专题06 【五年中考 一年模拟】二次函数压轴题-备战2023年江苏盐城中考数学真题模拟题分类汇编（解析版）.docx

1、专题06 二次函数压轴题1（2022盐城）【发现问题】小明在练习簿的横线上取点为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律【提出问题】小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上【分析问题】小明利用已学知识和经验，以圆心为原点，过点的横线所在直线为轴，过点且垂直于横线的直线为轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为 或【解决问题】请帮助小明验证他的猜想是否成立【深度思考】小明继续思考：设点，为正整数，以为

2、直径画，是否存在所描的点在上若存在，求的值；若不存在，说明理由【答案】见解析【详解】【分析问题】解：根据题意，可知：所描的点在半径为5的同心圆上时，其纵坐标，横坐标，点的坐标为或【解决问题】证明：设所描的点在半径为为正整数）的同心圆上，则该点的纵坐标为，该点的横坐标为，该点的坐标为，或，该点在二次函数的图象上，小明的猜想正确【深度思考】解：设该点的坐标为，的圆心坐标为，又，均为正整数，存在所描的点在上，的值为42（2021盐城）学习了图形的旋转之后，小明知道，将点绕着某定点顺时针旋转一定的角度，能得到一个新的点，经过进一步探究，小明发现，当上述点在某函数图象上运动时，点也随之运动，并且点的运动

3、轨迹能形成一个新的图形试根据下列各题中所给的定点的坐标、角度的大小来解决相关问题【初步感知】如图1，设，点是一次函数图象上的动点，已知该一次函数的图象经过点（1）点旋转后，得到的点的坐标为 ；（2）若点的运动轨迹经过点，求原一次函数的表达式【深入感悟】如图2，设，点是反比例函数的图象上的动点，过点作二、四象限角平分线的垂线，垂足为，求的面积【灵活运用】如图3，设，点是二次函数图象上的动点，已知点、，试探究的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由【答案】见解析【详解】【初步感知】（1）如图1，轴，由旋转可得：轴，；故答案为：；（2），由题意得，在原一次函数图象上，设原一次函数解

4、析式为，则，解得：，原一次函数解析式为；【深入感悟】设双曲线与二、四象限角平分线交于点，则：，解得：，当时，过点作轴于，连接，过点作于点，如图2，在和中，即当时，过点作轴于点，过点作于点，如图3，在和中，综上所述，的面积为【灵活运用】的面积有最小值，如图4，连接，将，绕点逆时针旋转得，作轴于点，为等边三角形，此时与重合，即，连接，在和中，作轴于，在中，此时的函数表达式为：，设过且与平行的直线解析式为，当直线与抛物线相切时取最小值，则，即，当时，得，设与轴交于点，连接，3（2020盐城）以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题（）在中，在探究三边关系

5、时，通过画图，度量和计算，收集到一组数据如下表：（单位：厘米）2.82.72.62.321.50.40.40.81.21.622.42.83.23.53.83.943.93.2（）根据学习函数的经验，选取上表中和的数据进行分析：，以为坐标，在图所示的坐标系中描出对应的点：连线：观察思考（）结合表中的数据以及所画的图象，猜想当x_时，最大；（）进一步猜想：若中，斜边为常数，则BC_时，最大推理证明（）对（）中的猜想进行证明问题1，在图中完善（）的描点过程，并依次连线；问题2，补全观察思考中的两个猜想：（）；（）；问题3，证明上述（）中的猜想；问题4，图中折线是一个感光元件的截面设计草图，其中点，

6、间的距离是4厘米，厘米平行光线从区域射入，线段、为感光区域，当的长度为多少时，感光区域长度之和最大，并求出最大值【答案】见解析【详解】问题1：函数图象如图所示：问题（）观察图象可知，时，有最大值（）猜想：故答案为：2，问题3：设，在中，关于的一元二次方程有实数根，当时，当时，有最大值问题4：延长交的延长线于，过点作于，过点作于交于在中，在中，四边形为矩形，四边形是矩形，在中，由问题3可知，当时，的值最大，此时，时，的最大值为，此时4（2019盐城）如图所示，二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点，点在点的右侧，直线分别与、轴交于、两点，其中（1）求、两点的横坐标；（2）若是以为腰的等腰三角形

