专题03 角平分线（解析版）-八年级数学下册压轴题专题精选汇编（北师大版）.docx

1、北师大版数学八年级下册压轴题专题精选汇编专题03 角平分线一、选择题1（2021八上海曙期末）如图，CD是等腰三角形 ABC底边上的中线，BE平分ABC，交CD于点E，AC8，DE2，则 BCE的面积是（）A4B6C8D12【答案】C【完整解答】解：过点E作EFBC于F，ACBC8，CD是等腰三角形ABC底边上的中线，CDAB，BE平分ABC，EDAB，EFBC，EFDE2，BCE的面积BCEF82=8.故答案为：C.【思路引导】过点E作EFBC于F，利用等腰三角形的性质可证得CDAB，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可求出EF的长；再利用三角形的面积公式可求出BCE的面积.2（2021

2、八上思南月考）的两内角平分线、相交于点O，若，则（）ABCD【答案】C【完整解答】解：ABC+ACB=180-OB平分ABC，OC平分ACBOBC+OCB=ABC+ACB=（ABC+ACB）=35180-（OBC+OCB）=145故答案为：C.【思路引导】根据三角形内角和求出ABC+ACB的度数，由角平分线的定义可得OBC=ABC，OCB=ACB，从而得出OBC+OCB=（ABC+ACB），最后根据三角形内角和可求解.3（2022八下三角）如图所示，在ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，BF平分ABC，交DE于点F，若BC=6，则DF的长是（）A2B3C5D4【答案】B【完整解答】解：D，

3、E分别是BC，AC的中点，DE是ABC的中位线，DB=BC=3；DEAB，ABF=BFD， BF平分ABC，ABF=DBF，DBF=BFD，BD=DF=3.故答案为：B.【思路引导】利用中点的定义可证得DE是ABC的中位线，同时可求出DB的长；再利用三角形的中位线定理可证得DEAB，利用平行线的性质和角平分线的定义去证明DBF=BFD；然后利用等角对等边，可求出DF的长.4（2020八上荣县月考）如图，是的角平分线，于，点分别是上的点， ， 与的面积分别是和，则的面积是（）Aa-bBCD【答案】D【完整解答】解：过点D作DHAC，交于点H是的角平分线，于，则由可以证明.故答案为：D.【思路引导

4、】过点D作DHAC，交于点H，由角平分线的性质可得DE=DH，由HL证RtADERtADH，RtDEFRtDHG，得，再由即可求出答案.5（2021八上道里期末）如图，AD是的角平分线，作AD的垂直平分线EF交BC的延长线于点F，连接AF下列结论：；其中命题一定成立的有（）A1个B2个C3个D4个【答案】C【完整解答】解：EF是线段AD的垂直平分线，AF=DF，故符合题意；ADF=DAF，过点D分别作DHAB于H，DGAC于G，AD平分BAC，DH=DG，BAD=CAD，故符合题意；BAF=BAD+DAF，ACF=DAC+ADF，BAF=ACF，故符合题意；BAF不一定为90，ACF不一定为9

5、0，AF与BC不一定垂直，故不符合题意，故答案为：C【思路引导】根据角平分线的性质、三角形的知识点即可得出答案。6（2021八上西峰期末）如图，点E是的中点，平分，下列结论：；.其中正确的是（）ABCD【答案】A【完整解答】解：过E作EFAD于F，如图，ABBC，AE平分BAD，过E作EFAD于F，BE=EF，AE=AE，RtAEFRtAEB(HL)ABAF，AEFAEB；而点E是BC的中点，ECEFBE，所以错误；ECEF，ED=ED，RtEFDRtECD(HL)，DCDF，FDECDE，所以正确；ADAFFDABDC，所以正确；AEDAEFFEDBEC90，所以正确，综上：正确，故答案为：

6、A【思路引导】利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得BE=EF，AE=AE，利用HL证明RtAEFRtAEB，利用全等三角形的对应边和对应角相等，可证得ABAF，AEFAEB；由线段中点的定义可证得ECEFBE，可对作出判断；利用HL证明RtEFDRtECD，利用全等三角形的性质可得到DCDF，FDECDE，可对作出判断；同时可推出ADABDC，可对作出判断；然后求出AED的度数，可对作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.7（2021八上盐湖期中）有一题目：“如图，ABC=40，BD平分ABC，过点D作DEAB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF=DE，求DFB的度数”小贤的解答：

