【课后延时】小学数学专项《应用题》经典牛吃草问题基本知识-1星题（含解析）全国通用版【唯一店：教师学科网资料】.docx

1、应用题-经典应用题-牛吃草问题基本知识-1星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率牛吃草问题基本知识C1.了解牛吃草问题的概念。2.能够准确理解牛吃草的解题原理。3.可以熟练运用牛吃草公式来解决牛吃草问题。少考知识提要牛吃草问题基本知识 概述牛吃草问题：又称为消长问题，是英国伟大的科学家牛顿在他的一书中提出的一个数学问题，所以也称为“牛顿问题”，俗称“牛吃草问题”解决该问题要抓住两个关键量：草的生长速度和草原的原草量 公式：设定1头牛1天吃草量为“1”；（1）草的生长速度=（对应牛的头数 吃的较多的天数-对应牛的头数 吃的较少天数）（吃的较多天数-吃的较少天数）（2）原有草量=牛的头数 吃的

2、天数-草的生长速度 吃的天数（3）吃的天数=原有草量 （牛的头数-草的生长速度）（4）牛的头数=原有草量 吃的天数+草的生长速度。 牛吃草的变型“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题精选例题牛吃草问题基本知识 1. 有一块草地，每天都有新的草长出这块草地可供 9 头牛吃 12 天，或可供 8 头牛吃 16 天开始只有 4 头牛在这块草地上吃草，从第 7 天起又增加了若干头牛来吃草，又吃了 6 天吃完 了所有的草假设草的生长速度每天都相同，每头牛每天的吃草量也相同，那么从第 7 天起增加 了 头牛来

3、吃草【答案】10【分析】设每头牛每天的吃草量为 1 份每天长草：(816-912)(16-12)=5(份)原有草：108-512=48(份)共吃 12 天，后 6 天需要牛的头数：48+(5-4)66+5=14(头)增加牛的头数：14-4=10(头) 2. 一片草地，草每天生长量相同，17 头牛 30 天可将草吃完，19 头牛 24 天可将草吃完现有若干头牛吃了 6 天后，卖掉 4 头牛，余下的牛再吃 2 天将草吃完原来共有 头牛【答案】40【分析】设每头牛每天的吃草量为 1 份，草的生长速度：(1730-1924)6=9原有草量 =(17-9)30=240(份)若干头牛吃 6 天，设是 x

4、头牛吃 6 天(x-9)6+(x-4-9)2=240 得 x=40所以原来有 40 头牛 3. 牧场上的青草每天都匀速生长，这片青草可供 27 头牛吃 6 周，或者供 23 头牛吃 9 周那么，这片青草可供 21 头牛吃 周【答案】12【分析】将 1 头牛 1 周吃的草看做 1 份，则 27 头牛 6 周吃 162 份，23 头牛 9 周吃 207 份，这说明 3 周时间牧场长草 207-162=45(份)，即每周长草 15 份，牧场原有草 162-156=72(份)21 头牛中的 15 头牛吃新长出的草，剩下的 6 头牛吃原有的草，吃完需 726=12(周) 4. 某超市平均每小时有 60

5、人排队付款，每个收银台每小时能应付 80 人，某天某时段内，该超市只有一个收银台工作，付款开始 4 小时就没有顾客排队了；如果叫当时有两个收银台工作，那么付款开始 小时就没人排队了【答案】0.8【分析】设 1 个收银员 1 小时处理 1 份（80 人）则每小时新增人：6080=34 份原有人数：14-344=1 份从 2 个收银台中分出 34 来专门处理“新增草量”则 1(2-34)=0.8(小时)所以 0.8 小时后就无人排队 5. 李大爷在草地上放养一群牛，草地每天均匀生长，如果他再买进 3 头牛，则会提前 2 天将草吃完，如果他卖出 3 头牛，则会推迟 4 天才能将草吃完，那么这片草地放

6、养原来那群牛，会用 天将草吃完【答案】8【分析】设一头牛一天吃一份草设原有 x 头牛，y 天吃完，原有草量 a，每天长 b可得方程：xy=a+by(x+3)(y-2)=a+b(y-2)(x-3)(y+4)=a+b(y+4)可得 y=8 6. 某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多从开始检票到等候检票的队伍消失，若同时开 5 个检票口则需 30 分钟，若同时开 6 个检票口则需 20 分钟如果要使队伍 10 分钟内消失，至少需同时开 个检票口【答案】9【分析】将 1 个检票口 1 分钟通过的人看做 1 份，则 5 个检票口 30 分钟通过人 150 份，6 个 检票口 20

