专项01 菱形综合能力提升训练-2022-2023学年九年级数学上册高分突破必练专题（北师大版）.docx

1、专项01 菱形综合能力提升训练一选择题（共15小题）1如图，四边形ABCD是菱形，顶点A，C的坐标分别是（0，2），（8，2），点D在x轴上，则顶点B的坐标是（）A（4，2）B（5，2）C（4，4）D（5，4）2已知边长为10cm的菱形，一条对角线长为12cm，则它的面积为（）A96B80C60D483如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB5，AC6，过D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则CDE的面积为（）A11B12C24D224如图，已知O是矩形ABCD的对角线的交点，AOB60，作DEAC，CEBD，DE与CE相交于点E若四边形OCED的周长是24，则BC的长为（）

2、A12B6C6D65如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DEAB于点E，若AB5，DE4，则在下列结论中正确的是（）ADB5BAE4CBE2DOA36如图，菱形ABCD中，AC48，BD14，DHAB于点H，则线段BH的长为（）ABCD7如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AD边中点，且AC6，BD8，则线段OE的长为（）A3B2.4C2.5D8下列说法中，错误的是（）A对角线互相垂直平分的四边形是菱形B平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等C已知一次函数y（a2+1）x3，则随x的增大而增大D函数y2x+b的图像不经过第二象限，则b09两张全等的矩形纸片AB

3、CD、AECF按如图方式交叉叠放在一起若ABAF2，AEBC6，则图中重叠（阴影）部分的面积为（）ABCD810如图，菱形ABCD中，点E是边CD的中点，EF垂直AB交AB的延长线于点F，若BF：CE1：2，EF，则菱形ABCD的边长是（）A3B4C5D11如图，在菱形ABCD中，O是AC的中点，OEBC，垂足为E若AC6，S菱形ABCD24，则OE的长为（）A1.8B2C2.4D2.812如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OEAB垂足为点E，ADC130，则BOE的大小为（）A65B60C35D2513如图，在平面直角标系中，已知菱形ABCD，DAB60，对角线AC、BD的

4、交点与坐标原点O重合，且点A的坐标为（）将菱形ABCD绕原点O逆时针旋转，每次旋转45，则第2021次旋转结束时，点D的坐标为（）A（0，）B（，）C（，0）D（，）14如图，在菱形ABCD中，ABC80，E是线段BD上一动点（点E不与点B，D重合），当ABE是等腰三角形时，EAD的度数为（）A30B70C30或60D40或7015如图，在菱形ABCD中，两对角线AC、BD交于点O，AC8，BD6，当OPD是以PD为底的等腰三角形时，CP的长为（）A2BCD二填空题（共4小题）16如图1是一款木制活动衣帽架，图2是该衣帽架的平面示意图，它由3个全等的菱形构成，菱形的边长AB为30cm，小南将该

5、衣帽架的两端点B、E固定在墙上，使得B、E两点间的距离为108cm在不考虑材料宽度的情况下，A、C两点间的距离是 17两个三角形重心之间的距离称为两个三角形的“重心距”，如图，在菱形ABCD中，边AB10，对角线AC12，那么ABC与ADC的“重心距”为 18如图，菱形ABCD的边长是4，A60，点G为AB的中点，以BG为边作菱形BEFG，其中点E在CB的延长线上，点P为FD的中点，连接PB则PB 19如图，菱形ABCD中，ABAC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AEBF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AC于点O，CHD60则下列结论：ABFCAE，AHC120，AH+CHDH，AD

6、2ODDH中，正确的是 三解答题（共11小题）20如图，四边形ABCD是正方形，E，F是对角线AC上的两点，且AECF（1）求证：ADECBF；（2）求证：四边形BEDF是菱形；（3）若AC8，AE2，求四边形BEDF的周长21如图，在ABCD中，对角线AC与BD交于点O点E，F在BD上，且BEDF，连接AE并延长，交BC于点G，连接CF并延长，交AD于点H（1）求证：四边形AGCH是平行四边形；（2）若AC平分HAG，求证：四边形AGCH是菱形22如图1，在四边形ABCD中，ABDC，ABDC，对角线AC，BD交于点O，AC平分BAD（1）求证：DACDCA；（2）求证：四边形ABCD是菱形

