专题05 全等三角形与矩形翻折模型(解析版).docx

1、专题05 全等三角形与矩形翻折模型 【模型展示】特点在矩形ABCD中，将ABC沿着对角线AC翻折得到ABC，BC交AD于点E。结论（1）AEBCED；（2）AE=CE。【模型变换】特点在矩形ABCD中，E、F分别为边BC、AD上的任意点，连接EF，将四边形CDFE沿着EF翻折得到CDFE，。结论（1）CEDCED；（2）四边形EDFD为菱形；（3）C、E、D三点共线，且CDFD。【题型演练】一、单选题1如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于（）ABCD【答案】B【分析】根据折叠的性质得到AE=AB，E=B=90，易证

2、AEFCDF，即可得到结论EF=DF；易得FC=FA，设FA=x，则FC=x，FD=6-x，在RtCDF中利用勾股定理得到关于x的方程x2=42+（6-x）2，解方程求出x【详解】解：矩形ABCD沿对角线AC对折，使ABC落在ACE的位置，AE = AB，E =B =90，又四边形ABCD为矩形，AB = CD，AE = DC，而AFE =DFC，在AEF与CDF中，AEFCDF（AAS），EF = DF；四边形ABCD为矩形，AD = BC = 6，CD = AB = 4，AEFCDF，FC = FA，设FA = x，则FC = x，FD = 6x，在RtCDF中，CF2 = CD2 + D

3、F2，即x2=42+（6x）2，解得x =，则FD = 6x =故选：B【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等也考查了矩形的性质和三角形全等的判定与性质以及勾股定理2如图，将矩形纸片折叠（），使落在上，为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，点不动，将边折起，使点落在上的点处，连接，若，则的长为（）ABCD4【答案】B【分析】证明RtEBFRtEBD（HL），推出BFDB，再证明DBECBF1，由直角三角形的性质求出AB，则可得结论【详解】解：由翻折的性质可知，EBEB，BABEEBD90，在RtEBF和RtEBD中，RtEBFRtEBD（HL），BFDB

4、，四边形ABCD是矩形，CCDBEBD90，四边形ECDB是矩形，DBEC1，BFEC1，由翻折的性质可知，BFFG1，FAG45，AGFBAGF90，AGFG1，AFABAB1，ADABDB2，故选B【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明四边形ECDB是矩形3如图，矩形OABC中，OA4，AB3，点D在边BC上，且CD3DB，点E是边OA上一点，连接DE，将四边形ABDE沿DE折叠，若点A的对称点A恰好落在边OC上，则OE的长为（）ABCD【答案】B【分析】连接、AD，根据矩形的性质得到BC=OA=4，OC=AB=3，

5、C=B=O=90，即可求得CD、BD，根据折叠的性质得到=AD，根据全等三角形的性质可到=BD=1，再根据勾股定理即可求解【详解】连接、AD，如图，四边形OABC是矩形，BC=OA=4，OC=AB=3，C=B=O=90，CD=3BD，CD=3，BD=1，CD=AB，根据翻折的性质有：=AD，在Rt和RtDBA中，CD=AB，=AD，RtRtDBA（HL），=BD=1，=2，在Rt中，故选：B【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、全等三角形的判定与性质，正确的作出辅助线是解答本题的关键4如图，在矩形纸片ABCD中，将沿BD折叠到位置，DE交AB于点F，则的值为（）ABCD【答案】C【分析】先根

6、据矩形的性质和折叠的性质，利用“AAS”证明，得出，设，则，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程得出x的值，最后根据余弦函数的定义求出结果即可【详解】解：四边形ABCD为矩形，CD=AB=5，AB=BC=3，根据折叠可知，在AFD和EFB中，（AAS），设，则，在中，即，解得：，则，故C正确故选：C【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，根据题意证明，是解题的关键5如图，ABCD是一张矩形纸片，AB20，BC4，将纸片沿MN折叠，点，分别是B，C的对应点，MB与DC交于K，若MNK的面积为10，则DN的最大值是（）A7.5B12.5C15D17【

