专题06 一元一次方程(解析版).docx

1、专题06 一元一次方程 【专题目录】技巧1：巧用一元一次方程求字母系数的值技巧2：特殊一元一次方程的解法技巧【题型】一、一元一次方程概念【题型】二、一元一次方程的解法【题型】三、一元一次方程应用之配套问题和工程问题【题型】四、一元一次方程应用之销售盈亏问题【题型】五、一元一次方程应用之比赛积分问题【考纲要求】1、了解等式、方程、一元一次方程的概念，掌握等式的基本性质 2、掌握一元一次方程的标准形式，熟练掌握一元一次方程的解法3、会列方程(组)解决实际问题.【考点总结】一、一元一次方程整式方程一元一次方程概念只含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的整式方程，叫做一元一次方程。其一般形式是ax+

2、b=0(a,b为常数，且a0).解法解法依据是等式的基本性质.性质：若a=b，则am=bm；性质：若a=b，则am=bm；若a=b，则(d0).解法的一般步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；未知数的系数化为1.【注意】一元一次方程的特征1. 只含有一个未知数x2. 未知数x的次数都是13. 等式两边都是整式，分母中不含未知数。2解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)未知数的系数化为1.【技巧归纳】技巧1：巧用一元一次方程求字母系数的值【类型】一、利用一元一次方程的定义求字母系数的值1已知方程(m2)x|m|1160是关于x的一元一次方程，

3、求m的值及方程的解2已知方程(3a2b)x2axb0是关于x的一元一次方程，求方程的解3已知(m21)x2(m1)x80是关于x的一元一次方程，求式子199(mx)(x2m)9m17的值【类型】一、利用方程的解求字母系数的值题型1：利用方程的解的定义求字母系数的值4关于x的方程a(xa)b(xb)0有无穷多个解，则()Aab0 Bab0 Cab0 D.05关于x的方程(2ab)x10无解，则ab是()A正数 B非正数 C负数 D非负数6已知关于x的方程9x3kx14有整数解，那么满足条件的整数k_7已知x是方程6(2xm)3m2的解，求关于y的方程my2m(12y)的解8当m取什么整数时，关于

4、x的方程mx的解是正整数？题型2：利用两个方程同解或解具有已知倍数关系确定字母系数的值9如果方程8的解与关于x的方程2ax(3a5)5x12a20的解相同，确定字母a的值题型3：利用方程的错解确定字母系数的值10小马虎解方程1，去分母时，方程右边的1忘记乘6，其他步骤都正确，这时方程的解为x2，试求a的值，并正确解方程参考答案1解：由题意，得所以m2.将m2代入原方程，得4x160，解得x4.2.解：由题意，得所以3a2b，即ab.当3a2b0时，原方程可化为axb0，则x.将ab代入方程的解中，得x.3解：由题意，得所以m1.当m1时，原方程可化为2x80，解得x4.当m1，x4时，199(

5、mx)(x2m)9m171995291172 016.4A5.B6.8，8，10或267解：将x代入方程6(2xm)3m2，得63m2，解得m.将m代入方程my2m(12y)，得y2(12y)，解得y.点拨：已知一元一次方程的解，确定关于某一个未知数的方程中另外一个字母的值，只需把未知数的值(方程的解)代入原方程，即可得出含另一个字母的方程，通过求解确定另一个字母的值，从而进行关于其他字母的计算8解：原方程可化为mxx，所以(m1)x1，所以(m1)x2.因为x必须为正整数且m为整数，故m11或2.当m11，即m2时，x2；当m12，即m3时，x1.所以当m2或3时，方程的解为正整数9解：8，

6、去分母，得2(x4)483(x2)去括号、移项、合并同类项，得5x50.系数化为1，得x10.把x10代入方程2ax(3a5)5x12a20，得2a10(3a5)51012a20，去括号、移项，得20a3a12a55020.合并同类项，得5a75，系数化为1，得a15.10解：由题意得4x23x3a1，移项、合并同类项，得x3a1.因为x2，所以23a1，则a.当a时，原方程为1，解得x3.技巧2：特殊一元一次方程的解法技巧【类型】一、分子、分母含小数的一元一次方程题型1：巧化分母为11解方程：.2解方程：10.题型2：巧化同分母3解方程：1.题型3：巧约分去分母4解方程：6.57.5.【类型

