专题 勾股定理与全等三角形的综合运用（ 基础题＆提升题＆压轴题 ）（解析版）.docx

1、八年级下册数学第十七章 勾股定理专题 勾股定理与全等三角形的综合运用 （ 基础题提升题压轴题 ）基础题1（2021秋岱岳区期中）如图，在RtABC中，C90，AD平分BAC交BC于点D，过点D作DEAB于点E（1）求证：ADCADE（2）若CD3，BD5，求BE的长【分析】（1）利用AAS即可证明ADCADE；（2）结合（1）根据勾股定理即可求出BE的长【解答】（1）证明：AD平分CAB，DACDAE，C90，DEAB，CAED90，在ADC和ADE中，C=AEDCAD=EADAD=AD，ADCADE（AAS），（2）解：ADCADE，DEDC3，在RtBDE中，BD5，根据勾股定理，得BE=

2、BD2DE2=4【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，重合用转化的思想思考问题2如图，在ABC和DCE中，ABCDBE90，ABBC，DBBE，A，D，E三点在同一直线上（1）求证：ADCE；（2）若DB22，AD5求AC的长【分析】（1）证明ABDCBE（SAS），可得结论；（2）利用全等三角形的性质以及勾股定理，解决问题即可【解答】（1）证明：ABCDBE，ABCDBCDBEDBC，即ABDCBE，在ABD和CBE中，AB=CBABD=CBEDB=EB，ABDCBE（SAS），ADCE；（2）解：如图，AE与BC交于点O，由（

3、1）可知ABDCBE，BADBCE，ADCE，AOBCOE，CEOABO90，在RtBDE中，DBE90，BEDB22，DE=2DB=222=4，CEAD5，AEAD+DE5+49，在RtACE中，AEC90，AE9，CE5，AC=AE2+CE2=92+52=106【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型3（2022春定远县期末）如图，在等腰RtABC中，ACB90，点D是AB上一点，作等腰RtDCE，且DCE90，连接AE（1）求证：CEACDB；（2）求证：AE2+AD2DE2【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和全

4、等三角形的判定证明即可；（2）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质解答即可；【解答】证明：（1）ABC和DCE都是等腰直角三角形，ACBC，CDEC，ACBDCE90，ACBACDDCEACD，ACEBCD，在CDB与CEA中，AC=BCACE=BCDEC=CD，CDBCEA（SAS）；（2）ABC是等腰直角三角形，BBAC45，由（1）得CDBCEA，EACB45，EADEAC+BAC45+4590，AE2+AD2DE2【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键4如图，已知ACBDCE90，ACBC6，CDCE，

5、AE3，CAE45（1）求证ACDBCE；（2）求AD的长【分析】（1）连接BE根据SAS证明三角形全等即可（2）证明ABE90，利用勾股定理求出BE即可解决问题【解答】（1）证明：如图，ACBDCE90，ACB+ACEDCE+ACE，即BCEACD，在ACD和BCE中，AC=BCBCE=ACDDC=EC，ACDBCE（SAS）（2）解：ACDBCE，ADBE，ACBC6，AB62，BACCAE45，BAE90，在RtBAE中，AB62，AE3，BE=AB2+AE2=(62)2+32=9，ADBE9【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，用到的知识点是全等三角形的判定与性质、勾股定理，关键是

6、根据题意作出辅助线，证出ACDBCE5（2022秋通川区校级期末）已知，如图，RtABC中，B90，AB6，BC4，以斜边AC为底边作等腰三角形ACD，腰AD刚好满足ADBC，并作腰上的高AE（1）求证：ABAE；（2）求等腰三角形的腰长CD【分析】（1）由等腰三角形的性质得出DACDCA，由平行线的性质得出DACBCA，得出ACBDCA，由AAS证明ABCAEC，得出ABAE；（2）由（1）得：AEAB6，CECB4，设DCx，则DAx，DEx4，由勾股定理得出方程，解方程即可【解答】（1）证明：DADC，DACDCA，ADBC，DACBCA，ACBDCA，又AECD，AEC90，AAEC9

7、0，在ABC和AEC中，B=AECACB=DCAAC=AC，ABCAEC（AAS），ABAE；（2）解：由（1）得：AEAB6，CECB4，设DCx，则DAx，DEx4，由勾股定理得：DE2+AE2DA2，即（x4）2+62x2，解得：x=132，即CD=132【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键6（2021秋门头沟区期末）已知，如图，在ABC中，C90，AD平分BAC交BC于D，过D作DEAC交AB于E（1）求证：AEDE；（2）如果AC3，AD=23，求AE的长【分析】（1）根据平行线的性质和

8、角平分线的定义解答即可；（2）过点D作DFAB于F，根据勾股定理和全等三角形的判定和性质解答即可【解答】（1）证明：DEAC，CADADE，AD平分BAC，CADEADEADADEAEDE；（2）解：过点D作DFAB于FC90，AC3，AD=23，在RtACD中，由勾股定理得 AC2+DC2AD2DC=3AD平分BAC，DFDC=3又ADAD，CAFD90，RtDACRtDAF（HL）AFAC3，RtDEF中，由勾股定理得 EF2+DF2DE2设AEx，则DEx，EF3x，(3x)2+(3)2=x2，x2AE2【点评】本题考查勾股定理，根据勾股定理和全等三角形的判定和性质解答是解题关键7如图，