7、，求的值；（3）二次函数图象的对称轴与轴交于点，是否存在实数，使得，若存在，求出的值；若不存在，说明理由【答案】（1）点、的坐标横坐标分别为1和2；（2）或或；（3）见解析【详解】（1）将二次函数与一次函数联立得：，解得：和2，故点、的坐标横坐标分别为1和2；（2），当时，即：，解得：（舍去；当时，解得：或；故的值为：或或；（3）存在，理由：当点在轴上方时，过点作于点，将的图形放大见右侧图形，过点作的角平分线交于点，过点作于点，过点作轴于点，图中：点、点，则，设：，则，则，由勾股定理得：，即：，解得：，在中，解得：，此时，则，故：舍去正值，故；当点在轴下方时，同理可得：，解得：或，此时，故舍去

8、，故的值为：或5（2018盐城）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点、两点，且与轴交于点（1）求抛物线的表达式；（2）如图，用宽为4个单位长度的直尺垂直于轴，并沿轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于、两点（点在点的左侧），连接，在线段上方抛物线上有一动点，连接、（）若点的横坐标为，求面积的最大值，并求此时点的坐标；（）直尺在平移过程中，面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由【答案】见解析【详解】（1）将、代入，得：，解得：，抛物线的表达式为（2）当点的横坐标为时，点的横坐标为，此时点的坐标为，点的坐标为，设直线的表达式为，将，、，代入，得：，解得：，直线的

9、表达式为如图，过点作轴交直线于点，设点的坐标为，则点的坐标为，当时，的面积取最大值，最大值为8，此时点的坐标为，假设存在，设点的横坐标为，则点的横坐标为，点的坐标为，点的坐标为，利用待定系数法易知，直线的表达式为设点的坐标为，则点的坐标为，当时，的面积取最大值，最大值为8假设成立，即直尺在平移过程中，面积有最大值，面积的最大值为86（2022盐城一模）已知抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点（1）点的坐标为 ；直线的解析式为 ；如图1，若点是直线下方抛物线上的一个动点（点不与点、重合），求面积的最大值；（2）如图2，若点是线段上一动点（不与、重合），点是线段上一点，设，当在何范围取

10、值时，点总存在两个不同的位置使；（3）如图3，点是轴上方的抛物线上一点，若，请直接写出点的横坐标为 【答案】（1）点的坐标为，直线的解析式为；当时，面积的最大值；（2）；（3）【详解】（1）点的坐标为，直线的解析式为；当时，面积的最大值（2）如图2，过点作轴于，直线的解析式为，点是线段上一个动点，设，且，则，中，点总存在两个不同的位置使，此方程有两个不相等的实数根，解得：，满足的条件为：（3）点横坐标为如图3，设，过点作轴于，连接，作的平分线交轴于，过点作轴交于，则，是等腰直角三角形，轴，轴，是轴上方的抛物线上一点，为锐角，点在第一象限的抛物线上，解得：，不符合题意，舍去，点横坐标为7（202

11、2建湖县一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点和点，与轴交于点、（点在点的左边），且点与点关于坐标原点对称（1）求该二次函数解析式，并判断点是否在此函数的图象上，并说明理由；（2）若点为此抛物线上一点，它关于轴，轴的对称点分别为，问是否存在这样的点使得，恰好都在直线上？如存在，求出点的坐标，如不存在，请说明理由；（3）若第四象限有一动点，满足，过作轴于点，设坐标为，的内心为，连接，直接写出的最小值【答案】见解析【详解】（1）二次函数的图象过点和点，解得，点与点关于坐标原点对称，把代入，得：，在此抛物线上；（2）设直线的解析式为，解得，直线的解析式为，假设此抛物线上存在这样的点，使得它关于