7、】二、分子、分母为整数的一元一次方程题型1：巧用拆分法5解方程：.6解方程：1.题型2：巧用对消法7解方程：3.题型3：巧通分8解方程：.【类型】三、含括号的一元一次方程题型1：利用倒数关系去括号9解方程：x2.题型2：整体合并去括号10解方程：x(x9)题型3：整体合并去分母11解方程：(x5)3(x5)题型4：不去括号反而添括号12解方程：(x1)题型5：由外向内去括号13解方程：20.题型6：由内向外去括号14解方程：2x.参考答案1解：去分母，得2(4x1.6)5(3x5.4)10(1.8x)去括号、移项、合并同类项，得3x5.8.系数化为1，得x.点拨：本题将各分数分母化为整数1，从

8、而巧妙地去掉了分母，给解题带来了方便 .2解：去分母、去括号，得8x42x410.移项、合并同类项，得6x18.系数化为1，得x3.点拨：由0.2541，0.521，可巧妙地将分母化为整数1.3解：化为同分母，得.去分母，得0.1x0.160.5x0.06.解得x.4解：原方程可化为1.去分母，得46x0.010.01x.解得x.点拨：本题将第二个分数通过约分处理后，使两个分数的分母相同，便于去分母5解：拆项，得2.移项、合并同类项，得2.系数化为1，得x4.点拨：方程通过拆项处理后，便于合并同类项，使复杂方程简单化6解：拆项，得1.整理得x1.解得x.点拨：因为x，所以把方程的左边每一项拆项

9、分解后再合并就很简便 .7解：原方程可化为，即.所以x.点拨：此题不要急于去分母，通过观察发现，两边消去这一项可避免去分母运算8解：方程两边分别通分后相加，得.化简，得.解得x.点拨：本题若直接去分母，则两边应同乘各分母的最小公倍数420，运算量大容易出错，但是把方程左右两边分别通分后再去分母，会给解方程带来方便9解：去括号，得13x2.移项、合并同类项，得x6.系数化为1，得x8.点拨：观察方程特点，由于与互为倒数，因此让乘以括号内的每一项，则可先去中括号，同时又去小括号，非常简便10解：原方程可化为xx(x9)(x9)0.合并同类项，得x0.系数化为1，得x0.11解：移项，得(x5)(x

10、5)3.合并同类项，得x53.解得x8.点拨：本题将x5看成一个整体，通过移项、合并同类项进行解答，这样避免了去分母，给解题带来简便12解：原方程可化为(x1)1(x1)(x1)去中括号，得(x1)(x1)(x1)移项、合并同类项，得(x1).解得x.13解：去中括号，得220.来源:学科网去小括号，得x0.移项，得x.系数化为1，得x3.14解：去小括号，得2xxx.去中括号，得x1x.移项，合并同类项，得x1.系数化为1，得x.【题型讲解】【题型】一、一元一次方程概念例1、关于的一元一次方程的解为，则的值为（ ）A9B8C5D4【详解】解：因为关于x的一元一次方程2xa-2+m=4的解为x

11、=1，可得：a-2=1，2+m=4，解得：a=3，m=2，所以a+m=3+2=5，故选：C【题型】二、一元一次方程的解法例2、解一元一次方程时，去分母正确的是（ ）ABCD【答案】D【分析】根据等式的基本性质将方程两边都乘以6可得答案【详解】解：方程两边都乘以6，得：3（x+1）62x，故选：D例3、解方程：【答案】【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，依此即可求解【详解】解：【题型】三、一元一次方程应用之配套问题和工程问题例4、某车间有22名工人，每人每天可生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉需配2个螺母，为使生产的螺钉和螺母刚好配套，若设x名工人生产螺钉，依题意列方

