专题02 导数试题归纳和方法总结（解析版）.docx

1、导数章节知识题型全归纳专题02导数试题归纳和方法总结1.导数几何意义-切线方程例：1若函数的图象经过点，则曲线在点处的切线的斜率（ ）AeBCD【答案】D【分析】先根据条件求出的值，然后由导数的几何意义可得答案.【详解】函数的图象经过点,所以，解得，即函数，又，得曲线在点处切线的斜率.故选：D2与曲线和都相切的直线与直线垂直，则b的值为（ ）ABCD【答案】D【分析】先求出直线的方程，再求出直线与曲线相切的切点坐标即可得解.【详解】因直线与直线垂直，则直线的斜率为3，设直线与曲线相切的切点，而，则，得，即直线过点(1，0)，方程为y=3x-3，设直线与曲线相切的切点P，有，由得，从而有点，而点

2、P在直线：y=3x-3上，即，解得.故选：D【点睛】结论点睛：函数y=f(x)是区间D上的可导函数，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为：.3已知函数，若经过点存在一条直线与图象和图象都相切，则（ ）A0BC3D或3【答案】D【分析】先求得在处的切线方程，然后与联立，由求解.【详解】因为，所以，则，所以所以函数在处的切线方程为，由得，由，解得或，故选：D变式：1已知函数，则曲线在点处的切线的斜率是（ ）AB1CD【答案】D【分析】直接利用导数求切线斜率即可.【详解】设切线的斜率为，由，则，则有.故选：D.2函数的图象上存在两条相互垂直的切线，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【分析】求

3、导，由导函数的几何意义和直线垂直的条件可得方程一定有解，再由根的判别式和余弦函数的值域可得选项.【详解】因为，所以，因为函数的图象上存在两条相互垂直的切线，所以不妨设在和处的切线互相垂直，则，即，因为a的值一定存在，即方程一定有解，所以，即，解得或，又，所以有或，所以方程变为，所以，故选：B.【点睛】关键点睛：本题考查导函数的几何意义，关键在于根据直线垂直的条件将问题转化为方程有解，再由根的判别式和余弦函数的值域得以解决.3若曲线的一条切线经过点(8，3)，则此切线的斜率为（ ）A B C或D或【答案】C【分析】设出曲线的切点，利用导数求出切线的斜率，求出切线方程，再把点(8，3)的坐标代入切

4、线方程中，解方程即可求出切线的斜率.【详解】由题意，可设切点坐标为(x0，)，由，得y，切线斜率k，由点斜式可得切线方程为y (xx0)，又切线过点(8，3)，所以3 (8x0)，整理得x0680，解得4或2，所以切线斜率k或.故选：C.【点睛】本题考查了已知曲线切线过定点求切线斜率问题，考查了导数的几何意义，考查了数学运算能力.1.1导数几何意义-根据切线求参数例：1若曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为（ ）ABC1D2【答案】A【分析】求导，进而得到，然后根据在点处的切线与直线平行求解.【详解】因为，所以，所以，因为在点处的切线与直线平行，所以，解得，故选：A2若直线与函数的图象相切

5、于点，则（ ）ABCD【答案】B【分析】由切线的斜率计算可得，再对等式变形，两边取对数，即可得答案.【详解】由可得由已知可得，即，可得，两边取自然对数可得，所以.故选：B【点睛】关键点睛：曲线在某点处的切线与过某点的切线是不一样的，要注意区别.由于点是公切点，所以也就等价于都是在某点处的切线.变式：1若曲线在点处的切线方程为，则的最小值为（ ）A-1BCD1【答案】C【分析】利用导数的几何意义求出函数在切点出的切线方程，进而得到，构造函数，利用导数求出函数的最小值即可得到答案.【详解】由，则切点为求导，则切线斜率，切线方程为，即则令，则，令，得当时，单调递减；当时，单调递增；故当时，函数取得最

6、小值，即的最小值为故选：C【点睛】方法点睛：本题主要考查了利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程，以及利用导数研究函数的单调性与极值，求切线常见考法：(1)已知切点求斜率k，即求该点处的导数值：(2)已知斜率k，求切点，即解方程.(3)若求过点的切线方程，可设切点为，由，求解即可2设曲线在点处的切线与直线垂直，则实数（ ）A1B2CD【答案】B【分析】求的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件，可得a的方程，即可求解.【详解】的导数为，所以，即切线斜率为1由切线与直线垂直，可得，解得，故选：B2.导数研究函数-单调区间：例：1已知函数，记，则（ ）ABCD【答案】D【分析】首先根据函数是

7、偶函数判断，然后比较得到，最后根据函数在上单调递增比较三个函数值的大小即可.【详解】因为，由对数的单调性可知：，所以，且，因为函数，所以函数为偶函数，从而，因为时，所以，则当时，所以在上单调递增；则当时，所以在上单调递增；因为，所以，即；故选：D.【点睛】对于对数的大小的比较，我们通常都是运用对数函数的单调性，但很多时候，因对数的底数或真数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较这就必须掌握一些特殊方法在进行对数的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据对数函数的单调性进行判断对于不同底而同真数的对数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确当底数与真数都不相同时，选

