专题07 三角形中的重要模型-等积模型（解析版）.docx

1、专题07 三角形中的重要模型-等积模型三角形的面积问题在中考数学几何模块中占据着重要地位，等积变形是中学几何里面一个非常重要的思想，下面的五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的，也是学生必须掌握的一块内容。本专题就三角形中的等积模型（蝴蝶（风筝）模型，燕尾模型，鸟头模型，沙漏模型，金字塔模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1. 等积变换基础模型1）等底等高的两个三角形面积相等；如图1，当/，则； 反之，如果，则可知直线/。 图1 图2 图32）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。如图2，当点D是BC边上的动点时，则SABDSADCBDD

2、C。如图3，当点D是BC边上的动点，BEAD，CFAD时，则SABDSADCBECF。例1（山东省临沂市2023-2024学年八年级月考）如图，是边的中线，点E在上，的面积是3，则的面积是（）A4B3C2D1【答案】D【分析】利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，由此利用已知条件可以分别求出【详解】解：是边的中线，的面积是3，故选：D【点睛】本题考查了三角形面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分例2（河北省石家庄市2023-2024学年八年级月考）如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线，若的面积是32，则阴影部分的面

3、积是（）A9B12C18D20【答案】B【分析】利用中线等分三角形的面积进行求解即可【详解】解：是的边上的中线，是的边上的中线，又是的边上的中线，则是的边上的中线，则，故选：B【点睛】本题考查了中线的性质，清晰明确三角形之间的等量关系，进行等量代换是解题的关键例3（湖北十堰五校联考2023-2024学年八年级月考）如图，点为的重心，分别为，的中点，具有性质：已知的面积为2，则的面积为 【答案】12【分析】根据高相等的两个三角形的面积之比等于底之比可得答案【详解】解：，的面积为2，的面积为4，的面积为，点为的中点，的面积的面积，的面积为，故答案为：12【点睛】本题主要考查了三角形的重心，三角形的

4、面积等知识，熟练掌握高相等的两个三角形的面积之比等于底之比是解题的关键例4（浙江省杭州市2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试题）如图，是的一条中线，E为边上一点且，相交于F，四边形的面积为6，则的面积是 【答案】14.4【分析】连接, 设则根据为边上中线，可得；根据，可得 进而，的面积可表示为和 由此建立方程解出a的值即可得到的面积.【详解】解：连接，如图所示：设 则为边上中线， ， ， ，即 解得: . ，故答案为: 14.4.【点睛】本题考查了三角形面积的计算，关键是利用同底等高的三角形面积相等、等高不同底的三角形面积比为底之比来表示出三角形面积，进而使用方程思想解决问题.例

5、5（2023春江西萍乡八年级统考期中）基本性质：三角形中线等分三角形的面积如图1，是边上的中线，则理由：因为是边上的中线，所以 又因为，所以所以三角形中线等分三角形的面积基本应用：在如图2至图4中，的面积为a(1)如图2，延长的边到点D，使，连接若的面积为，则 （用含a的代数式表示）；(2)如图3，延长的边到点D，延长边到点E，使，连接若的面积为，则 （用含a的代数式表示）；(3)在图3的基础上延长到点F，使，连接，得到（如图4）若阴影部分的面积为，则 （用含a的代数式表示）；拓展应用：(4)如图5，点D是的边上任意一点，点E，F分别是线段，的中点，且的面积为，则的面积为 （用含a的代数式表示

6、），并写出理由【答案】(1)a (2)2a (3)6a (4)2a，见解析【分析】（1）直接根据“等底同高的三角形面积相等”即可得出答案；（2）连接，运用“等底同高的三角形面积相等”得出，即可得解；（3）由（2）结论即可得出，从而得解；（4）点E是线段的中点，可得，点F是线段的中点，可得从而可得答案【详解】（1）解：如图2，延长的边到点，使，为的中线，即；（2）如图3，连接， 延长的边到点，延长边到点，使，即；（3）由（2）得，同理：，；（4），理由如下：理由：点E是线段的中点，点F是线段的中点，【点睛】此题考查了阅读与理解：三角形中线的性质，等底同高的三角形面积相等，灵活运用这个结论并适当添

7、加辅助线是解答此题的关键例6（2023春上海九年级期中）解答下列各题(1)如图1，已知直线，点、在直线上，点、在直线上，当点在直线上移动时，总有_与的面积相等 (2)解答下题如图2，在中，已知，且边上的高为5，若过作，连接、，则的面积为_如图3，、三点在同一直线上， ，垂足为若，求的面积(3)如图4，在四边形中，与不平行，且，过点画一条直线平分四边形的面积（简单说明理由）【答案】(1)(2)15；(3)图见解析，理由见解析【分析】（1）根据，可得和同底等高，即可求解；（2）先求出，再由，可得ABC和BAE是同底等高的两个三角形，即可求解；先求出=，再由，可得ACBF，从而得到，即可求解；（3）

