专题05 圆锥曲线中的弦长问题-直击2021年高考中的圆锥曲线问题（理科数学）.docx

1、专题05 圆锥曲线中的弦长问题一、弦长公式直线与圆锥曲线相交时，常常借助根与系数的关系解决弦长问题直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程当0时，直线与圆锥曲线相交，设交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k，则直线被圆锥曲线截得的弦长|AB|x1x2|.再利用根与系数的关系得出x1x2，x1x2的值，代入上式计算即可二、直线与圆锥曲线相交弦的中点问题中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解(1)利用根与系数的关系：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解，注意不能忽视对判别式的讨论(

2、2)点差法：若直线l与圆锥曲线C有两个交点A，B，一般地，首先设出A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入曲线方程，通过作差，构造出x1x2，y1y2，x1x2，y1y2，从而建立中点坐标和斜率的关系三、常用结论解决直线与圆锥曲线关系问题的一般方法(1)解决焦点弦(过圆锥曲线焦点的弦)的长的有关问题，注意应用圆锥曲线的定义(2)已知直线与圆锥曲线的某些关系求圆锥曲线的方程时，通常利用待定系数法(3)圆锥曲线上的点关于某一直线的对称问题，解此类题的方法是利用圆锥曲线上的两点所在的直线与对称直线垂直，圆锥曲线上两点的中点一定在对称直线上，再利用根的判别式或中点与曲线的位置关系求解(4)圆锥曲线以P

3、(x0，y0)(y0)为中点的弦所在直线的斜率如下表：圆锥曲线方程直线斜率椭圆：1(ab0)k双曲线：1(a0，b0)k抛物线：y22px(p0)k技巧1 求已知曲线弦长问题例1、若直线与椭圆交于两点,则( )ABCD【答案】D【解析】【分析】根据已知直线方程与椭圆方程,联立方程组,求解两点坐标,即可求解弦的长.【详解】由题意联立方程可得:,消去化简可得:,解得,，故交点根据两点间距离公式可得: 故选:D.【点睛】本题主要考查了椭圆弦长,解题关键是掌握椭圆的基础知识和两点间距离公式,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.技巧2 求含参数弦长问题例2、直线被椭圆截得的弦长的最大值为_.【答案】【

4、解析】【分析】联立直线与椭圆方程，结合弦长公式和韦达定理可求出，进而可求出弦长的最大值.【详解】联立，消去y得，设弦为，其中，则，于是，因此当，即时，弦长取得最大值.故答案为: .【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，考查了椭圆中弦长的求解，属于基础题.本题的关键是求出弦长的表达式.1已知圆（）截直线所得弦长是，则a的值为（ ）AB2CD3【答案】B【解析】【分析】化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，再由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再由垂径定理列式求a值.【详解】由圆（），得，则圆心坐标为，半径为a，圆心到直线的距离.又半弦长为，由垂径定理可得：，解得.，.故选：B.【点睛

5、】本题考查圆中弦长问题，考查基本分析求解能力，属基础题.2过椭圆的左焦点作倾斜角为的弦，则弦的长为（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】先根据直线过椭圆的左焦点，且倾斜角为，求得直线方程，再与椭圆方程联立，结合韦达定理利用弦长公式求解.【详解】因为椭圆的左焦点是 ,又因为直线的倾斜角为，所以直线的方程为由消去并整理，得设，则，由弦长公式，得，故选：B【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系以及弦长公式，属于基础题.3过抛物线y2=4x的焦点的直线l与抛物线交于A，B两点，设点M（3，0）.若MAB的面积为，则|AB|=( )A2B4CD8【答案】D【解析】【分析】设直线l的方程为x=ty+1

