专题02 正比例函数与反比例函数全章复习攻略（9大考点）与难点强化训练（解析版）.docx

1、专题02 正比例函数与反比例函数全章复习攻略（9大考点）与难点强化训练考点一：函数的概念（1）在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量； （2）在某个变化过程中有两个变量，设为和，如果在变量允许的取值范围内，变量随着变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量叫做变量的函数，叫做自变量函数用记号表示，表示时的函数值； （3）表示两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式考点二：函数的定义域和函数值（1）函数自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域（2）函数自变量取遍定义中的所有值，对应的函数值的全体叫做这个函数的值域考点三：正比例函数的概念(1)如果两个变

2、量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量、成正比例，就是，或表示为（不等于0），是不等于零的常数(2)解析式形如（是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数叫做比例系数正比例函数的定义域是一切实数确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式考点四：正比例函数的图象 (1)一般地，正比例函数(是常数, )的图象是经过，这两点的一条直线，我们把正比例函数的图象叫做直线；(2)图像画法：列表、描点、连线考点五：正比例函数的性质 (1)当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值也随着逐渐增大(2)当时

3、，正比例函数的图像经过第二、四象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值则随着逐渐减小考点六：反比例函数的概念1、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，我们就说这两个变量成反比例用数学式子表示两个变量、成反比例，就是，或表示为，其中是不等于0的常数2、解析式形如（是常数，）的函数叫做反比例函数，其中叫做比例系数3、 反比例函数的定义域是不等于零的一切实数考点七：反比例函数的图像1、 反比例函数（是常数，）的图像叫做双曲线，它有两支考点八：反比例函数的性质1、当时，函数图像的两支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐减小2、当时，函数图像的两支分别在第二

4、、四象限；在每个象限内，当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐增大3、图像的两支都无限接近于轴和轴，但不会与轴和轴相交考点九：函数的表示法1解析法：用等式来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法，这个等式称为函数的解析式（或函数关系式）简单明了，能从解析式了解函数与自变量之间的关系，便于理论上的分析与研究，但求对应值时需要逐个计算，且有的函数无法用解析式表示2.列表法：用表格形式来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法；从表格中直接找到自变量对应的函数值，查找方便，但无法将自变量与函数值的全部对应值都列出来，且难以看出规律3.图像法：用图像来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法；函

5、数与自变量的对应关系、函数的变化情况及趋势能够很直观地显示出来，但从图像上找自变量与函数的对应值一般只能是近似的，且只能反映出变量间关系的一部分而不是全体4.三种表示法的相互联系与转化：由函数的解析式画函数的图像，一般分为“列表、描点、连线”三个步骤，通常称作描点作图法；同样，函数图像中点的坐标或表格中自变量与函数的对应值，也是函数解析式所表示的方程的一个解题型一：反比例函数和几何图形的综合1.正方形OAPB、ADFE的顶点A、D、B在坐标轴上，点E在AP上，点P、F在函数的图像上，已知正方形OAPB的面积是16（1） 求k的值和直线OP的函数解析式；（2） 求正方形ADEF的边长yABPFO

6、xED【答案】（1），；（2）【解析】（1）由，且四边形为正方形，则有，即可得，即，根据反比例函数的几何意义，可得：，设直线函数解析式为，则有，解得：，即可得直线的函数解析式为； （2）设正方形ADEF边长为，则，因为在双曲线上，根据反比例函数的几何意义，则有，解得：（负舍），即得正方形ADEF边长为【总结】考查反比例函数几何意义的应用2.如图，已知正方形OABC的面积是9，点O为坐原点，A在x轴上，C在y轴上，B在函数的图像上，点P（m，n）在的图像上异于B的任意一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别是E、F设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积是S（1） 求点B的坐标；（2）

