专题07 【五年中考 一年模拟】几何压轴题-备战2023年江西中考数学真题模拟题分类汇编（解析版）.docx

1、专题07 几何压轴题1（2022江西）综合与实践问题提出某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形中心处，并绕点逆时针旋转，探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为操作发现（1）如图1，若将三角板的顶点放在点处，在旋转过程中，当与重合时，重叠部分的面积为 1；当与垂直时，重叠部分的面积为 ；一般地，若正方形面积为，在旋转过程中，重叠部分的面积与的关系为 ；类比探究（2）若将三角板的顶点放在点处，在旋转过程中，分别与正方形的边相交于点，如图2，当时，试判断重叠部分的形状，并说明理由；如图3，当时，求重叠部分四边形的面积（结果保

2、留根号）；拓展应用（3）若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心处，该锐角记为（设，将绕点逆时针旋转，在旋转过程中，的两边与正方形的边所围成的图形的面积为，请直接写出的最小值与最大值（分别用含的式子表示）（参考数据：，【答案】见解析【详解】（1）如图1，若将三角板的顶点放在点处，在旋转过程中，当与重合时，与重合，此时重叠部分的面积的面积正方形的面积；当与垂直时，重叠部分的面积正方形的面积；一般地，若正方形面积为，在旋转过程中，重叠部分的面积与的关系为理由：如图1中，设交于点，交于点，过点作于点，于点是正方形的中心，四边形是矩形，四边形是正方形，故答案为：1，1，（2）如图2中，结论：是等边三角形理

3、由：过点作，是正方形的中心，是等边三角形；如图3中，连接，过点作于点，（3）如图中，过点作于点，当时，的面积最小，即最小在中，如图中，当时，最大同法可证，2（2021江西）课本再现（1）在证明“三角形内角和定理”时，小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图1即可证明，其中与相等的角是 ；类比迁移（2）如图2，在四边形中，与互余，小明发现四边形中这对互余的角可类比（1）中思路进行拼合：先作，再过点作于点，连接，发现，之间的数量关系是 ；方法运用（3）如图3，在四边形中，连接，点是两边垂直平分线的交点，连接，求证：；连接，如图4，已知，求的长（用含，的式子表示）【答案】见解析【详解】（1）解：如图1中，

4、由图形的拼剪可知，故答案为：（2）解：如图2中，故答案为：（3）证明：如图3中，连接，作的外接圆点是两边垂直平分线的交点点是的外心，解：如图4中，在射线的下方作，过点作于，3（2020江西）某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积，之间的关系问题”进行了以下探究：类比探究（1）如图2，在中，为斜边，分别以，为斜边向外侧作，若，则面积，之间的关系式为；推广验证（2）如图3，在中，为斜边，分别以，为边向外侧作任意，满足，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；拓展应用（3）如图4，在五边形中，点在上

5、，求五边形的面积【答案】见解析【详解】类比探究（1），同理可得：，故答案为：（2）结论仍然成立，理由如下：，同理可得：，（3）过点作于，连接，且，又，由（2）的结论可得：，五边形的面积4（2019江西）在图1，2，3中，已知，点为线段上的动点，连接，以为边向上作菱形，且（1）如图1，当点与点重合时，60；（2）如图2，连接填空：（填“”，“ “，“” ；求证：点在的平分线上；（3）如图3，连接，并延长交的延长线于点，当四边形是平行四边形时，求的值【答案】见解析【详解】（1）四边形是菱形，故答案为：；（2）四边形是平行四边形，四边形是菱形，故答案为：；当时，如图，作于，交的延长线于，则，又，为等

6、边三角形，在和中，又，点在的平分线上，当时，如图3，连接，四边形为菱形，又，为等边三角形，则，又，点在的平分线上，当时，同理可证，点在的平分线上，综上所述，点在的平分线上；（3）设线段，相交于点，四边形是菱形，四边形为平行四边形，又，四边形为平行四边形，平行四边形为菱形，5（2018江西）在菱形中，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边，点的位置随着点的位置变化而变化（1）如图1，当点在菱形内部或边上时，连接，与的数量关系是，与的位置关系是；（2）当点在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由（选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）；（3）如图4，当点在