9、在RtABC中，ABC90，AB4，BC2，ACDC，ACD90，连接BD求BD的长【分析】过D作DEBC交BC的延长线于E，得到DECABC90，根据余角的性质得到BACDCE，根据全等三角形的性质得到DEBC2，CEAB4，求得BE6，根据勾股定理即可得到结论【解答】解：过D作DEBC交BC的延长线于E，DECABC90，ACD90，BAC+ACBACB+DCE90，BACDCE，在ABC与CED中，ABC=EBAC=ECDAC=CD，ABCCED（AAS），DEBC2，CEAB4，BE6，DE2+BE2BD2，BD222+6240，BD210【点评】本题考查了全等三角形的性质定理与判定定

10、理、勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键8（2022春雨花区校级期末）如图，在RtABC中，ACB90，ACBC3，点D在边AC上，且AD2CD，DEAB，垂足为点E，连CE，求：（1）线段BE的长；（2）线段CE的长【分析】（1）证明ADE是等腰直角三角形，求出AE即可解决问题（2）作EFAC于F求出EF，CF即可解决问题【解答】解：（1）CACB3，ACB90，A45，AB=2AC32，DEAE，ADE是等腰直角三角形，ACBC3，AD2CD，AD2，CD1，AEDE=2，BEABAE22（2）作EFAC于FEFAD，ADE是等腰直角三角形，EFAFDF1，CF2，在RtEFC中，EC=

11、EF2+CF2=12+22=5【点评】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型9如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别为1cm和2cm（1）求证：ABABCC；（2）求BC的长；（3）求正方形ABCD的边长和面积【分析】（1）利用等角的余角相等，求证得出：ABABCC；（2）求证得出ABABCC即可，即BCAA1；（3）利用（2）中，ABABCC，BCAA1，ABCC2，进一步利用勾股定理求得正方形ABCD的边长，最后求得面积【解答】（1）证明：四边形ABCD是正方形，ABC90，ABBC，AAAC，CCA

12、C，AABCCB90，ABA+CBC90，CBC+BCC90，ABABCC；（2）在ABA和BCC中，AABCCB，ABBC，ABABCC，ABABCC，BCAA1（cm）；（3）ABABCC，BCAA1，ABCC2，AB=12+22=5，即正方形ABCD的边长为5；正方形ABCD的面积（5）25（cm2）【点评】本题考查了正方形各边相等的性质，等角的余角相等，三角形全等和勾股定理的运用10（2022春蚌山区校级期中）如图，ABC与DBE都是等边三角形，DA、DB、DC三边长是一组勾股数，且DC边最长（1）求证：DE2+CE2CD2；（2）求ADB的度数【分析】（1）由“SAS”可证ABDCB

13、E，可得ADEC，ADBBEC，由勾股数可得结论；（2）由勾股定理的逆定理可得DEC90，由全等三角形的性质可求解【解答】证明：（1）ABC与DBE都是等边三角形，ABBC，BDDEBE，ABCDBE60，ABDCBE，且ABBC，DBBE，ABDCBE（SAS）ADEC，ADBBEC，DA、DB、DC三边长是一组勾股数，且DC边最长DA2+DB2DC2，DE2+CE2CD2；（2）DE2+CE2CD2，DEC90，BEC150ADBBEC150【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，证明ABDCBE是本题的关键11如图，在等腰直角三角形ABC中，ABC90，D为AC边上的

14、中点，过D点作DEDF，交AB于E，交BC为F，（1）求证：BECF；（2）若AE4，FC3，求EF的长【分析】（1）连接BD，根据的等腰直角三角形的性质证明BEDCFD就可以得出AEBF，BECF；（2）由AEBF，FCBE就可以求得EF的长【解答】解：（1）连接BDD是AC中点，ABDCBD45，BDADCD，BDACEDB+FDB90，FDB+CDF90，EDBCDF，在BED和CFD中，EBD=CBD=CDEDB=CDF，BEDCFD（ASA），BECF；（2）ABBC，BECF3，AEBF4在RTBEF中，EF=BE2+BF2=5【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对

15、应边相等的性质，考查了勾股定理的运用，本题中连接BD是解题的关键12（2021秋徐汇区期末）如图，在ABC中，ACB90，AC4，CB2，点D是AB的中点，点E在AC上，点E、D、F一条直线上，且EDFD（1）求证：FBCB；（2）联结CD，若CDEF，求CE的长【分析】（1）由“SAS”可证ADEBDF，可得AFBD，AEBF，由余角的性质可得结论；（2）由等腰三角形的性质可得CFEF，由勾股定理可求解【解答】（1）证明：D是AB中点，ADBD，在ADE与BDF中，AD=BDADE=BDFED=FD，ADEBDF（SAS），AFBD，AEBF，ACB90，A+ABC90，FBD+ABC90，

