专题06 圆锥曲线中的面积问题-直击2021年高考中的圆锥曲线问题（理科数学）.docx

1、专题 06 圆锥曲线中的面积问题一、圆锥曲线中的面积问题解决策略：（1）求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底（或高）。（2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形2、多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值的

2、线段参与运算。这样可以使函数解析式较为简单，便于分析4、椭圆与双曲线中焦点三角形面积公式（证明详见“圆锥曲线的性质”）（1）椭圆：设 P 为椭圆222210 xyabab上一点，且12F PF，则122 tan 2PF FSb（2）双曲线：设 P 为椭圆22221,0 xya bab上一点，且12F PF，则1221cot 2PF FSb技巧 1 求圆锥曲线中的面积问题例 1、已知点 P 是椭圆2216251600 xy上的一点，且在 x 轴上方，12,F F 分别为椭圆的左右焦点，直线2PF 的斜率为 4 3，则12PF F 的面积是（）A.32 3B.24 3C.32 2D.24 2解析

3、将椭圆化为标准方程为22110064xy，进而可得6c，所以126,0,6,0FF，计算12PF F 的面积可以以12FF为底，yP 为高，所以考虑利用条件计算出 P 的纵坐标，设,P x y，则有24 36PFykx，所以22162516004 360 xyyxy 可解得4 3y 或64 319y （舍去），所以121211 12 4 324 322PF FSF Fy答案：B技巧 2 已知 F 为抛物线2yx的焦点，点,A B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，2OA OB，则ABO 与 AFO 面积之和的最小值是（）A.2B.3C.17 28D.10解析 由2OA OB入手可考虑将向量坐标

4、化，设 1122,A x yB x y，则12122x xy y，进而想到可 用 韦 达 定 理。所 以 设 AB 与 x 轴 交 于,0M m直 线:A Bxt ym。联 立 方 程220yxytymxtym，所以222121 2120,y ymx xy ym，所以由12122x xy y可得：222mmm，所 以122y y ，不 妨 设 A 在 x 轴 上 方，如 图 可 得：12112119228A B OA F OSSO MyyO Fyyy，由122y y 可知212yy，消元后可得：111192922388ABOAFOSSyyyy，等号成立当且仅当143y，所以ABOAFOSS的最

5、小值为3答案：B技巧 3 已知面积求值例 3、过抛物线220ypx p的焦点 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点，且2AFFB，抛物线的准线l 与 x 轴交于C，ACF 的面积为8，则 AB （）A6B9C9 2D6 2【答案】B【解析】【分析】求得抛物线的焦点 F 的坐标，设出直线 AB 的方程，与抛物线方程联立，求出两根之和及两根之积，由且2AFFB，可得 A、B 的纵坐标的关系，代入两根之和及两根之积中可得斜率的值，再由抛物线的性质可得 ACF 的面积，再由题意可得 p 的值，由抛物线的定义可求出弦长 AB 的值.【详解】抛物线220ypx p的焦点为,02pF，当直线 AB 垂直于

6、x 轴时，F 为 AB 的中点，不合乎题意；当直线 AB 的斜率为 0 时，直线 AB 与抛物线有且只有一个交点，不合乎题意.由上可知，直线 AB 的斜率存在且不为 0，设直线 AB 的方程为2pxmy，设 11,A x y，22,B xy，联立222pxmyypx，整理可得2220ympyp，则122yymp，212y yp，因为2AFFB，即1122,2,22ppxyxy，所以可得：122yy，所以1222212122yyympy yyp ，可得：21421m，所以12 2m，所以22222 2ppy，则1222yyp，所以11128 222CFASCFypp，解得：4p，所以抛物线的方程

7、为：28yx，所以21212122224898ABxxpm yypm pp，故选：B.【点睛】本题考查利用抛物线中三角形的面积求参数，同时也考查了利用抛物线的定义求焦点弦长，考查计算能力，属于中等题.1已知1F、2F 为双曲线22:13xCy的左、右焦点，点 P 在 C 上，1260FPF，则12PF F的面积为（）A 3B33C32D2 3【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的性质，可得122PFPFa，122F Fc，进而结合余弦定理2221221212cos2PFPFFFF PFPFPF，可求出12PFPF，进而由1 2121sin602PF FSPFPF可求出答案.【详解】双曲线22:

8、13xCy，则223,1ab，所以2224cab，则1222 3PFPFa，平方得221212122PFPFPFPF，且1224F Fc，由余弦定理2221221212cos2PFPFFFF PFPFPF，即1212122161cos6022PFPFPFPF，解得124PFPF，则1 212113sin6043222PF FSPFPF.故选：A.【点睛】本题考查了双曲线几何性质的简单应用，考查焦点三角形的面积，考查学生的计算求解能力，属于基础题.2已知抛物线 C：24yx的焦点为 F，M 为 C 上一点，若|4MF，则MOF（O 为坐标原点）的面积为（）A 3B2 3C4 3D6 3【答案】A

9、【解析】【分析】根据抛物线的定义求出点 M 的坐标，利用三角形的面积公式即可求解.【详解】因为|1OF ，由抛物线的定义可得|14MMFx，解得3Mx，代入抛物线方程可得2 3My，所以点 M 的坐标为(3,2 3)，所以MOF的面积为 11|1 2 3322MOFy，故选：A.【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.3坐标原点O 且斜率为 0k k 的直线l 与椭圆2214xy交于 M、N 两点.若点11,2A，则MAN面积的最大值为（）A 2B2 2C22D1【答案】A【解析】【分析】直线方程与椭圆方程联立方程组求出交点横坐标，得弦长 MN，再由出 A 到直线

10、MN 距离 d，这样可用k 表示出三角形面积12Sd MN，再求最大值.【详解】直线l 方程为 ykx，代入椭圆方程得221()14kx，2214xk，设(,),(,)MMNNM xyN xy，则22|()()NMNMMNxxyy222222221114 1 41 41 4MNkkxxkkkk，点 A 到直线l 的距离为2121kdk，所以2121221 4AMNkSd MNk21 214kk（k0），记21 2()1 4kf kk，则22322282 14(1 2)2(21)2 14()14(14)kkkkkfkkk，当12k 时()0fk，()f k 递增，当102k时，()0f k，()

11、f k 递减，所以12k 时，()f k 取得唯一的极大值也是最大值1()22f 即 MAN 面积的最大值为 2 故选：A【点睛】本题考查直线与椭圆相交中三角形面积问题，本题中由于直线是过原点的，因此直接由直线方程与椭圆方程联立求出交点（横）坐标，计算出弦长没有用“设而不求”的思想方法4.若12,F F 是椭圆22197xy 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且12AFAF，则12AF F的面积为（）A14B7 3 C7D6【答案】C【解析】【分析】根据椭圆方程可得,a b c 的值，即可得12F F，12AFAF，再结合12AFAF即可解得12AFAF，从而可求12AF F的面积【详解】由椭圆的

12、方程得：29a，27b，所以22c，所以122 2F F，12236AFAF，由于12AFAF，所以22128AFAF，即2121228AFAFAFAF，因此1214AFAF，于是12AF F的面积12172SAFAF故选：C【点睛】本题考查了椭圆的简单性质，着重考查了考查椭圆的定义与,a b c 之间关系式的应用，考查三角形的面积公式，属于中档题.5.已知椭圆C：22221(0)xyabab，离心率为 12，两焦点分别为1F、2F，过左焦点1F 的直线l 交椭圆C 于 M、N 两点，2MF N 的周长为 8.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 的斜率为 12，求2MF N 的面积.【答案

13、】（1）22143xy；（2）3 54.【解析】【分析】（1）利用椭圆的定义可得2a，再由离心率可得1c ，进而可得2223bac，从而可求出椭圆的标准方程.（2）由（1）写出直线l 的方程：112yx，将直线与椭圆方程联立消 x，由2121 22MF NSc yy，结合韦达定理即可求解.【详解】（1）由题意可得12cea，由椭圆的定义可得2248MNNFMFa，解得2a，1c ，所以2223bac，所以椭圆C 的方程为22143xy.（2）若直线l 的斜率为 12，则直线l 的方程为112yx，设1122,M x yN x y联立方程22143112xyyx，消 x，整理可得2161290y

14、y，则1234yy，12916y y ，所以2212121213 52424MF NSc yyyyy y【点睛】本题考查了由椭圆的离心率求椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、焦点三角形的面积问题，考查了基本运算求解能力，属于中档题.1（2019 年新课标全国 III 卷理数）双曲线 C：2242xy=1 的右焦点为 F，点 P 在 C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=POPF，则 PFO 的面积为A 3 24B 3 22C2 2D3 2【答案】A【解析】【分析】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解

