专题05 解三角形（角平分线问题问题）(典型题型归类训练)（解析版）.docx

1、专题05 解三角形（角平分线问题问题）(典型题型归类训练)目录一、必备秘籍1二、典型题型2方法一：等面积法2方法二：内角平分线定理5方法三：角互补11三、专项训练14一、必备秘籍角平分线如图，在中，平分，角,所对的边分别为，核心技巧1：内角平分线定理：或核心技巧2：等面积法(使用频率最高）核心技巧3：边与面积的比值：核心技巧4：角互补：在中有：;在中有：二、典型题型方法一：等面积法1（2023春吉林高一吉林市田家炳高级中学校考期末）在中，的角平分线交BC于D，则（）AB2CD【答案】B【详解】在中,由余弦定理得,则，即，解得，（负值舍），而AD平分，即，又，故，则，故选：B2（2023秋江西高

2、三校联考阶段练习）在中，内角，的对边分別为，且满足.(1)求；(2)若内角的角平分线交于点，且，求的面积的最小值.【答案】(1)(2)【详解】（1），由正弦定理得，.（2）如图，由题意及第（1）问知，且，化简得，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，故的面积的最小值为.3（2023秋江苏淮安高二淮阴中学校考开学考试）已知中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，D是边AC上的一点，且(1)若，求AD；(2)若BD为的角平分线，求面积的最小值【答案】(1)1(2)【详解】（1），由正弦定理得，由，则，即，解得，由，即得，如图所示.由，则，中，由余弦定理，解得.（2）， BD为的角平分线，且，如

3、图所示，则有，则，即，且，则，可得，当且仅当时等号成立， 所以，故面积的最小值为4（2022全国高一专题练习）的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，AD是的角平分线，且，求的最小值.【答案】.【详解】在中，AD是的角平分线，且，而，则有，即，得，因此，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是.5（2022全国高一专题练习）的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，AD是的角平分线，且AD，求c.【答案】2或3【详解】，则有，可得由余弦定理，可得 由 解得，或，所以，或.方法二：内角平分线定理1（2023春广东深圳高一校考期中）已知中，是的角平分线，则 【答案】/【详解】设，因为是角平分

4、线，则，又由已知得，同理，解得故答案为：2（2023全国高三专题练习）在ABC中，角所对的边分别是，其中，.若B的角平分线BD交AC于点D，则 .【答案】/【详解】由题设，则，又，则，故，又，即，在中，由余弦定理知：，即，得，故，在中，由余弦定理知：，故，故或，又，即，故.故答案为：3（2023秋四川成都高二石室中学校考开学考试）如图，在中，的角平分线交于，.(1)求的取值范围；(2)已知面积为1，当线段最短时，求实数.【答案】(1)；(2)【详解】（1）设由角平分线定理，由余弦定理，所以，化简得.因为，故；（2）由题意，因此，由余弦定理，故，当且仅当时，取得最小值3，此时.显然为锐角，由代入

5、中，得，或舍去，由（1）知，此时.4（2023春山东枣庄高一统考期中）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.(1)求的值；(2)若BD是的角平分线.（i）证明：；（ii）若，求的最大值.【答案】(1)(2)（i）证明见解析；（ii）【详解】（1）因为中，故，因为，故；（2）（i）证明：中，由正弦定理得，又，同理在中，BD是的角平分线，则，则，又，故，故得，即，由得，则，即；（ii）因为，故，则由得，则，由以及（i）知，即，则，当且仅当，结合，即时等号成立，故，即的最大值为.5（2023春重庆沙坪坝高一重庆八中校考期末）如图，在中，是角的角平分线，且面积为1.(1)求的面积；(2)设

6、，求的取值范围；当的长度最短时，求的值.【答案】(1)(2)；【详解】（1）因为是角的角平分线，且所以，即，所以，所以.（2）设，则，（1）知，又，即，整理得，又，所以，即，所以的取值范围为；由知，即，所以，在中，由余弦定理得，即，又，设，则，所以，当且仅当，即时，等号成立，此时，又，解得，所以，所以当的长度最短时，.6（2023广东佛山校联考模拟预测）记锐角的内角、的对边分别为、，已知(1)求；(2)已知的角平分线交于点，求的取值范围【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，由正弦定理可得，所以，又，所以.（2）因为，因为为锐角三角形，所以，解得，所以，所以，即的取值范围为.方法三：角互补1（

7、2023春高一单元测试）在中， 是的角平分线， 且交于. 已知， 则 .【答案】【详解】由题意是的角平分线，由角平分线的性质知：，设，因为，则，则,所以，整理得，解得或（舍）.所以,.故答案为：2（2023春广东东莞高一东莞市东莞中学校考阶段练习）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且(1)求；(2)若的面积为，求内角A的角平分线长的最大值【答案】(1)(2)【详解】（1）由正弦定理，得，即，故，因为，所以，所以；（2）由（1）知，因为的面积为，所以，解得，在中，由正弦定理，得，在中，由正弦定理，得，因为AD为角A的角平分线，所以，又，所以，所以，不妨设，则，故，延长至点E，使得，连接，则

8、，又，所以，故，则，则，在中，由余弦定理，得，即，因为，所以，其中，当且仅当，即时，等号成立，故，故.所以长的最大值为.3（2023全国高三专题练习）在中，点在边上，(1)若是的角平分线，求；(2)若是边上的中线，且，求【答案】(1)(2).【详解】（1）解：点在边上，是的角平分线，在和中，由正弦定理可得，；，（2）解：因为是边上的中线，设，化简可得，解得或（舍去），4（2022浙江模拟预测）在中，是的角平分线且，若，则 ，的面积为 【答案】 6【详解】在中，是的角平分线，且，则有：，令，则，在与中，由余弦定理得：，因此，得，即有，解得，的面积为.故答案为：；6三、专项训练1（2023全国高三