7、 当时，求点P的坐标；（3） 写出S关于m的函数解析式ABCPEFyOx【答案】（1）；（2）或； （3）【解析】（1）因为，且四边形为正方形，则有，即得：， 所以点B坐标为；（2） 由（1）易得，则反比例函数的解析式为：因为矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积是S，且，设，当点P位于点B下方时，有，解得：，此时P点坐标为：；当点P位于点B上方时，有，解得：，此时P点坐标为：，综上，P点的坐标为或；（3） 用割补法求面积，即可得以下分类讨论： 当时，； 当时，点P（m，n）在双曲线上，即可得：， 则有； 综上所述，【总结】考查反比例函数几何意义的应用，注意求面积时候用割补法进行分类讨论

8、题型二：正反比例函数综合1.如图，直线l和双曲线交于A、B两，P是线段AB上的点（不与A、 B重合），过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别是C、D、E，连接OA、OB、OP， 设AOC面积是，BOD面积是，POE面积是，试比较的大小 关系FABCDEPxyOL【答案】【解析】设线段PE与双曲线相交于点F，连接OF因为点A、F、B均在双曲线上，所以根据反比例函数图像的面积不变性， 可得，又易知，所以【总结】考查反比例函数的几何意义，本题中要特别注意的大小判定2.已知：关于x的一元二次方程的两根满足，双曲线经过RtOAB斜边OB的中点D，与直角边AB交于点C，求ABCDOxy【答案】【解析】由

9、，可得：或 当时，对方程，则有，得， 则双曲线解析式为，设，则有， 由此可得；当时，对方程，则有，得，此时方程无解，不满足题意 综上所述，【总结】考查平面直角坐标系中的图形面积计算，注意把点坐标转化为相应的线段长度，用割补法进行图形面积计算3.已知：在矩形AOBC中，OB=4，OA=3，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系F是边BC上的一个动点（不与B，C重合），过F点的反比例函数的图像与AC边交于点E（1）求出满足题意的k的取值范围；（2）记，求S关于k的函数解析式；（3）是否存在这样的实数k，使OEF和ECF面积相等？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由

10、xABCOyEF【答案】（1）；（2）；（3）不存在【解析】（1）因为反比例函数上一点F是BC上一动点，又，可得：， 即得；（2） 由点E、F在反比例函数图像上，得：， 又，则，由此可得：，由此可得： ；（3） 若，则有，解得：， 不在题目相应取值范围之内，即不存在这样的实数【总结】考查与反比例函数相关联的图像面积问题，根据点在函数图像上进行求解4.如图，已知直线与双曲线交于A、B两点，且点A的横坐标是4，过原点O的另一条直线L交双曲线于P、Q两点（点P在第一象限），若由点A、B、P、Q为顶点组成的四边形的面积是24，求点P的坐标ABOxy【答案】或【解析】因为点A在直线上，令， 则有，得，则

11、，设点，根据反比例函数与正比例函数两交点关于原点对称，易得四边形为平行四边形，则有，即可得以下分类讨论：时，解得：（舍），即得；当时，解得：（舍），即得综上所述，点P的坐标为或【总结】考查正比例函数和反比例函数两交点关于原点中心对称，利用类似【例26】求面积的方法即可把所求面积表示出来再进行解题计算题型三：函数的表示法1.小强利用星期日参加了一次社会实践活动，他从果农处以每千克3元的价格购进若干千克草莓到市场上销售，在销售了10千克时，销售收入是50元，余下的他每千克降价1元出售，全部售完，两次共销售收入70元，已知在降价前销售收入y（元）与销售重量x（千克）之间成正比例关系请你根据以上的信息

12、解答下列问题：（1） 求降价前销售收入y（元）与售出草莓重量x（千克）之间的函数关系式；（2） 小强共批发购进多少千克的草莓；（3） 小强决定将这次卖草莓赚的钱全部捐给汶川地震灾区，那么小强共捐款多少元?【答案】（1）；（2）15千克；（3）25元【解析】（1）售出草莓重量x与销售收入y成正比，可设，依题意可得，解得：，即得；（2） 由（1）可知降价前草莓销售单价为5元/千克，则降价后单价为5-1=4，由此可得购进草莓总量为10+（70-50）4=15千克；（3）小强销售总利润为70-153=25元，即捐款总额为25元【总结】考查函数的分段，对销售问题的理解应用2.某市全面推行农村合作医疗，农