7、以D为圆心，DE长为半径画圆交AB于点F，连接DF，则DE=DF，由图形的对称性可得DFB=DEB结合平行线的性质可求得DFB=140而小军说：“小贤考虑的不周全，DFB还应有另一个不同的值”下列判断正确的是（） A小军说的对，且DFB的另一个值是40B小军说的不对，DFB只有140一个值C小贤求的结果不对，DFB应该是20D两人都不对，DFB应有3个不同值【答案】A【完整解答】解：如图，以点D为圆心， 长为半径画圆交 于点F， ，连接 ， ，则 ， ， 平分 ，由图形的对称性可知： ， ， ， ， ，当点F位于点 处时， ， 故答案为：A【思路引导】以点D为圆心， 长为半径画圆交 于点F，

8、，连接 ， ，则 ，由图形的对称性可知 ，结合平行线的性质求DFB=140，当点F位于点 处时，由DF=DF可求出DFB的度数.8（2021八上日照期中）如图，ABC中，AACB，CP平分ACB，BD，CD分别是ABC的两外角的平分线，下列结论中：CPCDP BCCDPD/AC，其中正确的结论有（） A1个B2个C3个D4个【答案】D【完整解答】解：BCA+BCF=180，CP平分ACB，CD平分FCB，PCB= ，DCB= ，PCD=PCB+DCB = + ，CPCD；故符合题意；延长CB到G，BD平分CBE，EBD=DBC，EBD=PBA，CBD=PBG，PBA =PBG，ABG=2GBP

9、，ABG=A+ACB，即2PBG=A+2PCB，PBG=P+PCB，PBG= A+PCB，P= A，故符合题意；CD平分BCF，BCD= ，DBC= ，BCD+CBD= + ，= ，= ，= ，D=180-（BCD+CBD）=180- ，故符合题意；AB=BC，BAC=ACB，2DBC=EBC=A+ACB=2A，DBC=A，D=90 ，2D+DBC=180，当A=60时，D=DBC=60，BC=CD，故不符合题意，DBC=A=ACB，PDAC，故符合题意；故正确的结论有4个故答案为：D【思路引导】根据角平分线的定义得出PCB= ，DCB= ，根据垂直的定义得出CPCD，故符合题意；延长CB到G

10、，根据角平分线的定义和三角形外角的性质得出P= A，故符合题意；根据平行线的判定定理得出AB/CD，推出 ABC是等边三角形，得出DBC=A=ACB，故不符合题意，根据角平分线的定义得出EBD=DBC，求出D= ，故符合题意；根据三角形外角的性质得出BAC=ACB，DBC=A，故符合题意。9（2021八上营山月考）如图，RtACB中，ACB=90，ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PFAD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：APB=135；AD=PF+PH；DH平分CDE；S四边形ABDE= SABP；SAPH=SADE，其中正确的结论有（）个 A2B3C4D5【答案】B

11、【完整解答】解：ACB=90，A+B=90，又AD、BE分别平分BAC、ABC，BAD+ABE= （A+B）=45，APB=135，故正确.BPD=45，又PFAD，FPB=90+45=135，APB=FPB，又ABP=FBP，BP=BP，ABPFBP（ASA），BAP=BFP，AB=FB，PA=PF，在APH和FPD中， ，APHFPD（ASA），PH=PD，AD=AP+PD=PF+PH，故正确.ABPFBP，APHFPD，SAPB=SFPB，SAPH=SFPD，PH=PD，HPD=90，HDP=DHP=45=BPD，HDEP，SEPH=SEPD，SAPH=SAED，故正确，S四边形ABDE