16、即FBC90，FBCB；（2）联结CF，CDEF，EDFD，CFEF，设CEx，则CFx，BFAE4x，RtFBC中，BF2+BC2CF2，22+（4x）2x2，x=52，CE=52【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键提升题1（2021秋宛城区期末）如图，E、F是等腰RtABC的斜边BC上的两动点，EAF45，CDBC且CDBE求证：（1）AEAD；（2）EF2BE2+CF2【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得BACB45，从而可推出ACDB，则可证得ABEACD；（2）由（1）可知AEAD，BAECAD，从而可

17、求得EADBAC90，DAFEAF，可证得AEFADF，则有DFEF，则利用勾股定理可求解【解答】证明：（1）ABC是等腰直角三角形，ABAC，BACB45，CDBC，BCD90，ACDBCDACB45B，在ABE和ACD中，AB=ACB=ACDBE=CD，ABEACD（SAS），AEAD；（2）由（1）知，ABEACD，AEAD，BAECAD，BAC90，EADCAE+CADCAE+BAEBAC90，EAF45，DAFDAEEAF45EAF，在AEF与ADF中，AE=ADEAF=DAFAF=AF，AEFADF（SAS），DFEF，在RtDCF中，根据勾股定理得，DF2CF2+CD2，CDBE

18、，EF2CF2+BE2【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解答的关键是结合图形分析清楚角与角，边与边之间的关系2（2022春钦州期末）如图，在ABC中，ACB90，ACBC，P是ABC内一点，且PB1，PC2，PA3，过点C作CDCP，垂足为C，令CDCP，连接DP，BD，求BPC的度数【分析】先证明PCD是等腰直角三角形，得出：PD=2PC22，CPDCDP45，再证明ACPBCD（SAS），得出BDPA3，运用勾股定理逆定理证得BPD90，即可求得答案【解答】解：CDCP，PCD90，PCCD2，PCD是等腰直角三角形，PD=2PC22，CPDCDP45，AC

19、B90，ACP+PCB90，又PCB+BCD90，ACPBCD，在ACP和BCD中，AC=BCACP=BCDPC=CD，ACPBCD（SAS），BDPA3，PB1，PB2+PD212+（22）29，PA2329，PA2PB2+PD2，BPD90，CPD45，BPCBPD+CPD135【点评】该题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理逆定理等几何知识点及其应用问题；是一道综合性较强的题目，证明ACPBCD（SAS）和运用勾股定理逆定理是解题的关键3如图，AOB和COD都为等腰直角三角形，且AOBCOD90（1）如图，当COD的顶点D恰好在AB边上时，求证：2OD2

20、AD2+BD2；（2）将COD绕点O旋转至图的位置，连接AD，BC交于点F，连接FO，求证：FO平分AFC【分析】（1）连接CB，利用SAS证明AODBOC，得BCAD，OBCA45，再利用勾股定理可得结论；（2）过点O作OMAD于M，ONBC于N，由（1）同理得，AODBOC（SAS），得ADBC，SAODSBOC，则OMON，再根据角平分线的判定可得结论【解答】证明：（1）连接CB，AOBCOD90AODBOC，AOB和COD都为等腰直角三角形，OAOB，ODOC，AODBOC（SAS），BCAD，OBCA45，DBC90，BD2+BC2CD2，DOC90，ODOC，2OD2CD2，2OD

21、2AD2+BD2；（2）过点O作OMAD于M，ONBC于N，由（1）同理得，AODBOC（SAS），ADBC，SAODSBOC，OMON，OMAD，ONBC，FO平分AFC【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理等知识，证明AODBOC是解题的关键4（2022春工业园区校级期末）已知，如图，在长方形ABCD中，AB8，BC6，P为AD上一点，将ABP沿BP翻折至EBP，PE与CD相交于O，且OEOD，求AP的长【分析】由折叠的性质得出EPAP，EA90，BEAB8，由ASA证明ODPOEG，得出OPOG，PDGE，设APEPx，则PDGE6x，D

22、Gx，根据勾股定理得出方程，解方程即可【解答】解：设CD与BE交于点G，如图所示：四边形ABCD是矩形，DAC90，ADBC6，CDAB8，由翻折的性质得：ABPEBP，EPAP，EA90，BEAB8，在ODP和OEG中，D=EOD=OEDOP=EOG，ODPOEG（ASA），OPOG，PDGE，DGEP，APEPDG，设APEPx，则PDGE6x，DGx，CG8x，BG8（6x）2+x，在RtBCG中，根据勾股定理得：BC2+CG2BG2，即62+（8x）2（x+2）2，解得：x4.8，AP4.8【点评】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻

23、折变换和矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键5（2022秋南海区期末）如图，在ABC中，ABBC10，AC210，ADBC，垂足为D（1）求证：B2CAD（2）求BD的长度；（3）点P是边BC上一点，且点P到边AB和AC的距离相等，求点P到边AB距离【分析】（1）由等腰三角形的性质，三角形内角和定理，即可证明；（2）设CDx（x0），由勾股定理得到AB2BD2AC2DC2，列出关于x的方程，求出x的值，即可得到答案；（3）由三角形面积公式得到12BCAD=12ABPM+12ACPN，即可解决问题【解答】（1）证明：ABAC，BACC，BAC+C+B180，B+2C180，ADBC，CAD