13、民每年每人只拿出10元就可以享受合作医疗：住院费（元）报销费（%）不超过3000元部分1530004000254000500030500010000351000002000040超过2000045设报销的费用是y元（1） 求住院费不超过3000元时，报销费y与住院费x元之间的关系；（2） 求住院费不超过4000时，报销费y与住院费x之间的关系；（3） 某人住院费报销了805元，求花费的总费用【答案】（1）；（2）；（3）4350元【解析】（1）住院费不超过3000元，报销费用y与住院费x成正比，则有；（2） 住院费不超过4000元，需根据费用是否超过3000元进行分类讨论，即：当时，；当时，；

14、（3） 由（2）可知费用不超过4000元时，最高报销费用为元，由表格知费用不超过5000元时，最高报销费用为元，现报销费用为805元，在700与1000之间，可知住院费用在4000与5000之间，令，解得：，即住院费用为4350元【总结】考查分段函数的应用，注意是整体讨论还是分段进行讨论，是否进行分段计算3.如图，在甲、乙两同学进行400米跑步比赛中，路程s（米）与时间t（秒）之间的函数关系的图像分别为折线OAB和线段OC，请根据图上信息回答下列问题：（1）_先到达终点；（2）第_秒时，_追上_；（3）比赛全程中，_的速度始终保持不变；（4）写出优胜者在比赛过程中所跑的路程s（米）与时间t（秒

15、）之间的函数关系式_s（米）t（秒）400300200100O405055ABC甲乙352510【答案】（1）乙；（2）40，乙，甲；（3）乙； （4）【解析】（1）根据图像可知，线段表示先到达终点，即乙先到达终点；（2） 两人相遇，即两者距离为0，由图像可知在时两人相遇，甲在前，即乙追上甲；（3） 乙的图像为一条直线，表示速度不变；（4） 乙为优胜者，函数图像为正比例函数，可设函数解析式为，时乙到达终点，即函数过点，则有，解得：，即相应函数解析式为【总结】考查根据函数图像判断运动情况，函数图像倾斜程度表示速度大小4.如图，在长方形ABCD中，以对角线AC与BD的交点O为原点，建立直角坐标系，

16、使x轴和y轴分别与两组对边平行，已知长方形的长为25，宽为16，分别求直线AC和BD所对应的函数解析式【答案】，【解析】根据矩形的性质可知、两点关于轴对称，、两点关于轴对称，矩形长为25，宽为16，可得，、为正比例函数，可分别设、解析式为，则有，解得：，即得相应函数解析式【总结】考查根据正比例函数上的点确定相应正比例函数解析式，结合矩形性质的应用5.已知RtABC中，C=90，AC=BC=8cm，矩形MNPQ的长和宽分别为9cm和2cm，点P和点A重合，NP和AC在同一条直线上（如图所示），RtABC不动，矩形MNPQ沿射线NP以每秒1cm的速度向右移动，设移动x（0 x 9）s后，矩形MNP

17、Q与ABC重叠部分的面积为y cm2，求y与x之间的函数关系式 【答案】【解析】运动过程中，重叠部分图形的形状在发生改变，重叠部分面积也随之而变化，由此可知题目需进行以下分类讨论：当时，重叠部分为等腰直角三角形，腰长为，得：；当时，重叠部分为直角梯形，梯形高即为矩形宽为，梯形下底长为，上底长为，得：；当时，重叠部分为直角梯形，梯形高即为矩形宽为，梯形下底长即为等腰直角三角形腰长保持不变，则上底长为，得保持不变【总结】考查图形叠加性质的综合应用，注意叠加图形的形状和长度与相关变量的表示一选择题（共6小题）1（2023秋金山区校级月考）下列函数中，自变量的取值范围是的是ABCD【分析】分式有意义，