9、专题练习）在中，角、所对的边分别为、，若，为的角平分线，且，则的值为（）ABCD【答案】B【详解】因为，由正弦定理可得，所以，由余弦定理可得，因为，所以，因为，由可得，即，解得，由余弦定理可得，因此，.故选：B.2（2023全国高三专题练习）在中，的角平分线交于点D，的面积是面积的3倍，则（）ABCD【答案】A【详解】因为，即，在中，作边上高，垂足为，则，故选:A.3（2022秋广西柳州高三校联考阶段练习）已知中，为的角平分线，则的面积为（）ABCD【答案】B【详解】设，则即，可得，则，则故选：B.4（2023全国高三专题练习）已知的内角对应的边分别是， 内角的角平分线交边于点， 且 若， 则

10、面积的最小值是（）A16BC64D【答案】B【详解】，即，又，即，又，由题可知，所以，即，又，即，当且仅当取等号，所以.故选：B.5（2022全国高三专题练习）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，AD是ABC的角平分线，D在BC边上，b3c，则a的值为（）ABCD【答案】B【详解】解：因为，所以由正弦定理化简可得：a2b2+c2bc，即：b2+c2a2bc，故，由于A（0，），可得：A，因为AD是ABC的角平分线，D在BC边上，可得BADDAC，所以由余弦定理可得，因为b3c，所以CD3BD，即，整理可得，所以由余弦定理可得故选：B6（2023全国高三专题练习）已知，内角所对的

11、边分别是，的角平分线交于点D若，则的取值范围是 【答案】【详解】对用正弦定理，可得，设，由于为三角形内角，则，由可得，整理得，对，由余弦定理，即，故，即，于是，根据基本不等式，即，结合，解得，即，于是.故答案为：7（2023全国高三专题练习）在三角形中，角的对边分别是，若，角的角平分线交边于点，且，则边c的大小为 .【答案】/【详解】由可得： ，故，所以 ，由于 ,故 ,故由可得： ，又 ，故，联立 ，解得 ，故 ，故 ，故答案为：8（2023全国高三专题练习）在中，A的角平分线与BC边相交于D，则AB边的长度为 【答案】2或3/3或2【详解】由题意得，由，可得，所以，又由余弦定理，有，可得，

12、所以，解得，又由，可得或故答案为：2或39（2022安徽统考模拟预测）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c若AD为ABC的角平分线，且，则ABC面积为 【答案】/【详解】因为，所以，由正弦定理边化角可得：，所以，所以，因为，所以，所以，即，因为，所以，解得，由余弦定理可得，整理可得，又，所以，整理得，所以，解得或-1（舍），所以.故答案为：10（2023四川绵阳统考二模）在三角形ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c已知，(1)求边b的长；(2)延长BC至D，使得，连接AD已知为锐角，且它的角平分线与AB交于点E，若外接圆半径为求长【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以由

13、正弦定理可得，所以又因为，所以，即，（2）由（1）可知，在中，由正弦定理：，可得：，所以，为锐角，由可得：即因为，所以，在中，由余弦定理可求得，求得，代入可解得：11（2022秋重庆沙坪坝高三重庆一中校考阶段练习）的内角，的对边分别记为，若，从下面条件中任选一个作为已知条件，完成以下问题：；(1)求的面积；(2)若的角平分线与边交于点，延长至点使得，求【答案】(1)(2)【详解】（1）若选，则，又若选，则，由正弦定理可得：若选，由得，且，则，由得，则，由正弦定理可得：；（2）由角平分线的性质知：，在中，由余弦定理知：，故，在中，由正弦定理知：，即，故在中，由余弦定理知：，故12（2023陕西西

14、安陕西师大附中校考模拟预测）在中，角的对边分别为，已知，(1)求角的大小；(2)若的角平分线交于点，且，求的最小值，【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以，所以，由于，则，所以，即，又，所以.（2）因为的角平分线交于点，且，根据三角形面积公式可得，等式两边同除以可得，则，则，当且仅当，即时，等式成立，故的最小值为.13（2022秋四川绵阳高三四川省绵阳江油中学校考阶段练习）在ABC中，(1)求B的值；(2)给出以下三个条件：；，；，若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：（i）求的值；（ii）求ABC的角平分线BD的长【答案】(1)(2)正确条件为，（i），（ii）【

15、详解】（1）由题设，而，所以，故；（2）若正确，则，得或，所以有一个错误条件，则是正确条件，若正确，则，可得，即为错误条件，综上，正确条件为，（i）由，则，即，又，可得，所以，可得，则，故；（ii）因为且，得，由平分得，在中，在中，由，得14（2023秋江西吉安高三吉安一中校考开学考试）如图，在中，内角，的对边分别为，已知，且为边上的中线，为的角平分线(1)求及线段的长；(2)求的面积【答案】(1)，BC6(2)【详解】（1）由题意在中，而，由余弦定理得（舍去），即.（2）在中，AE平分BAC，由正弦定理得：，其中，则,AD为BC边的中线，.15（2022全国高三专题练习）在；两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， (1)求角C的大小；(2)若ACB的角平分线CD交线段AB于点D，且，求ABC的面积【答案】(1)；(2).【详解】（1）选：由正弦边角关系得，再由余弦边角关系得，所以，而且，所以.选：，所以，即，又，则且，所以，可得，所以.（2）过作交延长线于，因为为角平分线，且，则，由，则，又，所以，故，又，故为等边三角形，则，结合（1）结论，ABC的面积为.