24、+C90，2C+2CAD180，B2CAD，（2）解：设CDx（x0），在RtABD和RtACD中，AB2BD2AC2DC2AD2，102（10x）2=(210)2x2，x2，BDBCCD1028；（3）解：作PMAB于M，PNAC于N，且PMPN，连接AP，在RtABD中，AD=AB2BD2=10282=6，ABC的面积PAB的面积+PAC的面积，12BCAD=12ABPM+12ACPN，106（10+210）PM，PM10210，P到AB的距离是10210【点评】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，关键是掌握由勾股定理列出关于CD的方程；由三角形面积公式得到12BCAD=12

25、ABPM+12ACPN6如图，在ABC中，BAC为钝角，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E（1）若BD2+CE2DE2，则BAC （2）若ABC的平分线BF和边AC的垂直平分线EF相交于点F，过点F作FG垂直于BA的延长线于点G求证：BCAB2AG【分析】（1）如图1中，连接AD、AE首先证明DAE90，易知DBADAB，EACC，设DBADABx，EACCy，根据三角形内角和定理可得2x+90+2y180，推出x+y45，由此即可解决问题；（2）如图2中，连接AF，FC，作FMCB于M，只要证明BFGCFM，RtAFGRtCFM，即可解决问题【解答】（1）解：如图1，连接AD、AE

26、，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，BDDA，EAEC，DBADAB，EACC，设DBADABx，EACCy，BD2+CE2DE2，AD2+AE2DE2，DAE90，2x+90+2y180，x+y45，BACx+y+90135；故答案为：135；（2）证明：如图2中，连接AF，FC，作FMCB于M，FGBA，GBMF90，BF平分CBA，GBFMBF，在BFG和BFM中，G=BMFGBF=MBFBF=BF，BFGBFM（AAS），BGBM，FGFM，EF垂直平分线AC，FAFC，在RtAFG和RtCFM中，FG=FMFA=FC，RtAFGRtCFM（HL），CMAG，BCBM+CM

27、，BGAB+AG，BGBM，CMAG，BCAB+2AG，BCAB2AG【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质、角平分线的性质、勾股定理的逆定理等知识，根据已知角平分线以及垂直平分线作出相关辅助线从而利用全等求出是解决问题的关键7已知：在ABC中，BAC90，ABAC，点D为BC边上一动点（与点B不重合），连接AD，以AD始边作DAE（0180）（1）如图1，当90，且AEAD时，试说明CE和BD的位置关系和数量关系；（2）如图2，当45，且点E在边BC上时，求证：BD2+CE2DE2【分析】（1）根据BADCAE，BACA，ADAE，运用“SAS”证明ABDACE

28、，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段CE、BD之间的关系；（2）把ACE绕点A顺时针旋转90，得到ABG连接DG，由“SAS”得到ADGADE，可得DEDG，即可把EF，BE，FC放到一个直角三角形中，从而根据勾股定理即可证明；【解答】解：（1）CE与BD位置关系是CEBD，数量关系是CEBD理由：BACDAE90，BAD90DAC，CAE90DAC，BADCAE，在ABD和ACE中，AB=ACBAD=CAEAD=AE，ABDACE （SAS），ACEB45且 CEBDACBB45，ECB45+4590，即CEBD；（2）如图2，把ACE绕点A顺时针旋转90，得到ABG

29、连接DG，则ACEABG，AGAE，BGCE，ABGACE45BAC90，GAE90GADDAE45，在ADG和ADE中，AG=AEGAD=DAEAD=AD，ADGADE（SAS）EDGD，又GBD90，BD2+BG2DG2，即BD2+EC2DE2；【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，勾股定理的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键8（2021秋通州区期末）如图，在RtABC中，C90，ACBC，在RtABD中，D90，AD与BC交于点E，且DBEDAB求证：（1）CAEDBC；（2）AC2+CE24BD2【分析】（1）由余角的性质可求解；（2）由“

30、ASAS”可证ADBADF，可得BDDF，即BF2BD，由“ASA”可证ACEBCF，可得AEBF2BD，由勾股定理可求解【解答】证明：（1）ACBD90，CEA+CAEBED+CBD90，CEABED，CAEDBC；（2）延长BD交AC延长线于点F，DBEDAB，DABCAE，在ADB和ADF中，DAB=DACAD=ADADB=ADF=90，ADBADF（ASA），BDDF，BF2BD，在ACE和BCF中，CAE=DBEAC=BCACB=BCF=90，ACEBCF（ASA），AEBF，AE2BD，在RtACE中，AC2+CE2AE2，AC2+CE2（2BD）24BD2【点评】本题考查了全等三

31、角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用全等三角形的判定方法是解题的关键9（2022双台子区校级一模）如图1，在ABC中，BAC90，ABAC，BDCD于点D，连接AD，在CD上截取CE，使CEBD，连接AE（1）直接判断AE与AD的数量关系 ；（2）如图2，延长AD，CB交于点F，过点E作EGAF交BC于点G，试判断FG与AB之间的数量关系，并证明；【分析】（1）证明ACEABD（SAS），由全等三角形的性质得出AEAD；（2）过点B作BMBD交DF于点M，证得BDM为等腰直角三角形，则BDBM，证明CEGBMF（AAS），由全等三角形的性质得出CGBF，由直角三角形的性质可得出结论；【解答】解