12、=SABP+SAEP+SEPD+SPBD=SABP+（SAEP+SEPH）+SPBD =SABP+SAPH+SPBD=SABP+SFPD+SPBD=SABP+SFBP=2SABP，故不正确.若DH平分CDE，则CDH=EDH，DHBE，CDH=CBE=ABE，CDE=ABC，DEAB，这个显然与条件矛盾，故错误，故答案为：B.【思路引导】利用三角形的内角和定理得A+B=90，由角平分线的定义可求出BAD+ABE的度数；然后利用三角形的内角和定理求APB的度数，可对作出判断；求出BPD=45，再证APB=FPB，由ASA证ABPFBP，由全等三角形性质证BAP=BFP，AB=FB，PA=PF；利

13、用ASA证明APHFPD，推出PH=PD，由AD=AP+PD，可对作出判断；由全等三角形的性质和面积公式可求出SAPB=SFPB，SAPH=SFPD，PH=PD；再证明HDEP，可推出SEPH=SEPD，即可证得SAPH=SAED，可对作出判断；根据S四边形ABDE=SABP+SAEP+SEPD+SPBD，可推出S四边形ABDE=2SABP，可对作出判断；若DH平分CDE，则CDH=EDH，利用平行线的性质可推出CDE=ABC，可得到DEAB，这个显然与条件矛盾，可对作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.二、填空题10（2021八上汉阴期末）如图，在 中， ， 平分 ， ，点D到 的距离为5

14、.6，则 . 【答案】16.8【完整解答】解：如图，过D作DEAB于E，C90，CDAC，AD平分BAC，CDDE，D到AB的距离等于5.6cm，CDDE5.6cm，又BD2CD，BD11.2cm，BC5.611.2 cm，故答案为：16.8.【思路引导】过D作DEAB于E，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得CD=DE，同时可求出CD的长，然后根据BC=BD+CD，代入计算求出BC的长.11（2021八上浦东期末）如图，在中，三角形的两个外角和的平分线交于点E则 【答案】26【完整解答】解：如图，过点作三边的垂线段，三角形的两个外角和的平分线交于点E在的角平分线上，即是的角平分线故答

15、案为：26【思路引导】过点E作EMAB于M、ENBC于N、EOAC于O，根据角平分线的性质即可得出EM=EO=EN，结合EMAB于M、ENBC于N，即可得出BE平分ABC，再根据角平分线的定义即可得出结论。12如图，在中，AD为BC边上的中线，于点E，AD与CE交于点F，连接BF.若BF平分，则的面积为 【答案】4【完整解答】解：过F作FGBC于G，BF平分，FGBC，即EFAB，FG=EF=2，AD为ABC的BC边上的中线，FG为BFC的BC边上在中线，又BC=8，SCDF= SBFC= BCFG= 82=4，故答案为：4【思路引导】先求出FG=EF=2，再求出FG为BFC的BC边上在中线，

16、最后利用三角形的面积公式计算求解即可。13（2021八上农安期末）如图所示，BD是ABC的平分线，DEAB于点E，AB=36cm，BC=24cm，SABC=144cm，则DE的长是 【答案】4.8cm【完整解答】如图，过点D作DFBC于点F，BD平分ABC，DEAB于点E，DF=DE.SABC= SABD + SBCD =ABDE+BCDF=（AB+BC）DE=144，（36+24）DE=144，解得：DE=4.8（cm.）【思路引导】过点D作DFBC于点F，根据平行线的性质可得DF=DE，再利用三角形的面积公式及割补法列出SABC= SABD + SBCD=ABDE+BCDF=（AB+BC）

17、DE=144，再求出DE的长即可。14（2021八上长春期末）如图所示，已知AOB40，现按照以下步骤作图：在OA，OB上分别截取线段OD，OE，使ODOE；分别以D，E为圆心，以DE长为半径画弧，在AOB内两弧交于点C；作射线OC；连接DC、EC则OEC的度数为 【答案】130【完整解答】解：由作法得ODOE，OEDODE（18040）270，DEDCEC，DEC为等边三角形，CED60，OEC70+60130故答案为130【思路引导】根据角平分线的性质、等边三角形的判定与性质即可得出答案。15（2021八上建华期末）小聪在研究题目“如图，在等腰三角形ABC中， ， ， 的平分线与AB的垂直

