专题09 二次函数与胡不归综合应用（专项训练）（解析版）.docx

1、专题09 二次函数与胡不归综合应用（专项训练）1如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+2x的顶点为A点，且与x轴的正半轴交于点B，P点为该抛物线对称轴上一点，则2OP+AP的最小值为 【答案】6【解答】解：连接AO、AB，PB，作PHOA于H，BCAO于C，如图，y0时，x2+2x0，解得x10，x22，B的坐标为（2，0），yx2+2x（x）2+3，A的坐标为（，3），OA2，而ABAO2，ABAOOB，AOB为等边三角形，OAP30，PHAP，AP垂直平分OB，POPB，OP+APPB+PH，当H、P、B共线时，PB+PH的值最小，最小值为BC的长，而BCAB3，2OP+AP2（OP+A

2、P）的最小值为6故答案为：62如图，已知抛物线yax2+bx+c（a0）与y轴相交于点C（0，2），与x轴分别交于点B（3，0）和点A，且tanCAO1（1）求抛物线解析式（2）抛物线上是否存在一点Q，使得BAQABC，若存在，请求出点Q坐标，若不存在，请说明理由；（3）抛物线的对称轴交x轴于点D，在y轴上是否存在一个点P，使PC+PD值最小，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由版权所有【解答】解：（1）C（0，2），OC2，tanCAO1，1，OA2，A（2，0），将A（2，0），B（3，0），C（0，2）代入yax2+bx+c得：，解得，抛物线解析式为yx2x2；（2）存在一点Q，使

3、得BAQABC，理由如下：过A作AMBC交y轴于M，交抛物线于Q，作M关于x轴的对称点M，作直线AM交抛物线于Q，如图：AMBC，QABABC，即Q是满足题意的点，B（3，0），C（0，2），直线BC解析式是yx2，设直线AM解析式为yx+m，将A（2，0）代入得+m0，m，直线AM解析式为yx+，M（0，），解得（与A重合，舍去）或，Q（5，），M、M关于x轴对称，QABQABABC，M（0，），Q是满足题意的点，设直线AQ为ykx，将A（2，0）代入得2k0，k，直线AQ为yx，解得（舍去）或，Q（1，2）；综上所述，点Q坐标是（5，）或（1，2）；（3）在y轴上存在一个点P，使PC+PD

4、值最小，理由如下：过P作PHAC于H，过D作DHAC于H，交y轴于P，如图：yx2x2（x）2，抛物线对称轴是直线x，D（，0），OAOC2，AOC是等腰直角三角形，OCA45OAC，PCH是等腰直角三角形，PHPC，PC+PD最小即是PH+PD最小，当P运动到P，H和H重合时，PC+PD的最小，最小值是DH，OAC45，DHAC，ADH是等腰直角三角形，DHAD，A（2，0），D（，0），AD，DH，即PC+PD的最小值是3如图，已知抛物线yax22ax8a（a0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线yx+与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为5（1）求抛物线的

5、函数表达式；（2）若点P（x，y）在该二次函数的图象上，且SBCDSABP，求点P的坐标；（3）设F为线段BD上的一个动点（异于点B和D），连接AF是否存在点F，使得2AF+DF的值最小？若存在，分别求出2AF+DF的最小值和点F的坐标，若不存在，请说明理由版权所有【解答】解：把x5代入yx+，解得y3，D（5，3），把D（5，3）代入yax22ax8a，解得a，抛物线的解析式为；（2）设直线BD与y轴交于点E，E（0，），由可得A（2，0），B（4，0），C（0，），由SBCDSABP，CE|xBxD|AB|yP|，（）（4+5）（4+2）|yP|，|yP|，yP，抛物线的顶点为（1，），y