12、程为（）A1200x2000（22x）B1200x22000（22x）C1200（22x）2000xD21200x2000（22x）【答案】D【分析】首先根据题目中已经设出每天安排x个工人生产螺钉，则（22-x）个工人生产螺母，由1个螺钉需要配2个螺母，可知螺母的个数是螺钉个数的2倍，从而得出等量关系，就可以列出方程【详解】解：设每天安排x个工人生产螺钉，则（22-x）个工人生产螺母，利用一个螺钉配两个螺母由题意得：21200x=2000（22-x），即21200x=2000（22-x），故选D【题型】四、一元一次方程应用之销售盈亏问题例5、随着传统节日“端午节”临近，某超市决定开展“欢度端午

13、，回馈顾客”的活动，将进价为120元一盒的某品牌粽子按标价的8折出售，仍可获利20%，则该超市该品牌粽子的标价为_元（）A180B170C160D150【答案】A【分析】设该超市该品牌粽子的标价为x元，则售价为80%x元，根据等量关系：利润=售价进价列出方程，解出即可【详解】解：设该超市该品牌粽子的标价为x元，则售价为80%x元，由题意得：80%x120=20%120，解得：x=180即该超市该品牌粽子的标价为180元故选：A【题型】五、一元一次方程应用之比赛积分问题例6、一张试卷有25道选择题，做对一题得4分，做错一题得-1分，某同学做完了25道题，共得70分，那么他做对的题数是（ ）A17

14、道B18道C19道D20道【答案】C【分析】设作对了x道，则错了（25-x）道，根据题意列出方程进行求解.【详解】设作对了x道，则错了（25-x）道，依题意得4x-(25-x)=70，解得x=19故选C.一元一次方程（达标训练）一、单选题1（2020浙江模拟预测）下列各式：；其中是一元一次方程的有（）A1个B2个C3个D4个【答案】B【分析】根据一元一次方程的定义逐个判断即可【详解】解：不含未知数，故错未知数的最高次数为2，故错含一个未知数，次数为1，是等式且两边均为整式，故对左边不是整式，故错不是等式，故错含一个未知数，次数为1，是等式且两边均为整式，故对故选：B【点睛】本题考查了一元一次方

15、程的定义，熟练掌握并理解一元一次方程的定义是解本题的关键2（2022浙江温州三模）解方程，以下去分母正确的是（）ABCD【答案】D【分析】利用等式的性质在分式方程两边分别乘 即可【详解】A，故此选项不符合题意B，故此选项不符合题意C，故此选项不符合题意D，故此选项符合题意故选：D【点睛】本题主要考查了解分式方程去分母，根据等式的性质在分式方程两边分别乘以分母的最简公分母，熟练掌握等式的性质是解此题的关键3（2022重庆沙坪坝一模）若关于x的方程的解是，则a的值为（）AB9CD1【答案】D【分析】把代入方程计算即可求出a的值【详解】解：把代入方程得：，解得故选：D【点睛】本题考查了一元一次方程的

16、解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值4（2022河北石家庄二模）是下列哪个方程的解（）ABCD【答案】D【分析】把x1代入各选项进行验算即可得解【详解】解：A、5146，故本选项错误；B、，46，故本选项错误；C、当x=1时，x-1=0即分式的分母为0，故本选项错误；D、，故本选项正确故选：D【点睛】本题考查了方程的解的概念，使方程的左右两边相等的未知数的值是方程的解5（2022广东佛山市南海外国语学校三模）我国古代的洛书中记载了最早的三阶幻方九宫图在如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等，则的值是（）ABCD【答案】A【分析】根据幻方中，每一横行、每

17、一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等列出方程，即可求解【详解】解：设幻方正中间的数字为，依题意得：，解得：故选A【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键二、填空题6（2022四川达州二模）方程2x-3=5的解为_.【答案】x=4【分析】根据解一元一次方程的解法求解即可得【详解】解：2x-3=5，移项得2x=8，系数化为1得：x=4，故答案为：x=4【点睛】题目主要考查解一元一次方程，熟练掌握方法是解题关键7（2022四川广元二模）已知：A，B在数轴上对应的数分别用a，b表示，且若点C点在数轴上且满足，则C点对应的数为_【答案】8或20#20或8【分析】先根据非负数的性质