7、答案】D【分析】作NE于E，NFBM于F，由折叠得12，根据角平分线的性质得NENF，可得四边形BCNF是矩形，则NFBC4，根据MNK的面积为10得NKMK5，根据勾股定理得KE3，则MFMEMKKE532，设DNx，则CN20x，BMBF+MF20x+222x，由折叠可得BMKM，即22x5可得x17，即可得DN17，则DN的最大值是17【详解】解：如图所示，过点N作NE于E，NFBM于F，由折叠得12，NENF，四边形ABCD是矩形，BCBFN90，四边形BCNF是矩形，DNM=2，NENFBC4，1=DNM，NK=MK，MNK的面积为10，KMNEKNNF10，NKMK5，KE3，在M

8、EN和MFN中，MENMFN（AAS），MFMEMKKE532，设DNx，则CNBF20x，BMBF+MF20x+222x，由折叠得BMKM，即22x5x17，即DN17，DN的最大值是17故选：D【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质与判定，角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，正确作出辅助线是解题的关键二、填空题6如图，在矩形纸片ABCD中，AB6，BC9，M是BC上的点，且CM3，将矩形纸片ABCD沿过点M的直线折叠，使点D落在AB上的点P处，点C落在点C处，折痕为MN，则线段AN的长是_【答案】4【分析】连接PM，推出BMBCCM936，由折叠性质得，CD

9、PC6，CPCMPBM90，CMCM3，由RtPBMRtMCP（HL），得出PBCM3，所以PAABPB633设ANx，则ND9xPN，在RtAPN中，AN2+AP2PN2，即x2+32（9x）2，求出x的值即可得出答案【详解】解：连接PM，如图：AB6，BC9，CM3，BMBCCM936，由折叠性质得，CDPC6，CPCMPBM90，CMCM3，在RtPBM和RtMCP中，RtPBMRtMCP（HL），PBCM3，PAABPB633设ANx，则ND9xPN，在RtAPN中，AN2+AP2PN2，即x2+32（9x）2，解得x4，AN的长是4故答案为：4【点睛】本题主要考查了翻折变化、矩形的性

10、质及勾股定理，熟练应用翻折变化的性质及矩形的性质进行计算是解决本题的关键7如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，沿AE所在的直线折叠ADE，落在矩形内部得到AFE，延长AF交BC边于点G，若，则的值为_【答案】【分析】连接GE，证明，得，设，表示出，的长度，再由勾股定理得的长度，即可得出比值【详解】如图，连接GE，在矩形ABCD中，由折叠的性质可知：，点E是边CD的中点，又（公共边），设，则，在中，由勾股定理得：，【点睛】本题考查折叠的性质，全等三角形的判定与性质及勾股定理，折叠前后的图形对应边、对应角分别相等是解题的关键8如图，在矩形ABCD中，AB6，AD8，将此矩形折叠，使点C与点

11、A重合，点D落在点D处，折痕为EF，则DD的长为 _【答案】【分析】根据折叠的性质即可求得AD=CD=6；连接AC，根据勾股定理求得AC=10，证得（AAS），根据全等的性质得：DF=BE，根据勾股定理列出关于线段BE的方程，解方程求得BE的长，即可求得，然后通过证，利用相似三角形的性质即可求得DD【详解】解：四边形ABCD是矩形，AB= CD=6，AD=CD，AD=6；连接AC，AB=6，BC=AD=8，ABC=90，由勾股定理得：，BAF=DAE=90，BAE=DAF，在BAE和DAF中，（ASA），DF=BE，AEB=AFD，AEC=DFD，由题意知：AE=EC；设BE=x，则AE=EC

12、=8-x，在RtABE中，B=90，由勾股定理得：（8-x）2=62+x2，解得：，BE=，AE=8-=，则：，ADF=DAE=90，故答案为【点睛】本题主要考查了矩形的翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用全等三角形的性质、相似三角形的性质，勾股定理等几何知识点来解题9如图，矩形中，为中点为上一点，将沿折叠后，点恰好落到上的点处，则_，_【答案】 6 【分析】根据折叠的性质，即可求EG；连接EC，证，由勾股定理即可求EF；【详解】解：连接CE，为中点在和中设，则即解得：故答案为：6；【点睛】本题主要考查矩形得性质，三角形的全等，勾股定理，正确做出辅助线是解题的关键三、解答题10如图

13、，矩形ABCD中，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE.(1)求证：ADECED；(2)求证：DEF是等腰三角形.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【分析】（1）根据矩形的性质可知ADBC、ABCD，再由折叠的性质，可得BCCE，ABAE，进而可推导ADCE，AECD，然后由“SSS”证明ADECED即可；（2）由（1）可知ADECED，根据全等三角形的性质可知DEAEDC，即DEFEDF，即可证明DEF是等腰三角形（1）证明：（1）四边形ABCD是矩形，ADBC，ABCD，由折叠的性质，可得BCCE，ABAE，ADCE，AECD，在ADE和CE

