【机构秘籍】小学奥数题库《计算》公式类平方差公式-3星题（含详解）全国通用版【唯一店：教师学科网资料】.docx

1、计算-公式类计算-平方差公式-3星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率平方差公式B1.熟悉平方差公式2.能够灵活应用平方差公式进行计算。少考知识提要平方差公式 平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b) 精选例题平方差公式 1. 计算：(10595+10397)-(10793+10199)= 【答案】16【分析】原式=(1002-52+1002-32)-(1002-72+1002-12)=72+12-52-32=50-25-9=16. 2. a、b 代表任意数字，若 (a+b)(a-b)=aa-bb，这个公式在数学上称为平方差公式根据公式，你来巧算下列各题吧（1）98102 = （2）6

2、773 = （3）6428 = （4）229331 = 【答案】（1）9996；（2）4891；（3）1792；（4）5394【分析】（1）98102=(100-2)(100+2)=100100-22=10000-4=9996;（2）6773=(70-3)(70+3)=7070-33=4900-9=4891;（3）6428=23228=2(30+2)(30-2)=2(3030-22)=1792;（4）229331=23(30-1)(30+1)=6(900-1)=5400-6=5394. 3. 计算：22+42+62+1002-12+32+52+99213+23+33+1003= 【答案】150

3、50【分析】原式=(100+99)(100-99)+(98+97)(98-97)+(2+1)(2-1)(1+2+3+100)2=(1+2+3+100)(1+2+3+100)2=1(1+2+3+100)=15050. 4. 如果 (2a+2b+1)(2a+2b-1)=63，那么 a+b 的值是 【答案】4【分析】因为 (2a+2b+1)(2a+2b-1)=63，所以 2(a+b)2-12=63，所以 a+b=4 5. 20092009-20082008= 【答案】4017【分析】方法一：原式=20092008+1-2009-12008=20092008+2009-20092008+2008=20

4、09+2008=4017.方法二：原式=20092-20082=2009+20082009-2008=40171=4017. 6. 计算：49995001= 【答案】24999999【分析】原式=(5000-1)(5000+1)=50002-12=24999999 7. 如图，在边长为 a 的正方形中剪去一个边长为 b 的小正方形（ab），把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形的面积，验证了公式 【答案】(a+b)(a-b)=a2-b2【分析】左图中阴影部分的面积为 a2-b2，右图中阴影部分的面积为 12(2b+2a)(a-b)=(a+b)(a-b)，故验证了公式 (a+b)(a-b)

5、=a2-b2（反过来写也可） 8. 计算 12-32+52-72+92-112-472+492 = 【答案】1249【分析】原式=492-472+452-432+52-32+12=(49+47+45+43+5+3)2+1=(3+49)24+1=1249. 9. 计算：2007-8.58.5-1.51.510160-0.3= 【答案】12.2【分析】原式=2007-8.5+1.58.5-1.510160-0.3=2007-7160-0.3=12.210. 计算：2008+2007200920082009-1+2009+2008201020092010-1= 【答案】2【分析】原式=2008+(2

6、008-1)(2008+1)2008(2008+1)-1+2009+(2009-1)(2009+1)2009(2009+1)-1=2008+20082-12008+20082-1+2009+20092-12009+20092-1=211. 计算：33.8752-3182 = 【答案】1132.5【分析】原式=33.8752-3.8752=33.875+3.87533.875-3.875=37.7530=1132.512. 计算：24682008123420062-1234200512342007= 【答案】24682008【分析】原式=24682008123420062-(12342006-1

7、)(12342006+1)=2468200813. 计算：22+42+62+1002-12+32+52+9921+2+3+100= 【答案】1【分析】原式=1002-992+982-972+22-121+2+3+100=(100+99)(100-99)+(98+97)(98-97)+(2+1)(2-1)1+2+3+100=100+99+98+97+2+11+2+3+100=1.14. 将一个边长为整数的大正方形分成 97 个边长都是整数的小正方形，若其中 96 个小正方形的边长是 1，则大正方形的边长是 【答案】25 或 14 或 11 或 10【分析】设大正方形的边长为 a，分成的边长不是1