7、；（3）如图2，过点C作CEAB交AB的延长线于点E连接OE，若AB，BD2，求OE的长23在RtABC中，BAC90，D是BC的中点，连接AD，EC为ADC的一条中线，过点A作AFBC交CE的延长线于点F，连接FB（1）求证：四边形ADBF是菱形；（2）若ACAB2，四边形ADBF的面积为12，求BC的长24如图，点O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（20，0），C（0，8），点D是OA的中点，动点P在线段CB上以每秒4个单位长度的速度由点C向点B运动设动点P的运动时间为t秒（1）点P的坐标为 （用含t的代数式表示）；（2）当四边形PODB是平行四边形时，求t的值；（3）在直线CB上是否

8、存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出点Q的坐标；若不存在，说明理由25如图，在菱形ABCD中，AB4cm，BAD60动点E、F分别从点B、D同时出发，以1cm/s的速度向点A、C运动，连接AF、CE，取AF、CE的中点G、H，连接GE、FH设运动的时间为ts（0t4）（1）求证：AFCE；（2）当t为何值时，四边形EHFG为菱形；（3）试探究：是否存在某个时刻t，使四边形EHFG为矩形，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由26如图，菱形ABCD中，B60，点E在边BC上，点F在边CD上（1）如图1，若E是BC的中点，AEF60，求证：BEDF；（

9、2）如图2，若EAF60，求证：AEF是等边三角形；（3）在（2）的条件下，如果AB10，那么AEF的周长是否存在最小值？如果存在，请求出来27在菱形ABCD和正三角形BGF中，ABC60，P是DF的中点，连接PG、PC（1）如图1，当点G在BC边上时，猜想PG与PC的关系，并证明（提示：延长GP交CD于点E）（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC、PG还满足（1）中的结论吗？写出你的猜想，并给与证明；（3）如图3，当点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的关系，直接写出你猜想28如图，菱形ABCD中，AB6，A60，点E是线段AB上一点（不与A，B重合），作EDF交BC于点

10、F，且EDF60（1）直接写出菱形ABCD的面积；（2）当点E在边AB上运动时，连接EF，求证：DEF是等边三角形；探究四边形DEBF的面积的变化规律，写出这个规律，并说明理由；直接写出四边形DEBF周长的最小值29如图，把EFP按图示方式放置在菱形ABCD中，使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上，已知EPFP4，EF4，BAD60，且AB4（1）求EPF的大小；（2）若AP6，求AE+AF的值；（3）若EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值30请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一条直线

11、上，P是线段DF的中点，连接PG、PC若ABCBEF60，探究PG与PC的位置关系及数量关系小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）直接写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的值；（2）如图2，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG、PC，探究PG与PC的位置关系及数量关系；（3）将图2中的正方形BEFG绕点B顺时针旋转，原问题中的其他条件不变（如图3），你在（2）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明31如图所示，在菱形ABCD中，AB

12、4，BAD120，AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BECF；（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF的面积和CEF的周长是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最小值专项01 菱形综合能力提升训练一选择题（共15小题）1如图，四边形ABCD是菱形，顶点A，C的坐标分别是（0，2），（8，2），点D在x轴上，则顶点B的坐标是（）A（4，2）B（5，2）C（4，4）D（5，4）【答案】C【解答】解：连接AC，BD，交于点E，四边形ABCD是菱形，ACBD，AEEC，B

13、EDE，A，C的坐标分别是（0，2），（8，2），E（4，2），B（4，4）故选：C2已知边长为10cm的菱形，一条对角线长为12cm，则它的面积为（）A96B80C60D48【答案】A【解答】解：如图，菱形ABCD的边长为10cm，BD12cm，ACBD，OAAC，ODBD126（cm），AD10cm，在RtAOD中，OA8（cm），AC2OA16（cm），S菱形ABCDACBD161296（cm2）故选：A3如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB5，AC6，过D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则CDE的面积为（）A11B12C24D22【答案】C【解答】解：四边形AB