14、D中，ADECED（SSS）；（2）由（1）得ADECED，DEAEDC，即DEFEDF，EFDF，DEF是等腰三角形【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题关键11如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为E，AE与CD交于点F(1)求证：；(2)若，求的度数【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由矩形与折叠的性质可得，从而可得结论；（2）先证明，再求解， 结合对折的性质可得答案（1）证明：将矩形ABCD沿对角线AC折叠，则，在DAF和ECF中， （2）解：，四边形ABCD是矩形， ， ，【点睛】本题考查

15、的是全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，矩形的性质，熟练的运用轴对称的性质证明边与角的相等是解本题的关键12将矩形ABCD对折，使AD与BC重合，得到折痕EF，展开后再一次折叠，使点A落在EF上的点处，并使得折痕经过点B，得到折痕BG，连接，如图1，问题解决：(1)试判断图1中是什么特殊的三角形？并说明理由；(2)如图2，在图1的基础上，与BG相交于点N，点P是BN的中点，连接AP并延长交于点Q，求的值【答案】(1)是等边三角形，理由见解析(2)【分析】（1）等边三角形，解法一利用垂直平分线性质得出AA=BA，利用折叠得出即可，解法二：根据折叠得出，然后利用锐角三角函数定义得出 ，求出即可；

16、（2）解法一：过点N作交AP于H，先证（AAS），再证，得出 即可解法二：由折叠可知，由点P是BN的中点 ，得出，利用平行线等分性质得出，证出即可(1)解：是等边三角形解法一：理由是：由折叠可知EF垂直平分AB；AA=BA，ABG折叠得ABG，；是等边三角形；解法二：理由是：由折叠可知， ，是等边三角形；(2)解法一：过点N作交AP于H，又点P是BN的中点 ，在PHN和PQB中，（AAS），又，由折叠可知， ，；解法二：由折叠可知，又点P是BN的中点 ，过点N作交于M， 【点睛】本题考查一题多解，等边三角形的判定，折叠性质，线段垂直平分线性质，平行线等分线段定理，三角形相似判定与性质，锐角三角

17、函数值求角，掌握一题多解，等边三角形的判定，折叠性质，线段垂直平分线性质，平行线等分线段定理，三角形相似判定与性质是解题关键13如图，在矩形ABCD中，M，N是对角线AC上的两点，将矩形折叠分别使点B与点M重合，点D与点N重合，折痕分别为AE，CF连接EF，交AC于点O(1)求证：(2)求证：四边形ECFA是平行四边形【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【分析】（1）根据矩形的性质结合折叠证明即可；（2）由（1）中全等可得AECF，再证明即可(1)四边形ABCD是矩形，ABCD，将矩形折叠分别使点B与点M重合，点D与点N重合，折痕分别为AE，CF，(2)，AECF，四边形ECFA是平行四

18、边形【点睛】本题考查矩形与折叠、平行四边形的判定，熟记矩形的性质是解题的关键14实践与探究如图，在矩形ABCD中，将矩形ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在矩形ABCD的内部，点D的对应点为点，折痕为AE，再将矩形ABCD沿过点A的直线折叠，使点B落在边上，折痕为AF，点B的对应点为点延长交AE于点G，过点G作直线交AD于点M，交BC于点N(1)求证：(2)求证：四边形ABNM是正方形(3)若，求线段BF的长(4)如图，将矩形沿所在直线继续折叠，点C的对应点为点我们发现，点E的位置不同，点的位置也不同当点恰好与点重合时，线段DE的长为_【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)7.2；(4)

19、【分析】（1）利用折叠性质和全等三角形的判定证明即可；（2）利用全等三角形的性质和正方形的判定证明即可；（3）利用正方形的性质得出MN=AB=BN=AM=12，再根据相似三角形的判定与性质证明AMGADE求得MG=3，设BF=x，可求得GN=9，FG=3+x，FN=12-x，在GNF中利用勾股定理求得x即可求解；（4）设DE =y，则CE=12-y，根据折叠性质得E=y，E=12-y，再由勾股定理求得y值即可求解（1）证明：四边形ABCD是矩形，AB=CD=12，AD=BC=16，B=D=BAD=C=90，由折叠性质得：MAG=AG，AF=AG=B=90，AB=A，MNAD，AMN=90，则A