8、过点B作BEAC交DC延长线于点E，连接AE，取DE的中点F，作直线AF，则直线AF即为所求，可得，从而得到，即可求解【详解】（1）解：，和同底等高，则与的面积相等；（2）解：，且边上的高为5，ABC和BAE是同底等高的两个三角形，；，EBG=120， EBF=60，EBF=BAC，ACBF，；（3）解： 如图，过点B作BEAC交DC延长线于点E，连接AE，取DE的中点F，作直线AF，则直线AF即为所求，理由如下：BEAC，ABC和AEC的公共边AC上的高也相等，所以面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线【点睛】本题主要考查了平行的性质，熟练掌握

9、两平行线间的距离处处相等，并利用类比思想解答是解题的关键模型2.蝴蝶（风筝）模型蝴蝶模型（定理）提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 蝴蝶定理：任意四边形中的比例关系如图1，结论：或；。梯形蝴蝶定理：梯形中比例关系如图2，结论：；梯形的对应份数为。例1在四边形ABCD中，AC和BD互相垂直并相交于O点，四个小三角形的面积如图所示则阴影部分三角形BCO的面积为 【答案】45【详解】设阴影部分面积为x。根据蝴蝶（风筝）定理：即：20：x=16：36 解得：x=45估阴

10、影部分的面积为45.例2、如图，SACB24平方厘米，SACD16平方厘米，SABD25平方厘米，则SCOB为 平方厘米。【答案】9平方厘米【解析】在四边形ABCD中，根据蝴蝶（风筝）模型得：DO：BOSACD：SACB16：242：3，则SAOBSABD2515（平方厘米），则SCOBSACBSAOB24159（平方厘米）例3、如下图，梯形的平行于，对角线，交于，已知与的面积分别为 平方厘米与平方厘米，那么梯形的面积是_平方厘米 【答案】144平方厘米【解析】根据梯形蝴蝶定理，可得，再根据梯形蝴蝶定理，所以(平方厘米)那么梯形的面积为(平方厘米)例4、如图，梯形中，、的面积分别为和，则梯形的

11、面积为 【答案】7.5【解析】根据梯形蝴蝶定理，所以， 例5、梯形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB垂直AC，并且已知AO6厘米，BO10厘米，则三角形DOC的面积是 平方厘米。【答案】24平方厘米【解析】在梯形ABCD中，根据蝴蝶定理得：SDOCSAOB在直角三角形AOB中，根据勾股定理得：AB2OB2OA2102626482，所以AB8所以SDOCSAOB68224（平方厘米）例6、图中大平行四边形被分成若干小块，其中四块的面积已经标出，则中间的四边形GQHS的面积为 。【答案】17【解析】如下图，连接EF、GH和IJ在平行四边形ABEF中，根据蝴蝶模型得：SABPSEPF6，在平

12、行四边形EFGH中，SEQFSGQH1367；在平行四边形IDCJ中，SDCTSIJT5，在平行四边形GIJH中，SGSHSISJ15510，所以S四边形GQHSSGQHSISJ71017模型3.燕尾（定理）模型条件：如图，在中，E分别是上的点，在上一点，结论：S1S2S3S4S1+S3S2+S4BEEC。例1、如图，ABC中，M、N分别是BC、AC边上的三等分点，AM、BN相交于点O，已知BOM的面积为2，则四边形MCNO的面积为 。【答案】8【解析】如图，连接OC由“燕尾定理”可得：,所以可得所以,所以四边形MCNO的面积为8.例2（2023山东八年级专题练习）如图，在ABC中，已知点P、

13、Q分别在边AC、BC上，BP与AQ相交于点O，若BOQ、ABO、APO的面积分别为1、2、3，则PQC的面积为（）A22B22.5C23D23.5【答案】B【分析】连接CO，根据BOQ、ABO、APO的面积分别为1、2、3，求出SPOQ=1.5，设SOPC=x，SCOQ=y，仍然利用BOQ、ABO、APO的面积分别为1、2、3，列出关于x、y的方程组，解得x、y的值，然后利用SQPC=SOPC+SCOQ-SPOQ即可求出答案【详解】连接CO，BOQ、ABO、APO的面积分别为1、2、3，SPOQ=1.5，设SOPC=x，SCOQ=y，则，解得，SQPC=SOPC+SCOQ-SPOQ=15+9-

14、1.5=22.5故选B【点睛】本题考查三角形面积的相关知识点，解题的关键是熟练的掌握三角形关于面积的相关知识与运算.例3如下图，三角形中，且三角形的面积是，则三角形的面积为 【答案】19【详解】连接BG，份根据燕尾定理，得(份)，(份)，则(份)，因此,同理连接AI、CH得,所以三角形GHI的面积是1，所以三角形ABC的面积是19例4（2023江苏淮安九年级月考）已知的面积是60，请完成下列问题：(1)如图1，若是的边上的中线，则的面积_的面积（填“”“”“=”）(2)如图2，若、分别是的、边上的中线，求四边形的面积可以用如下方法，连接，由得：，同理：，设，则，由题意得：，可列方程组为：，解得