15、题【详解】由222,2,6,abcab6,2PPOPFx，又 P 在 C 的一条渐近线上，不妨设为在22yx上，1133 262224PFOPSOFy，故选 A【点睛】忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积2（2018 年新课标全国 III 卷）直线20 xy分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，点 P 在圆2222xy上，则ABP面积的取值范围是（）A26，B48，C23 2，D 2 23 2，【答案】A【解析】分析：先求出 A，B 两点坐标得到 AB，再计算圆心到直线距离，得到点 P 到直线距离范围，由面积公式计算即可详

16、解：直线 xy20分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点A2,0,B 0,2,则 AB2 2点 P 在圆22x22y（）上圆心为（2，0），则圆心到直线距离12022 22d故点 P 到直线 xy20的距离2d 的范围为2,3 2则22122,62ABPSAB dd故答案选 A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题3（2017 年江苏卷）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线2213xy的右准线与它的两条渐近线分别交于点 P，Q，其焦点是 F1，F2，则四边形 F1 P F2 Q 的面积是_【答案】2 3【解析】右准线方程为33 101010 x，

17、渐近线方程为33yx，设3 1030(,)1010P，则3 1030(,)1010Q，1(10,0)F，2(10,0)F，则302 102 310S 点睛:（1）已知双曲线方程22221xyab求渐近线：22220 xybyxaba；（2）已知渐近线 ymx可设双曲线方程为222m xy；（3）双曲线焦点到渐近线的距离为b，垂足为对应准线与渐近线的交点4（2020 年新课标全国 III 卷）已知椭圆222:1(05)25xyCmm的离心率为 154，A，B 分别为C的左、右顶点（1）求C 的方程；（2）若点 P 在C 上，点Q在直线6x 上，且|BPBQ，BPBQ，求 APQ 的面积【答案】（

18、1）221612525xy；（2）52.【解析】【分析】（1）因为222:1(05)25xyCmm，可得5a，bm，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；（2）点 P 在C 上，点Q在直线6x 上，且|BPBQ，BPBQ，过点 P 作 x 轴垂线，交点为M，设6x 与 x 轴交点为 N，可得PMBBNQ，可求得 P 点坐标，求出直线 AQ 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得 APQ 的面积.【详解】（1）222:1(05)25xyCmm5a，bm，根据离心率22154115cbmeaa，解得54m 或54m (舍)，C 的方程为：22214255xy，即22161252

19、5xy；（2）不妨设 P,Q在 x 轴上方点 P 在C 上，点Q在直线6x 上，且|BPBQ，BPBQ，过点 P 作 x 轴垂线，交点为 M，设6x 与 x 轴交点为 N根据题意画出图形，如图|BPBQ，BPBQ，90PMBQNB，又90PBMQBN，90BQNQBN，PBMBQN，根据三角形全等条件“AAS”，可得：PMBBNQ，221612525xy，(5,0)B，6 51PMBN ，设 P 点为(,)PPxy，可得 P 点纵坐标为1Py ，将其代入221612525xy，可得：21612525Px，解得：3Px 或3Px ，P 点为(3,1)或(3,1)，当 P 点为(3,1)时，故5

20、32MB ，PMBBNQ，|2MBNQ，可得：Q点为(6,2)，画出图象，如图(5,0)A,(6,2)Q，可求得直线 AQ 的直线方程为：211100 xy，根据点到直线距离公式可得 P 到直线 AQ 的距离为：222 3 11 1 10555125211d ，根据两点间距离公式可得：2265205 5AQ，APQ 面积为：1555 5252；当 P 点为(3,1)时，故5+38MB，PMBBNQ，|8MBNQ，可得：Q点为(6,8)，画出图象，如图(5,0)A,(6,8)Q，可求得直线 AQ 的直线方程为：811400 xy，根据点到直线距离公式可得 P 到直线 AQ 的距离为：228311

