专题02 数列-【大题精做】冲刺2023年高考数学大题突破 限时集训（新高考专用）（解析版）.docx

1、专题02 数列数列一般作为全国卷第17题或第18题或者是19题，主要考查数列对应的求和运算以及相应的性质考察题型一般为：1 错位相减求和 2 裂项相消求和 3 （并项）分组求和 4 数列插项问题 5 不良结构问题 6 数列与其他知识点交叉问题在新高考改革情况下，对于数列的思辨能力有进一步的加强，务必要重视题型一：数列错位错位相减求和1已知为首项的等比数列，且，成等差数列；又为首项的单调递增的等差数列，的前n项和为，且，成等比数列(1)分别求数列，的通项公式；(2)令，数列的前n项和为，求证：【答案】(1)，(2)证明见解析【分析】（1）由，成等差数列求出公比可得的通项公式，由，成等比数列求出公

2、差可得的通项公式；（2）利用错位相减可得可得答案.【详解】（1）设等比数列的公比为数列的公差为由题知：，即，即，解得，所以，又，即，即，解得（舍）或，所以；（2），由知：，即，1若等差数列的前n项和为，数列是等比数列，并且 ，.(1)求数列和的通项公式；(2)求数列的前n项和；(3)若，求数列的前n项和【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）设 的公差为d， 的公比为q，依题意有： ， ，解得 （舍）， ， ；（2）令 ， ， ， ，-得： ， ；（3） ， ；综上， ， .题型二：裂项相消求和1 已知数列的前项的积记为，且满足.(1)证明：数列为等差数列；(2)设，求数列的前项和.【答案】(

3、1)证明见解析(2)【详解】（1）当时，即，又当时，得，数列是以3为首项，2为公差的等差数列；（2）由（1）得，则，.1已知正项数列的前项和为，且.(1)证明：是等差数列.(2)设数列的前项和为，若满足不等式的正整数的个数为3，求的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）由可得，当时，两式相减可得，又由可得解得是以为首项，为公差的等差数列，（2）由（1）可得，所以，所以因为在内单调递增，所以，单调递增，因为，所以满足不等式的正整数的个数为3，的取值范围为题型三：（并项）分组求和 设是首项为1的等比数列，且满足成等差数列：数列各项均为正数，为其前n项和，且满足，则(1)求数列和的通

4、项公式；(2)记为数列的前n项的和，证明：；(3)任意，求数列的前项的和【答案】(1);.(2)证明见解析.(3).【详解】（1）因为是首项为1的等比数列，且满足成等差数列，设公比为q,，则，即，故，所以；数列各项均为正数，为其前n项和，且满足，当时，则，当时，两式相减得，即，因为，故，即数列为等差数列，故.（2）证明：由（1）知，则，故，故 ，所以，故，当时，当时，设，则，当时，时取等号，即，当时,随n的增大而减小，故的最大值为，综合可得.（3）任意，即，设数列的前项的和为 ，则， .注：数学归纳法证明：；证明：当时，等式左边，右边，等式成立；假设时，则时，即时，结论也成立，综合可得.1已知

5、数列满足,.(1)记,写出,并猜想数列的通项公式;(2)证明（1）中你的猜想;(3)若数列的前n项和为,求.【答案】(1),猜想(2)证明见解析(3)【详解】（1）由题知,因为,所以,综上:,猜想.（2）由题意,知,代入得,于是,即,因为,所以是以3为首项,2为公比的等比数列,故.（3）因为,.题型四：数列插项问题 1记数列an的前n项和为Sn，对任意正整数n，有2Snnan，且a23.(1)求数列an的通项公式；(2)对所有正整数m，若ak2mak1，则在ak和ak1两项中插入2m，由此得到一个新数列bn，求bn的前40项和.【答案】(1)(2)1809【详解】（1）由，则，两式相减得：，

6、整理得：，即时，所以时， ，又时，得，也满足上式.故.（2）由.所以，又，所以前40项中有34项来自.故.1已知数列的前n项和为，且(1)求证：是等比数列；(2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前n项和.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）当时，得，所以， 当时，所以，即，所以所以即数列是以为首项，公比为3的等比数列.（2）由（1）得，所以，由题意，即所以，所以设前项和为所以即 -得：所以.题型五 不良结构问题1已知数列是公差不为零的等差数列，且，成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前n项和为，在，；，；，这三个条件中任选一个，将序号补充在下