15、_，则可得四边形的面积为_(3)如图3，则四边形的面积为_(4)如图4，D，F是的三等分点，E，G是的三等分点，与交于O，且，则四边形A的面积为_【答案】(1)= (2)，20 (3)11 (4)【分析】（1）过点A作于点H，根据中线的定义得出，再根据三角形的面积公式得出，即可得出结论；（2）用加减消元法求解该二元一次方程组，根据，即可求解；（3）连接，根据题意得出，则，设，则，列出方程组求解， 最后根据即可求解；（4）连接，根据题意得出，用和（3）一样的方法即可求解【详解】（1）解：过点A作于点H，是的边上的中线，故答案为：=；（2）解：，得：，解得：，把代入得：，解得：，原方程组的解为，故

16、答案为：，20；（3）解：连接，的面积是60，设，则，解得：，；故答案为：11； （4）解：连接，D，F是的三等分点，E，G是的三等分点，的面积是60，设，则，解得：，；故答案为：【点睛】本题考查了三角形综合，解二元一次方程组，解题的关键是掌握同高三角形面积比等于底的比模型4.鸟头定理（共角定理）模型 图1 图2共角三角形：两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。 如图，在中，分别是上的点(如图1)或在的延长线上，在上(如图2)，则例1、如图，在三角形ABC中，D、E是AB,AC上得点，且AD：AB=

17、2:5，AE：AC=4：7，三角形ADE的面积是16平方厘米，则ABC的面积为 。【答案】70平方厘米【解析】观察：图中存在鸟头模型假设：设三角形ABC的面积为a转化：由鸟头模型比例关系有：16：a=（42）：（57），得a=70。即三角形ABC的面积是70平方厘米。例2（2023山西晋中九年级统考阶段练习）阅读理解如果两个三角形中有一组对应角相等或互补，那么这两个三角形叫做共角三角形，共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比，例：在图1中，点D，E分别在AB和AC上，ADE和ABC是共角三角形，则证明：分别过点E，C作EGAB于点G，CFAB于点F，得到图2，AGE=A

18、FC，又A=A，GAEFAC，又 即 任务：（1）如图3，已知BAC+DAE=180，请你参照材料的证明方法，求证：（2）在（1）的条件下，若则AE= 【答案】（1）见解析；（2）6【分析】（1）过点C作CGAB于G，过点E作EFDA交DA延长线于F，可得EFA=CGA=90，再由BAC+DAE=180，DAE+EAF=180，推出CAG=EAF，即可证明CAGEAF，得到，再由，得到（2）根据，可得，由此求解即可【详解】解：（1）如图所示，过点C作CGAB于G，过点E作EFDA交DA延长线于F，EFA=CGA=90， BAC+DAE=180，DAE+EAF=180，CAG=EAF，CAGEA

19、F，； （2），故答案为：6【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定，解题关键在于能够准确读懂题意作出辅助线构造相似三角形例3（2023重庆九年级专题练习）问题提出：如图1，D、E分别在ABC的边AB、AC上，连接DE，已知线段ADa，DBb，AEc，ECd，则SADE，SABC和a，b，c，d之间会有怎样的数量关系呢？问题解决：探究一：（1）看到这个问题后，我们可以考虑先从特例入手，找出其中的规律如图2，若DEBC，则ADEB，且AA，所以ADEABC，可得比例式：而根据相似三角形面积之比等于相似比的平方可得根据上述这两个式子，可以推出：（2）如图3，若ADEC，上述结论还成立吗？若成立，请写

20、出证明过程；着不成立，请说明理由探究二：回到最初的问题，若图1中没有相似的条件，是否仍存在结论：？方法回顾：两个三角形面积之比，不仅可以在相似的条件下求得，当两个三角形的底成高具有一定的关系时，也可以解决如图4，D在ABC的边上，做AHBC于H，可得：借用这个结论，请你解决最初的问题延伸探究：（1）如图5，D、E分别在ABC的边AB、AC反向延长线上，连接DE，已知线段ADa，ABb，AEc，ACd，则 （2）如图6，E在ABC的边AC上，D在AB反向延长线上，连接DE，已知线段ADa，ABb，AEc，ACd， 结论应用：如图7，在平行四边形ABCD中，G是BC边上的中点，延长GA到E，连接D

21、E交BA的延长线于F，若AB5，AG4，AE2，ABCD的面积为30，则AEF的面积是 【答案】探究一：（2）见解析；延伸探究：（1）;（2）；结论应用： 【分析】问题解决：探究一（2）：参照（1）中证明方法解答即可；探究二，过D、B点分别作,垂足分别为M、N，然后按照探究一中方法证明即可；延伸探究：（1）过D、B点分别作,垂足分别为M、N，然后按照探究一中方法证明即可；（2）过D、B点分别作,垂足分别为M、N，然后按照探究一中方法证明即可；结论应用：取AD的中点M，连接GM并延长交DE于点N，连接DG，可得,根据题意，进而得出,根据AM=DM,可得FN=DN，根据AE=2，AG=4，可得FN

22、=2EF，进而可得ED=5EF，即可得出【详解】解：问题解决：探究一：（2）成立，理由如下：ADEC，AA，,，；探究二：过D、B点分别作,垂足分别为M、N，,；延伸探究：（1）过D、B点分别作,垂足分别为M、N， ，,；（2）过D、B点分别作,垂足分别为M、N，,;结论应用：取AD的中点M，连接GM并延长交DE于点N，连接DG，AM=DM，AE=2，AG=4，,AM=DM,FN=DN，AE=2，AG=4，,即：FN=2EF,ED=5EF，【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例等知识点，熟练运用相似三角形的性质是解题的关键模型5.金字塔与沙漏模型金字塔模型 沙漏模型条件：