14、CD是菱形，AOOC，ACBD，BODO，ADBE，AC6，AO3，ADBE，ACDE，四边形ACED是平行四边形，ACDE6，在RtBCO中，BO4，BD8，又BEBC+CEBC+AD10，BDE是直角三角形，SBDEDEBD6824故选：C4如图，已知O是矩形ABCD的对角线的交点，AOB60，作DEAC，CEBD，DE与CE相交于点E若四边形OCED的周长是24，则BC的长为（）A12B6C6D6【答案】B【解答】解：DEAC，CEBD，四边形OCED是平行四边形四边形ABCD是矩形，ACBD，OCOD，四边形OCED是菱形；四边形OCED的周长是24，CODO6，BD12，四边形ABC

15、D是矩形，OAOB，又AOB60，AOB是等边三角形，OAOBOCAB6，BC故选：B5如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DEAB于点E，若AB5，DE4，则在下列结论中正确的是（）ADB5BAE4CBE2DOA3【答案】C【解答】解：四边形ABCD是菱形，ABAD，AOOC，ODOB，AB5，AD5，DEAB于点E，DE4在RtAED中，根据勾股定理得，AE3，故B错误；BEABAE532，故C正确；在RtBDE中，根据勾股定理得，BD，故A错误；OBBD，在RtAOB中，根据勾股定理得，OA，故D错误故选：C6如图，菱形ABCD中，AC48，BD14，DHAB于点H，则线段B

16、H的长为（）ABCD【答案】B【解答】解：四边形ABCD是菱形AOAC24，BO，且ACBD在RtAOB中，ABBD14SABDBDAO1424168SABDABDHDH在RtBDH中，BH故答案为：B7如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AD边中点，且AC6，BD8，则线段OE的长为（）A3B2.4C2.5D【答案】C【解答】解：四边形ABCD是菱形AOAC3，ODBD4，且ACBD在RtAOD中，AD5OE是斜边AD上的中线OEAD2.5故选：C8下列说法中，错误的是（）A对角线互相垂直平分的四边形是菱形B平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等C已知一次函数y（a2+

17、1）x3，则随x的增大而增大D函数y2x+b的图像不经过第二象限，则b0【答案】D【解答】解：A、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故A不符合题意；B、平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等，故B不符合题意；C、a2+11，故一次函数y（a2+1）x3，则随x的增大而增大，故C不符合题意；D、函数y2x+b的图像不经过第二象限，则b0，故D符合题意故选：D9两张全等的矩形纸片ABCD、AECF按如图方式交叉叠放在一起若ABAF2，AEBC6，则图中重叠（阴影）部分的面积为（）ABCD8【答案】B【解答】解：设BC交AE于G，AD交CF于H，如图所示：四边形ABCD、四边形AECF是全等的矩

18、形，ABCE，BE90，ADBC，AECF，四边形AGCH是平行四边形，在ABG和CEG中，ABGCEG（AAS），AGCG，四边形AGCH是菱形，设AGCGx，则BGBCCG6x，在RtABG中，AB2+BG2AG2，22+（6x）2x2，解得：x，CG，菱形AGCH的面积CGAB2，即图中重叠（阴影）部分的面积为，故选：B10如图，菱形ABCD中，点E是边CD的中点，EF垂直AB交AB的延长线于点F，若BF：CE1：2，EF，则菱形ABCD的边长是（）A3B4C5D【答案】B【解答】解：过点D作DHAB于点H，如图，四边形ABCD是菱形，ADABCD，ABCDEFAB，DHAB，DHEF，