6、P，P点坐标为或；（3）存在点F，使得2AF+DF的值最小，理由如下：过点D作DM平行于x轴，故BDM30，过F作FHDM于H，sin30，HFDF，2AF+DF2（AF+DF）2（AF+HF）2AH，当A、F、H三点共线时，即AHDM时，2AF+DF取最小值，A（2，0），F（2，2），D（5，3），AH3，2AF+DF的最小值为64如图，抛物线yx26x+7交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），交y轴于点C，直线yx+7经过点A、C，点M是线段AC上的一动点（不与点A，C重合）（1）求A，B两点的坐标；（2）当点P，C关于抛物线的对称轴对称时，求PM+AM的最小值及此时点M的坐标；【解答】

7、解：（1）在yx26x+7中，令y0得：x26x+70，解得x7或x1，A（7，0），B（1，0）；（2）过P作PNx轴于N，交AC于M，如图：抛物线yx26x+7的对称轴为直线x3，在yx26x+7中，令x0得y7，C（0，7），AC7，sinCAB，在RtAMN中，MNAMsinCABAM，PM+AM最小，即是PM+MN最小，由垂线段最短可知PM+AM的最小值即为PN的长，点P，C（0，7）关于抛物线的对称轴直线x3对称，PN与OC关于抛物线yx26x+7的对称轴直线x3对称，P（6，7），PNOC7，即PM+AM的最小值为7，由A（7，0），C（0，7）得直线AC解析式为yx+7，在yx

8、+7中，令x6得y，M（6，）；5已知：如图所示，抛物线yx2x+c与x轴交于A、B两点，与y轴的正半轴交于点C，点A在点B的左侧，且满足tanCABtanCBA1（1）求A、B两点的坐标；（2）若点P是抛物线yx2x+c上一点，且PAC的内切圆的圆心正好落在x轴上，求点P的坐标；（3）若M为线段AO上任意一点，求MC+AM的最小值【解答】解：（1）设点A、B的横坐标分别为x1，x2，令y0可得x2x+c0，x1x22c，tanCABtanCBA1，即1，OC2OAOB（x1）x22C，即c22c，解得c10（舍去），c22，抛物线yx2x+2，令y0解得，x14，x21，故点A（4，0），点

9、B（1，0）；（2）PAC的内切圆圆心正好落在x轴上，则x轴为CAP的角平分线，作点C关于x轴的对称点C（0，2），设直线AC的解析式为ykx+b，将点A（4，0），C（0，2）代入，得，解得，直线AC的解析式为yx2，联立抛物线与直线得，解得，故点P坐标（2，3）；（3）过点A作直线AD，使sinOAD，过点M作MEAD于点E，如图，在RtMAE中，sinOAD，MEAM，MC+AMMC+ME，当点M、C、E三点共线时，MC+ME最小为CE，OMCEMAMEACOM，EAMOCM，在RtOCM中，sinOCMsinOAD，OC2，tanOCM，cosOAD，OM1，CM，AM413，在RtA

10、EM中，sinOAD，AM3，EM3sinOAD，MC+ME+故MC+AM的最小值6已知抛物线yax24ax12a与x轴相交于A，B两点，与y轴交于C点，且OCOA设抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点E（m，n）为抛物线上的一点，且0m6，连接AE，交对称轴于点P点F为线段BC上一动点，连接EF，当PA2PE时，求EF+BF的最小值版权所有【解答】解：（1）在yax24ax12a中，令y0得ax24ax12a0，解得x12，x26，OA2，OCOA，OC3，即C（0，3），将C（0，3）代入yax24ax12a得a，抛物线的解析式为yx2+x+3；（2）过E作EHx轴于H，交BC于F，过F作FQx轴于Q，如图：yx2+x+3对称轴为直线x2，P横坐标为2，即ON2，AN2（2）4，AP2PE，AN2NH，NH2，E横坐标为4，在yx2+x+3中令x4得y3，E（4，3），由（1）可知：OC3，OB6，RtBOC中，BC3，sinCBO，EHx轴，RtBFQ中，sinCBO，FQBF，而EF+BF（EF+BF），EF+BF最小即是EF+BF最小，也是EF+FQ最小，此时E、F、Q共线，即F与F重合，Q与H重合，EH的长度即是EF+BF的最小值，EH|yE|3，EF+BF的最小值为3，EF+BF的最小值为；