23、；。例1（2023秋辽宁沈阳九年级校考阶段练习）如图，已知点D、E分别是边上的点，且，面积比为，交于点F则（）ABCD【答案】A【分析】根据相似三角形的性质可得，再根据相似三角形的对应边上高的比等于相似比即可求解【详解】解：，是公共角，面积比为相似比为，故选：A【点睛】本题考查了相似三角形的性质，明确“相似三角形的对应边上高的比等于相似比”，灵活运用是关键例2（2023福建龙岩九年级校考阶段练习）如图，中，与相交于点如果，那么等于（）ABCD【答案】A【分析】根据，得到，结合面积比等于相似比平方即可得到答案；【详解】解：，故选：A【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，

24、关键是掌握相似三角形面积比等于相似比的平方例3（2023江苏模拟预测）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，AC与BD相交于点O，则的面积与的面积的比为（）A1：2BC1：4D【答案】C【分析】设小方格的边长为1，根据等腰直角三角形和勾股定理求出AB和CD的长，再根据得到 ，然后利用相似三角形的性质来求解【详解】解：如下图，设小方格的边长为1，、分别是边长为1和2的等腰直角三角形，又 ，故选：C【点睛】本题考查相似三角形面积比与相似比的关系，关键是判断两三角形相似，确定其相似比例4（2023春北京海淀九年级校考开学考试）如图，是等边三角形，被一矩形所截，被截成三等分，若图中阴

25、影部分的面积是6，则四边形的面积为（）A8B9C10D11【答案】C【分析】由题意易得，则有，然后根据相似三角形的性质可进行求解【详解】解：由题意可知：，阴影部分的面积是6，；故选C【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键例5（2023辽宁九年级校考期中）如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为米，车头可近似看成一个矩形，且满，盲区的长度是6米，车宽的长度为 米【答案】/【分析】过点作，垂足为，交于点，根据题意，设米，由得，证明，得出，根据列出方程，解方程即可求解【详解】解：如图，过点作，垂足为，交于点，则，设米，由得，四边形是矩形，即

26、，解得，车宽的长度为米，故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键例6（2023四川成都九年级成都实外校考期中）如图，中，点分别在上，且，于点M，于点N，于点D，交于点E，且，连接，若 的面积等于75，则的最小值为 【答案】【分析】先证，利用对应高之比等于相似比，设，根据勾股定理表示出，通过配方求最小值【详解】解：， ，四边形是矩形，；的面积等于75，设，则，当时，有最小值故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定、三角形面积、勾股定理，解决问题的关键熟练掌握相似三角形的判定和性质定理例7（2022秋河南郑州九年级校考期中）如图，矩形EF

27、GH内接于（矩形各顶点在三角形边上），E，F在上，H，G分别在，上，且于点D，交于点N(1)求证：(2)若，设，则当x取何值时，矩形的面积最大？最大面积是多少？【答案】(1)见解析；(2)当取1.5时，矩形的面积最大，最大面积是6.75【分析】（1）由，可证；（2）由相似三角形的性质可得，表达出与的关系，进而求出矩形的面积与之间的函数关系式，进而解答【详解】（1）证明：四边形是矩形，；（2），设矩形的面积为，则当取1.5时，矩形的面积最大，最大面积是6.75【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练运用相似三角形的性质是本题的关键课后专项训练1（2023山西八年级期末）如图在中

28、，、分别是边、的中点，则图中阴影部分的面积为（）ABCD【答案】A【分析】可求得，据此即可求得答案【详解】是边的中点，是边的中点，故选：A【点睛】本题主要考查三角形的中线，牢记三角形的中线的定义是解题的关键2（2023江苏扬州八年级校联考期末）如图，一个矩形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占矩形面积的15%，黄色三角形面积是21平方厘米，则矩形面积为 平方厘米【答案】60【详解】分别作出黄色三角形和绿色三角形的高线，据矩形的性质和三角形的面积公式说明S黄+S绿=S矩形，然后列式计算即可.详解：如图，分别作出4个三角形的高线.四边形ABCD是矩形，AD=BC,AB=CD.S黄+S绿=ADOM

29、+BCON=ADAB=S矩形，S矩形=21(-15)=60平方厘米.故答案为60.点睛：本题考查了矩形的性质和三角形的而面积公式，证明S黄+S绿=S矩形是解答本题的关键.3（2023安徽芜湖八年级期中）如图，在中，分别是的中点，且，则 【答案】【分析】由点，分别为边，的中点可得是的中线，是的中线，是的中线，是的中线，得的面积，再由是的中线，得到的面积【详解】解：已知点，分别为边，的中点，是的中线，是的中线，是的中线，是的中线，是的中线，点是的中点，点是的中点，即故答案为：【点睛】本题考查了三角形的中线和三角形面积之间的关系“三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形”，这也是本题的突破点4（