8、的小正方形的边长为 b，则有 a2=b2+96，那么，a+ba-b=96，由于 a+b 与 a-b 奇偶性相同，而乘积为偶数，所以 a+b 与 a-b 均为偶数，且 a+ba-b，可能的情况包括：a-b=2a+b=48a-b=4a+b=24a-b=6a+b=16a-b=8a+b=12,分别解得大正方形的边长 a 为 25 或 14 或 11 或 1015. 计算：(5545-3743)-(3221+1)22= 【答案】10【分析】原式=(50+5)(50-5)-(40-3)(40+3)-66422=2475-1591-66422=2475-225522=22022=1016. 计算：(2051

9、95+202198)-(207193+203197)= 【答案】29【分析】原式=(2002-52+2002-22)-(2002-72+2002-32)=72+32-52-22=49+9-25-4=29.17. 计算：5050+4951+4852+4753+4654= 【答案】12470【分析】原式=502+50-150+1+50-250+2+50-350+3+50-450+4=502+502-12+502-12+502-22+502-32+502-42=52500-1+4+9+16=12500-30=12470.18. 计算：123+234+345+8910= 【答案】1980【分析】原式=

10、222-1+332-1+442-1+992-1=23+33+43+93-2+3+4+9=1+2+3+92-1-2+3+4+9=452-45=1980.19. 如图，从边长为 a 的正方形内去掉一个边长为 b 的小正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形，上述操作所能验证的公式是 【答案】(a+b)(a-b)=a2-b2【分析】如图，左图中阴影部分的面积为 a2-b2，右图中阴影部分的面积为 (a+b)(a-b)，而两图中阴影部分的面积应该是相等的，故验证的公式为 (a+b)(a-b)=a2-b2（反过来写也可）20. 利用平方差公式巧算：（1）1332-332= 2692-312= （2）8991

11、= 152148= 【答案】（1）16600；71400；（2）8099；22496【分析】（1）1332-332=133+33133-33=16600；2692-312=269+31269-31=71400；（2）8991=90+190-1=902-12=8099；154148=150+2150-2=1502-22=2249621. 算式 (63-163)(1-163) 的计算结果是 【答案】64【分析】原式=(632-1)(63-1)=(63-1)(63+1)(63-1)=6422. 计算：12345671234567-12345661234568= 【答案】1【分析】原式=1234567

12、2-(1234567-1)(1234567+1)=12345672-(12345672-12)=1.23. 计算：10199-10098+9997-9896+53-42 = 【答案】5047【分析】原式=1002-1-992+1+982-1-972+42-1-32+1=1002-992+982-972+42-32=100+99+98+97+4+3=5050-3=5047.24. 计算：1119+1218+1317+1416= 【答案】870【分析】本题可以直接计算出各项乘积再求和，也可以采用平方差公式原式=152-42+152-32+152-22+152-12=1524-12+22+32+42

13、=900-30=870.25. 计算：3.1415252-3.1415152= 【答案】1256.6【分析】原式=3.1415(25+15)(25-15)=1256.626. 计算：1129+1228+1921= 【答案】3315【分析】原式=202-92+202-82+202-12=2029-12+22+92=3600-1691019=3315.27. 看规律 13=12，13+23=32，13+23+33=62，试求 63+73+143 = 【答案】10800【分析】原式=13+23+143-13+23+53=1+2+3+142-1+2+3+4+52=1052-152=105-15105+

14、15=90120=10800.28. 计算：13+115+135+163+199+1143+1195= 【答案】715【分析】分析这个算式各项的分母，可以发现它们可以表示为：3=22-1=13，15=42-1=35，195=142-1=1315，所以原式=113+135+157+179+1911+11113+11315=1211-13+1213-15+12113-115=1211-115=71529. 计算：13+24+35+911= 【答案】375【分析】原式=2-12+1+3-13+1+10-110+1=22-1+32-1+102-1=22+32+102-9=12+22+32+102-10

15、=1011216-10=375.30. 计算：20092009-20082008= 【答案】4017【分析】方法一：原式=20092008+1-2009-12008=20092008+2009-20092008+2008=2009+2008=4017;方法二：原式=20092-20082=2009+20082009-2008=40171=4017.31. 计算：2020-1919+1818-1717+22-11 = 【答案】210【分析】利用平方差公式：2020-1919=(20+19)(20-19)=20+19，1818-1717=18+17，22-11=2+1于是，原式=20+19+18+

16、17+2+1=(20+1)202=210.32. 计算：12+32+52+992+1012-22+42+62+1002= 【答案】5151【分析】原式=12+32-22+52-42+1012-1002=1+2+3+4+100+101=515133. 计算：1002-992+982-972+22-12= 【答案】5050【分析】原式=(100+99)(100-99)+(98+97)(98-97)+(2+1)(2-1)=100+99+98+97+2+1=5050.34. 算式 (1919-1212)1912-1219 【答案】228【分析】(1919-1212)1912-1219=(192-122