7、面横线处，并根据题意解决问题.问题：若，且_，求数列的前n项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.【答案】(1)(2)答案见解析【详解】（1）解：设等差数列的公差为d，因为，成等比数列，所以，解得或（舍去）.所以，.（2）解：选，由，当时，当时等式也成立，所以，则，所以，两式相减得，所以.选，由，当时，所以，所以数列为以1为首项2为公比的等比数列，所以，则，所以，两式相减得，所以.选，由，得，又，所以，所以是以2为首项，公比为2的等比数列，所以.当时，当时等式也成立，所以，则，所以，两式相减得，所以.1在，这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并进行解答已知等差数列的前n项和为

8、，_，_.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和；(3)若存在，使得成立，求实数的取值范围.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据题意列式求解，即可求通项公式；（2）利用裂项相消法求和；（3）根据题意可得存在，使得成立，根据存在性问题结合基本不等式运算求解.【详解】（1）若选：设等差数列的公差为，由题意可得，解得，故；若选：设等差数列的公差为，由题意可得，解得，故；若选：设等差数列的公差为，由题意可得，解得，故.（2）由（1）可得，故.（3），即，又，当且仅当，即时等号成立，即，故实数的取值范围.题型六 数列与其他知识点交叉问题

9、1为了让幼儿园大班的小朋友尝试以客体区分左手和右手，左肩和右肩，在游戏中提高细致观察和辨别能力，同时能大胆地表达自己的想法，体验与同伴游戏的快乐，某位教师设计了一个名为【肩手左右】的游戏，方案如下：游戏准备：选取甲、乙两位小朋友面朝同一方向并排坐下进行游戏教师站在两位小朋友面前出示游戏卡片游戏卡片为两张白色纸板，一张纸板正反两面都打印有相同的“左”字，另一张纸板正反两面打印有相同的“右”字游戏进行：一轮游戏（一轮游戏包含多次游戏直至决出胜者）开始后，教师站在参加游戏的甲、乙两位小朋友面前出示游戏卡片并大声报出出示的卡片上的“左”或者“右”字两位小朋友如果听到“左”的指令，或者看到教师出示写有“

10、左”字的卡片就应当将左手放至右肩上并大声喊出“停！”小朋友如果听到“右”的指令，或者看到教师出示写有“右”字的卡片就应当将右手放至左肩上并大声喊出“停！”最先完成指令动作的小朋友喊出“停！”时，两位小朋友都应当停止动作，教师根据两位小朋友的动作完成情况进行评分，至此游戏完成一次游戏评价：为了方便描述问题，约定：对于每次游戏，若甲小朋友正确完成了指令动作且乙小朋友未完成则甲得1分，乙得1分；若乙小朋友正确完成了指令动作且甲小朋友未完成则甲得1分，乙得1分；若甲，乙两位小朋友都正确完成或都未正确完成指令动作，则两位小朋友均得0分当两位小朋友中的一位比另外一位小朋友的分数多8分时，就停止本轮游戏，并

11、判定得分高的小朋友获胜现假设“甲小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为，乙小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为”，一次游戏中甲小朋友的得分记为X(1)求X的分布列；(2)若甲小朋友、乙小朋友在一轮游戏开始时都赋予4分，表示“甲小朋友的当前累计得分为i时，本轮游戏甲小朋友最终获胜”的概率，则，其中，假设，（i）证明：为等比数列；（ii）根据的值说明这种游戏方案是否能够充分验证“甲小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为0.5，乙小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的率为0.6”的假设【答案】(1)分布列见解析(2)（i）证明见解析（ii）这种游戏方案能够充分验证“甲小朋友能正确

12、完成一次游戏中的指令动作的概率为0.5，乙小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的率为0.6”的假设【详解】（1）由题意知所有可能的取值为，所有分布列为：01（2）（i）证明：因为，所以，因为，所以，整理得：，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列；（ii）由（i）知所以，累加求和得，所以，所以表示甲小朋友当前累计得分为分时，本轮游戏最终甲获胜的概率，由计算结果可以看出，假设一次游戏中甲小朋友完成指令动作的概率为0.5，乙小朋友完成一次游戏中的指令动作的概率为0.6，本轮游戏中甲小朋友获胜的概率，这种情况发生的概率比较小，能够说明这种游戏方案能够充分验证“甲小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的

13、概率为0.5，乙小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的率为0.6”的假设1已知函数，.(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；(2)设函数（，），若函数和都是奇函数，将满足条件的按从小到大的顺序组成一个数列，求的通项公式；(3)求实数与正整数，使得在内恰有147个零点.【答案】(1)非奇非偶函数，理由见解析(2)(3)当，或，【详解】（1），因为，所以是非奇非偶函数.（2）由和都是奇函数，则得进而得其中，.因为，所以，得，于是由，得满足条件的按从小到大的顺序组成的数列的通项公式为，为正整数.（3）.设，则，得，.当时，函数有一个零点（另一个零点，舍去），则在内有两个零点，；当时，函数有一个零点（另

