专题05 二次根式(解析版).docx

1、专题05 二次根式 【专题目录】技巧1：巧用二次根式求字母或代数式的值技巧2：常见二次根式化简求值的九种技巧【题型】一、二次根式有意义的条件【题型】二、利用二次根式的性质化简【题型】三、二次根式的乘除运算【题型】四、最简二次根式【题型】五、同类二次根式【题型】六、二次根式的加减【题型】七、二次根式乘除混合运算【考纲要求】1、掌握二次根式有意义的条件和基本性质()2a(a0)，能用二次根式的性质|a|来化简根式2、能识别最简二次根式、同类二次根式能根据运算法则进行二次根式的加减乘除运算以及混合运算.【考点总结】一、二次根式二次根式概念二次根式的概念形如(a0)的式子.二次根式有意义的条件要使二次

2、根式有意义，则a0.最简二次根式被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式性质双重非负性被开方数是非负数，即a0；二次根式的值是非负数，即0.两个重要性质()2a(a0)；|a|；【考点总结】二、二次根式的运算二次根式运算二次根式的加减法合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式二次根式的乘除法(1)二次根式的乘法：=(a0，b0)；(2)二次根式的除法： = (a0，b0)二次根式的混合运算运算顺序与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先

3、算括号里面的（或先去括号）【注意】1、化简二次根式的步骤（易错点）（1）把被开方数分解因式(或因数) ；（2）把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积；（3）如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式()2a(a0)把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简。2、二次根式运算中的注意事项（1）一般将最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式。（2）二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。【技巧归纳】技巧1：巧用二次根式求字母或代数

4、式的值【类型】一、利用二次根式的定义判定二次根式1下列式子中为二次根式的是()A.B. C. D.(x0)【类型】二、利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围2无论x取何实数，代数式都有意义，化简式子.【类型】三、利用最简二次根式的定义识别最简二次根式3把下列各式化成最简二次根式(1)；(2)(a0，b0)；(3)(mn0)；(4)(xy)【类型】四、利用被开方数相同的最简二次根式的条件求字母的值4如果最简根式和是被开方数相同的最简二次根式，那么()Aa0，b2 Ba2，b0Ca1，b1 Da1，b25如果最简二次根式与在二次根式加减运算中可以合并，求使有意义的x的取值范围参考答案1C2解：，

5、且无论x取何实数，代数式都有意义，m40，m4.当m4时，(m3)(m4)2m7.3解：(1).(2)2a(a0，b0)(3)由0，mn0知：m0，n0，.(4)(xy)4A点拨：由题意得解得故选A.5解：由题意得3a8172a.a5.要使有意义，只需有意义即可202x0，x10.技巧2：常见二次根式化简求值的九种技巧【类型】一、估算法1若将三个数，表示在数轴上，则其中被如图所示的墨汁覆盖的数是_【类型】二、公式法2计算：(5)(52)【类型】三、拆项法3计算：.提示：43()3()【类型】四、换元法4已知n1，求的值【类型】五、整体代入法5已知x，y，求4的值【类型】六、因式分解法6计算：.

6、【类型】七、配方法7若a，b为实数，且b15，试求的值【类型】八、辅元法8已知xyz123(x0，y0，z0)，求的值来源:学科【类型】九、先判后算法9已知ab6，ab5，求ba的值参考答案1.点拨：因为0，23，34，所以被墨汁覆盖的数为.2解：原式(5)5()2(5)(5)(5)(5)(256)19.3解：原式来源:学科网.4解：设xn2，yn2，则xy2n4，xy4n8.原式22n.当n1时，原式1.5解：由已知得：x32，y32，所以xy6，xy1，所以原式30.6解：来源:Z*xx*k.Com.7解：由二次根式的定义，得35a0，a.b15，ab0，ab0.().当a，b15时， 原

7、式.方法点拨：对于形如2或2的代数式一般要变为或的形式，当它们作为被开方式进行化简时，要注意ab和ab以及ab的符号8解：设xk(k0)，则y2k，z3k，原式2.9解：ab6，ab5，a0，b0.ba.点拨：解此类题，应先考虑字母取值的正负情况，再进行二次根式的化简，同时运用整体思想代入求值，不能一味地想求出单一字母的值，导致问题复杂化，甚至无法求解【题型讲解】【题型】一、二次根式有意义的条件例1、函数的自变量的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【分析】由二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，从而可得答案【详解】解：由题意得： 故选：【题型】二、利用二次根式的性质化简例2、化简的结果是（）