17、)192-1221219=(192-122)1219192-122=1219=22835. 计算：（1）314159262-3141592531415927= ；（2）12342+87662+24688766= 【答案】（1）1；（2）100000000【分析】（1）观察可知 31415925 和 31415927 都与 31415926 相差 1，设 a=31415926，原式=a2-a-1a+1=a2-a2-1=1;（2）原式=12342+87662+212348766=1234+87662=100002=100000000.36. 计算：32+132-1+52+152-1+72+172-

18、1+19932+119932-1+19952+119952-1= 【答案】9979971996【分析】原式=1+232-1+1+252-1+1+272-1+1+219932-1+1+219952-1=997+224+246+219941996=997+12-14+14-16+11994-11996=997+12-11996=9979971996.37. 已知：a2-b2=(a+b)(a-b)，计算：1002-992+982-972+962+42-32+22-12 = 【答案】5050【分析】原式=(100+99)(100-99)+(4+3)(4-3)+(2+1)(2-1)=100+99+3+2

19、+1=5050.38. 计算：(22+42+62+1002)-(12+32+52+992)1+2+3+10+9+2+1= 【答案】50.5【分析】原式=22-12+42-32+62-52+1002-9921+2+3+10+9+2+1=2+1+4+3+6+5+100+99102=50.539. 计算：(1-122)(1-132)(1-142)(1-152)(1-1482)(1-1492)= 【答案】2549【分析】1-122=(1-12)(1+12)=1232，1-132=(1-13)(1+13)=2343，所以，原式=1232234348495049=125049=254940. 314159

20、262-3141592531415927= ； 12342+87662+24688766= 【答案】 1； 100000000【分析】观察可知 31415925 和 31415927 都与 31415926 相差 1，设 a=31415926，原式=a2-a-1a+1=a2-a2-1=1;原式=12342+87662+212348766=1234+87662=100002=100000000.41. 观察下列各式，你会发现什么规律？3515，而 15=42-1，5735，而 3562-1，1113=143，而 143=122-1将你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来 【答案】n-1n+1

21、=n2-1【分析】观察第一个算式，15=16-1，可知这个算式中的 4=(3+5)2后面每个算式都具有这个规律，所以可以猜想这个算式的规律为：n-1n+1=n2-142. 计算：132-1+152-1+172-1+192-1+1112-1+1132-1= 【答案】314【分析】这题是利用平方差公式进行裂项：a2-b2=(a-b)(a+b)，原式=124+146+168+1810+11012+11214=12-14+14-16+16-18+18-110+110-112+112-11412=12-11412=314.43. 算式 6767-3434+67+34 的计算结果是 【答案】3434【分析

22、】原式=(67+34)(67-34)+101=10133+101=10134=343444. 计算 12-22+32-42+52-62+172-182+192= 【答案】190【分析】这个题目重新整理得：12+(32-22)+(52-42)+(72-62)+(192-182)=1+(3+2)(3-2)+(5+4)(5-4)+(19+18)(19-18)=1+3+2+5+4+19+18=1+2+3+4+17+18+19=209+10=190.45. 计算：115+214+313+412+511+610+79+88= 【答案】372【分析】原式=(8-7)(8+7)+(8-6)(8+6)+(8-5

23、)(8+5)+(8-4)(8+4)+(8-3)(8+3)+(8-2)(8+2)+(8-1)(8+1)+88=82-72+82-62+82-52+82-42+82-32+82-22+82-12+82=828-(12+22+32+42+52+62+72)=512-78156=37246. 有一串数 1，4，9，16，25，36，它们是按一定规律排列的，那么其中第 1990 个数与第 1991 个数相差 【答案】3981【分析】这串数中第 1990 个数是 19902，而第 1991 个数是 19912，它们相差19912-19902=(1991+1990)(1991-1990)=1991+1990

24、=3981.47. 一根铁丝，第 1 次截去总长度的 122，第 2 次截去剩余长度的 132，第 3 次截去剩余长度的 142 第 2008 次截去剩余长度的 120092，此时该铁丝还剩 2010 厘米，那么该铁丝原长为 厘米【答案】4018【分析】设铁丝的原长度为 a 厘米，则根据题意可知：a1-1221-1321-1421-120092=2010,a1+121-121+120091-12009=2010,a324320102009122320082009=2010，a10052009=2010，a=401848. 算式 201722-1+201742-1+201762-1+201720