12、轴，轴的对称点，恰好都在直线上，解得，故所求点的坐标为或；（3）如图1，连接，作的外接圆，连接，过点作轴于点，轴，的内心为，分别平分，在和中，是的外接圆，轴，当且仅当，三点共线时，取得最小值，的最小值为8（2022亭湖区校级一模）已知抛物线为常数且与轴交于点（1）点的坐标为 ；对称轴为 （用含的代数式表示）；（2）无论取何值，抛物线都过定点（与点不重合），则点的坐标为 ；（3）若，且自变量满足时，图象最高点的纵坐标为2，求抛物线的表达式；（4）将点与点之间的函数图象记作图象（包含点、，若将在直线下方的部分保持不变，上方的部分沿直线进行翻折，可以得到新的函数图象，若图象上仅存在两个点到直线的距离

13、为2，求的值【答案】（1）；（2）；（3）；（4）若图象上仅存在两个点到直线的距离为2，的值为或【详解】（1）令，则，；抛物线的对称轴为直线，故答案为：；（2）抛物线，又无论取何值，抛物线都过定点（与点不重合），当时，故答案为：；（3），抛物线开口方向向下由（1）知：抛物线的对称轴为直线，若，则，与矛盾，不合题意；若，则，此时，抛物线的顶点为图象最高点，即当时，函数的值为2，解得：或（不合题意，舍去）；若，则，此时，点是满足时，图象的最高点，此种情况不存在，综上，满足条件的抛物线的表达式为；（4），将点沿直线进行翻折后得到的对称点的坐标为，点到直线的距离为1当时，图象上仅存在两个点到直线的距离

14、为2，此时，抛物线的顶点的纵坐标为，解得：，或（不合题意，舍去），；当时，图象上仅存在两个点到直线的距离为2，此时，抛物线的顶点的纵坐标为，解得：或，不合题意，舍去综上，若图象上仅存在两个点到直线的距离为2，的值为或9（2022盐城二模）若二次函数的图象经过点，其中、为常数（1）用含有字母的代数式表示抛物线顶点的横坐标；（2）点，、为坐标平面内的两点，连接、两点若抛物线的顶点在线段上，求的值；若抛物线与线段有且只有一个公共点，求的取值范围【答案】（1）；（2）；抛物线与线段有且只有一个公共点时，的取值范围是或或【详解】（1）的图象经过点，即当时，对称轴，抛物线顶点的横坐标为；（2）抛物线的顶点

15、在线段上，且点，、，顶点纵坐标为1，且，当时，即，整理得：，解得：，检验，当时，；对称轴，当时，对称轴在点的右侧，即，抛物线与线段有且只有一个公共点，点，、，当时，即，解得：，当时，即，解得：，当，且时，对称轴在点的左侧，即，抛物线开口向下，且过点，当时，即，解得：，；由知，当时，抛物线顶点恰好在线段上，当时，抛物线与线段有且只有一个公共点，综上所述，抛物线与线段有且只有一个公共点时，的取值范围是或或10（2022滨海县一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，连接，直线交轴于点为直线上方抛物线上一动点，过点作轴的垂线，分别交直线、于点、（1）求抛物线的表达式：（2

16、）当点落在抛物线的对称轴上时，求的面积：（3）若点为轴上一动点，当四边形为矩形时，求点的坐标；在的条件下，第四象限内有一点，满足，当的周长最小时，求点的坐标【答案】（1）；（2）的面积是；（3）；，【详解】（1）抛物线与轴交于点、两点，抛物线的表达式为：，即；（2）如图：点落在抛物线的对称轴上，为抛物线的顶点，在中，令得，由，得直线的表达式为，把代入得，答：的面积是；（3）过点作于点，如图：过点，解得，直线的表达式为：，设，则，四边形为矩形，又，而，解得，即，；取的中点，如图：，点在的垂直平分线上，又，要使最小，只需最小，当点、共线时，的周长最小，此时，点即为的垂直平分线与直线的交点，在中，令

