专题04 定弦定角（专项训练）（解析版）.docx

1、专题04 定弦定角（专项训练）1（2021秋如皋市期中）如图，ABC为等边三角形，AB3若P为ABC内一动点，且满足PABACP，则线段PB长度的最小值为（）A1.5BCD2【答案】B【解答】解：ABC是等边三角形，ABCBAC60，ACAB3，PABACP，PAC+ACP60，APC120，点P的运动轨迹是，设所在圆的圆心为O，当O、P、B共线时，PB长度最小，设OB交AC于D，如图所示：此时PAPC，OBAC，则ADCDAC，PACACP30，ABDABC30，PD，BD，PBBDPD故选：B2（2021秋宜兴市期末）如图，在ABC中，ABC90，BC4，AB8，P为AC边上的一个动点，D

2、为PB上的一个动点，连接AD，当CBPBAD时，线段CD的最小值是（）AB2CD【答案】D【解答】解：ABC90，ABP+CBP90，CBPBAD，ABD+BAD90，ADB90，取AB的中点E，连接DE，CE，DEAB4，OCOB4，CDCEDE，CD的最小值为44，故选：D3（2021秋潜山市期末）如图，在矩形ABCD中，AB8，BC6，点P在矩形的内部，连接PA，PB，PC，若PBCPAB，则PC的最小值是（）A6B3C24D44【答案】C【解答】解：四边形ABCD是矩形，ABC90，ABP+PBC90，PBCPAB，PAB+PBA90，APB90，点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为

3、O，连接OC交O于P，此时PC最小，OC2，PC的最小值为24，故选：C4（2022巢湖市二模）如图，在矩形ABCD中，AD5，AB3，点E在AB上，在矩形内找一点P，使得BPE60，则线段PD的最小值为（）A22BC4D2【答案】A【解答】解：如图，在BE的上方，作OEB，使得OEOB，EOB120，连接OD，过点O作OQBE于Q，OJAD于JBPEEOB，点P的运动轨迹是以O为圆心，OE为半径的O，当点P落在线段OD上时，DP的值最小，四边形ABCD是矩形，A90，AB3，AE：EB1：2，BE2，OEOB，EOB120，OQEB，EQBQ，EOQBOQ60，OQ1，OE2，OJAD，OQ

4、AB，AAJOAQO90，四边形AQOJ是矩形，AJOQ1，JOAQ2，AD5，DJADAJ4，OD2，PD的最小值ODOP22，故选：A5（2021广西模拟）如图，AC为边长为的菱形ABCD的对角线，ABC60，点M，N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿BC，CA向终点C和A运动，连接AM和BN，求APB面积的最大值是（）ABCD【答案】D【解答】解：四边形ABCD是菱形，ABCBCDAD，ABC60，ABC是等边三角形，ACBABM60，点M，N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿BC，CA向终点C和A运动，BMCN，在ABM和BCN中，ABMBCN（SAS），BAMCBN，ABP+

5、CBN60，ABP+BAM60，APB18060120，点P在弧AB上运动，当时，PAB的面积最大，最大值21，故选：D6如图，在ABC中，BC6，BAC45，则ABC面积的最大值为 【答案】9+9【解答】解：如图，作ABC的外接圆O，连接OB、OC，过点O作OHBC于H，则BHHC，由圆周角定理得：BOC2A90，OBOCBC3，OHBC3，当BC边上的高最大时，ABC的面积最大，由题意可知，BC边上的高的最大值为：3+3，ABC面积的最大值为：6（3+3）9+9，故答案为：9+97（2022秋定海区期中）如图，ABC中，AC3，BC4，ACB45，D为ABC内一动点，O为ACD的外接圆，直

6、线BD交O于P点，交BC于E点，则AD的最小值为 【答案】1【解答】解：，ACBCDPACB45，CDP45，BDC18045135，点D在以BC为弦，BDC135的圆弧上运动，如图，设D点运动的圆弧圆心为M，取优弧BC上一点N，连接MB，MC，NB，NC，AM，MD，则BNC180BDC45，BMC90，BMCM，BMC为等腰直角三角形，MCB45，MCBC4，ACB45，ACM90，AM5，当A、D、M三点共线时，AD最小，此时，ADAMMD541故答案为：18（2021柳南区校级模拟）如图，在边长为的等边ABC中，动点D，E分别在BC，AC边上，且保持AECD，连接BE，AD，相交于点P