20、MG=AG=90在AMG和AG中，（AAS）；（2）证明：B=BAD=AMN=90，四边形ABNM是矩形，AM=A， 则AM=AB，四边形ABNM是正方形；（3）解：四边形是ABNM正方形，MN=AM=BN=AB=12，AMN=D=90，DAE=DAE，AMGADE，AM=12，DE=4，AD=16，MG=3，MG=G=3，设BF=x，则GN=12-3=9，FG=x+3，FN=12-x，在GNF中，GNF=90，由勾股定理得：GN2+FN2=FG2，92+（12-x）2=（x+3）2，解得：x=7.2，BF=7.2；（4）解：由折叠性质得：A=AD=16，AB=A=12，E=CE，DE=E，D

21、=90，=16-12=4，设DE =y，则CE=12-y，在中，=90，=y，=12-y，由勾股定理得：2+2=2，则42+y2=（12-y）2，解得：y= ，DE= 故答案为：【点睛】本题考查矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键15在矩形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC上的动点，且DEBF，连接EF将矩形ABCD沿EF折叠，点A落在点G处，点B落在点H处(1)如图，当线段EG与线段BC交于点P时，求证：PEPF；(2)如图，当线段EG的延长线与线段BC的延长线交于点P时GH交线段CD交于点M，

22、求证：PCMPGM；E，F在运动过程中，点M是否在线段EF的垂直平分线上？如果在，请证明；如果不在，请说明理由【答案】(1)见解析(2)见解析；当点E，F在运动过程中，点M一直在线段EF的垂直平分线上证明见解析【分析】（1）由折叠的性质可知：AEFGEF，根据矩形的性质可得AEFEFP，即可得到GEFEFP，根据等角对等边即可得证；（2）根据HL证明RtPCMRtPGM，即可得证；当点E，F在运动过程中，点M一直在线段EF的垂直平分线上如图：连接BD交EF于点O，连接OP，证明DOEBOF（ASA），由可得PEPF，OP是线段EF的垂直平分线，OP也是EPF的角平分线（三线合一）由PCMPGM

23、，得CPMGPM，即：MP是CPG的角平分线，可得当点E、F在移动过程中，点M一直在线段EF的垂直平分线上（1）由折叠的性质可知：AEFGEF，矩形ABCD中，ADBC，AEFEFP，GEFEFP，PEPF；（2）由折叠的性质可知：AEEG，矩形ABCD中，ADBC，DEBF，ADDEBCBF，即：AEFC，EGFC，又PEFAEFPFE，PEPF，PEEGPFCF，即：PGPC；又DCBC，HGEG，MCPMGP90；又PMPM，RtPCMRtPGM（HL）；即：PCMPGM；当点E，F在运动过程中，点M一直在线段EF的垂直平分线上如图：连接BD交EF于点O，连接OP，ADBC，EDOFBO

24、，DEOBFO，又DEBF，DOEBOF（ASA），OEOF；由可得PEPF，OP是线段EF的垂直平分线，OP也是EPF的角平分线（三线合一）由PCMPGM得：CPMGPM，即：MP是CPG的角平分线，EPF与CPG是同一个角，MP与OP重合，即：当点E、F在移动过程中，点M一直在线段EF的垂直平分线上【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，垂直平分线的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键16如图，四边形ABCD是矩形，把矩形AC沿折叠，点B落在点E处，AE与DC的交点为O，连接DE(1)求证：(2)求证：【答案】(1)见解析(2)见解析【分析

25、】（1）根据矩形的性质和折叠的性质可得BC=CE=AD，AB=AE=CD，根据SSS可证ADECED (SSS)；（2）根据全等三角形的性质可得EDC=DEA，由于ACE与ACB关于AC所在直线对称，可得OAC=CAB，根据等量代换可得OAC=DEA，再根据平行线的判定即可求解（1）证明：四边形ABCD是矩形，AD=BC，AB=CD，AC是折痕，BC=CE=AD，AB=AE=CD，在ADE与CED中，ADECED (SSS)，（2）证明：ADECED，EDC=DEA，又ACE与ACB关于AC所在直线对称，OAC=CAB，OCA=CAB，OAC=OCA，在DOE和AOC中，DOE=AOC，2OA