21、 1 4055185185811d ，根据两点间距离公式可得：22658 0185AQ，APQ 面积为：15518522185，综上所述，APQ 面积为：52.【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.5（2020 年江苏卷）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆22:143xyE的左、右焦点分别为 F1，F2，点 A 在椭圆 E 上且在第一象限内，AF2F1F2，直线 AF1 与椭圆 E 相交于另一点 B（1）求 AF1F2 的周长；（2）在 x 轴上任取一点 P，直线 AP 与椭圆 E

22、 的右准线相交于点 Q，求OP QP的最小值；（3）设点 M 在椭圆 E 上，记 OAB 与 MAB 的面积分别为 S1，S2，若 S2=3S1，求点 M 的坐标【答案】（1）6；（2）-4；（3）2,0M或212,77.【解析】【分析】（1）根据椭圆定义可得124AFAF，从而可求出12AF F的周长；（2）设 0,0P x，根据点 A 在椭圆 E 上，且在第一象限，212AFF F，求出31,2A，根据准线方程得Q点坐标，再根据向量坐标公式，结合二次函数性质即可出最小值；（3）设出设11,M x y，点 M 到直线 AB 的距离为d，由点O 到直线 AB 的距离与213SS，可推出95d，

23、根据点到直线的距离公式，以及11,M x y满足椭圆方程，解方程组即可求得坐标.【详解】（1）椭圆 E 的方程为22143xy11,0F,2 1,0F由椭圆定义可得：124AFAF.12AF F的周长为426（2）设 0,0P x，根据题意可得01x .点 A 在椭圆 E 上，且在第一象限，212AFF F31,2A准线方程为4x 4,QQy 200000,04,4244QOP QPxxyxxx ，当且仅当02x 时取等号.OP QP的最小值为 4.（3）设11,M x y，点 M 到直线 AB 的距离为 d.31,2A，11,0F，直线1AF 的方程为314yx点O 到直线 AB 的距离为

24、35，213SS2113133252SSABAB d，95d 113439xy2211143xy联立解得1120 xy，1127127xy .2,0M或212,77.【点睛】本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆相交问题、点到直线距离公式的运用，熟悉运用公式以及根据213SS推出95d 是解答本题的关键.6（2017 年天津卷）设椭圆22221(0)xyabab的左焦点为 F，右顶点为 A，离心率为 12.已知A 是抛物线22(0)ypx p的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为 12.（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设l 上两点 P，Q关于 x 轴对称，直线 AP 与椭圆相交于点 B（B

25、 异于点 A），直线 BQ与 x 轴相交于点 D.若APD的面积为62，求直线 AP 的方程.【答案】（）22413yx，24yx.（）3630 xy，或3630 xy.【解析】试题分析：由于 A 为抛物线焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为 12，则12ac，又椭圆的离心率为 12，求出,c a b，得出椭圆的标准方程和抛物线方程；则(1,0)A，设直线 AP 方程为设1(0)xmym，解出 PQ、两点的坐标，把直线 AP 方程和椭圆方程联立解出 B 点坐标，写出BQ 所在直线方程，求出点 D 的坐标，最后根据APD的面积为62解方程求出m，得出直线 AP的方程.试题解析：（）解：设 F 的

26、坐标为,0c.依题意，12ca，2pa，12ac，解得1a，12c，2p，于是22234bac.所以，椭圆的方程为22413yx ，抛物线的方程为24yx.（）解：设直线 AP 的方程为10 xmym，与直线l 的方程1x 联立，可得点21,Pm，故21,Qm.将1xmy 与22413yx 联立，消去 x，整理得223460mymy，解得0y，或2634mym.由点 B 异于点 A，可得点222346,3434mmBmm.由21,Qm，可学*科.网得直线 BQ的方程为222623421103434mmxymmmm，令0y，解得222332mxm，故2223,032mDm.所以222223613232mmADmm.又因为 APD 的面积为62，故2216262322mmm，整理得232 620mm，解得63m，所以63m .所以，直线 AP 的方程为3630 xy，或3630 xy.【考点】直线与椭圆综合问题【名师点睛】圆锥曲线问题在历年高考都是较有难度的压轴题，不论第一步利用椭圆的离心率及椭圆与抛物线的位置关系的特点，列方程组，求出椭圆和抛物线方程，还是第二步联立方程组求出点的坐标，写直线方程，利用面积求直线方程，都是一种思想，就是利用大熟地方法解决几何问题，坐标化，方程化，代数化是解题的关键.今天错在哪里啦？_