17、得：，解得，11（2022盐城一模）对于平面内的两点、，作出如下定义：若点是点绕点旋转所得到的点，则称点是点关于点的旋转点；若旋转角小于，则称点是点关于点的锐角旋转点如图1，点是点关于点的锐角旋转点（1）已知点，在点，中，是点关于点的锐角旋转点的是 （2）已知点，点在直线上，若点是点关于点的锐角旋转点，求实数的取值范围（3）点是轴上的动点，点是以为圆心，3为半径的圆上一个动点，且满足若直线上存在点关于点的锐角旋转点，请直接写出的取值范围【答案】（1），；（2）；（3）【详解】（1）如图，点不是点关于点的锐角旋转点；，作轴于点，点是点关于点的锐角旋转点；，作轴于点，则，不是点关于点的锐角旋转点；

18、，作轴于点，则，是点关于点的锐角旋转点；综上所述，在点，中，是点关于点的锐角旋转点的是，故答案为：，（2）在轴上取点，当直线经过点时，可得，当直线经过点时，则，解得：，当时，绕点逆时针旋转锐角时，点一定可以落在某条直线上，过点作直线，垂足在第四象限时，如图，则，当时，取得最小值，（3）根据题意，点关于点的锐角旋转点在半圆上，设点在半圆上，点在半圆上（将半圆绕点旋转），如图3（1），半圆扫过的区域为图3（1）中阴影部分，如图3（2）中，阴影部分与直线相切于点，过点作轴于点，过点作于点，即，解得，如图3（3）中，阴影部分与相切于点，则，解得，观察图象可知，12（2022建湖县二模）如图，在平面直角

19、坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，直线恰好经过、两点（1）求二次函数的表达式；（2）点为第三象限抛物线上一点，连接，过点作，垂足为，若，求点的坐标；（3）设是抛物线上的一个动点，连结、，若，求点的坐标【答案】（1）；（2）；（3），或，【详解】（1）令，则，令，则，将点，代入，；（2）过点作轴于，设，解得：，（舍，；（3）设，如图2，过点作交于点，在上截取，时，或，在中，在中，解得，解得（舍或或，点坐标为，或，13（2022亭湖区校级二模）如图，抛物线经过点，与轴正半轴交于点，且，抛物线的顶点为，直线经过，两点，与对称轴交于点（1）求抛物线及直线的函数表达式；（2）点是直线上方抛物线

20、上的动点，连接，得到，求出面积的最大值及此时点的坐标；（3）直线交线段于点，若以点，为顶点的三角形与相似，求的值；（4）点在对称轴上，满足，求出点的坐标【答案】（1）抛物线：；直线：；（2）当时，的面积有最大值3，此时；（3）的值为3或2；（4）点坐标为或【详解】（1），将点，代入，解得，；直线的解析式为，解得，直线的解析式为；（2），过点作轴交于点，设，则，当时，的面积有最大值3，此时；（3），设，当时，解得或，或，点在上，或（舍；当时，解得，解得或，或，或（舍；综上所述：的值为3或2；（4），以为圆心4为半径做圆，圆与直线的交点为点，设，解得（舍或，；以为圆心4为半径作圆，圆与直线的交点为

21、，解得或（舍，；综上所述：点坐标为或14（2022射阳县一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴的交点为，过点作直线垂直于轴（1）当时，求抛物线的顶点坐标；（2）若点，都在抛物线上，则，的大小关系为 ；（3）将抛物线在轴左侧的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，组成图形点，为图形上任意两点当时，若，判断与的大小关系，并说明理由；若对于，都有，求的取值范围【答案】（1）；（2）；（3）见解析；的取值范围为【详解】（1）当时，抛物线的解析式为：，抛物线的顶点坐标为；（2）抛物线的对称轴为，抛物线开口向下，时函数取得最大值，离对称轴距离越远，函数值越小，且点，都在抛物线上，故答案为：；（3）理由：当时