30、浙江省杭州2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题）如图，是的一条中线，为边上一点且相交于，四边形的面积为，则的面积是 【答案】【分析】连接，设，则，根据为边上中线，可得，；根据，可得，进而的面积可表示为和，由此建立方程，解出的值即可得到的面积【详解】解：连接，如图所示：设，则，为边上中线，即，解得：，故答案为：【点睛】本题考查与中线有关的三角形面积的计算，关键是利用同底等高的三角形面积相等、等高不同底的三角形面积比为底之比来表示出三角形面积，进而使用方程思想解决问题5（广东省宝安区文汇学校2023-2023学年九年级上学期月考数学试题）如图，的面积为，则四边形的面积等于 【答案】

31、【分析】连接，求出，,设，则，得到，解方程后即可得到四边形的面积【详解】解：如图，连接，的面积为，,设，则，解得，四边形的面积为故答案是：【点睛】此题考查的是不同底等高的三角形面积，灵活分割三角形面积进行计算是解答此题的关键6. 如图，在中，已知、分别在边、上，与相交于,若、和的面积分别是3、2、1，则的面积是 【答案】22.5【详解】这道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解根据蝴蝶定理得 设，根据共边定理我们可以得，解得7. 如图，求梯形的面积【答案】9【详解】设为份，为份，根据梯形蝴蝶定理，所以；又因为，所以；那么，所以梯形面积，或者根据梯形蝴蝶定理，8. 四边形的对角线与交

32、于点(如图所示)。如果三角形的面积等于三角形的面积的，且，那么的长度是的长度的_倍。 【答案】【详解】在本题中，四边形为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作垂直于，垂直于，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势

33、，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。解法一：，解法二：作于，于，9.如图，ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG：GD2：1，若SABC12，则图中阴影部分的面积是【答案】4【详解】解：ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，AG：GD2：1，AECE，SCGESAGESACF，SBGFSBGDSBCF，SACFSBCFSABC126，SCGESACF62，SBGFSBCF62，S阴影SCGE+SBGF4故答案为：410如图，三角形的面积是，是的中点，点在上，且，与交于点则四边形的面积等于 【答案】【详解】方法一：连接，根据燕尾定理，, 设份，则份，份，份，如图所标 所

34、以方法二：连接，由题目条件可得到，所以，而所以则四边形的面积等于11、如图所示，在ABC中，BD2DA，CE2EB，AF2FC，那么ABC的面积是GHI面积的几倍？【答案】7解析：如下图，连接AI。在三角形ABC中，根据燕尾模型得：AD：DBSACI：SBCI1：2；同理：AF：FCSABI：SBCI2：1，所以SACI：SBCI：SABI1：2：4SBCISABC，同理：SACGSABC，SABHSABC所以SGHI（13）SABCSABC,即SABC是SGHI的7倍12、如图，SACB48平方厘米，SACD32平方厘米，SABD45平方厘米，则SCOB为多少平方厘米？【答案】21平方厘米【

35、解析】在四边形ABCD中，根据风筝模型得：DO：BOSACD：SACB32：482：3，则SAOBSABD4527（平方厘米），则SCOBSACBSAOB482721（平方厘米）13、图中大平行四边形被分成若干小块，其中四块的面积已经标出，那么中间的四边形GQHS的面积是多少？【答案】17【解析】如下图，连接EF、GH和IJ。在平行四边形ABEF中，根据蝴蝶模型得：SABPSEPF6，在平行四边形EFGH中，SEQFSGQH1266；在平行四边形IDCJ中，SDCTSIJT5，在平行四边形GIJH中，SGSHSISJ16511，所以S四边形GQHSSGQHSISJ6111714如图，某公园的外

36、轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，AOB面积为1平方千米，BOC面积为2平方千米，COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积是692平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？【答案】0.58平方千米【详解】根据蝴蝶定理求得平方千米，公园四边形的面积是平方千米，所以人工湖的面积是平方千米15（2023春北京西城七年级校考期中）阅读与理解：三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积，即如图1，是中边上的中线，则理由：，即：等底同高的三角形面积相等操作与探索：在如图2至图4中，的面积为(1)如图2，延长的边到点，使，连接若的面积为，则_（用含的代数式表示）；(2)如

37、图3，延长的边到点，延长边到点，使，连接若的面积为，则_（用含的代数式表示），并写出理由；(3)在图3的基础上延长到点，使，连接，得到（如图若阴影部分的面积为，则_；（用含的代数式表示）拓展与应用：(4)如图5，已知四边形的面积是，、分别是、的中点，连接交于点O，求图中阴影部分的面积？【答案】(1)；(2)；(3)；(4)【分析】（1）直接根据“等底同高的三角形面积相等”即可得出答案；（2）连接，运用“等底同高的三角形面积相等”得出，即可得解；（3）由（2）结论即可得出，从而得解；（4）连接，运用“等底同高的三角形面积相等”得出，从而得解【详解】（1）解：如图2，延长的边到点，使，为的中线，即