7、线段的延长线上时，连接，若，求四边形的面积【答案】见解析【详解】（1）如图1中，结论：，理由：连接四边形是菱形，都是等边三角形，是等边三角形，延长交于，即故答案为，（2）结论仍然成立理由：选图2，连接交于，设交于四边形是菱形，都是等边三角形，是等边三角形，即选图3，连接交于，设交于四边形是菱形，都是等边三角形，是等边三角形，即（3），由（2）可知，在菱形中，在中，与是菱形的对角线，在中，6（2022南昌模拟）已知正方形与正方形，正方形绕点旋转一周（1）如图1，连接、，求的值；求的度数（2）当正方形旋转至图2位置时，连接、，分别取、的中点、，连接，猜想与的数量关系与位置关系，并说明理由【答案】见

8、解析【详解】（1）如图1，连接，四边形和四边形都是正方形，；是正方形的对角线，在中，；（2），理由如下：如图2，连接，过点作，交直线于，连接，设与交点为，与交点为，点是的中点，又，又，点是中点，7（2022吉安一模）在中，点关于直线的对称点为点，连接，点为直线上的动点（不与点重合），连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，问题发现（1）如图，当点在线段上时，线段与的数量关系为 相等，；拓展探究（2）如图，当点在的延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；问题解决（3）当时，求线段的长度【答案】见解析【详解】（1）在中，点关于直线的对称点为，则，是等边三角形

9、，又，故答案为：相等；（2）成立，证明如下：如图，连接，是等边三角形，由旋转的性质可得：，是等边三角形，在与中，；（3）当点在线段的延长线上时，如图，连接，在中，；若点在线段的延长线上，如图，连接，；综上所述：或8（2022新余一模）综合与实践如图1，已知点在正方形的对角线上，垂足为，垂足为【证明与推断】（1）四边形的形状是 正方形；的值为 ；【探究与证明】（2）在图1的基础上，将正方形绕点按顺时针方向旋转角，如图2所示，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由；【拓展与运用】（3）如图3，在（2）的条件下，正方形在旋转过程中，当、三点共线时，探究和的位置关系，并说明理由【答案】见解析【详解】（

10、1）正方形 理由：如图1中，四边形是正方形，、，四边形是矩形，四边形是正方形，故答案为：正方形，（2）结论：，理由：如图2中，连接由旋转可得，四边形是正方形，为等腰直角三角形，由得四边形是正方形，为等腰直角三角形，线段与之间的数量关系为；（3）结论：，理由：如图3中，连接，点、三点共线，点，三点共线，9（2022赣州一模）图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小丽和小亮对等腰三角形的旋转变换进行研究观察猜想（1）如图1，是以、为腰的等腰三角形，点、点分别在、上且，将绕点逆时针旋转请直接写出旋转后与的数量关系 ；探究证明（2）如图2，是以为直角顶点的等腰直角三角形，分别交与两边于点、点

11、将绕点逆时针旋转至图中所示的位置时，（1）中结论是否仍然成立若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；拓展延伸（3）如图3，是等边底边的中线，将绕点逆时针旋转到，点落在点的位置，若等边三角形的边长为4，当时，求出的值【答案】见解析【详解】（1），故答案为：；（2）（1）中结论不成立，结论为，理由如下：是等腰直角三角形，将绕点逆时针旋转，又，；（3）是等边底边的中线，如图3，当时，过点作于，由旋转可得：，如图，同理可得：，.10（2022宜春模拟）（1）【问题发现】如图1，在中，点为的中点，以为一边作正方形，点恰好与点重合，则线段与的数量关系为 ；（2）【拓展探究】在（1）的条件下，如果正方形绕