6、，将直线与抛物线联立，利用韦达定理以及弦长公式表示出|AB|，根据三角形的面积求出|y1y2|=4，代入计算即可求解.【详解】抛物线y2=4x的焦点F为（1，0），可设直线l的方程为x=ty+1，代入抛物线方程，可得y24ty4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2=4t，y1y2=4，则|AB|.|y1y2| . .，MAB的面积为|MF|.|y1y2|2|y1y2|=4，即4，解得t=1，则|AB| .8，故选：D.【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系、弦长公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.4已知抛物线的焦点到准线的距离为1,则此抛物线的所有经过焦点的弦之中

7、最短弦长为_【答案】2【解析】抛物线的焦点到准线的距离为1，设直线与抛物线的交点坐标为，当直线斜率不存在时，直线方程为，交点坐标为，弦长为，当直线斜率存在时，可设为，联立化简得，故此抛物线的所有经过焦点的弦之中最短弦长为2，故答案为.点睛：本题主要考查抛物线的定义、方程与性质，考查抛物线中弦长的计算，属于基础题；求过焦点的直线截抛物线所得的弦长主要是通过联立方程组，运用韦达定理结合弦长得解.5已知抛物线（1）求过点与抛物线有且只有一个公共点的直线方程；（2）过焦点作一条斜率为的直线与抛物线交于两点，求的长【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）分类讨论，再设出直线方程与抛物线方程联立，即

8、可得到结论；（2）先求出直线方程，联立方程组，求出点，的坐标，根据两点之间的距离公式即可求出【详解】解：（1）由题意，斜率不存在时，直线满足题意，斜率存在时，设方程为，代入，可得，当时，满足题意，当时，直线方程为，综上，直线的方程为或或；（2）抛物线的焦点坐标为，则过焦点作一条斜率为的直线方程为，联立，解得或，不妨令，【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于基础题6在平面直角坐标系上，已知动点到定点、的距离之和为.（1）求动点的轨迹方程（2）若直线与曲线交于、两点，.求的值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出可求椭圆的方程.（2

9、）设点，联立直线方程和椭圆方程，消去后利用韦达定理和弦长公式公式可得关于的方程，解方程后可得的值.【详解】解：（1）因为，所以动点轨迹为椭圆，并且长轴长，因为焦点坐标分别为，所以，又因为，所以，所以点运动轨迹椭圆的方程为.（2）设点，因为，消元化简得，所以，所以，又因为，所以，解得，满足，所以.【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为某一个变量的方程，解此方程即可.7已知点A(-2，0)，B(2，0)，动点M满足直线AM与BM的斜率之积为，

10、记M的轨迹为曲线C.（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2）若直线和曲线C相交于E，F两点，求.【答案】（1），曲线是一个椭圆，除去左右顶点；（2）.【解析】【分析】（1）根据斜率公式列式可得结果；（2）联立直线与椭圆方程，根据弦长公式可得结果.【详解】（1）由题意可知，化简得，即曲线C的方程为，曲线是一个椭圆，除去左右顶点.（2）联立消去得：，整理得，设，则，所以.【点睛】本题考查了斜率公式，考查了求动点的轨迹方程，考查了弦长公式，考查了运算求解能力，属于基础题.8已知椭圆C：的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2.（1）椭圆C的方程；（2）设直线l：交椭圆C于A，B两点，且，求m

11、的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）通过短轴的一个端点到右焦点的距离可知，进而利用离心率的值计算即得结论；（2）设，联立直线与椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，得到根与系数的关系，再利用弦长公式即可得出.【详解】解：（1）由题意可得，解得：，椭圆C的方程为；（2）设，联立，得，解得.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质韦达定理弦长公式，属于中档题.9已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是，且双曲线过点.（1）求双曲线的方程； （2）过双曲线右焦点作倾斜角为的直线交双曲线于、两点，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设所求双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲

12、线的方程，求得的值，由此可得出所求双曲线的方程；（2）可得出直线的方程为，设点、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式可求得.【详解】（1）设双曲线方程为：，将点的坐标代入双曲线的方程得，所以所求双曲线方程为；（2）易知双曲线右焦点的坐标为，设点、，直线的方程为，联立，可得，由韦达定理可得，.因此，.【点睛】本题考查利用双曲线的渐近线方程求双曲线的方程，同时也考查了直线截双曲线的弦长，考查计算能力，属于中等题.10已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与的交点为，与轴的交点为.（1）若，求直线的方程；（2）若，求线段的长度.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设直线方程为