14、一个零点，舍去），则在内有两个零点，；当时，函数有一个零点，另一个零点，则在和内分别有两个零点.由正弦函数的周期性，可知当且时，函数在内总有偶数个零点，从而不存在正整数满足题意.当时，函数有一个零点，另一个零点，则在内有三个零点；当时，函数有一个零点，另一个零点，则在内有三个零点.由正弦函数的周期性，以及，所以.综上可知，当，或，时，函数在内恰有147个零点.一、解答题1已知数列的前项之积为.(1)求数列的通项公式;(2)设公差不为0的等差数列中，_，求数列的前项和.请从； 这两个条件中选择一个条件，补充在上面的问题中并作答.注：如果选择多个条件分别作答，则按照第一个解答计分.【答案】(1)；

15、(2).【分析】（1）根据当时，计算并检验成立即可得答案；（2）根据等差数列基本计算得，进而，再分组求和即可.【详解】（1）解：当 时，当时，综上，；（2）解：若选，设等差数列的公差为，因为，所以，解得所以，所以，所以，所以，若选，设等差数列的公差为，因为，所以，又因为，所以，解得所以，所以，所以，所以，2已知数列的前项和为.(1)求及的通项公式；(2)若对任意的恒成立，求的最小值.【答案】(1)，(2)【详解】（1），时，时上式也符合，即，所以，时，时，上式也符合.所以，.（2）时，故所以对任意的均成立，由于，所以，故.3在数列中，(1)证明：数列是等比数列；(2)令，数列的前n项和为，求证

16、：【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【详解】（1）由，得，由，得，则，所以，得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列（2）由（1）得，则，所以，所以所以4已知正项等差数列和正项等比数列，为数列的前n项和，且满足(1)分别求数列和的通项公式；(2)将数列中与数列相同的项剔除后，按从小到大的顺序构成数列，记数列的前n项和为，求【答案】(1)，;(2)11302.因为所以，解得：，所以.设正项等比数列的公比为.因为所以，解得：，所以.（2）根据（1）的结论，所以数列的前8项依次为：2、4、8、16、3264、128、256，对应数列第1、2、4、8、16、32、64、128项，故数列的前100

17、项为数列的前107项，剔除数列的前7项的数列.设数列的前n项和为Bn，所以.5已知为首项的等比数列，且，成等差数列；又为首项的单调递增的等差数列，的前n项和为，且，成等比数列(1)分别求数列，的通项公式；(2)令，数列的前n项和为，求证：【答案】(1)，(2)证明见解析【详解】（1）设等比数列的公比为数列的公差为由题知：，即，即，解得，所以，又，即，即，解得（舍）或，所以；（2），由知：，即，6设数列的前项之积为，且满足(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；(2)记，证明：【答案】(1)证明见解析，；(2)证明见解析【详解】（1）方法一：当，得，当时，两式相除可得：即，又，故，变形为

18、：，因为，所以是以为首项，1为公差的等比数列所以化简可得法二：因为，所以即令，则，所以以3为首项，以2为公差的等差数列，所以，即，所以又因为满足上式，所以，所以，故，故数列是等差数列（2）因为，所以7设是首项为1的等比数列，且满足成等差数列：数列各项均为正数，为其前n项和，且满足，则(1)求数列和的通项公式；(2)记为数列的前n项的和，证明：；(3)任意，求数列的前项的和【答案】(1);.(2)证明见解析.(3).【详解】（1）因为是首项为1的等比数列，且满足成等差数列，设公比为q,，则，即，故，所以；数列各项均为正数，为其前n项和，且满足，当时，则，当时，两式相减得，即，因为，故，即数列为等

19、差数列，故.（2）证明：由（1）知，则，故，故 ，所以，故，当时，当时，设，则，当时，时取等号，即，当时,随n的增大而减小，故的最大值为，综合可得.（3）任意，即，设数列的前项的和为 ，则， .注：数学归纳法证明：；证明：当时，等式左边，右边，等式成立；假设时，则时，即时，结论也成立，综合可得.一、解答题1（2022全国统考高考真题）记为数列的前n项和已知(1)证明：是等差数列；(2)若成等比数列，求的最小值【答案】(1)证明见解析；(2)【详解】（1）因为，即，当时，得，即，即，所以，且，所以是以为公差的等差数列（2）方法一：二次函数的性质由（1）可得，又，成等比数列，所以，即，解得，所以，