18、平分线OD交于点O，点C沿直线EF折叠后与点O重合，你能得出那些结论？”时，发现了下面三个结论： ；图中没有60的角；D、O、C三点共线请你直接写出其中正确的结论序号： 【答案】【完整解答】解：BAC=50，AO为BAC的平分线，BAO= BAC= 50=25又AB=AC，ABC=ACB=65DO是AB的垂直平分线，OA=OB，ABO=BAO=25，OBC=ABC-ABO=65-25=40AO为BAC的平分线，AB=AC，直线AO垂直平分BC，OB=OC，OCB=OBC=40，将C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，OE=CECOE=OCB=40；在OCE中，OEC=18

19、0-COE-OCB=180-40-40=100，OEF= CEO=50，符合题意；OCB=OBC=COE=40，BOE=180-OBC-COE-OCB =180-40-40-40=60, 不符合题意；ABO=BAO=25，DO是AB的垂直平分线，DOB=90-ABO=75，OCB=OBC=40，BOC=180-OBC -OCB=180-40-40=100，DOC=DOB+BOC=75+100=175,即D、O、C三点不共线，不符合题意.故答案为：【思路引导】根据等腰三角形的性质，角平分线，垂直平分线的定义对每个结论一一判断即可。16（2021八上温州期中）如图，已知等腰 中， 平分 交 于点

20、，过点 作 交 于点 ，若 ，则 ，四边形EDCF . 【答案】8；【完整解答】解：BD=CD，BD=4，BC=2BD=8， ， ，又BE平分 ，ABF=CBF ， ；如图所示，作FHBH交BC延长线于H点， ，ADBC，又FHBH， ，设FH=x， ，即 ，整理得： ，在 中， ，即 ，整理得： ，解得： (舍去)， . ，S四边形EDCF= 故答案为：8，.【思路引导】易得BC=2BD=8，由平行线的性质可得ABF=F，由角平分线的概念可得ABF=CBF，推出CF=BC=8，作FHBH交BC延长线于H点，由等腰三角形的性质可得ADBC，证明BDEBHF，设FH=x，由相似三角形的性质表示出

21、CH，在RtCHF中，应用勾股定理可得x，即FH，然后根据S四边形EDCF= SBCF-SBDE进行计算.17（2021八上赵县月考）如图，在ABC中，A=64，ABC与ACD的平分线交于点A1，则A1= ；A1BC与A1CD的平分线相交于点A2，得A2；An-1BC与An-1CD的平分线相交于点An，要使An的度数为整数，则n的值最大为 【答案】32；6【完整解答】由三角形的外角性质得ACD=A+ABC，A1CD=A1+A1BC，ABC的平分线与ACD的平分线交于点A1，A1BC= ABC，A1CD= ACD，A1+A1BC= （A+ABC）= A+A1BC，A1= A= 64=32；A1B

22、、A1C分别平分ABC和ACD，ACD=2A1CD，ABC=2A1BC，而A1CD=A1+A1BC，ACD=ABC+A，A=2A1，A1= A，同理可得A1=2A2，A2= A，A=2nAn，An=（ ）nA= ，An的度数为整数，n=6.故答案为32，6.【思路引导】根据三角形的外角性质得ACD=A+ABC，A1CD=A1+A1BC，再根据角平分线的定义可得A1BC= ABC，A1CD= ACD，整理可得A1= A，同理可得A1=2A2，即得A2= A，从而得出规律An=（ ）nA，由An的度数为整数求出n最大值即可.18（2021八下乐山期末）如图，菱形ABCD中，AB=4，ABC=120

23、，过对角线AC延长线上的一点P分别作AD、DC延长线的垂线，垂足分别为E、F，则PE-PF= 。 【答案】2 【完整解答】解：过点P作PQAB，过点C作CMAB，如图所示，四边形ABCD为菱形，AB=BC=4，ABCD，AC平分DAB，PQAB，ADEP，QP=PE，PFCD，点Q、F、P共线，PE-PF=PQ-PF=FQ，ABCD，CMAB，PQAB，QF=CM，ABC为BCM的外角，ABC=BCM+CMB=120，BCM=30，BM=2，在RtBCM中，由勾股定理得，故答案为：.【思路引导】过点P作PQAB，过点C作CMAB，先根据菱形的性质得到AB=BC=4，ABCD，AC平分DAB，再

