专题03 函数及其性质（学生版）.docx

1、专题03 函数及其性质（核心考点精讲精练） 1. 近几年真题考点分布函数及其性质近几年考情考题示例考点分析关联考点2022年全国乙（文科），第16题,5分函数的奇偶性无2022年全国甲（文科），第12题,5分指数函数、对数函数的单调性不等式比较大小2023年全国甲（文科），第11题,5分指数函数、二次函数的单调性不等式比较大小2023年全国甲（理科），第13题,5分函数的奇偶性三角函数的奇偶性2023年全国乙（文科），第5题,5分函数的奇偶性无2023年全国乙（理科），第16题,5分函数的单调性解一元二次不等式2. 命题规律及备考策略【命题规律】1.本节内容为高考必考内容，考查函数的奇偶性和单

2、调性； 2.比较大小的题居多，也有通过函数的性质求参数的取值范围；【备考策略】1.掌握基本初等函数的性质，会判断函数的奇偶性； 2.会使用函数的单调性比较大小； 3.掌握奇、偶函数比较大小的两种常见模型； 4.会求函数的解析式、定义域、值域； 5.会解函数不等式（通过函数单调性）。【命题预测】1.通过函数的奇偶性求参数； 2.使用函数的单调性及奇偶性比较大小；知识讲解一、函数的概念一般地,设A,B是两个非空的实数集,如果对于集合A中的 一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有 的数y和它对应,那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),xA.二、函数的有关概念1.

3、函数的定义域、值域在函数y=f(x),xA中,x叫作自变量,x的取值范围A叫作函数的 ;与x的值相对应的y值叫作函数值,函数值的集合f(x)|xA叫作函数的 .显然,值域是集合B的子集.2.函数的三要素: 、 和 .3.相等函数:如果两个函数的 和 完全一致,那么这两个函数相等,这是判断两个函数相等的依据.4.函数的表示法表示函数的常用方法有 、 、列表法.几种常见函数的定义域(1)f(x)为分式型函数时,定义域为使分母不为零的实数集合.(2)f(x)为偶次根式型函数时,定义域为使被开方式非负的实数的集合.(3)f(x)为对数式时,函数的定义域是使真数为正数、底数为正数且不为1的实数集合.(4

4、)若f(x)=x0,则其定义域为x|x0.(5)f(x)为指数式时,函数的定义域是使底数大于0且不等于1的实数集合.(6)正切函数y=tan x的定义域为.三、分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的 ,这样的函数通常叫作分段函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集.分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.(1)函数的定义中要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集B中有且只有一个元素与之对应,即可以“多对一”,不能“一对多”,而B中有可能存在与A中元素不对应的元素.(2)构成函数的三要素中,若定义域和对应关系相同,则值域

5、一定相同.四、函数的单调性1.单调函数的定义增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果对于定义域D内某个区间I上的任意两个自变量的值x1,x2当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说函数f(x)在区间I上是 函数当x1f(x2),那么就说函数f(x)在区间I上是 函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2.单调区间的定义如果函数y=f(x)在区间I上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I叫作函数y=f(x)的单调区间.五、函数的最值前提函数y=f(x)的定义域为D,存在实数M条件对于任意的xD,都有f(x)M;存在

6、x0D,使得f(x0)=M对于任意的xD,都有f(x)M;存在x0D,使得f(x0)=M结论M为函数y=f(x)的最 值M为函数y=f(x)的最 值1.函数单调性的两种等价形式设任意，(1)上是增函数；上是减函数.(2)(x1-x2)f(x1)-f(x2)0f(x)在a,b上是增函数;(x1-x2)f(x1)-f(x2)0)的单调递增区间为(-,-a和a,+),单调递减区间为-a,0)和(0,a.(2)在区间I上,两个增函数的和仍是增函数,两个减函数的和仍是减函数.(3)函数f(g(x)的单调性与函数y=f(u),u=g(x)的单调性的关系是“同增异减”.(4)闭区间上的连续函数一定存在最大值

7、和最小值.当函数在闭区间上单调时,最值一定在端点处取到.(5)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值.求简单函数单调区间的常用方法六、函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 ,那么函数f(x)就叫作偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 ,那么函数f(x)就叫作奇函数关于原点对称函数奇偶性的几个重要结论(1)f(x)为奇函数f(x)的图象关于原点对称;f(x)为偶函数f(x)的图象关于y轴对称.(2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型,即f(x)=0,

8、xD,其中定义域D是关于原点对称的非空数集.(4)奇函数在两个对称的单调区间上具有相同的单调性,偶函数在两个对称的单调区间上具有相反的单调性.(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取最值时的自变量互为相反数;奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数,取最值时的自变量也互为相反数.(6)设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域上:奇+奇= ,奇奇= ,偶+偶= ,偶偶= ,奇偶= .(7)复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇,一偶则偶”.提醒:(6)中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的.判断分段函数的奇偶性应分别对每段函数证明f(-x)与f(