38、；故答案为：；（2）解：如图3，连接，延长的边到点，延长边到点，使，即；故答案为：；（3）解：由（2）得，同理：，；故答案为：；（4）解：如图5所示，连接，则，；故阴影部分的面积为【点睛】此题考查了阅读与理解：三角形中线的性质即等底同高的三角形面积相等，灵活运用这个结论并适当添加辅助线是解答此题的关键16（2022秋陕西西安七年级西安益新中学校考期中）探索：在图至图中，已知的面积为，(1)如图，延长的边到点，使，连接若的面积为，则_用含的代数式表示(2)如图，延长的边到点，延长边到点，使，连接若的面积为，则_用含的代数式表示(3)在图的基础上延长到点，使，连接，得到（如图）若阴影部分的面积为，

39、则_用含的代数式表示(4)发现：像上面那样，将各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到如图，此时，我们称向外扩展了一次可以发现，扩展一次后得到的的面积是原来面积的_倍(5)应用：要在一块足够大的空地上栽种花卉，工程人员进行了如下的图案设计：首先在的空地上种红花，然后将向外扩展三次图已给出了前两次扩展的图案在第一次扩展区域内种黄花，第二次扩展区域内种紫花，第三次扩展区域内种蓝花如果种红花的区域即的面积是平方米，请你运用上述结论求出：种紫花的区域的面积；种蓝花的区域的面积【答案】(1)(2)(3)(4)(5)种紫花的区域的面积420平方米，种蓝花的区域的面积2940平方米【分析】（1）过点A作于H，

40、如图1，由于与底相等、高相同，因此它们的面积相等，问题得以解决；（2）连接，如图2，同（1）可求出的面积，就可解决问题；（3）如图3，同（2）可求出的面积，问题得以解决；（4）根据即可得出结论（5）利用探索与发现中的结论可得：种紫花的区域的面积等于DEF面积的6倍，根据条件平方米，就可解决问题；利用探索与发现中的结论可得：种蓝花的区域的面积等于面积的6倍，只需把代入，就可解决问题【详解】（1）解：探索：过点A作于H，如图1，.故答案为a.（2）解：连接，如图2，同理可得,.故答案为2a.（3）解：同（2）可得,故答案为；（4）解：如图3，故答案为7；（5）解：根据上述结论可得：（平方米），种紫

41、花的区域的面积（平方米）；同理可得：（平方米），种蓝花的区域的面积（平方米）；所以，种紫花的区域的面积420平方米，种蓝花的区域的面积2940平方米【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，另外还考查了归纳、探究的能力，运用已有经验解决问题的能力，突出了对能力的考查17（2022河南郑州校考二模）小明发现，若一个三角形中，中线的存在会和三角形的面积有一定的关系如图1，中，为边的中线，可得，过点作于，则在持续研究中，小明发现，这个研究可以运用到很多问题解决中，请你帮助小明完成下列任务：(1)如图2，矩形中，点，分别为，上的动点，且，与交于点连接判断与的面积关系；若，当点为的中点时，求四边形的面积；

42、(2)中，点为的中点，连接，将沿折叠，点的对应点为点，若与重合部分的面积为面积的，直接写出的面积【答案】(1)（1），理由见解析；6；(2)或；【分析】（1）只需要证明MDEANE得到ME=AE，即可推出；先求出，再证，即可得到结果；（2）分如图2-1所示，当ABC是锐角三角形时，如图3-2所示，当ABC时钝角三角形时，两种情况讨论求解即可【详解】（1）解：，理由如下：四边形ABCD是矩形，MDE=ANE，DME=NAE，在MDE和ANE中，MDEANE（ASA），ME=AE，；四边形ABCD是矩形，DAN=90，AB=CD=4，M是CD的中点，又，；（2）解：如图2-1所示，当ABC是锐角三

43、角形时，重叠部分即为CDQ，D是AB的中点，重叠部分的面积为面积的，Q为BD的中点，由折叠的性质可得，过点D作DFBC于F，点到直线的距离垂线段最短，过直线外一点有且只有一条线段与已知直线垂直，Q与F点重合，即DQCE，在RtACQ中，如图3-2所示，当ABC时钝角三角形时，重叠部分为CDQ，同理可证Q为BC的中点，Q为DE的中点，又D为AB的中点，DQ是ABC的中位线，过点C作CFAB于F，综上所述，或【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、矩形的性质、三角形中线的性质、折叠的性质、含30度角的直角三角形的性质、点到直线的距离、三角形面积、三角形中位线定理等等，熟知三角形中线的性质是解

44、题的关键18（2022秋浙江九年级专题练习）如图1，点将线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为的图形分成两部分，这两部分的面积分别为，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线（1）研究小组猜想：在中，若点为边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是的黄金分割线你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点任作一条直线交于点E，再过点作直线，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是的黄金分割线请你说明理由（

45、4）如图4，点E是的边的黄金分割点，过点E作，交于点，显然直线是的黄金分割线请你画一条的黄金分割线，使它不经过各边黄金分割点【答案】（1）对，理由见解析（2）不可能，理由见解析；（3）理由见解析（4）见解析【分析】（1）由于、是同高，而点为边的黄金分割点，则，所以，故直线是的黄金分割线；（2）只需判断它们面积比是否相等，若相等则中线是三角形的黄金分割线，否则不是；（3）根据平行线间的距离相等，则，设直线与交于点，则通过图形面积的转化，直线分三角形的图形面积有，故直线也是的黄金分割线；（4）画法不唯一，只需分成图形面积比相等即可【详解】解：（1）直线是的黄金分割线理由如下：设的边上的高为则，又点