26、C=180AOC，2DEA=180DOE，2OAC=2DEA，OAC=DEA，【点睛】本题考查了翻折变换(折叠问题)，矩形的性质，以及全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等是解题的关键17如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将沿BE折叠后得到，且G点在矩形ABCD的内部，延长BG交DC于点F，连接EF(1)求证：；(2)若，求的值【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由折叠的性质可得AE=EG=DE，由“HL”可证RtDEFRtGEF；（2）设DC=3x，DF=2x，由线段的和差关系可求AB=3x，BF=5x，由勾股定理可求解(1)四边形ABCD是矩形，E是AD的中点，将沿BE折叠后

27、得到，在和中，；(2)，设，在中，【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键18折叠矩形ABCD，使点D落在BC边上的点F处，折痕为AE(1)求证ABFFCE；(2)若CF4，EC3，求矩形ABCD的面积【答案】(1)见解析(2)矩形ABCD的面积为80【分析】（1）根据矩形的性质和翻折的性质即可证明ABFFCE（2）由（1）得ABFFCE，所以，进而可以解决问题(1)证明：由矩形ABCD可得，BCD90BAF+AFB90由折叠得AFED90AFB+EFC90BAFEFC ABFFCE；(2)解：CF4，EC3，C90EFD

28、E5，ABCD8由（1）得ABFFCE，BF6BC10SABCB10880【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，翻折变换，解决本题的关键是得到ABFFCE19如图，在矩形ABCD中，AD2AB，点E是AD的中点，连接BE，将ABE沿BE折叠后得到GBE，延长BG交DC于点F，连接EF(1)求证：EGFEDF；(2)若点F是CD的中点，BC8，求CD的长【答案】(1)见解析(2)4【分析】（1）由翻折和矩形的性质可知EGFD90，EGED，可通过HL证明RtEGFRtEDF；（2）根据点F是CD的中点知：CFCD，BF，在RtBCF中，利用勾股定理即可列出方程(1)证明：将ABE

29、沿BE折叠后得到GBE，BGEA，AEGE，四边形ABCD是矩形，AD90，EGFD90，点E是AD的中点，EAED，EGED，在RtEGF与RtEDF中，RtEGFRtEDF（HL）(2)由（1）知RtEGFRtEDF，GFDF，点F是CD的中点，GFDFCF，在矩形ABCD中，C90，ABCD，又由折叠可知ABGB，GBCD，BFGB+GF，在RtBCF中，由勾股定理得：，CD0，CD【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，明确翻折前后对应边相等是解题的关键20如图，在正方形中，E为中点，连接，将沿折叠，点B的对应点为G，连接并延长交于点F，连接，(1)判

30、断与的位置关系，并说明理由；(2)求的长【答案】(1)平行，理由见解析(2)2【分析】（1）由折叠知，可得，根据E为的中点，可得，进而可得，根据，即可得证；（2）证明，得，设，则，勾股定理列出方程，解方程求解即可（1）解： 理由如下：由折叠知，又E为的中点，（2）四边形是正方形，又，,设，则，即解得即【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，折叠的性质，HL证明三角形全等，全等三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键21如图，长方形ABCD中，ABAD，把长方形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE(1)图中有 个等腰三角形；（请直接填空，不需要证明）(2)求

31、证：ADECED；(3)请证明点F在线段AC的垂直平分线上【答案】(1)2(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）由题意知CE=BC=AD，EAC=BAC=DCA，有ACF为等腰三角形；在和中，知，有DEA=EDC，有DEF为等腰三角形；（2）在和中，可得；（3）由于，有，故，进而可得出结果(1)解：有ACF和DEF共2个等腰三角形证明如下：由折叠的性质可知CE=BC=AD，EAC=BACEAC=DCAACF为等腰三角形；在和中DEA=EDCDEF为等腰三角形；故答案为：2(2)证明：四边形ABCD是长方形，由折叠的性质可得：，在和中，(3)证明：由（1）得，即又点F在线段AC的垂直平分

