专题09 三角函数（教师版）.docx

1、专题09 三角函数1【2022年全国甲卷】将函数f(x)=sinx+3(0)的图像向左平移2个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（）A16B14C13D12【答案】C【解析】【分析】先由平移求出曲线C的解析式，再结合对称性得2+3=2+k,kZ，即可求出的最小值.【详解】由题意知：曲线C为y=sinx+2+3=sin(x+2+3)，又C关于y轴对称，则2+3=2+k,kZ，解得=13+2k,kZ，又0，故当k=0时，的最小值为13.故选：C.2【2022年全国甲卷】设函数f(x)=sinx+3在区间(0,)恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（）A53,136B53,19

2、6C136,83D136,196【答案】C【解析】【分析】由x的取值范围得到x+3的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可【详解】解：依题意可得0，因为x0,，所以x+33,+3，要使函数在区间0,恰有三个极值点、两个零点，又y=sinx，x3,3的图象如下所示：则52+33，解得1360，即fx单调递增；在区间2,32上fx0)的最小正周期为T若23T，且y=f(x)的图象关于点(32,2)中心对称，则f(2)=（）A1B32C52D3【答案】A【解析】【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.【详解】由函数的最小正周期T满足23T，得232，

3、解得20Bcos20Dsin20)两个相邻的极值点，则=A2BC1D【答案】A【解析】【分析】从极值点可得函数的周期，结合周期公式可得.【详解】由题意知，的周期，得故选A【点睛】本题考查三角函数的极值、最值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养采取公式法，利用方程思想解题25【2019年新课标3卷理科】设函数=sin（）(0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：在（）有且仅有3个极大值点在（）有且仅有2个极小值点在（）单调递增的取值范围是)其中所有正确结论的编号是ABCD【答案】D【解析】【分析】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，通过整体换元得，结合正弦函数的图像分析得出答案【

4、详解】当时，f（x）在有且仅有5个零点，故正确，由，知时，令时取得极大值，正确；极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，不正确；因此由选项可知只需判断是否正确即可得到答案，当时，若f（x）在单调递增，则 ，即 ，故正确故选D【点睛】极小值点个数动态的，易错，正确性考查需认真计算，易出错，本题主要考查了整体换元的思想解三角函数问题，属于中档题26【2019年新课标3卷文科】函数在的零点个数为A2B3C4D5【答案】B【解析】令，得或，再根据x的取值范围可求得零点.【详解】由，得或，在的零点个数是3，故选B【点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养采取特殊值法，利用

5、数形结合和方程思想解题27【2018年新课标1卷文科】已知函数，则A的最小正周期为，最大值为B的最小正周期为，最大值为C的最小正周期为，最大值为D的最小正周期为，最大值为【答案】B【解析】【分析】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项.【详解】根据题意有，所以函数的最小正周期为，且最大值为，故选B.【点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.28【2018年新课标1卷文科】已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的

6、非负半轴重合，终边上有两点，且，则ABCD【答案】B【解析】【分析】首先根据两点都在角的终边上，得到，利用，利用倍角公式以及余弦函数的定义式，求得，从而得到，再结合，从而得到，从而确定选项.【详解】由三点共线，从而得到，因为，解得，即，所以，故选B.【点睛】该题考查的是有关角的终边上点的纵坐标的差值的问题，涉及到的知识点有共线的点的坐标的关系，余弦的倍角公式，余弦函数的定义式，根据题中的条件，得到相应的等量关系式，从而求得结果.29【2018年新课标2卷理科】若在是减函数，则的最大值是ABCD【答案】A【解析】【详解】因为，所以由得因此，从而的最大值为，故选：A.30【2018年新课标3卷理科

7、】若，则ABCD【答案】B【解析】【详解】分析：由公式可得结果.详解：故选B.点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题.31【2018年新课标3卷文科】函数的最小正周期为ABCD【答案】C【解析】【详解】分析:将函数进行化简即可详解：由已知得的最小正周期故选C.点睛：本题主要考查三角函数的化简和最小正周期公式，属于中档题32【2022年新高考2卷】已知函数f(x)=sin(2x+)(0)的图像关于点23,0中心对称，则（）Af(x)在区间0,512单调递减Bf(x)在区间-12,1112有两个极值点C直线x=76是曲线y=f(x)的对称轴D直线y=32-x是曲线y=f(x)的切线【答案】AD【