25、142-1+201720162-120161-20162-20164-20168-201616-201632-201664 = 【答案】32【分析】原式=2017(113+135+157+120152017)2016(1-12-14-116-132-164)=201712(1-12017)2016164=3249. 计算：123456.62-123456.5123456.7= 【答案】0.01【分析】原式=123456.62-(123456.6-0.1)(123456.6+0.1)=0.12=0.0150. 两个正方形的面积之差为 2016 平方厘米，如果这样的一对正方形的边长都是整数厘米，那

26、么满足上述条件的所有正方形共有 对【答案】12【分析】a2-b2=(a+b)(a-b)=2016.a+b 与 a-b 奇偶性相同，乘积是偶数，必然都是偶数，且和大于差，20164=504=22327 的因数有 24 个，即 12 组不同的分拆，故有 12 组解51. 计算：12+3222-1+22+4232-1+32+5242-1+982+1002992-1= 【答案】19847514950【分析】12+3222-1=103，22+4232-1=208，32+5242-1=3415，由于 103=243，208=248，3415=2415，可见原式=2422-1+2432-1+2442-1+2

27、4992-1=298+4113+124+135+198100=196+4121-13+12-14+13-15+198-1100=196+21+12-199-1100=196+3-21999900=19847514950.52. 计算：31245+42356+53467+1210111314= 【答案】75616【分析】观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是 5 个连续自然数的乘积，所以可以先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数即：原式=3212345+4223456+5234567+1221011121314现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分

28、母的对称性，可以用平方差公式：32=15+4，42=26+4，52=37+4原式=3212345+4223456+5234567+1221011121314=15+412345+26+423456+37+434567+1014+41011121314=1234+1345+1456+1111213+412345+423456+434567+41011121314=12123-134+134-145+11112-11213+11234-12345+12345-13456+110111213-111121314=12123-11213+11234-111121314=112-121213+124-1

29、11121314=18-77+111121314=18-121114=18-1308=7561653. 计算：12-22+32-42+20052-20062+20072= 【答案】2015028【分析】原式=20072-20062+52-42+32-22+12=(2007-2006)(2007+2006)+(2005-2004)(2005+2004)+(3-2)(3+2)+1=2007+2006+2005+2004+3+2+1=122007+12007=2015028.54. 计算：1213+2235+3257+50299101= 【答案】1263101【分析】式子中每一项的分子与分母初看起来

30、关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为 22-1，42-1，62-1，1002-1，可以发现如果分母都加上 1，那么恰好都是分子的 4 倍，所以可以先将原式乘以 4 后进行计算，得出结果后除以 4 就得到原式的值了原式=142222-1+4242-1+6262-1+10021002-1=141+122-1+1+142-1+1+162-1+1+11002-1=1450+113+135+157+199101=1450+121-13+13-15+15-17+199-1101=1450+121-1101=145050101=1263101.55. 计算：1+121+141+1161+12

31、561+122n【答案】2-124n-1【分析】原式=21-121+121+141+1161+122n=21-124n=2-124n-1.56. 计算：2+122+124+1232+1+1【答案】264【分析】原式=2-12+122+124+1232+1+1=264.57. 求积 A 的个位数字：A=2+122+124+128+1216+1232+1264+1【答案】5【分析】A=2-12+122+1264+1=264-1264+1=2128-1. 2n 各位数字的循环 4 个一周期，周期为：2、4、8、6，1284=32，所以 2128 个位为 6，故 2128-1 个位为 5（另解：5 的

32、奇数倍个位一定是 5）58. 已知 a2-b2=133，a、b 是正整数，求 a、b 的值【答案】67、66 或 13、6【分析】观察算式发现 a2-b2=(a+b)(a-b) 只要把 133 写成两个数的正整数的积 133=1133=197 再利用和差公式分别求出 a 与 b原式=(a+b)(a-b)=1331=197.a+b=133a-b=1,所以a=(133+1)2=67,b=67-1=66.或者a+b=19a-b=7,所以a=(19+7)2=13,b=19-13=6.59. 如果三个正整数 a、b、c 满足 a2+b2=c2，则称这三个数构成一个勾股数组 (a,b,c)与 5 有关的勾