20、所以，所以，当或时，方法二：【最优解】邻项变号法由（1）可得，又，成等比数列，所以，即，解得，所以，即有.则当或时，2（2022全国统考高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列(1)求的通项公式；(2)证明：【答案】(1)(2)见解析【详解】（1），,又是公差为的等差数列，,当时，,整理得：,即,，显然对于也成立，的通项公式；（2） 3（2022全国统考高考真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且(1)证明：；(2)求集合中元素个数【答案】(1)证明见解析；(2)【详解】（1）设数列的公差为，所以，即可解得，所以原命题得证（2）由（1）知，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的

21、解，故集合中的元素个数为4（2022北京统考高考真题）已知为有穷整数数列给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列(1)判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；(2)若为连续可表数列，求证：k的最小值为4；(3)若为连续可表数列，且，求证：【答案】(1)是连续可表数列；不是连续可表数列(2)证明见解析3)证明见解析【分析】（1）直接利用定义验证即可；（2）先考虑不符合，再列举一个合题即可；（3）时，根据和的个数易得显然不行，再讨论时，由可知里面必然有负数，再确定负数只能是，然后分类讨论验证不行即可（1），所以是连续可表数列；易知，不存在使得，所以不是连续可表

22、数列（2）若,设为,则至多，6个数字，没有个，矛盾；当时,数列，满足， （3），若最多有种，若，最多有种，所以最多有种，若，则至多可表个数，矛盾,从而若,则，至多可表个数，而，所以其中有负的，从而可表120及那个负数（恰 21个），这表明中仅一个负的，没有0，且这个负的在中绝对值最小，同时中没有两数相同,设那个负数为 ，则所有数之和，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足个， （仅一种方式），与2相邻，若不在两端,则形式，若，则（有2种结果相同，方式矛盾）， 同理 ，故在一端，不妨为形式，若,则 （有2种结果相同，矛盾），同理不行，则 （有2种结果相同，矛盾），从而，由于,由表法唯一知3,4

23、不相邻,、故只能，或，这2种情形，对：，矛盾，对：，也矛盾，综上，当时，数列满足题意，5（2022天津统考高考真题）设是等差数列，是等比数列，且(1)求与的通项公式；(2)设的前n项和为，求证：；(3)求【答案】(1)(2)证明见解析(3)【详解】（1）设公差为d，公比为，则，由可得（舍去），所以；（2）证明：因为所以要证，即证，即证，即证，而显然成立，所以；（3）因为，所以，设所以，则，作差得，所以，所以.6（2022浙江统考高考真题）已知等差数列的首项，公差记的前n项和为(1)若，求；(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以，所以

24、，又，所以，所以，所以，（2）因为，成等比数列，所以，由已知方程的判别式大于等于0，所以，所以对于任意的恒成立，所以对于任意的恒成立，当时，当时，由，可得当时，又所以7（2021全国统考高考真题）已知数列满足，（1）记，写出，并求数列的通项公式；（2）求的前20项和.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列的特征，然后求和其通项公式即可；(2)方法二：分组求和，结合等差数列前项和公式即可求得数列的前20项和.【详解】解：（1）方法一【最优解】：显然为偶数，则，所以，即，且，所以是以2为首项，3为公差的等差数列，于是方法二：奇偶分类讨论由题意知，所以由（为奇数）

25、及（为偶数）可知，数列从第一项起，若为奇数，则其后一项减去该项的差为1，若为偶数，则其后一项减去该项的差为2所以，则方法三：累加法由题意知数列满足所以，则所以，数列的通项公式（2）方法一：奇偶分类讨论方法二：分组求和由题意知数列满足，所以所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列从而数列的前20项和为：8（2020山东统考高考真题）已知公比大于的等比数列满足（1）求的通项公式；（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为的形式，求解出，由此求得数列的通项公式.（

26、2）方法一：通过分析数列的规律，由此求得数列的前项和.【详解】（1）由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，依题意有，解得解得，或(舍)，所以，所以数列的通项公式为.（2）方法一：规律探索由于，所以对应的区间为，则；对应的区间分别为，则，即有2个1；对应的区间分别为，则，即有个2；对应的区间分别为，则，即有个3；对应的区间分别为，则，即有个4；对应的区间分别为，则，即有个5；对应的区间分别为，则，即有37个6所以方法二【最优解】：由题意，即，当时，当时，则方法三：由题意知，因此，当时，；时，；时，；时，；时，；时，；时，所以所以数列的前100项和9（2020海南高考真题）已知公比大于的等比数列满足（1）求的通项公式；（2）求.【答案】（1）；（2）【分析】(1)由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式；(2)首先求得数列的通项公式，然后结合等比数列前n项和公式求解其前n项和即可.【详解】(1) 设等比数列的公比为q(q1)，则，整理可得：，数列的通项公式为：.(2)由于：，故：.