8、取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小当底数与真数都不同，中间量又不好找时，可采用作商比较法，即对两值作商，根据其值与1的大小关系，从而确定所比值的大小当然一般情况下，这两个值最好都是正数作差比较法是比较两个数值大小的最常用的方法，即对两值作差，看其值是正还是负，从而确定所比值的大小2函数的单调递增区间为（ ）ABCD，【答案】D【分析】先求解出的解析式，然后根据的取值正负判断出的单调递增区间.【详解】因为，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增；所以的单调递增区间为：和，故选：D.3已知函数，则不等式的解集为（ ）A

9、BCD【答案】A【分析】先判断函数的奇偶性与单调性，然后结合奇偶性和单调性解不等式【详解】，是偶函数，设，则，所以是增函数，时，即时，所以在上，是增函数又是偶函数，所以不等式化为，所以，解得或故选：A【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数的奇偶性与单调性解不等式在确定单调性需利用导数的知识，为了确定的正负，还需进行二次求导变式：1若，则（ ）ABCD【答案】A【分析】构造函数，利用导数判断其单调性，结合题意可得，进而得到，由此即可得解.【详解】依题意，令，则，所以函数在上单调递增；又，得，又，则，又函数在上单调递增，则，即，所以，选项A正确，B不正确；又无法确定与的关系，故CD不正确；故选：A.

10、【点睛】关键点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数是解决本题的关键.2函数的单调递减区间为（ ）ABCD【答案】D【分析】由可解得结果.【详解】由题意得，函数的定义域为，令，得，解得，故函数的单调递减区间为故选：D3已知函数，若，则a，b，c的大小关系为（ ）ABCD【答案】B【分析】求得函数的导数，根据导数的符号，得到在上单调递增，结合函数的单调性，即可比较，得到答案.【详解】由题意，函数，可得，当时，在上单调递增，因为，.所以，所以，即.故选：B.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用单调性比较函数值的大小，其中解答中熟练导数与函数的单调性间的关系是解答的关键，

11、着重考查推理与运算能力.2.1导数研究函数-根据单调性求参范围：例：1若函数定义域上单调递减，则实数的最小值为（ ）A0BC1D2【答案】C【分析】根据单调性可得在上恒成立，即，构造，求导数分析单调性求最大值即可得解.【详解】由函数定义域上单调递减，得在上恒成立，即，令，在上，单调递增；在上，单调递减；所以，所以.故选：C.2已知函数，对任意且，都有，则实数a的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【分析】先证明在上单调递减，然后利用，分离参数法，求出实数a的取值范围.【详解】对任意且，都有，若时，有，在上，单调递减.则有，可得4恒成立令则，在上，单减；在上，单增.，所以即实数a的取值范围是故选：

12、A.【点睛】函数单调性的判断方法：（1）定义法；（2）图像法；（3）等价转化法；（4）复合函数法；（5）导数法.3设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【分析】先求出的减区间，只需，解不等式求出a的范围.【详解】解：，当，即时，有，即在上函数是减函数，从而，即且，解得所以实数a的取值范围是故选：A.【点睛】函数的单调性与导数的关系：已知函数在某个区间内可导，（1）如果0，那么函数在这个区间内单调递增；如果0，那么函数在这个区间内单调递减；（2）函数在这个区间内单调递增，则有；函数在这个区间内单调递减，则有；变式：1函数是上的单调函数，则的范围是（ ）ABCD【答案

13、】D【分析】函数在上时单调函数，等价于导函数大于等于或小于等于恒成立，列不等式求出的范围即可【详解】函数是上的单调函数，即或(舍)在上恒成立，解得故选：D【点睛】本题考查导数解决函数的单调性问题，考查二次函数的性质，属于基础题2已知函数在上是减函数，则a的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【分析】求出的导函数，函数在(2,3)上是减函数，得导函数恒小于0，分离得，结合二次函数的性质求解函数的最小值，推出结果即可.【详解】解：由，得到，因为在上是减函数，所以在上恒成立，所以，所以，则a的取值范围是故选：B.【点睛】本题考查学生会利用导函数的正负判断函数的单调区间，灵活运用二次函数的性质解决实际问

14、题，是一道中档题.2.2导数研究函数-含参单调性讨论；例：1已知函数，.（1）讨论函数的单调性；【答案】（1）答案见解析；（2）.【分析】（1）求出函数的定义域为，求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间；（2）利用参变量分离法可得对任意的恒成立，构造函数，利用导数求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围.【详解】（1）函数的定义域为，且.当时，若，则；若，则.此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，令，可得（舍）或.若，则；若，则.此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，.（i）若，即当时，对任意的，此时，函数在上为增