9、x)的关系,只有当各段上的x都满足相同关系时,才能判断其奇偶性.七、周期性1.周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有 ,那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.2.最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫作f(x)的 .八、对称性1.若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则函数y=f(x)的图象关于 对称.特别地,当a=b=0时,f(x)=f(-x),则函数y=f(x)的图象关于y轴对称,此时函数y=f(x)是偶函数.2.若函数y=f(x)满足 ,则函数y=f(x)的

10、图象关于点(a,b)对称.特别地,当a=0,b=0时,f(x)=-f(-x),则函数y=f(x)的图象关于原点对称,此时函数f(x)是奇函数.函数图象的对称性(1)若函数y=f(x+a)是偶函数,即 ,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.(2)若对于R上的任意x都有 ,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.(3)若函数y=f(x+b)是奇函数,即 ,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.考点一、函数的定义域含约束条件求定义域：1（2023年温州市合格考试模拟）函数的定义域为（）ABCD含约束条件求定义域+解不等式：2（2023年宁德市名校模拟）集合，若，则的值为（）A

11、0B1C2D3复合函数+含约束条件求定义域：3（2023年辽宁省名校联盟联考试题）若函数的定义域为，则的定义域为（）ABCD1集合，则图中阴影部分所表示的集合是（）ABCD2已知集合，则_.3已知函数的定义域为 则的定义域为_考点二、函数的解析式待定系数法：1已知是一次函数,且,则的解析式为().A BC D换元法：2已知，则的解析式为（）ABCD列方程组法：3已知，求的解析式 .1若二次函数满足，且，则的表达式为（ ）ABCD2已知函数，则（）A BC D3若函数满足方程且，则：（1）_；（2）_考点三、函数的值域1（河南省创新发展联盟大联考2023届高三预测数学（理科）试题）已知全集，集合

12、，则下列区间不是的子集的是（）ABCD2（河南省郑州市九师联盟2023届高三考前押题卷文科数学试题）已知集合，则=（）ABCD3（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科试题）若函数（且）的值域是，则实数的取值范围是_1设集合，则（）ABCD2函数的值域是_3已知函数若的值域为,则实数的取值范围是（）ABCD考点四、分段函数1（2023年重庆市名校模拟）已知函数，则（）A4B5C6D72己知函数满足对任意，且，都有成立，则实数a的取值范围是_3（2023年江苏名校模拟）若函数是上的单调函数，则实数的取值范围为（）ABCD1已知函数f(x)=(aR)，若，则a=（）ABC1D22已知函数，若，

13、则实数的取值范围是（）ABCD3已知函数若的值域为,则实数的取值范围是（）ABCD考点五、函数单调性1（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数记，则（）ABCD2（2023年北京高考数学真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（）AB CD3（2023年新课标全国卷数学真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（）ABCD1设是定义在上的奇函数，且当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）ABCD2函数(，且)在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（）ABCD3已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是_.考点六、函数奇偶性1（2023年新课标

14、全国卷数学真题）若为偶函数，则（）AB0CD12（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知是偶函数，则（）ABC1D23（2022年全国新高考II卷数学试题）已知函数的定义域为R，且，则（）ABC0D11已知函数是奇函数，当时，那么的值是（）ABC1D32已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（）ABCD3设是定义域为R的奇函数，且.若，则（）ABCD【基础过关】1函数的定义域为().A B C D2 (2023盐城模拟)已知函数的定义域是,则实数的取值范围是(). A B C D3已知是一次函数,且,则的解析式为().A BC D4已知,则的解析式为.5下列函数中，其定义域和值域分别与

15、函数y10lg x的定义域和值域相同的是().6函数的值域是().ABCD7（2022年黑龙江省部分名校模拟）设 ，则的值为（）A0B1C2D38（2023年北京市部分名校模拟）已知函数，若，且，则的最小值为（）ABCD9（2019年北京市高考数学试卷（文科）下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是ABy=CD10（2020年新高考全国卷数学高考试题（山东）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（）ABCD11(2023厦门模拟)若函数为奇函数,则 .12(2023北京模拟)若函数在定义域上为奇函数,则实数 .【能力提升】1已知集合，则（）ABCD2（20

16、23年江西省部分名校模拟）若函数的定义域为，则的定义域为（）ABCD3若，则（）ABCD4若函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（）ABCD5函数的值域为(). A B C D6函数的值域是.7（2023年陕西省部分名校模拟）已知函数,若，且，则的取值范围是（）ABCD8（2023江西省部分名校模拟）函数，则（）AB0C1D49（2020年新高考全国卷（山东）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（）ABCD10设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（）A是偶函数B是奇函数C是奇函数D是奇函数11（【全国百强校】河北省武邑中学模拟）函数在单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是ABCD12（2022吉林省部分名校模拟）若函数（且）在区间内单调递增，则的取值范围是（）ABCD【真题感知】1（2021年浙江省高考数学试题）已知，函数若，则_.2（2008年高考江西卷理科数学试题）若函数的值域是，则函数的值域是ABCD3（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（）ABCD4（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）下列函数中是增函数的为（）ABCD5（2022年全国高考乙卷数学（文）试题）若是奇函数，则_，_