32、线上【点睛】本题考查了几何图形折叠的性质，矩形，等腰三角形的判定与性质，三角形全等，垂直平分线等知识解题的关键在于灵活运用知识22如图，在中，点D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作，连接AD、EC(1)求证：；(2)若，求证：四边形ADCE是矩形【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质、等腰三角形的性质，利用全等三角形的判定定理SAS可以证得ADCECD；（2）利用等腰三角形的“三合一”性质推知ADBC，即ADC=90；由平行四边形的判定定理（对边平行且相等是四边形是平行四边形）证得四边形ADCE是平行四边形，所以有一个角是直角的平行四边形是矩形（1）证明：四边形

33、ABDE是平行四边形，ABDE，AB=DE；B=EDC；又AB=AC，AC=DE，B=ACB，EDC=ACD；在ADC和ECD中，ADCECD（SAS）；（2）四边形ABDE是平行四边形，BDAE，BD=AE，AECD；又BD=CD，AE=CD，四边形ADCE是平行四边形；在ABC中，AB=AC，BD=CD，ADBC，ADC=90，四边形ADCE是矩形【点睛】本题综合考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定以及矩形的判定注意：矩形的判定定理是“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，而不是“有一个角是直角的四边形是矩形”23如图1，为了探究某种类型矩形ABCD的性质，数学项目学习小组在BC边

34、上取一点E，连接DE经探究发现：当DE平分ADC时，将ABE沿AE折叠至AFE，点F恰好落在DE上据此解决下列问题：(1)求证：AFDDCE；(2)如图2，延长CF交AE于点G，交AB于点H求证：AHAFAGCF ；求GHDF的值【答案】(1)见解析(2)见解析；34【分析】（1）根据ED平分ADC，有ADE=EDC=45，即DEC=45，根据翻折的性质，有，即AB=AF，AFD=B=90，则有AF=AB=DC，FAD=ADE=45，即可得；（2）根据AFDDCE，得出ADDE，AFDFDCCE，证明，EFCAHG，即可证明AHGCFE，即可证明结论；过点F作FMBC于点M，设EC=CD=AF

35、=DF=AB=a，根据条件求出，利用AHGCFE，求出，即可求出答案（1）证明：四边形ABCD为矩形，ED平分ADC，ADE=EDC=45，DEC=90-EDC=45，根据翻折的性质，有，AB=AF，AFD=B=90，AF=AB=DC，FAD=ADE=45，（2）证明：AFDDCE，ADDE，AFDFDCCE，DCFDFC67.5，ECF22.5，AD=DE，HAG=22.5，EFC18067.5112.5，AHG9022.5112.5，EFCAHG，AHGCFE，EC=CD=AF=DF=AB，AHAFAGCF；过点F作FMBC于点M，如图所示：设EC=CD=AF=DF=AB=a，在RtBCH

36、中，AHGCFE，【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质，三角形相似的判定和性质，证明AHGCFE，是解答本题的关键24在矩形ABCD中，P是边AB上一点，把沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F(1)如图1，若点E是AD的中点，求证：；(2)如图2，当，且时，求的值；(3)如图3，当时，求BP的值【答案】(1)见解析(2)(3)7【分析】（1）先判断出A=D=90，AB=DC，再判断出AE=DE，进而根据“SAS”即可得出结论；（2）利用折叠的性质，得出PGCPBC90，BP

37、CGPC，进而由平行线的性质得出GPFPFB，等量代换可得：BPFBFP，继而得出BPBF，证明ABEDEC，得出比例式建立方程求解即可得出AE9，DE16，再判断出ECFGCP，进而求出PB，即可得出结论；（3）连接FG，易证四边形BPGF是菱形，继而判断出GEFEAB，得出，即可得出结论（1）四边形ABCD是矩形，AD90，ABDC，E是AD中点，AEDE，在AEB和DEC中，AEBDEC（SAS）；（2）在矩形ABCD，ABC90，BPC沿PC折叠得到GPC，PGCPBC90，BPCGPC，BECG，BEPG，GPFPFB，BPFBFP，BPBF，BEC90，AEB+CED90，AEB+ABE90，CEDABE，AD90，ABEDEC，设AEx，x9或x16，AEDE，AE9，DE16，在RtABE中，由勾股定理可得：，同理可得：CE20，由折叠得，BPPG，BPBFPG，BEPG，ECFGCP，设BPBFPGy，即，（3）如图，连接FG，GEFPGC90，BFPG由（2）知，BFPGBF，四边形BPGF是菱形，BPGF，GFEABE，GEFEAB，BEEF84，AB12，GF7，BPGF7【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，折叠的性质，利用方程思想解决问题是本题的关键