18、分母不等于0；二次根式有意义：被开方数是非负数就可以求出的范围【解答】解：、分式有意义，解得：，故选项错误；、二次根式有意义，解得，故选项错误；、函数式为整式，是任意实数，故选项错误；、二次根式有意义，解得，故选项正确故选：【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负2（2023秋静安区校级期中）如果关于的函数是正比例函数，那么的取值范围是ABC一切实数D不能确定【分析】根据正比例函数的定义，列出方程求解即可【解答】

19、解：函数是正比例函数，取全体实数，故选：【点评】本题考查了正比例函数的定义，掌握正比例函数的定义：形如的形式，叫正比例函数3（2023秋黄浦区期中）下列各图象中，表示函数的大致图象是ABCD【分析】由于正比例函数的图象是一条经过原点的直线，由此即可确定选择项【解答】解：，函数的值随自变量的增大而增大，且函数为正比例函数，故选：【点评】本题考查了正比例函数的图象，正确地理解题意是解题的关键4（2023秋普陀区校级期中）函数和，且的图象大致是ABCD【分析】首先根据且，可得，再根据正比例函数的性质可得的图象在第一三象限，根据反比例函数的性质可得的图象在第二四象限，进而可选出答案【解答】解：且，的图

20、象在第一三象限，的图象在第二四象限，故选：【点评】此题主要考查了正比例函数与反比例函数的性质，关键是熟练掌握两个函数的性质5（2023秋崇明区期中）若点，在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是ABCD【分析】直接把各点代入反比例函数的解析式，求出，的值，再比较出其大小即可【解答】解：点，都在反比例函数的图象上，故选：【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键6（2023秋崇明区期中）关于反比例函数，下列结论错误的是A图象位于二四象限B随的增大而增大C图象关于原点对称D点在这个函数图象上【分析】依据反比例函数的性质以及

21、图象进行判断，即可求解【解答】解：、，故图象在第二、四象限内，故选项不符合题意；、，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大，故选项符合题意；、图象关于原点对称，故选项不符合题意；、，故点在这个函数图象上，故选项不符合题意故选：【点评】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大二填空题（共12小题）7（2023秋普陀区校级期中）函数中的自变量的取值范围是 【分析】根据二次根式有意义的条件就是被开方数大于或等于0，分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得，解不等式即可【解答】解：根据题意得：，解得：；故答案

22、为【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数8（2023秋杨浦区期中）在直角坐标平面内，函数的图象在同一个象限内经过、两点，且过点作轴垂线，垂足为点，联结、，若，则点的坐标是 或【分析】首先求出反比例函数的表达式为，设点的坐标为，过点作于点，则，由得，由此解出即可得点的坐标【解答】解：函数的图象经过，该函数的表达式为：，点在反比例函数的图象上，设点的坐标为，轴于点，则，过点作于点，如图所示：点，由，解得：，由，解得：，当时，点的坐标为，当时，点的

23、坐标为综上所述：点的坐标为或故答案为：或【点评】此题主要考查了反比例函数的图象，熟练掌握待定系数法求反比例函数的表达式，利用点的坐标表示出相关线段的长度，根据三角形的面积列出方程是解决问题的关键9（2023秋崇明区期中）如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点，点是正比例函数图象上的一点，过点作轴的垂线，垂足为，交反比例函数的图象于点，过点作轴的垂线，垂足为，交正比例函数的图于点当点的纵坐标为9时，则的面积是 【分析】先求出正比例函数的表达式为，反比例函数的表达式为，再求出点，点，点，则，过点作于，则，进而由三角形的面积公式可求出的面积【解答】解：正比例函数的图象与反比例函数的图象