19、四边形DHFE为平行四边形，HFDE，DHEF点E是边CD的中点，DECD，HFCDABBF：CE1：2，设BFx，则CE2x，CD4x，DEHF2x，ADAB4x，AFAB+BF5xAHAFHF3x在RtADH中，DH2+AH2AD2，解得：x1（负数不合题意，舍去），x1AB4x4即菱形ABCD的边长是4，故选：B11如图，在菱形ABCD中，O是AC的中点，OEBC，垂足为E若AC6，S菱形ABCD24，则OE的长为（）A1.8B2C2.4D2.8【答案】C【解答】解：连接BD，四边形ABCD是菱形，O是AC的中点，点O为AC与BD的交点，OBOD，ACBD，AC6，S菱形ABCD24，A

20、CBD3BD24，BD8，OB4，O是AC的中点，OAOC3，BC5，SBOCOBOCBCOE，即435OE，OE2.4故选：C12如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OEAB垂足为点E，ADC130，则BOE的大小为（）A65B60C35D25【答案】D【解答】解：四边形ABCD是菱形，ABDC，ACBD，ADC130，BAD18013050，BAOBAD5025，OEAB，AOE90BAO902565，BOE906525故选：D13如图，在平面直角标系中，已知菱形ABCD，DAB60，对角线AC、BD的交点与坐标原点O重合，且点A的坐标为（）将菱形ABCD绕原点O逆时针旋转

21、，每次旋转45，则第2021次旋转结束时，点D的坐标为（）A（0，）B（，）C（，0）D（，）【答案】C【解答】解：A点坐标为（），直线AC是一三象限角平分线，且OA，在菱形ABCD中，DAB60DAO30，BDAC，ODAO，此时，D点坐标是，根据题意，旋转角为45，所以：逆时针旋转第一次后D1坐标为，逆时针旋转第一次后D2坐标为，逆时针旋转第一次后D3坐标为，逆时针旋转第一次后D4坐标为，逆时针旋转第一次后D5坐标为，逆时针旋转第一次后D6坐标为，逆时针旋转第一次后D7坐标为，逆时针旋转第一次后D8坐标为；2021次旋转，8次一个循环，剩余5次，等同于D5，所以D坐标为故选：C14如图，在

22、菱形ABCD中，ABC80，E是线段BD上一动点（点E不与点B，D重合），当ABE是等腰三角形时，EAD的度数为（）A30B70C30或60D40或70【答案】C【解答】解：在菱形ABCD中，ABC80，ABDABC40，ADBC，BAD180ABC100，ABE是等腰三角形，AEBE，或ABBE，当AEBE时，ABEBAE40，DAE1004060；当ABBE时，BAEAEB（18040）70，DAE1007030，综上所述，当ABE是等腰三角形时，DAE30或60，故选：C15如图，在菱形ABCD中，两对角线AC、BD交于点O，AC8，BD6，当OPD是以PD为底的等腰三角形时，CP的长为

23、（）A2BCD【答案】C【解答】解：作OEPD于E，如图所示：四边形ABCD是菱形，ACBD，ODOBBD3，OCOAAC4，CD5，OCD的面积CDOEODOC，OE，ODOP，OEPD，PEDE，由勾股定理得：DE，PD2DE，CPCDPD5；故选：C二填空题（共4小题）16如图1是一款木制活动衣帽架，图2是该衣帽架的平面示意图，它由3个全等的菱形构成，菱形的边长AB为30cm，小南将该衣帽架的两端点B、E固定在墙上，使得B、E两点间的距离为108cm在不考虑材料宽度的情况下，A、C两点间的距离是 【答案】48cm【解答】解：连接AC和BE交于点O，BE间的距离调节到108cm，木制活动衣

24、帽架是由三个全等的菱形构成，BD36cm，四边形ABCD是菱形，BODO，AOCO，ACBD，BO18cm，菱形的边长AB30cm，在RtABO中，AO24（cm），AC48（cm），故答案为：48cm17两个三角形重心之间的距离称为两个三角形的“重心距”，如图，在菱形ABCD中，边AB10，对角线AC12，那么ABC与ADC的“重心距”为 【答案】【解答】解：连接BD，BD与AC交与点O，设点E为ABC的重心，点F为ADC的重心，如图，四边形ABCD为菱形，ACBD，OAOCAC6，OBODOBOD8点E为ABC的重心，点F为ADC的重心，OEOB，OFODABC与ADC的“重心距”为：OE