12、点顺时针旋转，连接，线段与的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）【问题解决】当，且（2）中的正方形绕点顺时针旋转到，三点共线时，请直接写出线段的长【答案】见解析【详解】（1）解：如图1，四边形是正方形，点与点重合，故答案为：（2）无变化，证明：如图2，（3）如图2，三点共线，且点在线段上，由（1）得，；如图3，三点共线，且点在线段的延长线上，综上所述，线段的长为或11（2022寻乌县模拟）（1）发现如图1，和均为等边三角形，点在边上，连接填空：的度数是；线段、之间的数量关系是（2）探究如图2，和均为等腰直角三角形，点在边上，连接请判断的度数及线段、之间的数量关系，并说明理由（3）

13、应用如图3，在中，若点满足，且，请直接写出的长【答案】见解析【详解】（1）发现解：在中，即，在和中，；故答案为：，；故答案为：（2）探究；理由：和均为等腰直角三角形，即，在等腰直角三角形中，（3）应用或作于，连接，在中，点，四点共圆，是等腰直角三角形，或12（2022江西模拟）【性质探究】（1）如图1，将绕点逆时针旋转得到，则：与的位置关系为；如图2，连接，若点为的中点，连接，请探究线段与的关系并给予证明【拓展应用】（2）如图3，已知点是正方形的边上任意一点，以为边作正方形，连接，点为的中点，连接若，求的长；若，则的长为（用含，的代数式表示）【答案】见解析【详解】（1）将绕点逆时针旋转得到，；

14、帮答案为；，证明：延长至点，使，连接，将绕点逆时针旋转得到，可以由绕点逆时针旋转得到，由可知，为的中点，（2）如图，连接，四边形，为正方形，可以由绕点逆时针旋转得到，由（1）中可知，同可知，故答案为13（2022石城县模拟）【温故知新】黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值我们知道：如图1，点把线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点【问题发现】如图1，请直接写出与的比值是 【问题探究】如图2，在中，在上截取，再在上截取，则的值为 【问题解决】如图3，用边长为6的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点对应点，

15、得折痕，试说明：是的黄金分割点【拓展延伸】如图4，正方形中，为对角线上一点，点在边上，且，当为的黄金分割点时，连，延长交于，请用相似的知识求出的值为 【答案】见解析【详解】【问题发现】解：点为线段的黄金分割点，故答案为：；【问题探究】解：，故答案为：；【问题解决】解：如图3，设与交于点，且为的中点，过点作，平分，设，即，解得，经检验是原方程的解，故点为的黄金分割点；【拓展延伸】解：如图4，延长交延长线于，过点作于，过点作于，过作于，点、四点共圆，（同为所对的圆周角）又，为等腰直角三角形，又，为的黄金分割点，设，则，设，即，解得，经检验是方程的解，故答案为：14（2022石城县模拟）如图1，菱形

16、中，四边形的顶点，分别在边和上，连接（1）若平分，求证：四边形为菱形；（2）在（1）中的条件下，当时，将四边形绕点顺时针旋转至图2所示的位置，连接猜想与的数量关系，并加以证明；当过点时，求的值【答案】见解析【详解】（1）证明：如图1，连接、，四边形是菱形，四边形是平行四边形；，；，四边形是菱形（2）证明：如图2，连接、，作于点，则，由旋转得，同理，如图3，作交的延长线于点，作于点，则，在图1中，由旋转得，由得，解得，15（2022赣州模拟）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形做“等邻角四边形”，例如：如图1，则四边形为等邻角四边形（1）定义理解：已知四边形为等邻角四边形，且，则55度（2）变式应

17、用：如图2，在五边形中，对角线平分求证：四边形为等邻角四边形；若，请判断的形状，并明理由（3）深入探究：如图3，在等邻角四边形中，垂足为，点为边上的一动点，过点作，垂足分别为，在点的运动过程中，判断与的数量关系？请说明理由（4）迁移拓展：如图4，是一个航模的截面示意图四边形是等邻角四边形，为边上的一点，垂足分别为、，、分别为、的中点，连接、，求与的周长之和【答案】见解析【详解】（1）解：四边形为等邻角四边形，故答案为：55；（2）证明：平分，四边形为等邻角四边形；解：是等边三角形，理由如下：，又，是等边三角形；（3）解：，理由如下：如图，延长，交于点，连接，；（4）解：如图，延长，交于点，过点