8、解析】【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出【详解】由题意得：f23=sin43+=0，所以43+=k，kZ，即=-43+k,kZ，又00,00，0）所以最小正周期T=2，因为fT=cos2+=cos2+=cos=32，又00，所以当k=0时min=3；故答案为：335【2021年甲卷文科】已知函数的部分图像如图所示，则_.【答案】【解析】【分析】首先确定函数的解析式，然后求解的值即可.【详解】由题意可得：，当时，令可得：，据此有：.故答案为：.【点睛】已知f(x)Acos(x)(A0，0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数和，常用如下两种方法：(1)由

9、即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令x00(或x0)，即可求出.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出和，若对A，的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.36【2021年甲卷理科】已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为_【答案】2【解析】【分析】先根据图象求出函数的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.【详解】由图可知，即，所以；由五点法可得，即；所以.因为，；所以由可得或；因为，所以，方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即

10、，解得，令，可得，可得的最小正整数为2.方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2.故答案为：2.【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解，根据特殊点求解.37【2020年新课标2卷文科】若，则_【答案】【解析】【分析】直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可.【详解】.故答案为：.【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.38【2020年新高考1卷（山东卷）】某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形

11、DEFG为矩形，BCDG，垂足为C，tanODC=，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为_cm2【答案】【解析】【分析】利用求出圆弧所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形的面积，求出直角的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得.【详解】设，由题意，所以，因为,所以，因为，所以，因为与圆弧相切于点，所以，即为等腰直角三角形；在直角中，因为，所以，解得；等腰直角的面积为；扇形的面积，所以阴影部分的面积为.故答案为：.【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳

12、动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.39【2019年新课标1卷文科】函数的最小值为_【答案】.【解析】【分析】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于的二次函数，从而得解.【详解】，当时，故函数的最小值为【点睛】解答本题的过程中，部分考生易忽视的限制，而简单应用二次函数的性质，出现运算错误40【2018年新课标2卷理科】已知，则_【答案】【解析】【详解】因为，所以，因为，所以，得，即，解得，故本题正确答案为41【2018年新课标2卷文科】已知，则_【答案】.【解析】【分析】利用两角差的正切公式展开，解方程可得.【详解】，解方程得.【点睛】本题主要考查

13、学生对于两角和差公式的掌握情况，属于简单题型，解决此类问题的核心是要公式记忆准确，特殊角的三角函数值运算准确.42【2018年新课标3卷理科】函数在的零点个数为_【答案】【解析】【分析】求出的范围，再由函数值为零，得到的取值可得零点个数【详解】详解：由题可知，或解得,或故有3个零点【点睛】本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题43【2019年新课标1卷文科】已知函数f（x）=2sinxxcosxx，f（x）为f（x）的导数（1）证明：f（x）在区间（0，）存在唯一零点；（2）若x0，时，f（x）ax，求a的取值范围【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）求导得到导函数后

14、，设为进行再次求导，可判断出当时，当时，从而得到单调性，由零点存在定理可判断出唯一零点所处的位置，证得结论；（2）构造函数，通过二次求导可判断出，；分别在，和的情况下根据导函数的符号判断单调性，从而确定恒成立时的取值范围.【详解】（1）令，则当时，令，解得：当时，；当时，在上单调递增；在上单调递减又，即当时，此时无零点，即无零点，使得又在上单调递减为，即在上的唯一零点综上所述：在区间存在唯一零点（2）若时，即恒成立令则，由（1）可知，在上单调递增；在上单调递减且，当时，即在上恒成立在上单调递增，即，此时恒成立当时，使得在上单调递增，在上单调递减又，在上恒成立，即恒成立当时，使得在上单调递减，在上单调递增时，可知不恒成立当时，在上单调递减可知不恒成立综上所述：【点睛】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零之间的比较，进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最值.