专题03 一元一次方程（原卷版）.docx

1、专题03 一元一次方程核心考点聚焦1、能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型；2、能解一元一次方程；3、通过用方程表述数量关系的过程，体会模型的思想，建立符号意识；4、在运用数学表述和解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的价值。一、一元一次方程的概念1.方程：含有未知数的等式叫做方程2.一元一次方程：只含有一个 ，未知数的次数都是 ，这样的方程叫做一元一次方程注：判断是否为一元一次方程，应看是否满足：只含有一个未知数，未知数的次数为1；未知数所在的式子是 ，即分母中不含未知数3.方程的解：使方程的左、右两边 的未知数的值叫做这

2、个方程的解4.解方程：求方程的 叫做解方程二、等式的性质与去括号法则1.等式的性质：等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个 的数，结果仍相等2.合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持 3.去括号法则：（1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号 （2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号 三、一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的 (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去

3、 (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边(4)合并：逆用 律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为axb(a0)的形式(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a0)(6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解四、用一元一次方程解决实际问题的常见类型1.行程问题：路程速度时间 2.和差倍分问题：增长量原有量增长率 3.利润问题：商品利润商品 商品 4.工程问题：工作量工作效率工作时间，各部分劳动量之和总量5.银行存贷款问题：本息和本金+利息，利息本金 期数 6.数字问题：多位数的表

4、示方法：例如：.考点剖析例1：把等式变形为是根据（）A等式左右两端都加上B在等式左右两端都加上C在等式左右两端都加上D在等式左右两端都加上变式1-1：若是方程的解，则代数式的值是 变式1-2：已知： (1)求的值(结果用化简后含 a、b的式子表示)；(2)在(1) 的条件下， 若是方程 的解，求a的值；(3)若的值与a的取值无关， 求b的值例2：已知与互为相反数，则m的取值是（）A6B7C8D9变式2-1：已知方程与的解相同，则k的值为 变式2-2：解下列方程：(1)；(2)例3：解方程时，去分母正确的是（）ABCD变式3-1：已知关于的方程的解为整数，则符合条件的所有整数的和为 变式3-2：

5、解下列方程(1)；(2)；(3)；(4)例4：某轮船在静水中的速度为，水流速度为，该船从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头，共用时（不计停留时间），设甲、乙两码头之间的距离为，则可列方程为（ ）AB CD 变式4-1：已知一条笔直的公路旁依次有A，B，C三地，A、B两地相距30千米，小明乘车从A地出发，以每小时30千米的速度驶向C地，同时小丽乘车从B地出发，以每小时20千米的速度驶向C地，当两人相距10千米时，两人乘车的时间为 小时变式4-2：某客运公司的甲、乙两辆客车分别从相距380千米的，两地同时出发相向而行，并以各自的速度匀速行驶，两车行驶2小时时甲车先到达服务区地，此时两车相距20千

6、米，甲车在服务区地休息了20分钟，然后按原速度开往地；乙车行驶2小时10分钟时也经过地，未停留继续开往地(1)求甲、乙两车行驶的速度分别是多少千米/小时：(2)乙车出发多长时间，两车相距200千米？例5：一件工程甲单独完成需要20小时，乙单独完成需要12小时，现由甲先单独做4小时，然后乙加入合做直到完成，共需合做（）A6小时B5小时C4小时D7.5小时变式5-1：一项工程甲队单独完成此项工程需60天，乙队单独完成此项工程需90天若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作 天可以完成此项工程变式5-2：第九届亚洲冬季运动会于2025年在中国黑龙江省哈尔滨市举行，为了迎接亚洲冬季运动会，现要

7、修一条公路，甲工程队单独修需30天完成，乙工程队单独完成需要的天数是甲工程单独完成天数的少1天(1)乙工程队单独完成需要多少天？(2)若甲先单独修5天，之后甲乙合作修完这条公路，求甲乙还需合作几天修完这条路？例6：某种商品进价为200元，标价400元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率为，则该商店应打（）A9折B8折C7折D6折变式6-1：某商店把一种商品按标价的九折出售，获得的利润是进价的，该商品的标价为每件288元，则该商品的进价为每件 元变式6-2：芜湖市一商场经销的A、B两种商品，A种商品每件售价60元，利润率为；B种商品每件进价为50元，售价80元(1)A种商品每件进价