33、股数组有两组：(3,4,5) 和 (5,12,13)，请问：与 13 有关的勾股数组有哪些？【答案】(5,12,13)、(13,84,85)【分析】当 c=13 时，则很显然 (5,12,13) 是一组勾股数当 a=13 时，则132+b2=169+b2=c2即c2-b2=(c+b)(c-b)=1691由此可得c+b=169c-b=1解得c=85b=84因此 (13,84,85) 也是一组勾股数60. 296-1 有可能被 60 到 70 之间的两个整数整除，试求出这两个数【答案】63、65【分析】296-1=248-1248+1=26-126+1212+1224+1248+1=6365212

34、+1224+1248+1,这两个数是 63 和 6561. 计算：(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)【答案】364-12【分析】设 S=(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)，两边乘以 (3-1)，得(3-1)S=(3-1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)=(32-1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)=364-1.所以 S=12(364-1)，即 (3+1)(32+1)(332+1)=364-1262. 已知 324-1 可能被 20 至 30

35、之间的两个整数整除，求这两个整数【答案】28、26【分析】324-1=312+1312-1=312+136+133+133-1=312+136+12826.所求二整数为 28、2663. 求 3517(22n-1+1) 的值【答案】22n-1【分析】观察原式的每一项，均可写成 2n+1(n=1,2,2n-1) 的形式，而 1=2-1，故原式=3517(22n-1+1)=(2-1)(2+1)(22+1)(22n-1+1)=22n-1.64. 计算： 72x-34y72x+34y； (-3x-5y)(-3x+5y)【答案】 494x2-916y2； 9x2-25y2【分析】 原式=72x2-34y

36、2=494x2-916y2； 原式=(-3x)2-(5y)2=9x2-25y2；65. 三个自然数，它们都是完全平方数，最大的数减去第二大的数的差为 80，第二大的数减去最小的数的差为 60，求这三个数【答案】分别为 12、8、2【分析】设这三个数从大到小分别为 A2、B2、C2，那么有 A+BA-B=80，A+CA-C=140，因为 140=2257，A+C、A-C 同奇同偶，所以有 A+C=14，A-C=10 或 A+C=70，A-C=2，分别解得 A=12，C=2 和 A=36，C=34，对于后者没有满足条件的 B，所以 A 只能等于 12，C=2，继而求得 B=8，所以这三个数分别为

37、12、8、266. 已知 a2-b2=27，a、b 是正整数，求 a、b 的值【答案】14、13 或 6、3【分析】(a+b)(a-b)=127=39.a+b=27a-b=1,所以a=(27+1)2=14,b=27-14=13.或者a+b=9a-b=3,所以a=(9+3)2=6,b=9-6=3.67. 运用平方差公式计算： (x2y-12)(x2y+12)； (-4a-1)(-4a+1)； (am+bn)(am-bn)【答案】见解析【分析】 x2y-12x2y+12=(x2y)2-122=x4y2-14； (-4a-1)(-4a+1)=(-4a)2-12=16a2-1； (am+bn)(am-

38、bn)=(am)2-(bn)2=a2m-b2n68. 计算： (x+3)(x-3)(x2+9)； (2a+3b)(4a+5b)(2a-3b)(5b-4a)；【答案】见解析【分析】 (x+3)(x-3)(x2+9)=(x2-9)(x2+9)=x4-81；原式=(4a2-9b2)(25b2-16a2)=100a2b2-64a4-225b4+144a2b2=-64a4+244a2b2-225b4.69. 计算：(a-b)(a+b)(a2+b2)(a4+b4)【答案】a8-b8【分析】原式=(a2-b2)(a2+b2)(a4+b4)=(a4-b4)(a4+b4)=a8-b8.70. 求所有不超过 10

39、00 的这样的整数，它的平方的末两位数码相同，但不等于 0【答案】12、38、62、988 共 40 个数【分析】由完全平方数的尾数只能是 0、1、4、5、6、9 及完全平方数除以 4 只能余 0 或 1 知：满足要求的完全平方数的末两位是 44，最小的为 122=144，设不超过 1000 的整数为 m，m2 的末两位为 44，则有 m2-122=100k，即 (m+12)(m-12)=425k，m+12、m-12 不能同时为 5 的倍数或 25 的倍数，所以 m+12、m-12 中有一个为 25 的倍数，由于 m+12、m-12 应为偶数，则 m=50k+12 或 50k-12(也可写成5

