专题06 圆的弦被内(外)分成定比问题-2021-2022学年高二数学培优辅导（人教A版2019选择性必修第一册）.docx

1、专题06 圆的弦被内(外)分成定比问题【方法点拨】1.利用垂径定理通过二次解直角三角形求出弦长，进而求出“弦心距”，最后利用“点线距”列方程；2.利用圆幂定理(相交弦定理、切割线定理、割线定理)求出弦长，然后同上.3. （1）相交弦定理：如下左图，圆O的两条弦AB、PC相交于圆内一点P，则（2）如下右图，PT为圆O的切线，PAB、PCD为割线，则：(1)（切割线定理）; (2) （割线定理).说明：上述三个定理可以统一为(其中是半径)，统称为圆幂定理.【典型题示例】例1 在平面直角坐标系中，过点的直线与圆交于两点，其中点在第一象限，且，则直线的方程为 【答案】yx1【分析】本题思路有下列几种：

2、利用向量坐标设点转化，点参法；设直线方程的在x轴上的截距式，联立方程组；垂径定理后二次解三角形；相交弦定理；利用”爪”型结构,得,两边平方求得的余弦值.【解法一】：易知直线l的斜率必存在，设直线l的方程为yk(x1)由2，设BM2t，MAt.如图，过原点O作OHl于点H，则BH.设OHd，在RtOBH中，d22r25.在RtOMH中，d22OM21，解得d2，则d2，解得k1或k1.因为点A在第一象限， 2，由图知k1，所以所求的直线l的方程为yx1.【解法二】由，设BM2t，MAt 又过点M的直径被M分成两段长为、 由相交弦定理得，解之得 过原点O作OHl于点H，在RtOBH中，d22r25

3、，解得d2，（下同解法一，略）.【解法三】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1x2，y2)，(x11，y1)因为2，所以当直线AB的斜率不存在时，不符合题意当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为yk(x1)，联立得(1k2)y22ky4k20，则解得所以y1y2，即k21.又点A在第一象限，所以k1，即直线AB的方程为yx1.【解法四】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1x2，y2)，(x11，y1)因为2，所以即 又代入可得解得x12，代入可得y11.又点A在第一象限，故A(2,1)，由点A和点M的坐标可得直线AB的方程为yx1.点评：上述各种解法中，以解法一、解法二最简

4、、最优.例2 已知圆M：，过轴上的点存在一直线与圆M相交，交点为A、B，且满足PA=BA，则点P的横坐标的取值范围为 【答案】【解法一】取中点，连接、，设，则 ，相减得， ，即【解法二】由圆幂定理得：设，代人上式得：，即 【解法三】（利用圆中最长弦为直径，得出PA范围，而PA的两个端点都在动，以静制动，然后再将PA范围转化为PM范围问题）因为PA=BA，所以PA的最大值为2，故PM的最大值为4（下略）.【巩固训练】1. 在平面直角坐标系中，设直线与圆交于两点，为坐标原点，若圆上一点满足，则 2.在平面直角坐标系xOy中，已知点在圆C：内，若存在过点P的直线交圆C于A、B两点，且PBC的面积是P

5、AC的面积的2倍，则实数m的取值范围为 3.在平面直角坐标系中，圆若圆存在以为中点的弦，且，则实数的取值范围是 4.已知直线与圆相交于两点，点在直线上且，则的取值范围为 .【答案与提示】1.【答案】 【解法一】遇线性表示想求模，将向量问题实数化.，即，整理化简得.过点作的垂线交于，则，得.又圆心到直线的距离，所以，.【解法二】注意到线性表示时的系数和为2，联想“三点共线”.由，即得三点共线（其中是的中点），且，设，思路一：垂径定理后二次解三角形，解之得.思路二：相交弦定理，解之得.2.【答案】【提示】由于PBC与PAC同高，故PB=2PA.3.【答案】 【简析】易知，考察临界状态，只需过原点作圆的切线，切点弦的张角大于等于直角即可.4.【答案】 【提示】直接利用勾股定理转化.