8、A2B2CD4【答案】B【分析】先将括号内的数化简，再开根号，根据开方的结果为正数可得出答案【详解】=2，故选：B【题型】三、二次根式的乘除运算例3、计算的结果正确的是（ ）A1BC5D9【答案】A【分析】利用二次根式的乘除法则计算即可得到结果【详解】解：，故选：A【题型】四、最简二次根式例4、下列各式是最简二次根式的是（ ）ABCD【答案】A【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案【详解】解：A、是最简二次根式，故选项正确；B、=，不是最简二次根式，故选项错误；C、，不是最简二次根式，故选项错误；D、，不是最简二次根式，故选项错误；故选A.【题型】五、同类二次根式例5、下列各式中与是同类二

9、次根式的是ABCD【答案】C【分析】根据同类二次根式的概念逐一判断即可.【详解】解：A、和是最简二次根式，与的被开方数不同，故A选项错误；B、，3不是二次根式，故B选项错误；C、，与的被开方数相同，故C选项正确；D、，与的被开方数不同，故D选项错误；故选：C.【题型】六、二次根式的加减例6、计算（ ）ABC3D【答案】A【分析】根据二次根式的加减法法则进行运算即可【详解】2故选A【题型】七、二次根式乘除混合运算例7、下列各式不成立的是（ ）ABCD【答案】C【分析】根据二次根式的性质、二次根式的加法法则、除法法则计算，判断即可【详解】，A选项成立，不符合题意；，B选项成立，不符合题意； ，C选

10、项不成立，符合题意； ，D选项成立，不符合题意； 故选C二次根式（达标训练）一、单选题1（2021黑龙江逊克县教师进修学校一模）下列各式中与 是同类二次根式的是()ABCD【答案】B【分析】先将选项化简为最简二次根式，然后找出与是同类二次根式的选项【详解】解：A、，与不是同类二次根式，故A不符合题意；B、与是同类二次根式，故B符合题意；C、，与不是同类二次根式，故C不符合题意；D、，与不是同类二次根式，故D不符合题意；故选：B【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键2（2022上海金山二模

11、）在下列二次根式中，最简二次根式的是（）ABCD【答案】C【详解】解：A、，分母中含有分式，不是最简二次根式，不符合题意；B、，被开方数中含有可开方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；C、，被开方数中没有可开方的因数且分母中没有分式，是最简二次根式，符合题意；D、，被开方数中含有可开方的因数，不是最简二次根式，不符合题意故答案选C【点睛】本题主要考查了，最简二次根式的定义即：被开方数中不含可开方的因数且分母中不含根式的二次根式，称为最简二次根式掌握最简二次根式的定义，是解决本题的关键3（2022黑龙江绥化三模）函数的自变量的取值范围是（）ABC且D且【答案】B【分析】根据二次根式的性质及分式

12、有意义的条件即可求得答案【详解】解：由题意得，解得，故选：B【点睛】本题考查了利用二次根式的性质及分式的意义求函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式的性质及分式有意义的条件是解题的关键4（2022河北顺平县腰山镇第一初级中学一模）下列各式正确的是（）A4B3C8D44【答案】B【分析】根据二次根式的性质、二次根式的加减法分别化简计算并判断【详解】解：A、=4，故该项不正确；B、=3，故该项正确；C、没有意义，故该项不正确；D、4-4=4-4，故该项不正确；故选：B【点睛】此题考查了二次根式的化简，二次根式的加减法，正确掌握二次根式的性质是解题的关键5（2022重庆模拟预测）估算的结果最接近的整

13、数是（ ）A3B4C5D6【答案】B【分析】先化简二次根式得，再由，即可求出，从而得出答案【详解】，估算的结果最接近的整数是4故选B【点睛】本题主要考查化最简二次根式和二次根式的减法运算，掌握二次根式的运算法则是解题关键二、填空题6（2022广东顺德德胜学校三模）二次根式中，字母m的取值范围是 _【答案】#【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解【详解】解：根据题意得：，解得：故答案为：【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键7（2022重庆二模）计算：（3.14）0|4|_【答案】#【分析】首先计算零指数幂和绝对值，然后从左向右依次计算，求

14、出算式的值即可【详解】解：（3.14-）0-|-4|=1-（4-2）=1-4+2=-3+2故答案为：-3+2【点睛】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行三、解答题8（2022山东临沂模拟预测）计算：【答案】0【分析】直接利用绝对值的性质以及结合积的乘方运算法则、平方差公式计算、二次根式的混合运算，进而得出答案【详解】解：原式0【点睛】本题主要考查看去绝对值、积的乘方运算法则、平方差公式、二次根式混合运算，注意运算法则以及运算顺序是解