32、：（1）AEAD；如图1，AB与DC交于点F，DBA+DFBAFE+ACE，DFBAFE，DBAACE，CEBD，ABAC，ACEABD（SAS），AEAD；故答案为：AEAD；（2）FG=2AB；过点B作BMBD交DF于点M，ACEABD，CAEBAD，AEAD，CEBD，BAD+BAE90，ADE45，BDCD，BDM45，BDM为等腰直角三角形，BDBM，CEBM，EGAF，EGCMFB，又FBM+ABD45，GCE+ACE45，FBMGCE，CEGBMF（AAS），CGBF，CG+BGBF+BG，FGBC，BC=2AB，FG=2AB；【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和

33、性质，平行线的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确构造全等三角形解决问题10如图，ABC是直角三角形，CAB90，D是斜边BC上的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DEDF（1）若ABAC，BE12，CF5，求DEF的面积（2）求证：BE2+CF2EF2【分析】（1）首先连接AD，由ABC是等腰直角三角形，ABAC，AD是斜边的中线，可得：ADDC，EADC45，ADBC即CDF+ADF90，又DEDF，可得：EDA+ADF90，故EDACDF，从而可证：AEDCFD，所以可得：AECF，AFBC，；根据勾股定理求出EF，解直角三角形求出DE和DF，根据三角形面积公式求出即

34、可（2）延长ED至点G，使得DGDE，连接FG，CG，易证EFFG和BDECDG，可得BECG，DCGDBE，即可求得FCG90，根据勾股定理即可解题【解答】（1）解：连接AD，如图1，在RtABC中，ABAC，AD为BC边的中线，DACBADC45，ADBC，ADDC，又DEDF，ADDC，EDA+ADFCDF+FDA90，EDACDF，在AED与CFD中，EDA=CDFAD=CDEAD=C，AEDCFD（ASA）AECF，同理AFDBED，AFBE，EAF90，EF2DE2+DF2，BE2+CF2EF2；BE12，CF5，EF13，BDEADF，DEDF，BDEADF，ADBD，ADB90

35、EDFADE+ADFBDE+ADEADB90，在RtEDF中，由勾股定理得：ED2+DF2132，DEDF=1322，DEF的面积S=12DEDF=1213221322=1694；（2）证明：延长ED至点G，使得DGDE，连接FG，CG，如图2，DEDG，DFDE，DF垂直平分DE，EFFG，D是BC中点，BDCD，在BDE和CDG中，BD=CDBDE=CDGDE=DG，BDECDG（SAS），BECG，DCGDBE，ACB+DBE90，ACB+DCG90，即FCG90，CG2+CF2FG2，BE2+CF2EF2【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AA

36、S、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等压轴题1（1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题如图1，已知ABC中，ACB90，ACBC，P是ABC内的一点，且PA3，PB1，PC2，求BPC的度数小强在解决此题时，是将APC绕C旋转到CBE的位置（即过C作CECP，且使CECP，连接EP、EB）你知道小强是怎么解决的吗？（2）请根据（1）的思想解决以下问题：如图2所示，设P是等边ABC内一点，PA3，PB4，PC5，求APB的度数【分析】（1）如图1，首先证明BE2PE2+PB2，得到BPE90；证明CPE45即可解决问题（2）如图2，作旋转变

37、换；首先证明AQP60；其次证明PQ2+CQ2PC2，得到PQC90，求出AQC150，即可解决问题【解答】解：（1）如图1，由题意得：PCE90PCEC2；BEPA3；由勾股定理得：PE222+228；PB21，BE29，BE2PE2+PB2，BPE90，CPE45，BPC135（2）如图2，将ABP绕点A逆时针旋转60到ACQ的位置，连接PQ；则APAQ，PAQ60，QCPB4；APQ为等边三角形，AQP60，PQPA3；PQ2+CQ232+4225，PC25225，PQ2+CQ2PC2，PQC90，AQC60+90150，APBAQC150【点评】该题主要考查了旋转变换的性质、等边三角形

38、的判定及其性质、勾股定理逆定理等几何知识点及其应用问题；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求2在等腰直角三角形ABC中，ACB90，CDAB于点D，点E是平面内任意一点，连接DE（1）如图1，当点E在边BC上时，过点D作DFDE交AC于点F求证：CEAF；试探究线段AF，DE，BE之间满足的数量关系（2）如图2，当点E在BDC内部时，连接AE，CE，若DB5，DE32，AED45，求线段CE的长【分析】（1）根据ASA证明ADFCDE，进而解答即可；连接EF，根据全等三角形的性质和勾股定理解答即可；（2）根据SAS证明CDEADG，进而利用全等三角形的性质和勾股定理解答【解答】证明：