40、0k+38)，m1000，则 m 有 12、38、62、988 共 40 个数71. 一个正整数加上 132 和 231 后都等于完全平方数，求这个正整数是多少？【答案】2269 或 93【分析】设该正整数为 a，根据题意得 a+132=m2,a+231=n2 两式相减得 (n+m)(n-m)=99 因为 99=991=333=119 所以 n+m=99,n-m=1 或 n+m=33,n-m=3 或 n+m=11,n-m=9 解得 n=50,m=49 或 n=18,m=15 或 n=10,m=1，但是 n=10,m=1 不符合正整数的条件，因此 a=492-132=2269，或者 152-13

41、2=93，所以这个正整数为 2269 或 9372. 计算： (2+1)(22+1)(24+1)(22n+1)； (1-122)(1-133)(1-142)(1-1102)； 1002-992+982-972+962+22-12；【答案】 24n-1； 1120； 5050【分析】原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(22n+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(22n+1)=(24-1)(24+1)(22n+1)=(28-1)(22n+1)=(22n)2-1=24n-1;原式=1-121+121-131+131-141+141-1101+110=1232234334459

42、101110=121110=1120;原式=(100-99)(100+99)+(98-97)(98+97)(2-1)(2+1)=100+99+98+972+1=(100+1)10012=5050.73. 计算：1-1221-1321-1992【答案】5099【分析】原式=1-121+121-131+131-1991+199=12322343989910099=1210099=5099.74. 已知实数 a、b 满足 (a+b)2=1，(a-b)2=25，求 a2+b2+ab 的值【答案】7【分析】a2+b2=(a+b)2+(a-b)22=13，ab=(a+b)2-(a-b)24=-6，a2+b

43、2+ab=775. 一个数减去 100 是一个平方数，减去 63 也是一个平方数，问这个数是多少？【答案】424【分析】设这个数减去 63 为 A2，减去 100 为 B2，则 A2-B2=A+BA-B=100-63=37=371，可知 A+B=37，且 A-B=1，所以 A=19，B=18，这样这个数为 182+100=42476. 计算： (x+2)2(x-2)2； (x+5y-9)(x-5y+9)； (a+b+c)(a-b-c)；先化简，再求值：(3x+2)(3x-2)-5x(x-1)-(2x-1)2，其中 x=-13【答案】 x4-8x2+16； x2-25y2+90y-81； a2-

44、b2-c2-2bc； -8【分析】(x+2)2(x-2)2=(x+2)(x-2)2=(x2-4)2=x4-8x2+16;(x+5y-9)(x-5y+9)=x2-(5y-9)2=x2-(25y2-90y+81)=x2-25y2+90y-81;原式=a+(b+c)a-(b+c)=a2-(b+c)2=a2-b2-c2-2bc;(3x+2)(3x-2)-5x(x-1)-(2x-1)2=9x2-4-5x2+5x-(4x2-4x+1)=9x-5,又 x=-13，故 原式=9x-5=9-13-5=-877. 先化简后求值：(x-y)2+(x+y)(x-y)2x，其中 x=3，y=1.5计算：(2x-y+2)

45、(y-2x+2)【答案】 1.5； 4-4x2+4xy-y2【分析】(x-y)2+(x+y)(x-y)2x=(x2-2xy+y2+x2-y2)2x=(2x2-2xy)2x=x-y.又 x=3，y=1.5，故原式 =x-y=3-1.5=1.5法 2：(x-y)2+(x+y)(x-y)2x=(x-y)2x2x=x-y=1.5.原式=2+(2x-y)2-(2x-y)=4-(2x-y)2=4-4x2+4xy-y2.78. 下图中有两个黑色的正方形，两个白色的正方形它们的面积已在图中标出（单位：平方米）黑色的两个正方形面积大还是白色的两个正方形面积大？请说明理由【答案】两个白色正方形的面积大【分析】此题

46、用到平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)19972-19962=(1997+1996)(1997-1996)=1997+1996=3993 19932-19922=(1993+1992)(1993-1992)=3985所以 199721996219932-19922即 19972+1992219962+19932，两个白色正方形的面积大79. 利用平方差公式简化计算： 59.860.2； 10298； 123462-1234512347； 11151415【答案】 3599.96； 9996； 1； 124125【分析】 59.860.2=(60-0.2)(60+0.2)=602-0.