24、由角平分线的性质得到QP=PE，进而得到PE-PF=FQ，接着运用平行线的性质得到QF=CM，再由三角形的外角结合勾股定理即可求解.19（2021八上沙坪坝期末）如图，已知ABC、EAC的角平分线BP、AP相交于点P，PMBE，PNBF，垂足分别为M、N.现有四个结论：CP平分ACF；BPC BAC；APC90 ABC；SAPM+SCPNSAPC.其中结论正确的为 .（填写结论的编号）【答案】【完整解答】解：过点P做PDAC，如图所示：AP是MAC的平分线，PMAEPM=PDBP是ABC的角平分线，PNBFPM=PNPD=PNPC=PCPCD=PCN，故正确；BP和CP分别是ABC和ACN的角

25、平分线以及三角形内角和为180BPC=180-PBC-PCB=180- ABC-（180-PCN）=- ABC+PCN=- ABC+ CAN外角定理BPC=- ABC+ （BAC+ABC）= BAC，故正确；由可得， ，且 APC= MPNPMB=PNB=90以及四边形内角和为360MPN=180-ABCAPC90 ABC，故正确；由可得， ，且 SAPM+SCPN=SAPC，故错误；故答案为：.【思路引导】过点P做PDAC，因为AP平分EAC，可以得到MP=PD，再证明 即可得出结论；根据BP和CP都是角平分线，即可得到BPC=180-PBC-PCB=180- ABC-（180-PCN）=-

26、 ABC+PCN=- ABC+ ACN，根据外角定理，可以得到BPC=- ABC+ （BAC+ABC）= BAC，即可得到结论；由可得， ，故APC= MPN，因为PMB=PNB=90，所以MPN=180-ABC，代入得APC90 ABC，即可得出结论；由可得， ，故SAPM+SCPN=SAPC，即可得出结论.三、解答题20（2021八上红桥期末）如图，在和中， 连接，交于点，连接（）求证：；（）求的大小；（）求证：【答案】解：（）证明 ， ，即 ， （）如图，由（）可得 ， （）证明：如图，过分别作，垂足分别为点， ， ， 点在的平分线上 【思路引导】（）先利用“SAS”证明，再利用全等的性

27、质可得AC=BD；（）根据（）的结论可得，再利用角的运算及等量代换可得；（）根据全等三角形的性质可得，再利用三角形的面积可得，即可得到，即可证明 点在的平分线上，即可得到。21（2021八上南京期末）如图，在 ABC中，C90，按下列要求用直尺和圆规作图.（不写作法，保留作图痕迹） （1）如图，在边BC上求作一点P，使点P到点C的距离等于点P到边AB的距离；（2）如图，在边AB上求作一点Q，使点Q到点A的距离等于点Q到边BC的距离.【答案】（1）解：如图，点P即为所求作； （2）解：如图，点Q即为所求作. 【思路引导】（1）利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可知点P在CAB的角平分线上，利

28、用尺规作图，作出CAB的角平分线，交BC于点P；（2）利用已知C=90，AP平分CAB，因此利用尺规作图作出PQBC，交AB于点Q，即可求解.22（2021八上长沙期末）第五代移动通信技术（简称5G）是最新一代蜂窝移动通信技术，是4G、3G和2G系统后的延伸.5G的性能目标是高数据速率、减少延迟、节省能源、降低成本、提高系统容量和大规模设备连接.县电信部门要修建一座5G信号发射塔，要求发射塔离村庄A、B的距离必须相等，且到两条高速公路MN、PQ的距离也必须相等.发射塔点G应修建在什么位置？在图上标出它的位置.（请保留作图痕迹，并标注出点G，否则扣分.）【答案】解：连接AB，分别以A、B为圆心，