7、分钟通过人 120 份，这说明 10 分钟来人 150-120=30(份)，即每分钟来人 3 份原有人数 150-330=60(份)，要使队伍 10 分钟消失，至少需要 6010+3=9(个) 检票口 7. 若 2 台收割机 3 天可以收割小麦 450 亩，则用 7 台收割机收割 2100 亩小麦需要 天【答案】4【分析】由题意，知 1 台收割机 1 天可收割小麦45023=75(亩),所以用 7 台收割机收割 2100 亩小麦需要2100775=4(天). 8. 一只船被发现漏水时已经进了一些水，水均匀进入船内如果 10 人淘水，3 小时淘完；如果 5 人淘水，8 小时淘完如果要求 2 小时

8、淘完，需要安排 人淘水【答案】14【分析】将 1 人 1 小时淘的水看做 1 份，则 10 人 3 小时淘 30 份，5 人 8 小时淘 40 份，这说明 5 小时船进水 40-30=10(份)，即每小时进水 2 份，船里原有水 30-23=24(份)要求 2 小时淘完，则需要 242+2=14(人) 9. 有一片牧场，草每天都在均匀地生长如果在牧场上放养 24 头牛，那么 6 天就把草吃完了；如果只放养 21 头牛，那么 8 天才把草吃完请问：（1）要使得草永远吃不完，最多可以放养多少头牛？（2）如果放养 36 头牛，多少天可以把草吃完？【答案】（1）12；（2）3【分析】（1）设 1 头牛

9、 1 天吃 1 份草，则草的生长速度为 (218-246)(8-6)=12，因此最多放养 12 头牛（2）原有草量为 246-126=72，如果放养 36 头牛最多吃 72(36-12)=3(天)10. 牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长这片牧场可供 10 头牛吃 20 天，可供 15 头牛吃 10 天如果供 25 头牛可吃几天？【答案】5【分析】设 1 头牛 1 天的吃草量为“1”，10 头牛吃 20 天共吃了 1020=200 份；15 头牛吃 10 天共吃了 1510=150 份第一种吃法比第二种吃法多吃了 200-150=50 份草，这 50 份草是牧场的草 20-10=10 天生长出

10、来的，所以每天生长的草量为 5010=5，那么原有草量为：200-520=100供 25 头牛吃，若有 5 头牛去吃每天生长的草，剩下 20 头牛需要 10020=5(天) 可将原有牧草吃完，即它可供 25 头牛吃 5 天11. 有一片牧场，草每天都在均匀地生长如果在牧场上放养 24 头牛，那么 6 天就把草吃完了；如果只放养 21 头牛，那么 8 天才把草吃完请问：要使得草永远吃不完，最多可以放养多少头牛？【答案】12 头【分析】设 1 头牛 1 天吃 1 份草，则草的生长速度为(218-246)(8-6)=12(份),要使得草永远吃不完，那么就要保证原草不被吃掉，放养的牛每天只吃新生长的草

11、量，因此最多放养 12 头牛12. 2006 年夏天，我国某地遭遇了严重干旱，政府为了解决村民饮水问题，在山下的一眼泉水旁修了一个蓄水池，每小时有 40 立方米泉水注人池中第一周开动 5 台抽水机 2.5 小时就 把一池水抽完，接着第二周开动 8 台抽水机 1.5 小时就把一池水抽完后来由于旱情严重，开动 13 台抽水机同时抽水请问几小时可以把这池水抽完？【答案】0.9 小时【分析】设一台抽水机一小时的抽水量为 1 份，则泉水的注水速度是(52.5-81.5)(2.5-1.5)=0.5(份)池水的原有水量为 2.55-2.50.5=11.25(份)所以，使用 13 台抽水机，抽完池水需要的时间

12、为 11.25(13-0.5)=0.9(小时)13. 一水库原有存水量一定，河水每天均匀入库5 台抽水机连续 20 天可抽干；6 台同样的抽水机连续 15 天可抽干（1）水库原有的水与 20 天流入的水可供多少台抽水机抽 1 天？（2）水库原有的水与 15 天流入的水可供多少台抽水机抽 1 天？（3）每天流入的水可供多少台抽水机抽 1 天？（4）原有的水可供多少台抽水机抽 1 天？（5）若 6 天抽完，共需抽水机多少台？【答案】（1）100；（2）90；（3）2；（4）60；（5）12【分析】（1）205=100(台)；（2）615=90(台)；（3）(100-90)(20-15)=2(台)；