25、+OF故答案为：18如图，菱形ABCD的边长是4，A60，点G为AB的中点，以BG为边作菱形BEFG，其中点E在CB的延长线上，点P为FD的中点，连接PB则PB 【答案】【解答】解：如图，连接BF、BD，菱形ABCD的边长为4，ABBCCD4，A60，BCD是等边三角形，BDBC4，DBC60，DBA60，点G为AB的中点，菱形BEFG的边长为2，即BEEFBG2，点E在CB的延长线上，GBE60，FBG30，连接EG，交BF于O，四边形BEFG是菱形，EGFB，OBG30，OBOF，OGBG1，OBOG，FB2OB2，DBFDBA+FBG90，DF，点P为FD的中点，PBDF故答案为：19如

26、图，菱形ABCD中，ABAC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AEBF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AC于点O，CHD60则下列结论：ABFCAE，AHC120，AH+CHDH，AD2ODDH中，正确的是 【答案】【解答】解：四边形ABCD是菱形，ABBC，ABAC，ABBCAC，即ABC是等边三角形，同理：ADC是等边三角形BEAC60，在ABF和CAE中，ABFCAE（SAS）；故正确；由得BAFACE，AEHB+BCE，AHCBAF+AEHBAF+B+BCEB+ACE+BCEB+ACB60+60120；故正确；在HD上截取HKAH，连接AK，AHC+ADC120+60180，点

27、A，H，C，D四点共圆，AHDACD60，ACHADH，AHK是等边三角形，AKAH，AKH60，AKDAHC120，在AKD和AHC中，AKDAHC（AAS），CHDK，DHHK+DKAH+CH；故正确；OADAHD60，ODAADH，OADAHD，AD：DHOD：AD，AD2ODDH故正确故答案为：三解答题（共11小题）20如图，四边形ABCD是正方形，E，F是对角线AC上的两点，且AECF（1）求证：ADECBF；（2）求证：四边形BEDF是菱形；（3）若AC8，AE2，求四边形BEDF的周长【解答】（1）证明：四边形ABCD是正方形，ADCB，DAEBCF45在ADE和CBF中，ADE

28、CBF（SAS）（2）证明：连接BD，交AC于点O，如图所示，四边形ABCD是正方形，OBOD，OAOC，AECF，OAAEOCCF即OEOFBDAC，即BDEF，四边形BEDF是菱形；（3）解：四边形ABCD是正方形，AC8，ODOAAC4，AE2，OEAOAE2由（2）可得EFBD，在RtDOE中，DE2由（2）得四边形BEDF是菱形四边形BEDF的周长为4DE42821如图，在ABCD中，对角线AC与BD交于点O点E，F在BD上，且BEDF，连接AE并延长，交BC于点G，连接CF并延长，交AD于点H（1）求证：四边形AGCH是平行四边形；（2）若AC平分HAG，求证：四边形AGCH是菱形

29、【解答】证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，OAOC，OBOD，ADBC，BEDF，OEOF，在AOE与COF中，AOECOF（SAS），EAOFCO，AGCH，四边形AGCH是平行四边形；（2）AC平分HAG，HACGAC，AHCG，HACGCA，GACGCA，CGAG；AGCH是菱形22如图1，在四边形ABCD中，ABDC，ABDC，对角线AC，BD交于点O，AC平分BAD（1）求证：DACDCA；（2）求证：四边形ABCD是菱形；（3）如图2，过点C作CEAB交AB的延长线于点E连接OE，若AB，BD2，求OE的长【解答】（1）证明：ABDC，OABDCA，AC平分BAD，OABDA

