为 27 和 8 互质，所以 A+75 和 A+48 中只有 1 个是 8 的倍数；又因为 A+75 和 A+48 都不是 120 的倍数，所以不可能有一个数既是 5 的倍数也是 8 的

21、倍数，说明 A+75 和 A+48 中一个是 5 的倍数，另一个是 8 的倍数综上，A+75 和 A+48 中一个是 15 的倍数，另一个是 24 的倍数若 A+75 是 15 的倍数A+48 是 24 的倍数，则很明显 A 既是 15 的倍数又是 24 的倍数，最小是 120；若 A+75 是 24 的倍数，A+48 是 15 的倍数，则 A2421,A1512, 所以 A 最小是 117所以这个正整数最小是 117 9. 由数字 a、b、c 各一个可以组成六个不同的三位数，其中五个三位数的和是 2075，那么 a+b+c 是多少？【答案】10【分析】这六个数分别为 abc、acb、bac、

22、bca、cab、cba，这六个数的和是 222(a+b+c)，所以 2075 加上另外那个三位数后应该是 222 的倍数，可能的 222 的倍数有 22210=2220、22211=2442、22212=2664、22213=2886，对应的另外那个三位数是 145、367、589、811因为 1+4+5=10，符合；3+6+711，排除；5+8+912，排除；8+1+113，排除所以 a+b+c 是 1010. 一个整数乘以 13 后，乘积的最后三位数是 123这样的整数中最小的是多少？【答案】471【分析】设A=cba,B=123,有cba13=123方法一：123 一定是 13 的倍数，

23、而 13 的倍数满足其后三位与前面隔开，差是 13 的倍数12313=96，那么 6123 一定是 13 的倍数，且为满足条件的最小自然数那么题中所求的最小整数为612313=471方法二：有 A 的个位 a 只能是 1，不然其与 13 的乘积的个位不是 3显然有 A 的个位 1 与 13 相乘过程中进有 1，则 A 的十位 b 乘以 13 得到的数的个位为 2-1=1，显然只有当 b=7 时才能满足此时 A 的十位 7 与 13 相乘过程中进有 9，则 A 的百位 c 乘以 13 得到的数的个位为 (1+10)-9=2，显然只有 c=4于是 417 而乘以 13 后得到的积其最后三位数是 1

24、23而这样的数中最小的是 47111. （1）“速算巧算=好好好”在上面的乘法算式中，不同的字母表示不同的数字，相同的字母表示相同的数字那么“速+巧+算+好”之和等于多少？（2）下图是一个正确的加法算式，其中相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字已知 BAD 不是 3 的倍数，GOOD 不是 8 的倍数，那么 ABGD 代表的四位数是多少？BAD+BADGOOD【答案】（1）21；（2）3810【分析】（1）好好好=好111=好337，100 以内 37 的倍数只有 37 和 74，所以“速算”或“巧算”中必有 1 个是 37 或 74，判断出“算”是 7 或 4若 算=7，则 好

25、=9，99937=27，所以，速+巧+算+好=3+2+7+9=21.若 杯=4，则 好=6，66674=9，不是两位数，不符合题意速+巧+算+好=3+2+7+9=21.（2）首先可以确定 D 的值一定是 0，G 的值一定是 1，所以GOO=BA+BA,可见 GOO 为偶数，只能是 122、144、166、188，由于 BAD 不是 3 的倍数，GOOD 不是 8 的倍数，所以 GOO 不是 3 的倍数，也不是 4 的倍数，可以排除 144 和 188，再检验 122 和 166 可知只有 166 符合，此时 BAD 为 830，所以 ABGD 的值为 381012. 一个六位数能被 11 整除

26、，它的各位数字非零且互不相同的将这个六位数的 6 个数字重新排列，最少还能排出多少个能被 11 整除的六位数？【答案】71【分析】设这个六位数为 abcdef，则有 (a+c+e)、(b+d+f) 的差为 0 或 11 的倍数且 a、b、c、d、e、f 均不为 0，任何一个数作为首位都是一个六位数先考虑 a、c、e 偶数位内，b、d、f 奇数位内的组内交换，有 A33A33=36(种) 顺序；再考虑形如 badcfe 这种奇数位与偶数位的组间调换，也有 A33A33=36(种) 顺序所以，用均不为 0 的 a、b、c、d、e、f 最少可以排出 36+36=72(个) 能被 11 整除的数（包含原来的 abcdef）所以最少还能排出 72-1=71(个) 能被 11 整除的六位数