15、函数；（ii）若，即当时，由可得或，且.由，可得或；由，可得.此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为、.综上所述，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为、；当时，函数在上为增函数；2已知函数（1）讨论函数的单调性；【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析【分析】（1）求导，分和，分别令，求解；（2）将不等式，转化为，令， 用导数法证明即可【详解】解：（1）由题意得的定义域是，当时，恒成立，在单调递增，当时，令，解得，令，解得：，在上单调递增，在上单调递减；综上：当时，在单调递增，当时，在上单调递增

16、，在上单调递减；变式：1.已知函数，其中.（1）讨论函数的单调性；【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）对参数进行分类讨论，根据导函数的正负判断函数的单调性；（2）由题意可得函数在上单调递增，进而求得，所以函数，再利用分析法得到问题等价于证明，构造函数，求导判断单调性证明的最小值大于等于0即可得证.【详解】（1），当时，故在上单调递增，当时，令，得，从而在上单调递减，在上单调递增.2已知函数.（1）讨论函数的单调性；【答案】（1）当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增.（2）证明见解析.【分析】（1）求导得，结合定义域对进行分类讨论可得结果；（2）由（

17、1）知当时有最大值为，所以若证，只需证，即证.令， ，转化为证明.【详解】（1）显然的定义域为，因为，所以，若，则当时，当时，故函数在上单调递增，在上单调递减；若，则当时恒成立，故函数在上单调递增.综上，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增.2.3导数研究函数-构造函数和同构异构：例：1已知定义在R上的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ）ABCD例：1D【分析】从所求解集的不等式入手，令，则原不等式等价转化为，从而构造函数，结合已知条件利用单调性即可求解.【详解】解：令，则，所以不等式等价转化为不等式，即构造函数，则，由题意，所以为R上的增函数，又，所以，所以

18、，解得，即，所以，故选：D.【点睛】关键点点睛：令，将原不等式等价转化为，从而构造函数.2定义在上的奇函数的图象连续不断，其导函数为，对任意正实数恒有，若，则不等式的解集是（ ）ABCD【答案】D【分析】由是定义在上的奇函数，得为奇函数，由，得为上的增函数，再由得，利用单调性可得答案.【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，所以当时，有，所以为奇函数，且对于正实数，有，即，所以，所以在是增函数，又因为为奇函数，所以为上的增函数，由得，所以，即，解得或，故选：D.【点睛】考查了函数的性质，解题的关键点是利用奇偶性、单调性解不等式，考查了学生分析问题、解决问题的能力及计算能力.3已知，则，的大小关系

19、是（ ）ABCD【答案】A【分析】根据三个数的形式，构造函数，利用导数判断函数的单调性，最后根据单调性进行比较大小即可.【详解】构造函数，当时，单调递增，所以，.故选：A变式：1设函数是奇函数（）的导函数，当时，且，则使得成立的的取值范围 （ ）ABCD【答案】A【分析】构造函数，求导并结合已知得到在上为递减函数，进一步推出时，时，据此可求出使得成立的的取值范围.【详解】令，则，所以在上为递减函数，所以当时，又，所以，当时，又，所以，所以当时，又所以时，因为为奇函数，所以时，所以或，或，或.故选：A【点睛】关键点点睛：构造函数，利用导数判断其单调性，根据单调性推出当时，当时，是解题关键.2设，

20、若存在正实数x，使得不等式成立，则的最大值为 （ ）ABCD【答案】A【分析】由题意可得，可令，则成立，由和互为反函数，可得图象关于直线对称，可得有解，通过取对数和构造函数法，求得导数，单调性和最值，即可得到的最大值【详解】不等式，所以，即为，即有，可令，则成立，由和互为反函数，可得图象关于直线对称，可得有解，则，即，可得，导数为，可得时，函数递减，时，函数递增，则时，取得最大值，可得即有，所以，可得，即的最大值为故选：A【点睛】关键点睛：解答本题有两个关键，其一，是得到有，想到令换元，则成立，；其二，通过转化得到有解，再利用导数解答.3定义在上的函数满足，则不等式的解集为（ ）ABCD【答案

21、】B【分析】构造函数，先判断其导函数的正负，来确定该函数的单调性，再化简不等式为，根据单调性解不等式即可.【详解】设，则，故在上单调递增，不等式，即，即，根据单调性知，即，得，即，故解集为.故选：B.【点睛】思路点睛:利用导数解不等式时，常常要构造新函数，新函数一方面与已知不等式有关，一方面与待求不等式有关，再结合导数判断单调性，利用单调性解不等式.4已知，不等式恒成立，则实数的最小值为（ ）ABC0D1【答案】A【分析】由函数的单调性化简不等式，然后分离参数转化为求函数的最值即可得【详解】设，显然是增函数，不等式变形为，即，所以所以，令，则，当时，单调递增，时，递减，所以，不等式恒成立，则即的最小值是故选：A【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题关键是引入函数，由函数的单调性化简不等式，新不等式再进行转化，转化为求函数的最值