30、C，DACDCA；（2）证明：DACDCA，ABAD，CDADAB，ABDC，四边形ABCD是平行四边形，ADAB，平行四边形ABCD是菱形；（3）解：四边形ABCD是菱形，OAOC，OBOD，BDAC，CEAB，OEOAOC，BD2，OBBD1，在RtAOB中，AB，OB1，OA2，OEOA223在RtABC中，BAC90，D是BC的中点，连接AD，EC为ADC的一条中线，过点A作AFBC交CE的延长线于点F，连接FB（1）求证：四边形ADBF是菱形；（2）若ACAB2，四边形ADBF的面积为12，求BC的长【解答】（1）证明：E是AD的中点，AEDE，AFBC，AFEDCE，且AEFCED

31、，AEDEAEFDEC（AAS）AFCD，点D是BC的中点BDDCAFBD，且AFCD四边形ADBF是平行四边形，BAC90，D是BC的中点，ADBD，平行四边形ADBF是菱形；（2）解：四边形ADBF的面积为12，SABD6D是BC的中点SABDSADC，SABC12ABAC，设ABx，则AC2+x，12，解得x14，x26（不合题意，舍去）AB4，AC2+x6，在RtABC中，BC24如图，点O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（20，0），C（0，8），点D是OA的中点，动点P在线段CB上以每秒4个单位长度的速度由点C向点B运动设动点P的运动时间为t秒（1）点P的坐标为 （用含t的代数

32、式表示）；（2）当四边形PODB是平行四边形时，求t的值；（3）在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出点Q的坐标；若不存在，说明理由【解答】解：（1）动点P的运动时间为t秒，以每秒4个单位长度的速度由点C向点B运动，CP4t，C（0，8），CPy轴，P（4t，8），故答案为：（4t，8）；（2）四边形OABC为矩形，A（20，0），C（0，8），BCOA20，ABOC8，点D是OA的中点，由题意可知，PC4t，BPBCPC204t，四边形PODB是平行四边形，PBOD10，204t10，t2.5；（3）直线CB上存在一点Q，使得O、D、

33、Q、P四点为顶点的四边形是菱形，当t1.5时，Q（16，8）；t4时，Q（6，8）；t1时，Q（6，8），理由：分三种情况：当Q点在P的右边时，如图，四边形ODQP为菱形，ODOPPQ10，在RtOPC中，由勾股定理得：PC6，4t6，t1.5，Q（16，8）；当Q点在P的左边且在BC线段上时，如图，四边形ODPQ为菱形，ODDPPQOQ10，同的方法得出，CQ6，Q（6，8），CPCQ+PQ16，4t16，t4；当Q点在P的左边且在BC的延长线上时，如图，四边形ODPQ为菱形，ODDPPQOQ10，同的方法得出，CQ6，Q（6，8），CPPQCQ4，4t4，t1综上所述，直线CB上存在一点Q

34、，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形，当t1.5时，Q（16，8）；t4时，Q（6，8）；t1时，Q（6，8）25如图，在菱形ABCD中，AB4cm，BAD60动点E、F分别从点B、D同时出发，以1cm/s的速度向点A、C运动，连接AF、CE，取AF、CE的中点G、H，连接GE、FH设运动的时间为ts（0t4）（1）求证：AFCE；（2）当t为何值时，四边形EHFG为菱形；（3）试探究：是否存在某个时刻t，使四边形EHFG为矩形，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由【解答】（1）证明：动点E、F同时运动且速度相等，DFBE，四边形ABCD是菱形，BD，ADBC，ABDC，在ADF与

35、CBE中，ADFCBE，DFABEC，ABDC，DFAFAB，FABBEC，AFCE；（2）过D作DMAB于M，连接GH，EF，DFBEt，AFCE，ABCD，四边形AECF是平行四边形，G、H是AF、CE的中点，GHAB，四边形EGFH是菱形，GHEF，EFAB，FEM90，DMAB，DMEF，四边形DMEF是矩形，MEDFt，AD4，DAB60，DMAB，AMAD2，BE42tt，t1，（3）不存在，假设存在某个时刻t，使四边形EHFG为矩形，四边形EHFG为矩形，EFGH，EF2GH2，即（22t）2+（2）2（4t）2，解得t0，0t4，与原题设矛盾，不存在某个时刻t，使四边形EHFG