7、，则CP的最小值为【答案】1【解答】解：CDAE，BDCE，在ABD和BCE中，ABDBCE（SAS），故BADCBE，APEABE+BAD，APEBPD，ABE+CBE60，BPDAPEABC60，APB120，点P的运动轨迹是，AOB120，连接CO，OAOB，CACB，OCOC，AOCBOC（SSS），OACOBC，ACOBCO30，AOB+ACB180，OAC+OBC180，OACOBC90，OCACcos302，OAOC1，OP1，PCOCOP，PC1，PC的最小值为19（2021秋灌南县校级月考）我们在学习圆的知识时，常常碰到题目中明明没有圆，但解决问题时要用到，这就是所谓的“隐圆

8、”问题：下面让我们一起尝试去解决：（1）如图，RtABC中，ABBC，AB6，BC4，P是ABC内部的一个动点，且满足PABPBC，则线段CP长的最小值为 （2）如图，在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度在边DC、CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E、F的移动，使得点P也随之运动若AD2，则线段CP的最小值是 （3）如图，矩形ABCD中，AB2，AD3，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为多少？【解答】解：（1）如图1中，ABC90，ABP+PBC90，PABPBC，BAP+ABP90，

9、APB90，点P在以AB为直径的O上，连接OC交O于点P，此时PC最小，在RtBCO中，OBC90，BC4，OB3，OC5，PCOCOP532PC最小值为2故答案为2；（2）如图2中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边DC，CB上移动，DECF，在ADE和DCF中，ADEDCF（SAS），DAECDF，CDF+ADFADC90，ADF+DAE90，APD90，取AD的中点O，连接OP，则OPAD21（不变），根据两点之间线段最短得C、P、O三点共线时线段CP的值最小，在RtCOD中，根据勾股定理得，CO，所以，CPCOOP1故答案为：1；（3）如图3中，EF2，点G为EF的中

10、点，DG1，G是以D为圆心，以1为半径的圆弧上的点，作A关于BC的对称点A，连接AD，交BC于P，交以D为圆心，以1为半径的圆于G，此时PA+PG的值最小，最小值为AG的长；AB2，AD3，AA4，AD5，AGADDG514，PA+PG的最小值为4，10如图，在RtABC中，BAC90，BC6，求AB+AC的最大值【解答】解：延长BA到D，使ADAC，连接DC，作BDC的外接圆O，AB+ACDB，BAC90，D45，当BD是O直径时，BD取得最大值，即AB+AC取得最大值，当BD是O直径，D45，BCD是等腰直角三角形，BDBC6，AB+AC的最大值为：611【问题提出】（1）如图，点O是正方

11、形ABCD的对称中心，点E，F分别在AB，BC边上，且EOF90，连接BO，则线段BE，BF，BO之间满足的等量关系为 ；【问题探究】（2）如图，在ABC中，AB4，AC2，以BC为边在BC下方作等腰RtBCD，其中BDC90，连接AD，求AD的最大值；【问题解决】（3）如图，某县政府为解决农业灌溉问题，加强农田水利“最后一公里”建设，改善农田灌溉、生态治理等水利民生工作，计划给该县管辖下的村庄A，B，C修建总扬水站D以及支渠AD，BD，CD，其中ABAC6km，BAC120为了灌溉更多的农田，需要三条支渠总长（AD+BD+CD）尽可能长已知预建的总扬水站D及支渠BD，CD满足BDC60你认为

12、该县政府的想法能否实现？若能，求出三条支渠总长的最大值；若不能，请说明理由【解答】解：（1）如图1，连接OC，四边形ABCD是正方形，O是对称中心，BOC90，OBOC，EBOFCO45，EOF90，EOFBOC，EOFBOFBOCBOF，BOECOF，BOECOF（ASA），BECF，BCOB，BF+CFOB，BF+BEOB，故答案为：BF+BE；（2）如图2，作等腰直角ABE，使AEB90，AEBE，ABE45，BCD是等腰直角三角形，CBD45，ABECBD，ABCEBD，ABCEBD，DEAC，ADAE+DE，当点A、E、D共线时，AD最大，AEAB2，AD最大值为：3；（3）如图3，该县政府的想法能实现，理由如下：BAC120，BDC60，BAC+BCD180，四边形ABCD内接于圆O，延长CD至E，使CEBD，ACEABD，ABAC，ACEABD（SAS），EACBAD，AEAD，EAC+CADBAD+CAD，DECD+CECD+BD，DAEBAC120，DE，BD+AD+CDDE+AD（）AD，当AD最大时，BD+AD+CD最大，当AD是O的直径时，BD+AD+CD最大，ABAC，BAC120，ABCACB30，ADBACB30，直径R2AB12，BD+AD+CD最大值为：12（）12+12