22、，二次函数解析式是，对称轴为轴；所以图形上的点的横纵坐标和，满足随的增大而减小；，；时，时，为抛物线上关于对称轴对称的两点，下面讨论当变化时，轴与点，的相对位置：如图，当轴在点左侧时（含点，经翻折后，得到点，的纵坐标相同，不符题意；如图，当轴在点右侧时（含点，经翻折后，点，的纵坐标相同，不符题意；如图4，当轴在点，之间时（不含，经翻折后，点在下方，点，重合，在上方，符合题意此时有，即综上所述，的取值范围为15（2022东台市模拟）如图，已知点，点，直线过点交轴于点，交轴于点，抛物线经过点、，连接、（1）求抛物线的表达式；（2）判断的形状，并说明理由；（3）为直线上方的抛物线上一点，且，求点的坐

23、标；（4）为线段上的动点，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段运动到点，再以每秒个单位长度的速度沿线段运动到点，又以每秒1个单位长度的速度沿线段向点运动，当点运动到点后停止，请直接写出上述运动时间的最小值及此时点的坐标【答案】（1）；（2）见解析；（3），；（4）此时坐标为【详解】（1）直线过点，交轴于点，解得：，将、代入，得：，解得：，抛物线的表达式为；（2）为直角三角形，且，理由如下：点，点，点，为直角三角形，且；（3）由（2）知，如图1，延长至，使，连接，则点、关于点对称，点为直线与抛物线的交点，设直线的解析式为，则，解得：，直线的解析式为，联立方程组，解得：或（舍去），故点坐标

24、为，；（4）过作于，过作交于，连接，则，又，点运动时间，当、三点共线时，最小，点运动时间的最小值为，由直线的表达式得点坐标为，点与点重合，则点（即为直线与直线的交点，由点和得直线的表达式为，由点和得直线的表达式为，联立方程组，解得：，此时坐标为16（2022亭湖区校级三模）阅读感悟：“数形结合”是一种重要的数学思想方法，同一个问题有“数”、“形”两方面的特性，解决数学问题，有的从“数”入手简单，有的从“形”入手简单，因此，可能“数” “形”或“形” “数”，有的问题需要经过几次转化这对于初、高中数学的解题都很有效，应用广泛解决问题：已知，点为二次函数图象的顶点，直线分别交轴正半轴和轴于点，（1

25、）判断顶点是否在直线上，并说明理由；（2）如图1，若二次函数图象也经过点，且，结合图象，求的取值范围；（3）如图2，点坐标为，点在内，若点，都在二次函数图象上，试比较与的大小【答案】见解析【详解】（1）点在直线上，理由如下：，顶点的坐标是，把代入，得，点在直线上；（2）如图1，直线交轴于点，点坐标为，又在抛物线上，解得，二次函数的解析是为，当时，解得，由图象，得当时，的取值范围是或；（3）如图2，直线与直线交于点，与轴交于，设直线的函数关系式为：，将，代入得，解得，直线的解析式为，联立，得方程组，解得，点，而点坐标为，点在内，当点，关于抛物线的对称轴对称时，且二次函数图象开口向下，顶点在直线上

26、，综上：当时，；当时，；当时，17（2022滨海县模拟）如图1，直线与、轴分别相交于、两点，将绕点逆时针旋转得到，过点、的抛物线叫做直线的关联抛物线，而直线叫做抛物线的关联直线（1）已知直线，求直线的关联抛物线的表达式；（2）若抛物线，求它的关联直线的表达式；（3）如图2，若直线，为中点，为中点，连接，为中点，连接若，求直线的关联抛物线的表达式；（4）在（3）的条件下，将直线绕着点旋转得到新的直线，若点，与点，分别是抛物线与直线上的点，当时，请直接写出的取值范围【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【详解】（1），当时，；当时，即，解得，由旋转的性质可知，设的解析式为，则，解得：，；（2），令