36、为矩形26如图，菱形ABCD中，B60，点E在边BC上，点F在边CD上（1）如图1，若E是BC的中点，AEF60，求证：BEDF；（2）如图2，若EAF60，求证：AEF是等边三角形；（3）在（2）的条件下，如果AB10，那么AEF的周长是否存在最小值？如果存在，请求出来【解答】证明：（1）如图1所示：连接AC在菱形ABCD中，B60，ABBCCD，C180B120ABC是等边三角形E是BC的中点，AEBCAEF60，FEC90AEF30CFE180FECECF1803012030FECCFEECCFBEDF（2）如图2所示：连接ACABC是等边三角形，ABAC，ACB60，BAC60BACF

37、60BACEAF60，BAECAF在ABE和ACF中，ABEACFAEAFEAF60，AEF是等边三角形（3）由垂线段最短可知：当AEBC时，AE有最小值AEBC，B60，AE105AEF周长的最小值为31527在菱形ABCD和正三角形BGF中，ABC60，P是DF的中点，连接PG、PC（1）如图1，当点G在BC边上时，猜想PG与PC的关系，并证明（提示：延长GP交CD于点E）（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC、PG还满足（1）中的结论吗？写出你的猜想，并给与证明；（3）如图3，当点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的关系，直接写出你猜想【解答】证明：（1）PCPG且P

38、GPC，如图1：延长GP交DC于点E，点P是DF的中点，DPFP，BGF是正三角形，FGB60，CGF18060120，又菱形ABCD中，ABC60，DCG120，DCGF，PDEPFG，在PED和PGF中，PEDPGF（ASA），PEPG，DEFG，DCBC，CECG，CP是EG的中垂线，即PCPG在RTCPG中，PCG60，PGPC（2）猜想：CPPG 且PGPC如图2，延长GP交DA于点E，连接EC，GC，ABC60，BGF是正三角形，BFG60，GFBCAD，EDPGFP，在DPE和FPG中DPEFPG（ASA）PEPG，DEFGBG，CDECBG60，CDCB，在CDE和CBG中，C

39、DECBG（SAS）CECG，DCEBCG，ECGDCB120，PEPG，PCPG，PCGECG60PGPC；（3）猜想：PGPC，PGPC如图3，延长GP到H，使PHPG，连接CH，CG，DH，作FEDCP是线段DF的中点，FPDP，在GFP和HDP中，GFPHDP（SAS），GFHD，GFPHDP，GFP+PFE120，PFEPDC，CDHHDP+PDC120，四边形ABCD是菱形，CDCB，ADCABC60，点A、B、G又在一条直线上，GBC120，BFG是等边三角形，GFGB，HDGB，在HDC和GBC中，HDCGBC（SAS），CHCG，DCHBCG，DCH+HCBBCG+HCB12

40、0，即HCG120CHCG，PHPG，PGPC，GCPHCP60，PGPC28如图，菱形ABCD中，AB6，A60，点E是线段AB上一点（不与A，B重合），作EDF交BC于点F，且EDF60（1）直接写出菱形ABCD的面积；（2）当点E在边AB上运动时，连接EF，求证：DEF是等边三角形；探究四边形DEBF的面积的变化规律，写出这个规律，并说明理由；直接写出四边形DEBF周长的最小值【解答】解：（1）连接BD、AC四边形ABCD是菱形，ADAB，ACBD，DAOA30ADAB，A60，ABD为等边三角形BDADAB6在RtADO中，DAO30，ODAD3，AO3AC6菱形ABCD的面积18（2

41、）由（1）可知：ABD为等边三角形ADBD，ADB60ADE+EDB60，FDB+EDB60，ADEFDB四边形ABCD是菱形，A60，DBFABCDAEDBF在DAE和DBF中，DAEDBFDEDF又EDF60EDF为等边三角形四边形DEBF的面积9理由：DAEDBFSADESBDF，四边形DEBF的面积EDB的面积+DBF的面积EDB的面积+DAE的面积菱形ABCD的面积DAEDBFBFAEBF+BEAE+BEAB6当ED、DF有最小值时，四边形的周长最短由垂线最短，可知当DEAB时，ED、DF最短在EtADE中，DAE60，sin60DE3四边形DEBF的周长的最小值DE+DF+BE+B