39、（1）ACB90，ACBC，CDAB，ACDBCDA45，CDAD，DFDE，CDAB，ADF+CDFCDE+CDF90，ADFCDE，在ADF与CDE中，A=BCD=45AD=CDADF=CDE，ADFCDE（ASA），CEAF；连接EF，ADFCDE，DEDF，DFDE，DEF是等腰直角三角形，EF2DE2+DF22DE2，AFCE，ACBC，CFBE，在RtCEF中，EF2CE2+CF2，AF2+BE2CE2+CF2EF22DE2（2）过点D作DHAE于H，过点D作DGDE交AE于G，ACB90，ACBC，CDAB，ACDBCDA45，CDAD，DGDE，CDAB，ADG+CDGCDE+

40、CDG90，ADGCDE，DGDE，AED45，DGE45AED，DGDE，在CDE与ADG中AD=CDADG=CDEDG=DE，CDEADG（SAS），CEAG，在RtDEG中，DEDG32，EG6，DHAE，DHGHEH3，在RtADH中，AD5，AH=AD2DH2=5232=4，CEAGAHGH1【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答3（2021秋海曙区校级期中）已知在ABC中，CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DMAB于M，DNAC的延长线于N（1）证明：BMCN（2）当BAC70时，求DCB的度数；（3）若AB8，AC

41、4，DE3，则4DN2BC2的值为 【分析】（1）根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可得到DMDN，DBDC，根据HL证明RtDMBRtDNC，即可得出BMCN；（2）根据角平分线的性质得到DMDN，根据全等三角形的性质得到ADMADN，线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到EDC55于是得到结论；（3）证明AB+AC2AN12，推出AN6，CN2，再根据，CD2CE2+DE2CN2+DN2，可得结论【解答】（1）证明：连接BD，如图所示：AD是CAB的平分线，DMAB，DNAC，DMDN，DE垂直平分线BC，DBDC，在RtDMB和RtDNC中，DB=DCDM=DN，RtDMBRt

42、DNC（HL），BMCN；（2）解：由（1）得：BDMCDN，AD是CAB的平分线，DMAB，DNAC，DMDN，在RtDMA和RtDNA中，DA=DADM=DN，RtDMARtDNA（HL），ADMADN，BAC70，MDN110，ADMADN55，BDMCDN，BDCMDN110，DE是BC的垂直平分线，DBDC，EDC=12BDC55，DCB90EDC35，DCB35；（3）解：在ADM和ADN中，AMD=ANDDAM=DANAD=AD，ADMADN（AAS），AMAN，DMBDNC，BMCN，AB+ACAM+BM+ANCN2AN8+412，AN6，CNANAC642，CD2CE2+DE

43、2CN2+DN2，EC=12BC，14BC2+94+DN2，4DN2BC220故答案为：20【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，熟悉角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，证明三角形全等是解决问题的关键4已知，在等腰RtOAB中，OAB90，OAAB，点A，B在第四象限（1）如图1，若A（1，3），则 OA ； 求点B的坐标；（2）如图2，ADy轴于点D，M为OB的中点，求证：DO+DA=2DM【分析】（1）根据勾股定理计算OA的长；作辅助线，构建全等三角形，证明ADOBEA（AAS），则BEAD1，AEOD3，可得B的坐标；（2）解法一：如图3，

44、作辅助线，构建全等三角形，证明DAMEBM（SAS），则DMEM，DMAEMB，得DME是等腰直角三角形，可得结论；解法二：如图4，作辅助线，构建全等三角形，证明MDOMFB（ASA），同理可得结论【解答】解：（1）如图1，过A作APy轴于P，A（1，3），OP3，PA1OA=10，故答案为：10；如图2，过点A作ADy轴于D，过点B作BEAD于E，则ODAAEB90，DOABAE，OAAB，ADOBEA（AAS），BEAD1，AEOD3，DE4，B（4，2）；（2）解法一：如图3，连接AM，过B作BEAD，交DA的延长线于点E，AOB是等腰直角三角形，M是OB的中点，AMOB，BMAM，OA

45、MABM45，由（1）知：ODAAEB，DAOEBA，DAMEBM，ADBE，DAMEBM（SAS），DMEM，DMAEMB，DMEAMB90，DME是等腰直角三角形，DE=2DM，DA+DODA+AEDE=2DM；解法二：如图4，过B作BEDA交DM的延长线于点F，交DA的延长线于E，由（1）可知：ADOBEA，BEAD，AEOD，M是OB的中点，OMBM，ODBF，DOMMBF，DMOBMF，MDOMFB（ASA），BFODAE，DMFM，DEFE，DA+DODA+AEDE=22DF=2DM【点评】本题考查三角形综合题、坐标与图形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，

46、解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题5请阅读下列材料：问题：如图1，在等边ABC内有一点P，且PA2，PB=3，PC1，求BPC李明同学的思路是：将BPC绕点B逆时针旋转60，得到BPA（如图2），连接PP由旋转的性质知BPP是 三角形；PAPC1，BPP ，PPPB=3；在APP中，PP2+PA2（3）2+124PA2；APP是 三角形；APP ；BPCBPABPP+APP 问题得到解决（1）将李明的思路补充完整；（2）请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，等腰直角三角形ABC中，CAB90，P是ABC内一点，且PA1