15、题的关键9（2021山东青岛二模）若矩形的周长是cm，一边长是cm，求它的面积【答案】（1+3）cm2【分析】先由已知条件求出另一边的长，再利用面积公式可得【详解】解：矩形的周长是cm，一边长是cm，另一边长为：（2）（17+7）cm矩形的面积为：（17+7）（2）（1+3）cm2【点睛】本题考查了二次根式的应用，矩形的周长和面积，利用周长求出矩形的边长是解题的关键二次根式（提升测评）一、单选题1（2022上海崇明二模）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么x的值是（）A1B2C3D4【答案】D【分析】根据最简二次根式的定义：二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类

16、二次根式进行求解即可【详解】最简二次根式与是同类二次根式，故选：D【点睛】本题考查同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键2（2022上海普陀二模）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）ABCD【答案】A【分析】根据同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式求解即可【详解】解：A.原式=，符合题意；B.不是同类二次根式，不符合题意；C.不是同类二次根式，不符合题意；D.原式=，不符合题意，故选：A【点睛】本题考查了同类二次根式，以及二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握同类二次根式的概念3（2022

17、广东番禺中学三模）若，则等于（）A1B5CD【答案】A【分析】直接利用二次根式中被开方数是非负数，得出x的值，进而得出y的值，再利用有理数的乘方运算法则计算即可【详解】解：由题意可得：，解得：x2，故y-3，故选：A【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及有理数的乘方运算，正确掌握被开方数为非负数是解题关键4（2022河北一模）已知，则代数式的值为（）ABCD【答案】A【分析】根据二次根式的非负性可知，从而得到，代值求解即可【详解】解：对于，解得，则，故选：A【点睛】本题考查利用二次根式非负性求值，涉及到二次根式的运算，熟练掌握二次根式非负性是解决问题的关键5（2022重庆南开中学三模）

18、估计的值在（）A4和5之间B5和6之间C6和7之间D7和8之间【答案】D【分析】利用二次根式的混合运算法则将原式化简，再进行无理数的估算即可【详解】解：=253036，56，78，即的值在7和8之间，故选：D【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及估算无理数的大小，能估算出的范围，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题关键6（2022贵州遵义二模）已知a，b均为正数，且，是一个三角形的三边的长，则这个三角形的面积是（）ABCD【答案】A【分析】构造矩形， E、F分别为、的中点，设， ，将所求三角形面积转化为即可求解【详解】解：如图，在矩形中， E、F分别为、的中点，设， ，在、中，依次可得到：，

19、 ，故选：A【点睛】本题考查二次根式的应用能够通过构造矩形及直角三角形，利用等积变换将所求三角形的面积转化为矩形和几个直角三角形的面积之差利用数形结合是解答本题的关键二、填空题7（2022浙江瑞安市安阳镇滨江中学三模）当时，代数式的值为_【答案】#【分析】把代入代数式，求出其值即可【详解】解：把代入代数式得：原式=故答案为：【点睛】本题主要考查了代数式的求值，二次根式的混合运算，运用完全平方公式计算，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键8（2022四川广安二模）如图所示，化简的结果是_【答案】-2【分析】根据数轴即可判断a和b的取值范围，即可判断的符号，最后利用二次根式的性质去根号即可化

20、简【详解】解：由数轴可知，原式故答案为：-2【点睛】本题考查数轴、二次根式的化简，利用数轴判断出的符号是解题关键三、解答题9（2022广东佛山市南海外国语学校三模）先化简，再求值：，其中，【答案】，【分析】根据多项式乘以多项式运算法则、完全平方公式将原式进行化简，然后将，代入，再利用平方差公式进行计算即可【详解】解：原式，当，时，原式【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式加减乘除混合运算法则以及完全平方公式、平方差公式是解本题的关键10（2022湖北鄂州市教学研究室一模）若三个实数x，y，z满足，且，则有：（结论不需要证明）例如：根据以上阅读，请解决下列问题：【基础训练】(1)求的值；【能力提升】(2)设，求S的整数部分【拓展升华】(3)已知，其中，且当取得最小值时，求x的取值范围【答案】(1)(2)S的整数部分2019(3)代数式取得最小值时，x的取值范围是【分析】（1）根据范例中提供的计算方法进行计算即可；（2）利用题目的仅能式将其进行化简，再确定整数部分；（3）将原式化简为，再根据|取最小值时，确定x的取值范围(1)(2)，S的整数部分2019；(3)由已知得：，且，原式，当时，；当时，；当，即时，取得最小值为2，代数式取得最小值时，x的取值范围是：【点睛】本题考查无理数的大小比较，分式的加减法以及找规律等知识，理解题意和推广应用是本题的亮点