18、求出a，b的值，分C点在线段AB上和线段AB的延长线上两种情况讨论，即可求解【详解】解：a40，b120解得：a4，b12A表示的数是4，B表示的数是12设数轴上点C表示的数为cAC3BC|c4|3|c12|当点C在线段AB上时则c43（12c）解得：c8当点C在AB的延长线上时则c43（c12）解得：c20综上可知：C对应的数为8或20【点睛】本题考查了非负数的性质，方程的解法，数轴两点之间的距离，运用分类讨论思想方程思想和数形结合思想是解本题的关键三、解答题8（2022四川广元一模）解方程：【答案】【分析】先去括号，再移项，合并同类项，最后把未知数的系数化“1”，从而可得答案.【详解】解：

19、去括号，得.移项及合并同类项，得.系数化为1，得.【点睛】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握“解一元一次方程的步骤”是解本题的关键.9（2022湖南长沙市长郡双语实验中学二模）“小口罩，大温暖”，为有效防控疫情，缓解基层防疫物资短缺问题，2020年2月10日，福山区首批4万只口罩免费派发烟台市政府紧急调拨的这批民用口罩包括A，B两种不同款型，其中A型口罩单价100元，B型口罩单价80元(1)先进行试点发放，某社区环卫工人共收到A，B两种款型的口罩100盒，总价值共计9200元，求免费发放给该社区环卫工人的A型口罩和B型口罩各多少盒？(2)我区某街道办事处决定将此项公益活动在其整个街道社区全面

20、铺开，按照试点发放中A，B两种款型的数量比共发放2000盒若该社区人口平均每500人发放A型口罩m盒，B型口罩（）盒求该街道社区人口总数【答案】(1)免费发放给该社区环卫工人的A型口罩60盒，B型口罩40盒(2)该街道社区人口总数为50000人【分析】（1）设免费发放给该社区环卫工人的A型口罩x盒，B型口罩y盒，根据题意，列出方程，即可求解；（2）根据题意可得，从而得到m=12，即可求解(1)解：设免费发放给该社区环卫工人的A型口罩x盒，B型口罩y盒，依题意得：，解得：答：免费发放给该社区环卫工人的A型口罩60盒，B型口罩40盒(2)解：依题意得：，解得：m=12，m+3m28=20该街道社区

21、人口总数=500=50000（人）答：该街道社区人口总数为50000人【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键一元一次方程（提升测评）一、单选题1（2022湖北十堰一模）九章算术中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数，羊价各是多少？如果我们设合伙人数为x，则可列方程（）ABCD【答案】A【分析】根据每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，可以列出相应的一元一次方程，本题得以解决【详解】解：设合伙人数为

22、x，则可列方程为；故选：A【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程2（2022浙江温州二模）若代数式的值为8，则代数式的值为（）A0B11CD【答案】C【分析】由的值为8，求得x=0，再将x=0代入计算可得【详解】解：的值为8，2x+2+3x+6=8，x=0，当x=0时，2(-2)+3(-1)=-7故选：C【点睛】本题考查了解一元一次方程，代数式的求值，掌握解一元一次方程的解法是解题的关键3（2022河北石家庄市第四十一中学模拟预测）已知，下列等式不成立的是（）ABCD【答案】D【分析】根据等式的性质和合并同类项即可判断【详解】由，得，故A成立；，

23、故B成立；根据等式的性质，等式两边同加或减一个等式，左右两边仍相等，故C成立；，故D不成立；故选D【点睛】本题考查了等式的性质和合并同类项，熟记运算法则是解题的关键4（2022河北保定一模）已知分式：的某一项被污染，但化简的结果等于，被污染的项应为（）A0B1CD【答案】B【分析】设被污染的部分为p，然后根据等式的性质解关于p的方程，求出p的表达式即可【详解】解：设被污染的部分为p，则，故选：B【点睛】本题主要考查了分式的混合运算和利用等式的性质解一元一次方程，解题的关键是根据等式的性质解方程和掌握分式混合运算顺序和运算法则5（2022重庆三模）下列四种说法中正确的有（）关于x、y的方程存在整