42、FDE+DF+AB3+3+66+629如图，把EFP按图示方式放置在菱形ABCD中，使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上，已知EPFP4，EF4，BAD60，且AB4（1）求EPF的大小；（2）若AP6，求AE+AF的值；（3）若EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值【解答】解：（1）如图1，过点P作PGEF于G，PEPF，FGEGEF2，FPG，在FPG中，sinFPG，FPG60，EPF2FPG120；（2）如图2，过点P作PMAB于M，PNAD于N，四边形ABCD是菱形，ADAB，DCBC，DACBAC，PMPN，在RtPM

43、E于RtPNF中，RtPMERtPNF，FNEM，在RtPMA中，PMA90，PAMDAB30，AMAPcos303，同理AN3，AE+AF（AMEM）+（AN+NF）6；（3）如图3，当EFAC，点P在EF的右侧时，AP有最大值，当EFAC，点P在EF的左侧时，AP有最小值，设AC与EF交于点O，PEPF，OFEF2，FPA60，OP2，BAD60，FAO30，AO6，APAO+PO8，同理APAOOP4，AP的最大值是8，最小值是430请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG、PC若ABCBEF60，探究PG与P

44、C的位置关系及数量关系小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）直接写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的值；（2）如图2，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG、PC，探究PG与PC的位置关系及数量关系；（3）将图2中的正方形BEFG绕点B顺时针旋转，原问题中的其他条件不变（如图3），你在（2）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明【解答】解：（1）PGPC，；理由如下：延长GP交DC于H，如图1所示：四边形ABCD和BEFG均为菱形，

45、DCBC，GFBG，DCAEGF，HDPGFP，DHPFGP，P是线段DF的中点，DPFP，在DHP和FGP中，DHPFGP（AAS），HPGP，DHFGBG，CHCG，CPHG，即PGPC，ABC60，HCG18060120，CGP（180120）30，；（2）PGPC，PGPC；理由如下：延长GP交CD于H，如图2所示：P是DF中点，DPFP，点ABE在同一直线上，DCGF，FDCGFP，在DPH和GPF中，DPHGPF（ASA）HPGP，GFDH，CHCG，又HCG90，RTHCG中，P为HG中点，PCGHPG，PCPG；（3）在（2）中得到的两个结论不发生变化；理由如下：过点F作FHD

46、C交CP的延长线于H，交CB的延长线于N，交BE于M，连接CG、HG，如图3所示：则CDPPFH，在CDP和FHP中，CDPFHP（ASA），CPPH，CDFH，BNMMEF90，BMNEMF，NBMEFM，CBG+NBM1809090，EFM+MFG90，CBGMFG，在CBG和FHG中，CBGFHG（SAS），CGGH，BGCFGH，CGHBGCHGBFGHHGBBGF90，CGH是等腰直角三角形，PGPC，且PGPC31如图所示，在菱形ABCD中，AB4，BAD120，AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合（1）证明不论E、F在BC、CD上如

47、何滑动，总有BECF；（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF的面积和CEF的周长是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最小值【解答】解：（1）如图，连接AC，四边形ABCD为菱形，BAD120，BAC60，AEF是等边三角形，EAF60，1+EAC60，3+EAC60，13，BAD120，ABC60，ABC和ACD为等边三角形，460，ACAB，在ABE和ACF中，ABEACF（ASA）BECF；（2）四边形AECF的面积不变，CEF的周长发生变化理由如下：由（1）得ABEACF，则SABESACF，故S四边形AECFSAEC+SACFSAEC+SABESABC，是定值，作AHBC于H点，则BH2，S四边形AECFSABCCEF的周长CE+CF+EFCE+BE+EFBC+EFBC+AE由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短故AEF的周长会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，CEF的周长会最小4+