24、都经过点，解得：，正比例函数的表达式为，反比例函数的表达式为，点为正比例函数为图象上一点，且纵坐标为9，解得：，即点，轴交反比例函数图象于点，点的纵坐标为9，解得，即点，轴交正比例函数的图象于点，点的横坐标为，解得，点，过点作于，如图所示：点，则，故答案为：【点评】此题主要考查了正比例函数与反比例函数的交点，三角形的面积，熟练掌握待定系数法求函数的解析式，准确地用点的坐标表示出相关线段是解决问题的关键10（2023秋黄浦区校级期中）函数的定义域为 且【分析】要保证函数有意义，则分母不为0且被开方数大于等于0，列不等式组即可求解【解答】解：根据题意得：，由得，由得，不等式组的解集为且，故答案为且

25、【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负11（2023秋松江区期中）如果函数是正比例函数，且的值随的值的增大而增大，那么的值 2【分析】根据题意得不等式，于是得到结论【解答】解：函数是正比例函数，且的值随的值的增大而增大，且，故答案为：2【点评】本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数中，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小是解答此题的关键12（2023秋黄浦区期中）已知是的正比例函数，且当时，；那么关于的函数解析式为 【

26、分析】设，然后把已知的一组对应值代入求出即可【解答】解：设，把，代入得，解得，所以与的函数关系式为故答案为：【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式：求正比例函数，则需要一组，的值13（2023秋长宁区校级期中）如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么的取值范围是 【分析】由反比例函数的图象位于第二、四象限，得出，即可得出结果【解答】解：反比例函数的图象位于第二、四象限，故答案为：【点评】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键14（2023秋松江区期中）已知函数，则1【分析】根据定义，直接代入计算求值即可【解答】解：，故答案为：1【点评】本题考查函

27、数值，解题的关键是理解题意，正确计算15（2023秋长宁区校级期中）点是反比例函数图象上一点，联结，并将线段绕点旋转，此时点的对应点恰也落在这个反比例函数图象上，已知点的横坐标为4，那么的值为 【分析】过点作轴于，作于，设，则，通过证得，得到，代入，即可求得的值【解答】解：过点作轴于，作于，设，则，将线段绕点旋转，此时点的对应点恰也落在这个反比例函数图象上，在和中，落在这个反比例函数的图象上，解得或（舍去），故答案为：【点评】本题考查了反比例图象上点的坐标特征，坐标与图形变化旋转，三角形全等的判定和性质，求得，是解题的关键16（2023秋静安区校级期中）已知反比例函数的图象经过点，则当时，自变

28、量的取值范围【分析】根据反比例函数的图象经过点，可以求得的值，从而可以得到该函数图象在第几象限，从而可以得到相应的不等式，从而可以得到的取值范围【解答】解：反比例函数的图象经过点，得，该函数图象在第二、四象限，当时，；当时，；当时，则，解得，故答案为：【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答17（2023秋静安区校级期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点，其横坐标分别为1和5，则关于的不等式的解集是或【分析】根据，则反比例函数大于一次函数，进而结合图象得出答案【解答】解：如图所示：关于的不等式的解集是：或故答案

29、为：或【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，正确数形结合是解题关键18（2023秋普陀区校级期中）如图，点是双曲线在第一象限上的一动点，连接并延长交另一分支于点，以为斜边作等腰，点在第二象限，随着点的运动，点的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为【分析】连接，作轴于，轴于，设点坐标为，利用反比例函数的性质得到点与点关于原点对称，则，再根据等腰直角三角形的性质得，然后利用等角的余角相等可得到，则根据“”可判断，所以，于是点坐标为，最后根据反比例函数图象上点的坐标特征确定点所在的函数图象解析式【解答】解：连接，作轴于，轴于，如图，设点坐标为，点、点是正比例函