18、作于，、分别为、的中点，由（3）可得，与的周长之和16（2022南昌模拟）如图1，在中，是边上的中线，点是上一点，是垂足，可绕着点旋转，点是点关于点的对称点，连接和问题发现（1）如图2，当时，则下列结论正确的是 （填序号）；点是的中点；是的角平分线；数学思考（2）将图2中绕点旋转，如图3，则和具有怎样的数量关系？请给出证明过程；拓展应用（3）在图1中，若，将绕着点旋转则；若，在旋转过程中，如图4，当点落在上时，连结，求四边形的面积【答案】见解析【详解】（1）如图2，是边上的中线，点是点关于点的对称点，故正确；，点是的中点，故正确；延长到点，使，连结，假设，则，这与相矛盾，假设不成立，不能是的角

19、平分线，故错误；，故正确，故答案为：（2），证明：如图3，由旋转得，（3）如图1（1），如图1（2），由旋转得，故答案为：如图1（1），如图4，过作于，过作于，由旋转得，四边形的面积为17（2022江西二模）操作：如图1，正方形中，点是边上一个动点，在上截取，连接，过正方形的中心作交边于，连接、探究：在点的运动过程中：（1）猜想线段与的数量关系？并证明你的结论；（2）的度数会发生变化吗？若不会，求出其度数，若会，请说明理由应用：（3）当时，试求出的周长，并写出的取值范围；（4）当的值不确定时：若时，试求的值；在图1中，过点作于，过点作于，与相交于点；并将图1简化得到图2，记矩形的面积为，试用含

20、的代数式表示出的值，并说明理由【答案】见解析【详解】（1），理由：如图1，连接，在正方形中，点是正方形中心，（2）的度数不会发生变化，理由：由（1）可知，恒为定值（3）由（2）可知，垂直平分，的周长为，的周长为，（4）如图2，到与的距离相等，猜想：，理由：如图3，由（1）可知，18（2022湖口县二模）在矩形中，为上的动点，为上的动点，且（1）如图，当点在上时，求的值（2）如图，与相交于点，连接，当平分时，求证：（3）在（2）的前提下，连接，当时，求的值【答案】见解析【详解】（1）解：四边形是矩形，（2）证明：如图1，延长、相交于点，在和中，；（3）解：如图2，过点作交的延长线于点，过点作交于

21、点，同（1）可知，解得，在和中，由勾股定理得，19（2022吉州区模拟）综合与实践数学实践活动，是一种非常有效的学习方式，通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思维空间，丰富数学体验，让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣折一折：将正方形纸片折叠，使边、都落在对角线上，展开得折痕、，连接，如图1（1）45，写出图中两个等腰三角形：（不需要添加字母）；转一转：将图1中的绕点旋转，使它的两边分别交边、于点、，连接，如图2（2）线段、之间的数量关系为 ；（3）连接正方形对角线，若图2中的的边、分别交对角线于点、点，如图3，则；剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角

22、线剪开，如图4（4）求证：【答案】见解析【详解】（1）解：如图1中，四边形是正方形，都是等腰三角形，都是等腰三角形，故答案为：45，（2）解：结论：理由：如图2中，延长到，使得，故答案为：（3）解：如图3中，四边形是正方形，故答案为：（4）证明：如图4中，将绕点顺时针旋转得到，连接，20（2022景德镇模拟）（1）问题发现：如图，点为平面内一动点，且，则的最小值为 ，的最大值为 ；（2）轻松尝试：如图2，在矩形中，为边的中点，是边上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值为 （3）方法运用：在四边形中，点是上方的动点，且，如图3，当时，求线段的最大值如图4，当时，用含式子表示线段的最大值