27、，即，解得，有旋转的性质可知，设的解析式为，则，解得，；（3）连接、，有旋转的性质可知，是等腰直角三角形，又，在中，在中，当时，点，即由旋转的性质可知，点在中，设的解析式为，则，解得，；（4）由旋转的性质可知，经过点，即根据题意可知，当时，分析与的位置关系可知，只需当时，即可，即，解得：的取值范围是：18（2022亭湖区校级模拟）已知：二次函数的图象与轴交于、两点，在左侧，且，与轴交于点（1）求点坐标，并判断的正负性；（2）设这个二次函数的图象的对称轴与直线相交于点，已知，直线与轴交于点，连接若的面积为16，求该二次函数的表达式【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）在中，令，则，图像与轴交

28、于、两点，在左侧，且，对称轴在轴右侧，；（2）过点作轴，垂足为，则，设，则，则，设，令，则，19（2022射阳县校级一模）如图，在平面直角坐标系，已知二次函数的图象过点，顶点为，连接、（1）求二次函数的表达式；（2）若是的中点，点在线段上，设点关于直线的对称点为，当为等边三角形时，求的长度；（3）若点在线段上，点、在的边上，且满足与全等，求点的坐标【答案】（1）；（2）；（3）点的坐标为：，或，或，或或【详解】（1）将点的坐标代入二次函数的解析式得：，解得，二次函数的表达式为（2），抛物线的对称轴为如图1所示：由两点间的距离公式得：，是的中点，为等边三角形，又点与点关于对称，在中，（3）分两种

29、情况：当在边上时，如图2，过作轴，垂足为，且在线段上，由（2）得：，点在线段上，则，点的坐标为，；如图3，过作轴于，过作轴，交于，连接，过作轴于，同理可得：，的坐标为，；如图4，将沿边翻折，使得恰好落在边上，记为点，过作轴于，过作于，由翻折的性质得：，在中，由勾股定理得：，则，点的坐标为：，；当点在上时，过作轴，交于，连接与，轴，由抛物线的对称性得：，则，则，和重合，则点的坐标为；如图6，由可知：当与重合时，与重合，此时点；综上所述，点的坐标为：，或，或，或或20（2022射阳县校级二模）在平面直角坐标系中，抛物线，顶点为，直线与抛物线交于点，点（1）求抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示）（2

30、）横、纵坐标都是整数的点叫做整点当时，求抛物线与直线围成的封闭区域内（不包含边界）的整点坐标；当抛物线与直线围成的封闭区域内有且只有1个整点时，求的取值范围【答案】（1）抛物线的顶点的坐标为；（2）抛物线与直线围成的封闭区域内（不包含边界）的整点坐标为；满足条件的的取值范围为或【详解】（1）抛物线，抛物线的顶点的坐标为；（2），抛物线的解析式为（），直线的解析式为（），联立（）（）解得，或，令抛物线为，直线的解析式为，当时，而和之间存在整数1，抛物线与直线围成的封闭区域内（不包含边界）的整点坐标为，当时，而于1之间不存在整数，即抛物线与直线围成的封闭区域内（不包含边界）的整点坐标为；联立抛物线

31、与直线的解析式得，解得，或，令抛物线为，直线的解析式为，当时，当时，而，点必在区域内，抛物线与直线围成的封闭区域内有且只有1个整点，点，不在区域内，且，即，当时，抛物线与直线围成的封闭区域内有且只有1个整点，不在区域内，即：；当时，当时，而，点必在区域内，抛物线与直线围成的封闭区域内有且只有1个整点，点，不在区域内，且，即，当时，抛物线与直线围成的封闭区域内有且只有1个整点，不在区域内，即：；即：满足条件的的取值范围为或21（2022亭湖区校级三模）已知抛物线，其中为实数（1）若抛物线经过点，求的值；（2）若抛物线经过点，试说明；（3）当时：二次函数的函数值恒成立，求的取值范围【答案】（1）；