24、数解若两个不等实数a、b满足，则a、b互为相反数若，则若，则ABCD【答案】B【分析】将提公因式2得，由x、y为整数，则为偶数，因为107为奇数，即原等式不成立，即可判断；将，整理得，即得出，由于实数a、b不相等，即得出a、b互为相反数，故可判断；整理得，即得，即，故可判断；由，得出，即可变形为，可以得出或，故可判断【详解】解：，如果x、y为整数，那么为偶数，107为奇数，不存在整数解，故错误；，实数a、b不相等，a、b互为相反数，故正确；，即，故正确；，即，或，故不一定正确综上可知正确的有故选B【点睛】本题考查因式分解，整式的混合运算熟练掌握完全平方公式是解题关键二、填空题6（2022山东临

25、沂一模）如图，用一块长7.5cm、宽3cm的长方形纸板，和一块长6cm、宽1.5cm的长方形纸板，与一块小正方形纸板以及另两块长方形纸板，恰好拼成一个大正方形，则小正方形的边长是_cm，拼成的大正方形的面积是_cm2【答案】 4.5 81【分析】设小正方形的边长为xcm，然后表示出大正方形的边长，利用正方形的面积相等列出方程求得小正方形的边长，然后求得大正方形的边长即可求得面积【详解】解：设小正方形的边长为xcm，则大正方形的边长为(6+7.5-x）cm或（x+3+1.5）cm，根据题意得：6+7.5-x=x+3+1.5，解得：x=4.5，则大正方形的边长为6+7.5-x=6+7.5-4.5=

26、9(cm）,大正方形的面积为92=81(cm2),故答案为：4.5；81【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，设出小正方形的边长并表示出大正方形的边长7（2022上海静安二模）方程的解是_【答案】x=1【分析】首先方程两边同时平方，把无理方程化为有理方程，再解方程即可求得【详解】解：方程两边同时平方，得3x-2=1，解得x=1，经检验，x=1是原方程的解，所以，原方程的解为x=1故答案为：x=1【点睛】本题考查了无理方程的解法，熟练掌握和运用无理方程的解法是解决本题的关键，注意要检验三、解答题8（2022河北育华中学三模）如图，数轴上a、b、c三个数所对应的点分别为A、

27、B、C，已知b是最小的正整数，且a、c满足(1)直接写出数a、c的值 ， ；求代数式的值；(2)若将数轴折叠，使得点A与点C重合，求与点B重合的点表示的数；(3)请在数轴上确定一点D，使得AD2BD，则D表示的数是 【答案】(1)-2，6；64(2)3(3)4或0【分析】（1）根据平方和绝对值的非负性即可求出a和c，把a和c的值代入求值即可；（2）根据题意，求出b的值，然后求出线段AC的中点，即可求出结论；（3）设点表示的数为，然后根据点D的位置分类讨论，分别根据列出方程即可分别求出结论（1）解： ，解得，故答案为：-2，6把，代入，；（2）解：b是最小的正整数，线段AC的中点为，设与点B重合的点表示的数为n，则(1+n)2=2，解得：n=3与点B重合的点表示的数是3故答案为：3（3）解：因为a=-2，b=1，c=6，设点表示的数为，若，分三种情况讨论：若点在点A的左侧，则x-2且，解得(不符合题意，舍去)；若点D在点A、B之间，则-2x1且x-(-2)=2(x-1)，解得：x=4综上所述，点表示的数是0或4故答案为：0或4【点睛】此题考查了非负性的应用、数轴上两点之间的距离、中点公式和一元一次方程的应用，解题的关键是掌握平方、绝对值的非负性、数轴上两点之间的距离公式、中点公式和等量关系