23、【答案】见解析【详解】（1），当点落在线段上时，的值最小，最小值为，当点落在线段的延长线上时，的值最大，最大值为，故答案为：；（2）如图所示点在以为圆心为半径的圆上运动，当、共线时，此时的值最小，根据折叠的性质，是边的中点，故答案为：8；（3）如图3中，以为边作等腰直角三角形，欲求的最大值，只要求出的最大值即可，定值，点在以为直径的上运动，由图象可知，当点在上方，时，的值最大，最大值，的最大值为如图4中，以为边作直角三角形，使，欲求的最大值，只要求出的最大值即可，定值，点在以为直径的上运动，由图象可知，当点在上方，时，的值最大，最大值，的最大值为21（2022抚州模拟）在数学学习过程中，我们总

24、是从一些最简单的图形出发，研究其中的边角关系，然后再应用所得到的结论去解决其他较复杂的问题【基本图形】（1）如图（1），在中，则（用含，的式子表示）【解决问题】（2）在中，如图（2），是边上一动点，点关于，的对称点分别是，连接，请写出与的数量关系，并说明理由；如图（3），若，分别是边，上的动点，则的周长的最小值为 【应用拓展】（3）如图（4），分别是边长为2的正方形的边，上的动点，且，分别是的边，上的动点，请直接写出的周长的最小值【答案】见解析【详解】（1）过点作交于点，故答案为：；（2），理由如下：如下图，连接，由题意知，是等腰直角三角形，；连接，则，的周长为，当，四点共线时，的周长最小，最

25、小值为的长，当最小时，的周长最小，根据题意知，当时，有最小值，当时，周长的最小值为，故答案为：；（3）过点作于，延长到点，使，连接，由（2）得出周长的最小值为，在长方形中，又，又，周长的最小值为22（2022九江三模）回归教材：（1）如图1，小然同学在学习九年级上（北师版）教材页时，遇到了这个问题如图，在中，垂足为求证：请你替小然写出过程小试牛刀：（2）如图2，变式探索：（3）如图3，中，点为内部一点，且满足，求长拓展应用：（4）如图4，正方形中，以为圆心，为半径作圆在正方形内得到弧，点为弧上一点，且满足面积记作，正方形面积记为求；试猜想与的数量关系并证明【答案】见解析【详解】（1）证明：，；

26、（2）解：如图1，延长，交的延长线于，由（1）得：，故答案为：；（3）解：，；（4）解：如图，以为圆心，为半径的圆补全，在优弧上任取一点，作于，；由知：，23（2022九江一模）如图（1），在四边形中，以点为顶点作，且，连接（1）观察猜想如图（2），当时，四边形是 正方形（填特殊四边形的名称）；，之间的数量关系为 （2）类比探究如图（1），线段，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由（3）解决问题如图（3），在中，点，均在边上，且，若，求的长【答案】见解析【详解】（1），四边形是矩形，又，四边形是正方形，故答案为：正方形；如图，将绕点逆时针旋转得到，即点，共线，由

27、旋转可得，又，故答案为：；（2）成立，理由如下：如图，将绕点逆时针旋转得到，可得，点，在同一直线上，又，；（3）如图，将绕点顺时针旋转90得到，连接，则，在中，即，由同理得，即，解得24（2022南城县一模）定义：从三角形（不是等腰三角形）的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点所连线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们就把这条线段叫做这个三角形的“华丽分割线”例如：如图1，把分成和，若是等腰三角形，且，那么就是的“华丽分割线”（1）【定义感知】如图1，在中，求证：是的“华丽分割线”（2）【问题解决】如图2，在中，是的“华丽分割线”，且是等