32、（2）见解析；（3）当时，二次函数的函数值恒成立，的取值范围为【详解】（1）将点代入中，得：，解得：；（2）抛物线经过点，二次函数二次项系数不为0，即，即，即；（3）二次函数为，对称轴，当时，当时，若，当时，二次函数的函数值恒成立，只需，此时无解；若，当时，二次函数的函数值恒成立，分以下三种情况：（一对称轴在直线或其左侧时，即，只需，解得，（二当时，只需顶点纵坐标为正，即，解得，（三当时，只需，此时无解，综上所述，当时，二次函数的函数值恒成立，的取值范围为22（2022亭湖区校级一模）如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，设抛物线的顶点为过点作轴，垂足为为线段上一动点，为轴上一点，且（1

33、）求抛物线的解析式；（2）当点与点重合时，求的值；在的条件下，将绕原点按逆时针方向旋转并平移，得到，点，的对应点分别是点，若的两个顶点恰好落在抛物线上，直接写出点的坐标；（3）当点在线段上运动时，求的变化范围【答案】（1）；（2）；，或，；（3）【详解】（1）将、代入抛物线解析式中得：，解得：，该抛物线的解析式为：；（2）为抛物线的顶点，当点与点重合时，如图所示：过点作轴，过点作轴平行线交延长线于点，由题意易得：，而，即，即，而四边形为矩形，即，；按题意，将绕原点按逆时针方向旋转得到，如图所示：显然此时、三点都不在抛物线上，故需要将平移才能得到两个顶点恰好落在抛物线上，根据、三点特点，可设：，

34、则，当经平移后在抛物线上，把，代入中：，解得：，故，当经平移后在抛物线上，把，代入中：，解得：，故，当经平移后在抛物线上，因为、在竖直方向，故不成立综上所述：，或，（3），点为线段上一动点，为轴上一点，且，如（2）中当点与点重合时，取得最大，随着向移动，随之变化，设存在一点使最小，如图所示：设，则；设，则，根据得：即：，可得关系式：，当，取得最小值，综上所述：23（2022射阳县校级三模）【了解概念】定义：在平面直角坐标系中，组成图形的各点中，与点连线段最短的点叫做点于这个图形的短距点，这条最短线段的长度叫做点这个图形的短距【理解运用】（1）已知点，以原点为圆心，1半径作，则点于的短距点的坐标

35、是 ；（2）如图，点，等边三角形的顶点的坐标为，顶点在第一象限，判断点于的短距点的个数，并说明理由；【拓展提升】（3）已知，点在第一象限内，且，若点到四边形的短距大于2，请直接写出的取值范围【答案】（1）；（2）见解析；（3）点到四边形的短距大于2，则或或【详解】（1）如图：根据短距点定义，点于的短距点为，坐标是，故答案为：；（2）点关于的短距点有3个，理由如下：过作于，于，于，如图：，是等边三角形，又，同理，即点关于的短距点有、，点关于的短距点有3个；（3），在直线上，直线经过、，且，当时，过作轴于，过作于，如图：是等腰直角三角形，若，则，而，由图可知：此时，点到四边形的短距大于2，当时，过

36、作于，设，作，过作，设，如图：，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，由图可知：此时，点到四边形的短距大于2，当时，过作轴于，如图：由，是等腰直角三角形得：，由图可知：此时，点到四边形的短距大于2，综上所述：点到四边形的短距大于2，则或或24（2022射阳县校级三模）已知抛物线（1）求抛物线的对称轴；（2）过点作轴的垂线，与抛物线交于不同的两点，（不妨设点在点的左侧）当时，求线段的长；当时，若，求的值；当时，若，直接写出的取值范围【答案】（1）；（2）2；，则或【详解】（1）抛物线的对称轴为；（2）过点作轴的垂线，与抛物线交于不同的两点，设，则、是的二根，；当时，、是的二根，即，解得，时，的判别式，；当时，、是的二根，此时，即，解得或，点在点的左侧，分三种情况：（一若，、都不在轴左侧），总成立，此时，可得或，结合，可得此时或，（二若，在轴左侧，不在轴左侧），解得，此时，为，在轴上，故舍去；（三）若，、都在轴左侧），则，可得，这与、是的二根，矛盾，这种情况不存在；综上所述，则或