30、数图象与双曲线的交点，点与点关于原点对称，为等腰直角三角形，在和中，点坐标为，点在反比例函数图象上故答案为【点评】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质；熟练运用三角形全等的判定与性质解决线段相等的问题三解答题（共9小题）19（2023秋静安区校级期中）已知，其中与成正比例，与成反比例，并且当时，当时，求与之间的函数关系式【分析】首先设，进而可得，然后再把时，当时代入可得关于、的方程组，解出、的值，可得函数关系式【解答】解：与成正比例，与成反比例，当时，当时，解得：，与之间的函数关系式为【点评】此题主要考查了待定系数法求函数关系式，关键是掌握正比例

31、函数和反比例函数的函数关系式的形式20（2023秋崇明区期中）如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象经过点，点为轴正半轴上一点，过点作轴，交反比例函数的图象于点，交正比例函数的图象于点，且（1）求、的值；（2）联结，求的面积；（3）为射线上一点，若的面积为9，求点的坐标【分析】（1）将代入可求出的值，进而得点，再将点代入可求出的值；（2）过点作于，先求出，点，进而得，然后利用三角形的面积公式可求出的面积；（3）过点作交的延长线于，如图2所示由（2）可知，根据的面积为9求出，进而得点的横坐标为8，再将代入正比例函数求出即可得点的坐标【解答】解：（1）反比例函数的图象经过点，解得：，点，又正

32、比例函数的图象经过点，解得：，；（2）过点作于，如图1所示：由（1）可知：正比例函数的表达式为：，点在正比例函数的图象上，且轴，点的纵坐标为6，对于，当时，得，解得：，点的坐标为，点的横坐标为4，点在反比例函数的图象上，对于，当时，点的坐标为，；（3）过点作交的延长线于，如图2所示：由（2）可知：，的面积为9，即，解得：，点的横坐标为8，点为射线上一点，对于，当时，点的坐标为另一方面，当点在坐标原点时，的面积为9，故得点的坐标为或【点评】此题主要考查了正比例函数与反比例函数的交点，三角形的面积，熟练掌握待定系数法求函数的解析式，准确地用点的坐标表示出相关线段是解决问题的关键21（2023秋静安

33、区校级期中）如图，已知正方形的面积为9，点为坐标原点，点在轴上，点在轴上，点在函数图象上，点是函数图象上异于点的任意一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为点、设矩形和正方形不重合部分的面积为（1）点的坐标是 ，；（2）当，求点的坐标；（3）求出关于的函数关系式【分析】（1）根据反比例函数中正方形的面积与反比例系数的关系，即可求得反比例函数解析式，进而求得的坐标；（2）分两种情形，用坐标表示出不重合的四边形的边长，进而表示出面积，求解即可；（3）分两种情形求解即可：当点在点的左侧时；当点在点或的右侧时【解答】解：（1）正方形的面积为9，又点在函数的图象上，故答案为：，9（2）分两种情况：当点在

34、点的左侧时，在函数上，则，；当点在点或的右侧时，在函数上，（3）当时，当，时，的纵坐标是，由题意【点评】本题主要考查了反比例函数的系数与矩形的面积的关系，把线段的长的问题转化为点的坐标问题是解决本题的关键22（2023秋普陀区校级期中）如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象经过点，点为轴正半轴上一点，过点作轴，交反比例函数的图象于点，交正比例函数的图象于点（1）求、的值；（2）联结，如果，求的面积【分析】（1）把点代入反比例函数关系式可求出的值，确定点的坐标，进而求出正比例函数的关系式；（2）根据，求出点的横坐标，求出，代入求出，根据三角形的面积公式进行计算即可【解答】解：（1）把点代入

35、反比例函数得，解得，点，代入得，；（2）当时，代入得，当代入得，即，【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点，函数图象上点的坐标特征，三角形面积，求得交点的坐标是解题的关键23（2023秋浦东新区期中）若正比例函数的图象经过点；（1）求出这个函数的解析式；并画出它的图象；（2）点的坐标为，上述正比例函数图象上有一动点，若点在第二象限内，且设的面积为，当的值为2时，求出点的坐标【分析】（1）将代入，可求得，则这个函数的解析式为，再画出它的图象即可；（2）设，作轴于，轴于点，则，当点在线段的延长线上时，则，当点在线段上时，则，所以或，则或，所以点的坐标为或【解答】解：（1）直线经过点，解得，这个