13、（4）100-202=60(台)；（5）606+2=12(台)14. 有一块匀速生长的草场，可供 12 头牛吃 25 天，或可供 24 头牛吃 10 天那么可供 29 头牛吃几天？【答案】8 天【分析】设 1 头牛 1 天的吃草量为 1 份，根据题意可得：每天新长的草量：(1225-2410)(25-10)=4(份),原有草量为：(24-4)10=200(份),因为每天新长出 4 份草，可以让 4 头每天专门吃新长出的草，而剩下的 29-4=25(头) 牛每天都吃草场上原有的草，需要 20025=8(天)所以草场可供 29 头牛吃 8 天15. 某个售票处在卖票之前，就已经有人排队，到开始卖票

14、时，已经排了 75 人卖票后，由于每分钟来买票的人数一样多，因此，一个窗口花 15 分钟才不再有人排队如果开两个窗口，则经过 5 分钟不再有人排队如果开三个窗口，则经过几分钟不再有人排队？【答案】3 分钟【分析】设每个窗口每分钟买票的人数为 1 份，则 15-5=10(分钟) 内前来检票的人数为：115-25=5(份)，所以每分钟前来检票的人数为：510=0.5(份)；开始检票前等待的人数为：(1-0.5)15=7.5(份)要开 3 个窗口，经过 7.5(3-0.5)=3(分钟) 就不再有人排队16. 有一块匀速生长的草场，可供 12 头牛吃 25 天，或可供 24 头牛吃 10 天那么它可供

15、几头牛吃 20 天？【答案】14 头【分析】设 1 头牛 1 天的吃草量为 1 份每天生长的草量为：(1225-2410)(25-10)=4(份);原有草量为：(24-4)10=200(份).20 天里，草场共提供草200+420=280(份),可以让 28020=14(头) 牛吃 20 天17. 有一块匀速生长的草场，可供 12 头牛吃 24 天，或可供 15 头牛吃 12 天，那么它可供几头牛吃 18 天？可供 21 头牛吃几天？【答案】13 头；6 天【分析】设 1 头牛 1 天吃的草量为 1 份，每天生长的草量为 1224-151224-12=9(份)，原有草量为：1224-924=7

16、2(份)，则 72+18918=13(头)，所以它可供 13 头牛吃 18 天；而 9 头牛每天专吃新长的草，剩下的 21-9=12(头) 牛每天都吃原有的草7212=6(天) 后就没有草了，所以草场可供 21 头牛吃 6 天18. 经测算，地球上的资源可供 100 亿人生活 100 年，或可供 80 亿人生活 300 年假设地球上新生资源的增长速度是一定的，那么为了使人类有不断发展的潜力，地球上最多能养活多少亿人？【答案】70 亿【分析】设每亿人每年消耗资源量为 1 份每年新生资源量：(80300-100100)(300-100)=70(份)即为保证不断发展，地球上最多养活 70 亿人19.

17、 进入冬季后，有一片牧场上的草开始枯萎，因此草会均匀地减少现在开始在这片牧场上放羊，如果有 38 只羊，把草吃完需要 25 天；如果有 30 只羊，把草吃完需要 30 天如果有 20 只羊，这片牧场可以吃多少天？【答案】40【分析】设 1 头羊 1 天吃 1 份草，则草的减少速度为 (3825-3030)(30-25)=10，原有草量为 3825+1025=1200，如果放养 20 头羊最多吃 1200(20+10)=40(天)20. 有一片牧场，草每天都在均匀地生长如果在牧场上放养 18 头牛，那么 10 天能把草吃完；如果只放养 24 头牛，那么 7 天就把草吃完了请问：（1）如果放养 3

18、2 头牛，多少天可以把草吃完？（2）要放养多少头牛，才能恰好 14 天把草吃完？【答案】（1）5；（2）14【分析】（1）设 1 头牛 1 天吃 1 份草，则草的生长速度为 (1810-247)(10-7)=4，原有草量为 247-47=140，如果放养 32 头牛最多吃 140(32-4)=5(天)（2）恰好 14 天把草吃完，要放养 14014+4=14(头) 牛21. 一水库原有存水量一定，河水每天均匀入库，5 台抽水机连续 20 天可抽干；6 台同样的抽水机连续 15 天可抽干若要求 6 天抽干，需要多少台同样的抽水机？【答案】12 台【分析】设每台抽水机每天的抽水量为 1 份，则每天