46、为边的黄金分割点，则直线是的黄金分割线（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，即，三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线（3），和的公共边上的高也相等，设直线与交于点则，又，直线也是的黄金分割线（4）画法不唯一，现提供两种画法；画法一：如答图1，取的中点，再过点作一条直线分别交，DC于，N点，则直线MN就是的黄金分割线画法二：如答图2，在DF上取一点N，连接EN，再过点F作交于点，连接MN，则直线MN就是的黄金分割线【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中线性质、黄金分割、三角形的面积、平行线的性质等知识，综合性强，有一定的难度，关键是黄金分割线的灵活运用19（2023春江苏南京

47、七年级校考阶段练习）【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要线段，同时，我们知道，三角形的3条高所在直线交于同一点(1)如图1，中，则的三条高所在直线交于点；如图2，中，已知两条高、，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出的第三条高（不写画法，保留作图痕迹）【综合应用】(2)如图3，在中，平分，过点作于点若，则；请写出与，之间的数量关系，并说明理由【拓展延伸】(3)三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比如图4，中，是上一点，则有如图5，中，是上一点，且，是的中点，若的面积是，请直接

48、写出四边形的面积（用含的代数式表示）【答案】(1)A；见解析(2)；(3)【分析】（1）由直角三角形三条高的定义即可得出结论；延长、交于点，连接，延长交于点，则为的第三条高；（2）由三角形内角和定理和角平分线定义得，再由直角三角形的性质得，即可求解；由三角形内角和定理和角平分线定义求解即可；（3）连接，由中线的性质得，同理，设，则，再求出，然后由面积关系求出，即可解决问题【详解】（1）解：直角三角形三条高的交点为直角顶点，的三条高所在直线交于点，故答案为：；如图2，延长、交于点，连接，延长交于点，则为的第三条高；（2）解：，平分，故答案为：；与，之间的数量关系为：，理由如下：，平分，故答案为：

49、；（3）解：连接，如图5所示：是的中点，同理：，设，的面积是，即：，解得：，故答案为：【点睛】本题是四边形综合题目，考查了四边形面积的计算、三角形的高、三角形的中线、三角形内角和定理、三角形的面积等知识；本题综合性强，解题的关键是熟练掌握三角形的三条高交于一点和三角形面积关系20（2023春江苏盐城七年级统考期末）【问题情境】苏科版数学课本七年级下册上有这样一道题：如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知又因为高相同，所以，于是据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积【深入探究】（1）如图2，点在的边上，点在上若是的中线，求证：；若，则

50、_【拓展延伸】（2）如图3，分别延长四边形的各边，使得点、分别为、的中点，依次连结、得四边形求证：；若，则_【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【分析】（1）根据中线的性质可得，点为的中点，推得是的中线，即可证明；设边上的高为，根据三角形的面积公式可得，即可推得，同理推得，即可求得，即可证明；（2）连接，根据中线的判定和性质可得，推得，即可求得，即可证明，由可得，同理可证得，根据，即可推得，即可求解【详解】（1）证明：是的中线，点为的中点，是的中线，即；，解：设边上的高为，则，同理，则，即，（2）证明：连接，如图：点、分别为、的中点，分别为，的中位线，即；15，解：由可得，同理可证得，

51、即，【点睛】本题考查了中位线的判定和性质，三角形的面积公式，掌握三角形的一条中线把原三角形分成两个等底同高的三角形是题的关键 21（2023秋广西柳州八年级校考开学考试）阅读下面资料：小明遇到这样一个问题：如图1，对面积为a的ABC逐次进行以下操作：分别延长AB、BC、CA至A1、B1、C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1、B1、C1，得到A1B1C1，记其面积为S1，求S1的值.小明是这样思考和解决这个问题的：如图2，连接A1C、B1A、C1B，因为A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，根据等高两三角形的面积比等于底之比，所以=2SABC=2a，由

52、此继续推理，从而解决了这个问题.（1）直接写出S1= （用含字母a的式子表示）.请参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题：（2）如图3，P为ABC内一点，连接AP、BP、CP并延长分别交边BC、AC、AB于点D、E、F，则把ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，求ABC的面积.（3）如图4，若点P为ABC的边AB上的中线CF的中点，求SAPE与SBPF的比值.【答案】（1）19a；（2）315；（3）.【分析】（1）首先根据题意，求得SA1BC=2SABC，同理可求得SA1B1C=2SA1BC，依此得到SA1B1C1=19SABC，则可求得面积S1的值；（2）根据等高不等

53、底的三角形的面积的比等于底边的比，求解，从而不难求得ABC的面积；（3）设SBPF=m，SAPE=n，依题意，得SAPF=SAPC=m，SBPC=SBPF=m得出，从而求解【详解】解：（1）连接A1C，B1C=2BC，A1B=2AB，,，同理可得出：，S1=6a+6a+6a+a=19a；故答案为19a；（2）过点作于点，设，；，即同理，由，得，（3）设，如图所示依题意，得，【点睛】此题考查了三角形面积之间的关系（2）的关键是设出未知三角形的面积，然后根据等高不等底的三角形的面积的比等于底边的比列式求解22（2023江苏盐城统考二模）(1)如图1，ABC中，D是BC边上一点，则ABD与ADC有一