47、22=3599.96； 10298=(100+2)(100-2)=1002-22=9996； 123462-1234512347=123462-(12346-1)(12346+1)=123462-(123462-12)=1; 11151415=1+1151-115=1-1125=12412580. 已知 a=200520072006，b=200620082007，c=200720092008，比较三者大小【答案】abc【分析】a=200520072006=(2006-1)(2006+1)2006=2006-12006；b=200620082007=2007-12007；c=2007200920

48、08=2008-12008；易得 abc81. 计算：202-192+182-172+162-152+22-1【答案】210【分析】观察算式发现都是平方差构成，添上一个括号就可以运用公式计算原式=(202-192)+(182-172)+(162-152)+(22-1)=(20-19)(20+19)+(18-17)(18+17)+(16-15)(16+15)+(2-1)(2+1)=20+19+18+17+16+15+2+1=(1+20)202=210.82. （1）34+934+9934+99934+1；（2）12233499100；（3）1-1221-1321-1992；（4）12+13+11

49、00+23+24+2100+9899+98100+99100【答案】（1）1111；（2）1100；（3）5099；（4）2475【分析】详解：（1）凑整；（2）约分；（3）平方差公式后约分；（4）找规律计算，括号展开后分别计算同分母分数，会发现等差数列83. 计算： (x-y)2-(x+y)(x-y)； 2x-35y-13z35y-13z+2x； (a2+ab+b2)(a2-ab+b2)【答案】 2y2-2xy； 4x2-43xz+19z2-925y2； a4+a2b2+b4【分析】(x-y)2-(x+y)(x-y)=x2-2xy+y2-(x2-y2)=2y2-2xy;2x-35y-13z3

50、5y-13z+2x=2x-13z2-35y2=4x2-43xz+19z2-925y2;原式=(a2+b2)+ab(a2+b2)-ab=a4+a2b2+b4.84. 计算：667668669-666668670【答案】2004【分析】综合题目，先提取公因数，然后使用平方差公式逆用原式=668(667669-666670)=668(6682-12)-(6682-22)=668(4-1)=200485. 学而思运动会上，五年级的女生们准备出一个团体操的节目现在的人数刚好排成一个方阵（每一行人数和每一列人数相等）后来又加入了 23 个女生，恰好还可以组成一个方阵那么你能算出加入 23 人之前，方阵共有

51、多少人吗？【答案】121 人【分析】依题意，前后两次的学生总人数都是完全平方数不妨设前者人数是 B2，后者人数是 A2. 那么根据平方差式，A2-B2=A+BA-B=23因为 A+B 和 A-B 是同奇偶的，所以 23 也应该拆成 2 个同奇偶性的数的乘积因此A+BA-B=231A+B=23A-B=1A=12B=11则加入 23 人之前，方阵有 1111=121 人86. 有一个正整数，它加上 100 后是一个完全平方数，加上 168 后也是一个完全平方数请问：这个正整数是多少？【答案】156【分析】设这个正整数为 n，则n+100=b2,n+168=a2,两式相减得a2-b2=68,而a2-

52、b2=(a+b)(a-b),由于 68=168=234=417, 由此可得a+b=34,a-b=2,解得a=18,b=16,所以 n 为 15687. 计算：（1）332-302;672-652;1212-1202;（2）99101;5644;307293【答案】（1）189;264;241；（2）9999;2464;89951【分析】（1）观察算式发现都属于平方差公式原式=(33+30)(33-30)=633=189;原式=(67+65)(67-65)=1322=264;原式=(121+120)(121-120)=2411=241;（2）观察算式发现 99=100-1，101=100+1，5

53、6=50+6，44=50-6，307=300+7，293=300-7，所以可以运用平方差的逆运算原式=(100-1)(100+1)=1002-12=10000-1=9999;原式=(50-6)(50+6)=502-62=2500-36=2464;原式=(300-7)(300+7)=3002-72=90000-49=89951.88. 计算：343345347-342345348【答案】1725【分析】综合题目，先提取公因数，再采用平方差公式计算原式=345(343347-342348)=345(345-2)(345+2)-(345-3)(345+3)=345(3452-22)-(3452-32

54、)=345(9-4)=3455=172589. 已知平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，计算：（1）6662-3342；（2）(50+1)(50-1)；（3）202-192+182-172+162-152+22-12【答案】（1）332000；（2）2499；（3）210【分析】（1）原式=(666+334)(666-334)=332000；（2）原式=502-12=2500-1=2499；（3）原式=(20+19)(20-19)+(18+17)(18-17)+(2+1)(2-1)=20+19+18+17+2+1=21090. 计算：（1）(-2x+3y)2；（2）(a-2b)(2b