47、，PB3，PC=7，求CPA的度数【分析】（1）由旋转性质、等边三角形的判定可知BPP是等边三角形，由等边三角形的性质知BPP60，根据勾股定理逆定理可得APP是直角三角形，继而可得答案（2）由于ABC为等腰直角三角形，ABAC，则把APB绕A点逆时针旋转90可得到APC，连PP，根据旋转的性质得到PAP90，PAPA1，PCPB3，得到PAP为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得PP=2PA=2，APP45，在PPC中，可得到PC2+PP2PC2，根据勾股定理的逆定理得到PPC为直角三角形，CPP90，利用CPACPP+APP进行计算即可【解答】解：（1）将BPC绕点B逆时针旋转60，

48、得到BPA（如图2），连接PP由旋转的性质知BPP是等边三角形；PAPC1、BPP60、PPPB=3，在APP中，PP2+PA2（3）2+124PA2；APP是直角三角形；APP90；BPCBPABPP+APP60+90150故答案为：等边、60、直角、90、150；（2）如图，将APB绕点A逆时针旋转90可得APC，连接PP，PAP90，PAPA1、PCPB3，PAP为等腰直角三角形，由勾股定理可得PP=2PA=2，APP45，在PPC中，PC3、PP=2、PC=7，（7）2+（2）232，即PC2+PP2PC2，PPC为直角三角形，CPP90，CPACPP+APP90+45135【点评】本

49、题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角也考查了勾股定理的逆定理以及等腰直角三角形的判定与性质6如图，在凸四边形中，ABC30，ADC60，ADDC（1）如图，若连接AC，则ADC的形状是 三角形你是根据哪个判定定理？答： （请写出定理的具体内容）（2）如图，若在四边形ABCD的外部以BC为一边作等边BCE，并连接AE，请问：BD与AE相等吗？若相等，请加以证明；若不相等，请说明理由（3）在第（2）题的前提下，请你说明BD2AB2+BC2成立的理由【分析】（2）通过全等三角形的判定定理SAS证得BDCEAC，然后根据全等三角形

50、的对应边相等推知BDEA；（3）要证明BD2AB2+BC2，只需证明ABE是直角三角形即可（BDAE）【解答】解：（1）在ADC中，ADAC，ADC是等腰三角形，又ADC60，ADC是等边三角形（一个内角为60的等腰三角形是等边三角形）；故答案是：等边；一个内角为60的等腰三角形是等边三角形；（2）由（1）知，ADC是等边三角形，DCAC，DCA60；又BCE是等边三角形，CBCE，BCE60，DCA+ACBECB+ACB，即DCBACE，BDCEAC（SAS），BDEA（全等三角形的对应边相等）；（3）证明：由（2）知，BCE是等边三角形，则BCCE，CBE60ABEABC+CBE90在Rt

51、ABE中，由勾股定理得AE2AB2+BE2又BDAE，BD2AB2+BC2【点评】本题考查了等边三角形的判定、全等三角形的判定与性质以及勾股定理如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形为等边三角形：三边长度相等；三个内角度数均为60度；一个内角为60度的等腰三角形7（2021秋虎林市校级期末）已知RtABC中，ACBC，ACB90，F为AB边的中点，且DFEF，DFE90，D是BC上一个动点如图1，当D与C重合时，易证：CD2+DB22DF2；（1）当D不与C、B重合时，如图2，CD、DB、DF有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明（2）当D在BC的

52、延长线上时，如图3，CD、DB、DF有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并加以证明【分析】（1）由图1猜想结论成立；连接CF、BE，证明DFCEFB（SAS），由全等三角形的性质得出CDBE，DCFEBF45，由勾股定理及直角三角形的性质可得出结论（2）连接CF、BE，证明DFCEFB（SAS），由全等三角形的性质得出CDBE，DCFEBF135，由勾股定理及直角三角形的性质可得出结论【解答】解：（1）图2中，CD2+DB22DF2成立证明：连接CF、BE，ACB90，F为AB边的中点，CFBF，又DFC+DFBEFB+DFB90，DFCEFB，DFEF，DFCEFB（SAS），CDBE，DCF

53、EBF45，DBE90，DB2+BE2DE2，DE22DF2，CD2+DB22DF2（2）图3成立CD2+DB22DF2证明：连接CF、BE，ACB90，F为AB边的中点，CFBF，又DFC+CFEEFB+CFB90，DFEF，DFCEFB，DFCEFB（SAS），CDBE，DCFEBF135，EBDEBFFBD1354590，在RtDBE中，BE2+DB2DE2，DE22DF2，CD2+DB22DF2【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键8（2022秋唐河县期末）（1）感知：如图1，ABC和CDE都是等边三角形，连结AD，BE

54、，则可证CBECAD，依据 ；进而得到线段BEAD，依据 （2）探究：如图2，ACBC，CDCE，ACBDCE，AD、BE相交于点M，连接CM线段BE与AD之间是否仍存在（1）中的结论？若是，请证明；若不是，请直接写出BE与AD之间的数量关系；AMB的度数 （用含的式子表示）（3）应用：ACBC，CDCE，ACBDCE，当90时，如图3，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如果PC=2，直接写出PQ的长【分析】（1）根据等边三角形的性质得到CBCA，CECD，ACBDCE60，利用SAS定理证明CBECAD，根据全等三角形的性质得到BEAD；（2）证明CBECAD，根据全等

