2022年新教材高考数学一轮复习 考点规范练32 平面向量的数量积与平面向量的应用（含解析）新人教版.docx

1、考点规范练32平面向量的数量积与平面向量的应用一、基础巩固1.已知a,b为单位向量,其夹角为60,则(2a-b)b等于()A.-1B.0C.1D.22.已知向量p=(2,-3),q=(x,6),且pq,则|p+q|的值为()A.5B.13C.5D.133.对任意平面向量a,b,下列关系式不恒成立的是()A.|ab|a|b|B.|a-b|a|-|b|C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)(a-b)=a2-b24.在四边形ABCD中,AC=(1,2),BD=(-4,2),则该四边形的面积为()A.5B.25C.5D.105.已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)b,则a与b的夹

2、角为()A.6B.3C.23D.566.设向量a与b的夹角为,且a=(-2,1),a+2b=(2,3),则cos 等于()A.-35B.35C.55D.-2557.设m,n为非零向量,则“存在负数,使得m=n”是“mn|a|-|b|.故不等式不恒成立;C项,(a+b)2=|a+b|2恒成立;D项,(a+b)(a-b)=a2-ab+ba-b2=a2-b2,故等式恒成立.故选B.4.C依题意得,ACBD=1(-4)+22=0,则ACBD.即四边形ABCD的面积为12|AC|BD|=12520=5.5.B设a与b的夹角为.因为(a-b)b,所以(a-b)b=ab-b2=0,所以ab=b2,所以cos

3、=ab|a|b|=|b|22|b|2=12,因为0,所以a与b的夹角为3,故选B.6.A向量a与b的夹角为,且a=(-2,1),a+2b=(2,3),b=a+2b-a2=(2,1),cos=ab|a|b|=-4+155=-35.7.Am,n为非零向量,若存在0,使m=n,即两向量反向,夹角是180,则mn=|m|n|cos180=-|m|n|0.反过来,若mn0),因为n(tm+n),所以n(tm+n)=ntm+nn=t|m|n|cos+|n|2=t3k4k13+(4k)2=4tk2+16k2=0,解得t=-4,故选B.10.3|a+b|2=(a+b)2=|a|2+|b|2+2ab=1+1+2

4、ab=1,ab=-12,|a-b|2=(a-b)2=|a|2+|b|2-2ab=3,|a-b|=3.11.解(1)因为|a|=2,|b|=1,(2a-3b)(2a+b)=9,所以4a2-4ab-3b2=9,即16-8cos-3=9,所以cos=12.因为0,所以=3.(2)由(1)可知ab=|a|b|cos3=1,所以|a+b|=a2+b2+2ab=7,a(a+b)=a2+ab=5.所以向量a在a+b方向上的投影向量的模为a(a+b)|a+b|=57=577.12.A如图,以AB所在的直线为x轴,AE所在的直线为y轴建立平面直角坐标系,易知A(0,0),B(2,0),F(-1,3),C(3,3

5、).设P(x,y),则AP=(x,y),AB=(2,0),即APAB=2x+0y=2x.-1x3,APAB的取值范围为(-2,6),故选A.13.ABC因为八卦图为正八边形,所以中心角为45,即FOD=90,所以HDBF=0,故A正确;由以上得AOD=135=34,OAOD=|OA|OD|cos34=-22,B正确;OB与OH的夹角为90,因为|OB|=|OH|,所以根据平行四边形法则,OB+OH=2OA=-2OE,C正确;因为|AH-FH|=|AH+HF|=|AF|,AOF=34,所以在AOF中,由余弦定理可得|AF|2=|OA|2+|OF|2-2|OA|OF|cos34=2+2,|AF|=

6、2+2,D错误.14.A如图,取AB的中点F,连接EF,AEBE=(AE+BE)2-(AE-BE)24=(2FE)2-AB24=|FE|2-14.当EFCD时,|EF|最小,即AEBE取最小值.过点A作AHEF于点H,由ADCD,EFCD,可得EH=AD=1,DAH=90.因为DAB=120,所以HAF=30.在RtAFH中,易知AF=12,HF=14,所以EF=EH+HF=1+14=54.即(AEBE)min=542-14=2116.15.对于,因为|G|=|F1+F2|为定值,所以|G|2=|F1|2+|F2|2+2|F1|F2|cos=2|F1|2(1+cos),解得|F1|2=|G|2

7、2(1+cos);由题意知,当(0,)时,y=cos单调递减,所以|F1|2单调递增,即越大越费力,越小越省力;正确;对于,由题意知,的取值范围是(0,),所以错误;对于,当=2时,|F1|2=|G|22,所以|F1|=22|G|,错误;对于,当=23时,|F1|2=|G|2,所以|F1|=|G|,正确.综上可知,正确结论的序号是.16.7设a与b的夹角为,且0,由已知得=60,不妨取a=(1,0),b=(1,3).设e=(cos,sin),则|ae|+|be|=|cos|+|cos+3sin|cos|+|cos|+3|sin|=2|cos|+3|sin|,当且仅当cos与sin同号时,等号成

8、立.所以2|cos|+3|sin|=|2cos+3sin|=727cos+37sin=7|sin(+)|(其中sin=27,cos=37,取为锐角).显然7|sin(+)|7.易知当+=2时,|sin(+)|取最大值1,此时为锐角,sin,cos同为正值,因此上述不等式中等号能同时取到.故所求最大值为7.17.证法一设正方形的边长为a,由于P是对角线BD上的一点,可设DP=DB(01).则PA=DA-DP=DA-DB=DA-(DA+AB)=(1-)DA-AB.因为在正方形ABCD中,四边形PECF为矩形,所以DPFDBC,从而可得EF=CF-CE=(1-)CD-CB,所以PAEF=(1-)DA-AB(1-)CD-CB=(1-)2DACD-(1-)DACB-(1-)ABCD+2ABCB=-(1-)a2+(1-)a2=0,因此PAEF,故PAEF.证法二如图,以D为原点,DC,DA所在直线分别为x轴、y轴,建立平面直角坐标系.设正方形的边长为a,由P是对角线BD上的一点,设DP=DB=2a(01),则点A(0,a),P(a,a),E(a,a),F(a,0),于是PA=(-a,a-a),EF=(a-a,-a),因此PAEF=-a(a-a)-(a-a)a=-2a2+a2-a2+2a2=0,因此PAEF,故PAEF.