8、为 元，每件B种商品利润率为 (2)若该商场同时购进A、B两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进A种商品多少件？(3)在“春节”期间，该商场只对、两种商品进行如下的优惠促销活动：打折前一次性购物总金额优惠措施少于等于450元不优惠超过450元，但不超过600元按总售价打九折超过600元其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B商品实际付款522元，求若没有优惠促销，小华在该商场购买同样商品要付多少元？难点1：一元一次方程的新定义计算类似于运算符号“，”，新定义一种运算符号“”，观察下列运算：；(1)归纳：用代数式表示的结果为：_(2)

9、若，求的值(3)若，请计算的值(4)比较与的大小，并说理由难点2：一元一次方程的新定义方程定义：关于的方程与方程（，均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”(1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则_(2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求的值(3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值难点3：循环小数化为分数借助方程可将循环小数化成分数例如，在将化为分数时，可设由可知，所以所以解这个方程，得，即(1)将化为分数，填写下面的空格：设，由可知，所以所以_解这个方程，得_(2)将化为分数难点4：一元一次方程的数轴动点如图，是最小的正整数，且(1)

10、填空：，；(2)在数轴上，所对应的点分别为，点为一动点，其对应的数为，点在之间（不含，两点）运动时，请化简式子：；(3)在（1）（2）的条件下，点，开始在数轴上运动，若点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点以每秒2个单位长度的速度向右运动，点从原点开始以每秒个单位长度的速度运动，运动时间为秒，运动过程中，点始终在之间（不含，两点）运动，请问：是否存在，使得的值不随着时间的变化而变化若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由难点5：一元一次方程的几何动点已知长方形中，动点P从A点出发沿以每秒2个单位的速度运动；同时，点Q也从点A出发以每秒3个单位的速度沿运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随

11、之停止运动设运动时间为t秒(1)当点Q到达终点时，点P在边 ；(2)当点P在边上运动时，用t表示的式子为 ；(3)点P、Q相遇时， 秒真题感知1（2023江苏连云港统考中考真题）元朝朱世杰所著的算学启蒙中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行里，慢马每天行里，驽马先行天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，由题意得（）ABCD2（2022江苏苏州统考中考真题）九章算术是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就九章算术中有这样

12、一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可列出的方程是（）ABCD3（2020江苏盐城统考中考真题）把这个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”它源于我国古代的“洛書”（图），是世界上最早的“幻方”图是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为：（）ABCD4（2022江苏南通统考中考真题）九章算术中记载：

13、“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱。问人数、羊价各是多少？若设人数为x，则可列方程为 5（2021江苏扬州统考中考真题）扬州雕版印刷技艺历史悠久，元代数学家朱世杰的算学启蒙一书曾刻于扬州，该书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天追上慢马？答：快马 天追上慢马6（2020江苏无锡统考中考真题）我国古代问题：以绳测井，若将绳

14、三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，井深几尺？则该问题的井深是 尺7（2019江苏南通统考中考真题）九章算术是中国传统数学最重要的著作之一书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱问：共有几个人？”设共有个人共同出钱买鸡，根据题意，可列一元一次方程为 8（2022江苏连云港统考中考真题）我国古代数学名著九章算术中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足

15、四问人数、物价各几何？”其大意是：今有几个人共同出钱购买一件物品每人出8钱，剩余3钱；每人出7钱，还缺4钱问人数、物品价格各是多少？请你求出以上问题中的人数和物品价格9（2019江苏镇江中考真题）学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动在相距个单位长度的直线跑道上，机器人甲从端点出发，匀速往返于端点、之间，机器人乙同时从端点出发，以大于甲的速度匀速往返于端点、之间他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种【观察】观察图，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度，则他们第二次迎面

16、相遇时，相遇地点与点之间的距离为 _个单位长度；若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为 _个单位长度；【发现】设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度兴趣小组成员发现了与的函数关系，并画出了部分函数图象（线段，不包括点，如图所示） _；分别求出各部分图象对应的函数表达式，并在图中补全函数图象；【拓展】设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离不超过个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离的取值范围是 _（直接写出结果）