55、三角形的性质得到BEAD；根据全等三角形的性质、三角形内角和定理计算即可；（3）证明ACPBCQ，得到PCQ90，经过勾股定理计算即可【解答】解：（1）ABC和CDE都是等边三角形，CBCA，CECD，ACBDCE60，ECBACBECA，ACDDCEECA，ECBDCA，在CBE和CAD中，CB=CAECB=DCACE=CD，CBECAD（SAS），BEAD（全等三角形的对应边相等），故答案为：SAS；全等三角形的对应边相等；（2）BEAD，证明如下：ACBDCE，ACD+BCD，BCE+BCD，ACDBCE，在CBE和CAD中，CB=CAECB=DCACE=CD，CBECAD（SAS），B

56、EAD；ACDBCE，CADCBEBAC+ABC180，BAM+ABM180，AMB180（180），故答案为：；（3）如图3，由（1）可得，BEAD，AD，BE的中点分别为点P、Q，APBQ，ACDBCE，CAPCBQ，在ACP和BCQ中，CA=CBCAP=CBQAP=BQ，ACPBCQ（SAS），CPCQ，ACPBCQ，ACP+PCB90，BCQ+PCB90，PCQ90，CPQ为等腰直角三角形，PC=2，PQ2PC2+CQ22+24，PQ2【点评】本题考查的是三角形全等的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键9问题：如图1，在RtABC中，BAC90，ABA

57、C，D为BC边上一点（不与点B，C重合）将线段AD绕点A逆时针旋转90得到AE，连接EC求证：ABDACE；探索：如图2，在RtABC与RtADE中，BACDAE90，ABAC，ADAE，将ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索BD2、CD2、DE2之间满足的等量关系，并证明你的结论；应用：如图3，在四边形ABCD中，ABCACBADC45，若BD6，CD2，求AD的长【分析】（1）证明BADCAE，根据全等三角形的性质解答；（2）证明BADCAE，得到BDCE，根据勾股定理计算即可；（3）如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明BADCAG，得到BDCG6，证明CDG是直角三角形，根据勾

58、股定理计算即可【解答】解：（1）在RtABC中，ABAC，BACB45，BACDAE90，BACDACDAEDAC，即BADCAE，在BAD和CAE中，AB=ACBAD=CAEAD=AE，BADCAE（SAS），（2）结论：DE2BD2+CD2，理由是：如图2中，连接ECBACDAE90，BADCAE，在ABD和ACE中，AB=ACBAD=CAEAD=AE，BADCAE（SAS），BDCE，BACE45，BCEACB+ACE45+4590，DE2CE2+CD2，DE2BD2+CD2；（3）如图3，将AD绕点A逆时针旋转90至AG，连接CG、DG，则DAG是等腰直角三角形，ADG45，ADC45

59、，GDC90，同理得：BADCAG，CGBD6，RtCGD中，CD2，DG42，DAG是等腰直角三角形，ADAG4【点评】本题是四边形的综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键10（2022秋锡山区期中）【问题探究】（1）如图1，锐角ABC中，分别以AB、AC为边向外作等腰直角ABE和等腰直角ACD，使AEAB，ADAC，BAECAD90，连接BD，CE，请判断BD与CE的数量关系，并说明理由【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD中，AB5，BC2，ABCACDADC45，求BD2的值；甲同学受到第一问的启发构造了如

60、图所示的一个和ABD全等的三角形，将BD进行转化再计算，请你准确的叙述辅助线的作法，再计算；【变式思考】（3）如图3，四边形ABCD中，ABBC，ABC60，ADC30，AD4，BD7，则CD2 【分析】（1）由已知条件证明ABDAEC，可得结论；（2）在ABC的外部作RtBAE，使BAE90，AEAB，连接BE、CE，先证明EACBAD，可得ECBD，再证明CBE90，根据勾股定理求出EC2的值，即得到BD2的值；（3）先证明ABC是等边三角形，再将ACD绕点C沿逆时针方向旋转60，得到BCE，可得ECD是等边三角形，求得BED90，根据勾股定理求出ED的长，即可得到CD2的值【解答】解：（

61、1）BDCE，理由如下：CADBAE90，BADEAC90+BAC，ABAE，ADAC，ABDAEC（SAS），BDCE；（2）如图2，在ABC的外部作RtBAE，使BAE90，AEAB，连接BE、CEACDADC45，CAD90，ACAD，EACBAD90+BAC，EACBAD（SAS），ECBD，EC2BD2，ABE45，ABC45，CBE45+4590，AEAB5，BAE90，BE2AB2+AE252+5250，BC2，EC2BC2+BE222+5054，BD254；（3）如图3，ABBC，ABC60，ABC是等边三角形，ACBC，ACB60，将ACD绕点C沿逆时针方向旋转60，得到BCE，则CECD，ECD60，ECD是等边三角形，CED60，EDCD，由旋转得BECADC30，BEAD4，BED30+6090，BD7，ED=BD2BE2=7242=33，CD2ED233故答案为：33【点评】此题是四边形的综合题，考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，构造全等三角形、等边三角形等，以便进一步分析和解决问题