28、腰三角形，则的度数为或如图3，在中，是的“华丽分割线”，且是以为底边的等腰三角形，求华丽分割线的长【答案】见解析【详解】证明：（1），是等腰三角形又，又，是的“华丽分割线”；（2）当时，得，在中，由内角和定理得当时，在中，由内角和定理得故的度数为或故答案为：或；，即，解得，解得25（2022九江二模）（1）问题发现：如图1，点为平面内一动点，且，则的最小值为 ，的最大值为 ；（2）轻松尝试：如图2，在矩形中，为边的中点，是边上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值为 ；（3）方法运用：在四边形中，如图3，当时，求线段的最大值；如图4，当时，用含的式子表示线段的最大值【答案】见解析【详解

29、】（1），当点落在线段上时，的值最小，最小值为，当点落在线段的延长线上时，的值最大，最大值为，故答案为：，；（2）如图所示，点在以为圆心，为半径的圆上运动，当，三点共线时，此时的值最小，根据折叠的性质，是边的中点，故答案为：8；（3）如图，以为边作等腰直角三角形，则，当取最大值时，最大，即当，三点共线时，最大，即图中为最大值，当时，线段的最大值为；如图，作，且，即，当取最大值时，最大，即当，三点共线时，最大，即图中为最大值，的最大值为26（2022萍乡模拟）定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如：在四边形中，或，则四边形是“对补四边形”【概念理解】（1）如图（1），四边形是“对补

30、四边形”若，则的度数是 ；若，且，则【拓展延伸】（2）如图（2），四边形是“对补四边形”，当，且时，猜测，之间的数量关系，并加以证明【类比运用】（3）如图（3），如图（4），在四边形中，平分如图（3），求证：四边形是“对补四边形”；如图（4），设，连接，当，且时，求的值【答案】见解析【详解】（1）解：四边形是“对补四边形”，设，则，故答案为：；在“对补四边形” 中，连接，如图，则，由勾股定理得：，故答案为：4；（2）解：，之间的数量关系为：，理由：延长至点，使，连接，如图，四边形是“对补四边形”，又，在和中，在和中，；（3）证明：过点作，垂足为，垂足为，如图，则，平分，在和中，即与互补，四边形

31、是“对补四边形”；解：由知四边形是“对补四边形”，则，即：解得：或，的值是2或27（2022玉山县二模）【基础巩固】（1）如图1，在中，为上一点，求证：【尝试应用】（2）如图2，在中，为上一点，为延长线上一点，若，求的长【拓展提高】（3）如图3，在菱形中，是上一点，是内一点，求菱形的边长【答案】见解析【详解】（1）证明：，（2）四边形是平行四边形，又，又，（3）如图，分别延长，相交于点，四边形是菱形，四边形为平行四边形，又，又，又，28（2022红谷滩区校级一模）提出问题：如图1，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形在第一象限内，点，分别在轴和轴上点从点出发，沿方向运动，到达点后停止在运动过程

32、中，以点为旋转中心，将线段按逆时针方向旋转得到线段，连接求点在整个运动过程中，点的路径长探究问题：（1）探究一：当点与点重合时，点的位置为，当点与点重合时，点的位置为，请你写出和的坐标，并求出直线的函数关系式；（2）探究二：当点运动到的中点时，点的位置为，请你判断点是否在直线上，并说明理由；（3）根据上述探究，请你直接写出点的路径长延伸应用：（4）如图2，点是边上的一个动点，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段求的最小值【答案】见解析【详解】（1）如图：当点与点重合时，点的位置为，以点为旋转中心，将线段按逆时针方向旋转得到线段，正方形的边长为2，点的坐标为；当点与点重合时，如图：正方形的边长为2，由旋转得，点在的延长线上，点的坐标为，设直线的函数关系式为，解得，直线的函数关系式为；（2）点在直线上，理由如下：当点运动到的中点时，如图：过点作轴于，正方形的边长为2，由旋转得，的坐标为，直线的函数关系式为，当时，点在直线上；（3）根据上述探究，请点的路径为线段点的坐标为，点的坐标为，点的路径长为；（4）如图，过点作于，过点作于，连接，由旋转得，设，当时，的最小值为，的最小值为