29、以大于AB长的一半为半径画弧，然后连接两个交点即为所求以O为圆心，以任意长为半径画弧，与OQ，ON分别交于E、F，连接EF，然后同样以O为圆心，以不同为OE的长为半径画弧与OQ，ON分别交于R、S，连接ES，RF两者交于H，连接OH交AB垂直平分线于G，即为所求G.【思路引导】分别作出NOQ的平分线、线段AB的垂直平分线，两线的交点即为所求.23（2021八上赣州期中）如图，已知ABC，D是BC边上一点求作一点P：（ 1 ）使PBD为等腰三角形且底边为BD，（ 2 ）点P到ABC两边的距离相等（用尺规作图，保留痕迹，不写作法）【答案】点P到ABC两边的距离相等， 点P在ABC的平分线上，线段B

30、D为等腰PBD的底边，PB= PD，点P在线段BD的垂直平分线上，点P是ABC的平分线与线段BD的垂直平分线的交点【思路引导】作线段BD额垂直平分线，再作ABC的平分线，点P是ABC的平分线与线段BD的垂直平分线的交点24（2021八上芜湖期末）如图1，在ABC中，BE、CF分别平分ABC和ACB，BE和CF相交于D点（1）求证：BDC=90+；（2）如图2，若AABE，求证：EB+ECBC+BF【答案】（1）证明：、分别平分和，；（2）证明：，如图，过点作，交于点，在和中，【思路引导】（1）利用角平分线和三角形的内角和计算求解即可；（2）先求出AE=EB，再利用全等三角形的判定与性质求解即可

31、。25（2022八下三角）如图，在ABC中，AD平分BAC，ADBD于点D，取BC的中点E，连结DE。（1）求证：DEAC；（2）若AB=8，AC=12，求DE的长。【答案】（1）证明：如图，延长BD交AC于点F. AD平分BAC，BAD=FAD.ADBF，BDA=FDA.又AD=AD.ABDAFD（ASA），BD=FD.又E为BC的中点，DE为BCF的中位线.DEFC，DEAC（2）解：由ABDAFD得AB=AF. CF=AC-AF=AC-AB=12-8=4.DE是BCF的中位线，DE=FC=2。【思路引导】（1）延长BD交AC于点F，利用角平分线的定义可证得BAD=FAD，利用垂直的定义可

32、证得BDA=FDA，再利用ASA证明ABDAFD，利用全等三角形的性质可证得BF=FD；再证明DE为BCF的中位线，利用三角形的中位线定理可证得结论.（2）利用全等三角形的性质可证得AB=AF，再证明CF=AC-AB，可求出CF的长；再利用三角形的中位线定理可求出DE的长.26（2021八上汉阴期末）如图， 和 中， ， 与 交于点P（不与点B，C重合），点B，E在 异侧， 、 的平分线相交于点I. （1）当 时，求 的长； （2）求证： ； （3）当 时， 的取值范围为 ，求m，n的值. 【答案】（1）解： ， ABP为直角三角形，B=30，AB=6，AP=3，PD=AD-AP=3；（2）证

33、明：在ABC和ADE中， ，ABCADE（SAS），BAC=DAE，BAC-DAC=DAE-DAC，即BAD=CAE；（3）解：设BAP=，则PAC=90-， B=30，BAC=90，BCA=180-30-90=60，AI、CI分别平分PAC，PCA，IAC= PAC= （90-）=45- ，ICA= PCA=30，AIC=180-（IAC+ICA）=180-（45- +30）=105+ ，090，105 +105150，即105AIC150，m=105，n=150.【思路引导】（1）利用垂直的定义可推出ABP是直角三角形，利用30角所对的直角边等于斜边的一半，可求出AP的长；然后根据PD=A

34、D-AP，可求出PD的长；（2）利用SAS证明ABCADE，利用全等三角形的对应角相等，可证得BAC=DAE，由此可推出结论；（3）设BAP=，则PAC=90-， 利用三角形的内角和定理求出BCA=60，再利用角平分线的定义可得到IAC和ICA的度数；再根据AIC=180-（IAC+ICA），可表示出AIC的度数，然后根据090，可得到m，n的值.27（2021八上荣县月考）在解决线段数量关系问题中，如果条件中有角平分线，经常采用下面构造全等三角形的解决思路，如：在图1中，若C是MON的平分线OP上一点，点A在OM上，此时，在ON上截取OB=OA，连接BC，根据三角形全等判定(SAS)，容易构