19、流入的水为(205-615)(20-15)=2(份);原有的水量为520-202=60(份),若 6 天抽完，共需抽水机(60+62)6=12(台).22. 一片草地，有 15 头牛吃草，8 天可以把全部草吃完如果起初这 15 头牛吃了两天后，又来了 2 头牛，则总共 7 天就可以把草吃完如果起初这 15 头牛吃了两天后，又来了 5 头牛，则需要多少天才能吃完？【答案】4【分析】设 1 头牛 1 天吃的草量为 1 份，本题可以把 15 头牛吃了两天忽略不看，只看后边的情况，则题目变为 15 牛吃 6 天，17 头牛吃 5 天，20 头牛吃几天，所以每天生长的草量为 156-1756-5=5(份

20、)，原草量为 15-56=60(份)，天数为 6020-5=4(天)23. 仓库里原有一批存货，以后继续运货进仓，且每天运进的货一样多用同样的汽车运货出仓，如果每天用 4 辆汽车，则 9 天恰好运完；如果每天用 5 辆汽车，则 6 天恰好运完仓库里原有的存货若用 1 辆汽车运则需要多少天运完？【答案】18 天【分析】设 1 辆汽车 1 天运货为 1 份，进货速度为(94-56)(9-6)=2(份),原有存货为(4-2)9=18(份),仓库里原有的存货若用 1 辆汽车运则需要181=18(天).24. 林子里有猴子喜欢吃的野果，23 只猴子可在 9 周内吃光，21 只猴子可在 12 周内吃光，问

21、如果要 4 周吃光野果，则需有多少只猴子一起吃？（假设野果生长的速度不变）【答案】33 只【分析】设一只猴子一周吃的野果为 1 份，野果的生长速度是(2112-239)(12-9)=15(份),原有的野果为(23-15)9=72(份),如果要 4 周吃光野果，则需有 724+15=33(只) 猴子一起吃25. 牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长这片牧草可供 10 头牛吃 20 天，可供 15 头牛吃 10 天，问可供 25 头吃几天？【答案】5 天【分析】设 1 头牛 1 天的吃草量为 1 份，根据题意可得：10 头牛吃 20 天共吃了1020=200(份),15 头牛吃 10 天共吃了151

22、0=150(份),草的生长速度是每天新长：(200-150)(20-10)=5(份),那么原有草量为：200-520=100(份),供 25 头牛吃，若有 5 头牛去吃每天新长的草，剩下 20 头牛需要 10020=5(天) 可将原有牧草吃完，即牧场上的牧草可供 25 头牛吃 5 天26. 牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长这片牧场可供 27 头牛吃 6 天，可供 23 头牛吃 9 天那么，可供 21 头牛可吃几天？【答案】12 天【分析】设 1 头牛 1 天的吃草量为 1 份，根据题意可得：27 头牛吃 6 天共吃：276=162(份) 是原有草量和 6 天新生草，23 头牛吃 9 天共吃：

23、239=207(份) 是原有草量和 9 天新生草，每天新长的草量：(207-162)(9-6)=15(份),原有草量：162-156=72(份),派 15 头牛去吃每天新生草，则吃完原有草需要：72(21-15)=12(天),即可供 21 头牛吃 12 天27. 牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长这片牧场可供 10 头牛吃 20 天，可供 15 头牛吃 10 天那么这片牧场可供几头牛吃 25 天？【答案】9 头【分析】设 1 头牛 1 天的吃草量为 1 份，每天新长的草量：(1020-1510)(20-10)=5(份),原有草量为：(15-5)10=100(份),25天里草场共提供草：100+

24、525=225(份),可以让 22525=9(头) 牛吃 25 天28. 一个牧场长满青草，牛在吃草而草又在不断生长，已知牛 27 头，6 天把草吃尽，同样一片牧场，牛 23 头，9 天把草吃尽如果有牛 21 头，几天能把草吃尽？【答案】12 天【分析】把一头牛每天吃草量当作 1 份，设原来有的草为 x 份，每天长出来的草为 y 份，那么可以列方程： left begingathered x + 6y = 27 times 6 hfill x + 9y = 23 times 9 hfill endgathered right. 解得x=72y=15如果 21 头牛吃草，这片草可以吃72(21-

25、15)=12(天).29. 一片青草，每天长草的速度相等，可供 10 头牛单独吃 20 天，供 60 只羊单独吃 10 天如果 1 头牛的吃草量等于 4 只羊的吃草量，那么，10 头牛与 60 只羊一起吃草，这片草可以吃 天【答案】5【分析】把 1 只羊每天的吃草量当作单位“1”，则 1 头牛每天的吃草量为 4，设原有草量为 x，每天的长草量为 y，那么 left begingathered x + 20y = 4 times 10 times 20 hfill x + 10y = 1 times 60 times 10 hfill endgathered right. 解得x=400y=20如果 10 头牛与 60 只羊一起吃草，这片草可以吃400(410+160-20)=5(天).