54、个相同的高，它们的面积之比等于相应的底之比，记为=(ABD、ADC的面积分别用SABD、SADC表示)现有BD=BC，则SABD：SADC= ；(2)如图2，ABC中，E、F分别是BC、AC边上一点，且有BE：EC=1：2，AF：FC=1：1，AE与BF相交于点G、现作EH BF交AC于点H、依次求FH ：HC、AG： GE、BG：GF的值；(3)如图3，ABC中，点P在边AB上，点M、N在边AC上，且有AP=PB，AM=MN=NC，BM、BN与CP分别相交于点R、Q，现已知ABC的面积为1，求BRQ的面积【答案】（1）1：3；（2）、；（3）【分析】（1）有一个相同的高，它们的面积之比等于相

55、应的底之比进行计算即可；（2）由平行线分线段成比例定理即可得解；（3）作辅助线，平行线分线段成比例定理即可得解【详解】解：（1）=，故答案为：1：3；（2）EHBF，FH：HC=BE：CE=1：2，AG：GE=AF：FH=CF：FH=BC：BE=3：1，FGEH， GF：EH=AF：AH=3：4，EH：BF=CE：BC=2：3，BG=BF-GF=，BG：GF=1：1；（3）过M作MEPC交AB于E，过N作NDPC交AB于D，则MENDPC，AE:DE:DP=AM:MN:CN，AM=MN=NC，AE=DE=DP，EMPR， BR:RM=BP:PE=AP:PE=3:2，RP:EM=BP:BE=AP

56、:BE=3:5，RP=EM， PQDN， BQ:QN=BP:PD=AP:PD=3:1，PQ:DN=BP:BD=AP:BD=3:4，PQ=DN=EM，QR=PQ-RP=EM-EM=EM，MEPC， PC:EM=AP:AE=3:1，PC=3EM，CQ=PC-PQ=3EM-EM=EM，CQ:QR:RP=EM：EM：EM=5：3：2，ABC的面积为1，【点睛】此题考查的是三角形相似和三角形面积与线段的比例，难度中等，当两个三角形相似时，则相似三角形的面积之比等于相似比的平方，当两个三角形同底时，面积比等于高之比，当两个三角形等高时，面积之比等于底之比，在解决这个问题时，首先要注意两个三角形是属于哪种情

57、况，然后在进行求面积的比值。23（2023四川成都八年级统考期末）如图,已知正方形DEFG的边EF在ABC的边BC上,顶点D,G分别在边AB,AC上,AHBC于HBC15,AH10求正方形DEFG的边长和面积【答案】正方形DEFG的边长是6,面积为36【分析】设AH与DG交于点M,正方形DEFG的边长为x,根据题意可得到,由AHBC可得到,利用相似三角形对应边成比例,可列出关于x的等式,即可求解【详解】解:设AH与DG交于点M,正方形DEFG的边长为x,AHBC,正方形DEFG的边EF在ABC的边BC上, ,AH=10, , , , , ,又BC=15,DG=x, ,解得: ,正方形DEFG的

58、面积为 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质:在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用,寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形;也考查了正方形的性质24（2023广东九年级校考课时练习）已知：如图，E、M是AB边的三等分点，EFMNBC求：AEF的面积:四边形EMNF的面积:四边形MBCN的面积【答案】1:3:5【分析】由已知条件和平行线得出AM2AE，AB3AE，AEFAMN，AEFABC，由相似三角形面积的比等于相似比的平方得出AEF的面积:AMN的面积1:4，AEF的面积:ABC的面积1:9，得出AEF的面积:四边

59、形EMNF的面积1:3，AEF的面积:四边形EBCF的面积1:8，即可得出结果【详解】EFMNBC，AEFAMNABC，E、M是AB边的三等分点，AEF，AMN，ABC的相似比为1:2:3，AEF，AMN，ABC的面积比为1:4:9，AEF的面积四边形EMNF的面积四边形MBCN的面积=1:3:5.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质.熟练掌握相似三角形的判定与性质，并能进行推理计算是解决问题的关键25（2023河南信阳九年级统考期末）将一副直角三角板按右图叠放(1)证明：AOBCOD；(2)求AOB与DOC的面积之比【答案】(1)见解析；(2)1：3【分析】（1）推出OCD=A，D=ABO，就可得AOBCOD；（2）设BC=a，则AB=a，BD=2a，由勾股定理知：CD=a，得AB：CD=1：，根据相似三角形性质可得面积比.【详解】解：(1)ABC=90，DCB=90ABCD，OCD=A，D=ABO，AOBCOD(2)设BC=a，则AB=a，BD=2a 由勾股定理知：CD=aAB：CD=1：AOB与DOC的面积之比等于1：3【点睛】考核知识点：相似三角形的判定和性质.理解相似三角形的判定和性质是关键.