36、函数的解析式为，它的图象如图所示（2）设，作轴于，轴于点，则，点在第二象限，当点在线段的延长线上时，则，当点在线段上时，则，或，解得或，点的坐标为或【点评】此题重点考查正比例函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地用代数式表示的面积是解题的关键24（2023秋长宁区校级期中）如图，在中，直角顶点在轴正半轴上，反比例函数的图象分别与边、边交于点、（1）如果点的坐标为，且，求的值及点的坐标；（2）联结，如果，求的值【分析】（1）作轴于，利用待定系数法即可求得的值，设，则，由，得到，即，解得，从而求得；（2）连接，作轴于，根据反比例函数系数的几

37、何意义，由可知，证得，根据三角形相似的性质得出，即可求得，得到【解答】解：（1）作轴于，点、在反比例函数的图象上，反比例函数为，设，则，即，解得或（舍去），；（2）连接，作轴于，的值为【点评】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质，三角形的面积，熟知相似三角形的性质是解题的关键25（2023秋杨浦区期中）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数上的图象上，将点先向右平移1个单位长度，再向下平移个单位长度后得到，点恰好落在反比例函数的图象上（1）求点、的坐标（2）联结并延长，交反比例函数的图象于点，求【分析】（1）利用反比例函数解析式求得的坐标，

38、进而得到，代入反比例函数的解析式即可求得，从而得出（2）作轴，交于，求得直线为，根据反比例函数的中心对称性求得的坐标，进而求得的坐标，然后根据求得即可【解答】解：（1）点在反比例函数的图象上，点先向右平移1个单位长度，再向下平移个单位长度后得到，则，点恰好落在反比例函数的图象上，解得，；（2）作轴，交于，直线为，把代入得，【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，三角形的面积，求得点的坐标是解题的关键26（2023秋普陀区期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点（1）求这个反比例函数的解析式；（2）点在这个反比例函数位于第一象限的图象上，

39、过点作轴，垂足为点如果，求点的坐标【分析】（1）将点坐标代入解析式可求和的值，即可求解；（2）由锐角三角函数可求，代入解析式可求解【解答】解：（1）正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，点，反比例函数的解析式为；（2）如图，过点作轴于，点，点在这个反比例函数位于第一象限的图象上，点坐标为【点评】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，锐角三角函数，反比例函数的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键27（2023秋杨浦区期中）如图，已知直线与双曲线交第一象限于点（1）求点的坐标和反比例函数的解析式；（2）将点绕点逆时针旋转至点，求直线的函数解析式；（3）在（2）的条件下，若点是射

40、线上的一个动点，过点作轴的平行线，交双曲线的图象于点，交轴于点，且，求点的坐标【分析】（1）联立直线与双曲线的解析式，可得出点的横坐标，再将点的坐标代入直线表达式即可求得的值；（2）根据题意，找出点的位置，过点作轴于点，过点作于点，可证，由此可得点的坐标，由待定系数法求可求出直线的解析式；（3）根据题意作出图形，由面积比可得，设点的横坐标为，由此表达点，的坐标，进而可得和的长度，得出关于的方程，解之即可【解答】解：（1）点在直线，点在第一象限，且点的纵坐标为4，将点代入直线，；（2）根据题意，找出点的位置，过点作轴于点，过点作于点，如图：，由旋转可知，直线的解析式为：；（3）如图，即；即，设点的横坐标为，由（1）可知抛物线的解析式为：，解得或（负值舍去）；点的坐标为，或，【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的综合题，涉及到全等三角形的判定与性质，三角形的面积、旋转的性质等知识，（2）证得三角形全等是解题关键，（3）中面积转化为线段的比值是解题关键