55、-a)；（3）(a2+ab+b2)(a2-ab+b2)；（4）(2x-y+2)(y-2x+2)【答案】（1）4x2-12xy+9y2；（2）-a2+4ab-4b2；（3）a4+a2b2+b4；（4）4-4x2+4xy-y2【分析】（1）原式=(2x-3y)2=4x2-12xy+9y2；（2）原式=-(a-2b)2=-(a2-4ab+4b2)=-a2+4ab-4b2;（3）原式=(a2+b2)+ab(a2+b2)-ab=a4+a2b2+b4;（4）原式=2+(2x-y)2-(2x-y)=4-(2x-y)2=4-4x2+4xy-y2.91. 计算：（1）712-672+632-592+552-51

56、2+312-272；（2）20082-20072+20062-20052+20042-20032+20022-20012【答案】（1）2352；（2）16036【分析】（1）712-672+632-592+552-512+312-272=(712-672)+(632-592)+(552-512)+(312-272)=(71+67)(71-67)+(63+59)(63-59)+(31+27)(31-27)=(71+67+63+59+31+27)4=(71+27)1224=9864=2352;（2）20082-20072+20062-20052+20042-20032+20022-20012=(2

57、0082-20072)+(20062-20052)+(20042-20032)+(20022-20012)=(2008+2007)(2008-2007)+(2006+2005)(2006-2005)+(2004+2003)(2004-2003)+(2002+2001)(2002-2001)=2008+2007+2006+2005+2004+2003+2002+2001=(2008+2001)82=40094=16036.92. 计算：112-102+92-82+72-62+52-42+32-22+12【答案】66【分析】原式=(11+10)(11-10)+(9+8)(9-8)+(3+2)(3-

58、2)+1=11+10+9+8+2+1=6693. 一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”，比如 16=52-32，16 就是一个“智慧数”请问：从 1 开始的自然数列中，第 2008 个“智慧数”是多少？【答案】2680【分析】通过尝试可以发现如下规律：相邻两个平方数的差为 3,5,7,9,11 即除 1 外，所有的奇数均为“智慧数”相邻两个奇数的平方差与相邻两个偶数的平方差为 8,12,16,20,24,28 即除 4 之外，所有 4 的倍数的数是“智慧数”所以 12000 的“智慧数”有 20002+20004-2=1498(个)12500 的“智慧数”有 2500

59、2+25004-2=1873(个)12700 的“智慧数”有 27002+27004-2=2023(个)因此第 2008 个“智慧数”为 268094. 计算：（1）202-192+182-172+162-152+22-1；（2）12-22+32-42+52-62+992-1002+1012【答案】（1）210；（2）5151【分析】观察算式发现 202-192 这是平方差公式，可以用 a2-b2=(a+b)(a-b) 公式计算，这样比较简便原式=(202-192)+(182-172)+(162-152)+(22-1)=(20+19)(20-19)+(18+17)(18-17)+(2+1)(2

60、-1)=20+19+18+17+2+1=(1+20)202=2110=210;（2）观察算式发现该题与上一题的区别是 12-22 减不开，仔细观察 1012-1002 所以用上加法结合律重新组合一下就可以原式=(1012-1002)+(992-982)+(972-962)+(32-22)+12=(101+100)(101-100)+(99+98)(99-98)+(3+2)(3-2)+1=101+100+99+98+3+2+1=(1+101)1012=51101=5151.95. 计算：102-92+82-72+62-52+22-1【答案】55【分析】102-92+82-72+62-52+22-

61、1=(102-92)+(82-72)+(62-52)+(22-1)=(10-9)(10+9)+(8-7)(8+7)+(6-5)(6+5)+(2-1)(2+1)=10+9+8+7+6+5+2+1=(1+10)102=55.96. 计算：（1）332-322；692-672；20092-20082；（2）3129；1921；302298；【答案】（1）65；272；4017；（2）899；399；89996【分析】（1）332-322=(33+32)(33-32)=65;692-672=(69+67)(69-67)=272;20092-20082=(2009+2008)(2009-2008)=4017;（2）3129=(30-1)(30+1)=302-12=899;1921=(20-1)(20+1)=202-1=399.（2）302298=(300+2)(300-2)=3002-22=89996.97. 计算：1002-992+982-972+962-952+22-12【答案】5050【分析】平方差公式，原式=100+99+98+97+3+2+1=5050