13、，直线方程与抛物线方程联立，由根与系数关系求出，进而得出建立的方程，求解即可；（2）由，得，结合（1）中的关系，即可求出结论.【详解】 设直线方程为，联立由得，.由抛物线的定义知所以，满足，符合题意，所以直线方程为.由（1）得.由得，解得，满足，符合题意，所以.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，要熟练掌握根与系数关系在解题的中应用，不要遗漏两交点存在满足的条件，考查计算求解能力，属于基础题.1【2019年北京卷理数】已知抛物线的准线与轴相交于点，过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，为抛物线的焦点，若，则的长度为（ ）AB2CD【答案】C【解析】【分析】设，由抛物线的定义得，再由AB的方

14、程为；与联立，得，由根与系数的关系得，联立可求得，从而求得，根据弦长公式计算可得选项.【详解】依题意知，设，由得，即，因为，则AB的方程为；与联立，得，则， 即，由得，则，所以，所以，故选：C.【点睛】本题考查了抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系弦长公式考查考生的运算求解能力以及数形结合思想，属于中档题.2【2019年天津卷理数】在平面直角坐标系上，已知动点到定点、的距离之和为.（1）求动点的轨迹方程（2）若直线与曲线交于、两点，.求的值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出可求椭圆的方程.（2）设点，联立直线方程和椭圆方程，消去后利用韦达定理和弦长公式公式可得关于的方程，解方程

15、后可得的值.【详解】解：（1）因为，所以动点轨迹为椭圆，并且长轴长，因为焦点坐标分别为，所以，又因为，所以，所以点运动轨迹椭圆的方程为.（2）设点，因为，消元化简得，所以，所以，又因为，所以，解得，满足，所以.【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为某一个变量的方程，解此方程即可.3（2017新课标全国III理）已知抛物线：和直线：，为坐标原点.（1）若抛物线的焦点到直线的距离为，求的值；（2）若直线与直线平行，求直线与抛物线相交所得的弦长

16、.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先求出抛物线的焦点坐标，再利用点到直线的距离公式列方程可求出的值；（2）由题可得直线为，设直线与抛物线相交于，将代入得：， 则，然后利用弦长公式求解即可【详解】（1）由得：，所以抛物线的焦点为. 所以，化简得：，所以. （2）因为直线与直线平行，所以. 设直线与抛物线相交于，所以，.将代入得：， 则，. 所以.所以所求弦长为.【点睛】此题考查直线与抛物线的位置关系，考查点到直线的距离公式的应用，考查韦达定理的应用，考查计算能力，属于中档题4（2019新课标全国理）设椭圆左焦点为，过点的直线与椭圆交于两点，直线的倾斜角为，且（1）求椭圆的离心率；（

17、2）若，求椭圆的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设直线方程为，联立，解得，根据，由求解.（2）根据，结合（1）的数据代入求解.【详解】（1）设，由题意得，直线方程为：，联立得，解得，因为，所以，即，所以.（2）因为，所以，又，则，解得，所以椭圆的方程是.【点睛】本题主要考查椭圆的离心率的求法和椭圆方程的求法以及平面向量的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.5（2016新课标全国I卷）已知焦点在轴上的双曲线的实轴长为，焦距为.（1）求双曲线的标准方程；（2）若直线与双曲线交于两点，求弦长.【答案】（1）；（2）8.【解析】【分析】（1）根据双曲线的长轴、焦距可得；，再由即可求解. （2）将直线与双曲线方程联立，再利用弦长公式即可求解.【详解】（1）焦点在轴上的双曲线的实轴长为，焦距为，则，所以，所以，所以，所以双曲线的标准方程为.（2）联立方程 ，消整理可得，设，则，所以【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质、弦长公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.今天错在哪里啦？_