35、造出全等三角形OBC和OAC，参考上面的方法，解答下列问题，如图2，在非等边ABC中，B=60，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，且AD、CE交于点F.（1）求AFC的度数；（2）求证：AC=AE+CD.【答案】（1）解：AD是BAC的平分线，CE是BCA的平分线，1=2，3=4B=60BAC+ACB=120，2+3=（BAC+ACB）=60，AFC=180-60=120；（2）证明： 如图，在AC上截取AG=AE，连接FG. AFC=120，AFE=CFD=60， 在AEF与AGF中， AE=AG,，1=2，AF=AF， AEFAGF， AFE=AFG=60， CFG=180-CFD-

36、AFG=60，CFD=CFG，在CFG和CFD中，CFGCFD（ASA），CG=CD，AC=AG+CG=AE+CD.【完整解答】（1）由三角形内角和可求出BAC+ACB=120，由角平分线的定义可得2=BAC，3=ACB，从而求出2+3=（BAC+ACB）=60，利用三角形内角和定理求出AFC的度数；（2）在AC上截取AG=AE，连接FG，先证AEFAGF，得AFE=AFG=60，再证CFGCFD ，可得CG=CD，从而得出AC=AG+CG=AE+CD.28如图，已知 ，请按步骤用尺规作图并回答下列问题： 第一步：在 和 上分别截取 ， ，使 .第二步：分别以 为圆心，以大于 长为半径作弧，两

37、弧在 内交于点E.第三步：过点 作射线 .（保留作图痕迹）（1） 与 的关系是什么？请说明理由.（2）在 上任取一点 ，过点 分别作 于点 ， 于点 ， 与 相等吗？为什么？【答案】（1）解：MOC=NOC，理由如下： 如图：连接CA、CB， 由作图过程可知：OA=OB，AC=BC，OA=OA，AOCBOC（SSS），AOC=BOC，即MOC=NOC.（2）解：相等，理由如下：FQOM，FHON，FQO=FHO，FOQ=FOH，OF=OF，FOQFOH（AAS），FQ=FH.【思路引导】（1）按要求作图，根据作图过程，利用边边边定理可证AOCBOC，则对应边AOC=BOC，即MOC=NOC.（

38、2）利用角角边定理可证FOQFOH，则对应边FQ=FH.29（2021八上西湖期中）已知：如图， 为 的角平分线，且 ， 为 延长线上的一点， ，过 作 ， 为垂足.求证： ； ； .【答案】证明： 为 的角平分线， ，在 与 中， ， ； ， ， ， ， ， ， ， 和 为等腰三角形， ， ， ， ；如图，过点 作 交 的延长线于点 ， 平分 ， ， ， ，在 与 中， ， ， ，在 与 中， ， ， ， .【思路引导】（1）由角平分线的概念可得ABD=EBC，然后结合全等三角形的判定定理SAS进行证明；（2） 由全等三角形的性质可得BCE=BDA，根据角的和差关系以及外角的性质可得BCD+

39、DCE=DAE+BEA，易知BCD、BEA为等腰三角形，由角平分线的概念可得ABD=EBC，推出DCE=DAE，据此可得结论；（3）过点E作EGBC交BC的延长线于点G，由角平分线的性质可得EF=EG，证明BFEBGE，得到BF=BG，进而证明AFECGE，得到FA=CG，据此证明.30如图，ABC中，CAB的平分线与BC的垂直平分线DG相交于D，过点D作DEAB，DFAC，求证：BECF【答案】证明：连接BD、CD， CAB的平分线与BC的垂直平分线DG相交于D，DEAB，DFAC，BD=CD，DE=DFRtCDFRtBDE（HL），BE=CF【思路引导】连接BD、CD，根据线段垂直平分线的性质，得BD=CD，根据角平分线的性质，得DE=DF，再根据两个三角形是直角三角形即可证明RtCDFRtBDE，从而可得出结果