专题09 几何综合（中考数学特色专题训练卷）（解析版）.docx

1、专题09 几何综合（中考数学特色专题训练卷）1（2021百色）如图，PM、PN是O的切线，切点分别是A、B，过点O的直线CEPN，交O于点C、D，交PM于点E，AD的延长线交PN于点F，若BCPM（1）求证：P45；（2）若CD6，求PF的长【思路点拨】（1）连接OB，PM、PN切O于点A、B，根据平行四边形的判定得出四边形PBCE是平行四边形，即PC45，（2）CD6，由（1）得1P45，根据勾股定理得出OE的长度，由相似三角形的判定得出AEDAPF，根据相似比可以得出PF的长【解答过程】解：（1）证明：连接OB，PM、PN切O于点A、B，OAPM，OBPN，CEPN，OBCE，OBOC，C

2、45，BCPM，四边形PBCE是平行四边形，PC45；（2）CD6，OBOAOD3，由（1）得1P45，AEOA3，OE=32+32=32=BC，PEBC32，EDOEOD32-3，EDPF，AEDAPF，AEAP=EDPF，即332+3=32-3PF，PF32（2021滨州）如图，在O中，AB为O的直径，直线DE与O相切于点D，割线ACDE于点E且交O于点F，连接DF（1）求证：AD平分BAC；（2）求证：DF2EFAB【思路点拨】（1）连接OD，然后根据切线的性质和平行线的性质，可以得到ODADAC，再根据OAOD，可以得到OADODA，从而可以得到DACOAD，结论得证；（2）方法一：根

3、据相似三角形的判定和性质，可以得到DBDFEFAB，再根据等弧所对的弦相等，即可证明结论成立方法二：作OMDF于点M，连接OF、OD，然后根据题目中的条件，可以证明DEFODM，然后即可得到EFMD=DFOD，然后进行变形，即可得到结论成立【解答过程】（1）证明：连接OD，如右图1所示，直线DE与O相切于点D，ACDE，ODEDEA90，ODE+DEA180，ODAC，ODADAC，OAOD，OADODA，DACOAD，AD平分BAC；（2）方法一：证明：连接BD，如图1所示，ACDE，垂足为E，AB是O的直径，DEFADB90，EFD+AFD180，AFD+DBA180，EFDDBA，EFD

4、DBA，EFDB=DFAB，DBDFEFAB，由（1）知，AD平分BAC，FADDAB，DFDB，DF2EFAB方法二：作OMDF于点M，连接OF、OD，如图2所示，ODOF，OMDF，DMMF=12DF，ODE90，DEF90，ODM+EDF90，EDF+DFE90，DEFOMD，又DEFOMD，DEFOMD，EFMD=DFOD，EFODDFMD，OD=12AB，DM=12DF，EF12ABDF12DF，DF2EFAB3（2021聊城）如图，在ABC中，ABAC，O是ABC的外接圆，AE是直径，交BC于点H，点D在AC上，连接AD，CD过点E作EFBC交AD的延长线于点F，延长BC交AF于点

5、G（1）求证：EF是O的切线；（2）若BC2，AHCG3，求EF和CD的长【思路点拨】（1）由题意可证BAECAE，由等腰三角形的性质可得AEBC，由平行线的性质可证EFAE，可得结论；（2）在RtOHC中，利用勾股定理可求半径，可得AE的长，通过证明AEFAHG，可得AHAE=HGEF，可求EF的长，通过证明DCGBAG，可得CDAB=CGAG，可求CD的长【解答过程】证明：（1）ABAC，AB=AC，AE是直径，BE=CE，BAECAE，又ABAC，AEBC，又EFBC，EFAE，EF是O的切线；（2）连接OC，设O的半径为r，AEBC，CHBH=12BC1，HGHC+CG4，AG=AH2

6、+HG2=9+16=5，在RtOHC中，OH2+CH2OC2，（3r）2+1r2，解得：r=53，AE=103，EFBC，AEFAHG，AHAE=HGEF，3103=4EF，EF=409，AH3，BH1，AB=AH2+BH2=9+1=10，四边形ABCD内接于O，B+ADC180，ADC+CDG180，BCDG，又DGCAGB，DCGBAG，CDAB=CGAG，CD10=35，CD=31054（2021成都）如图，AB为O的直径，C为O上一点，连接AC，BC，D为AB延长线上一点，连接CD，且BCDA（1）求证：CD是O的切线；（2）若O的半径为5，ABC的面积为25，求CD的长；（3）在（2

7、）的条件下，E为O上一点，连接CE交线段OA于点F，若EFCF=12，求BF的长【思路点拨】（1）连接OC，由AB为O的直径，可得A+ABC90，再证明ABCBCO，结合已知BCDA，可得OCD90，从而证明CD是O的切线；（2）过C作CMAB于M，过B作BNCD于N，由ABC的面积为25，可得CM2，由BCMA得BMCM=CMAM，可解得BM=5-1，根据BCMBCN，可得CNCM2，再由DBNDCM，得BDCD=BNCM=DNDM即BDDN+2=5-12=DNBD+5-1，解DN25-2，故CDDN+CN25；（3）过C作CMAB于M，过E作EHAB于H，连接OE，由CMAB，EHAB，可

8、得EFCF=HECM=HFMF，而EFCF=12，故HE1，MF2HF，RtOEH中，OH2，可得AHOAOH=5-2，设HFx，则MF2x，则（5-1）+2x+x+（5-2）25，可解得HF1，MF2，从而BFBM+MF（5-1）+2=5+1【解答过程】（1）证明：连接OC，如图：AB为O的直径，ACB90，A+ABC90，OBOC，ABCBCO，又BCDA，BCD+BCO90，即DCO90，OCCD，CD是O的切线；（2）过C作CMAB于M，过B作BNCD于N，如图：O的半径为5，AB25，ABC的面积为25，12ABCM25，即1225CM25，CM2，RtBCM中，BCM90CBA，R

9、tABC中，A90CBA，BCMA，tanBCMtanA，即BMCM=CMAM，BM2=225-BM，解得BM=5-1，（BM=5+1已舍去），BCDA，BCMA，BCDBCM，而BMCBNC90，BCBC，BCMBCN（AAS），CNCM2，BNBM=5-1，DNBDMC90，DD，DBNDCM，BDCD=BNCM=DNDM，即BDDN+2=5-12=DNBD+5-1，解得DN25-2，CDDN+CN25；方法二：过C作CMAB于M，连接OC，如图：O的半径为5，AB25，ABC的面积为25，12ABCM25，即1225CM25，CM2，RtMOC中，OM=OC2-CM2=1，DMCCMO9

10、0，CDM90DCMOCM，DCMCOM，CDOC=CMOM，即CD5=21，CD25；（3）过C作CMAB于M，过E作EHAB于H，连接OE，如图：CMAB，EHAB，EFCF=HECM=HFMF，EFCF=12，HECM=HFMF=12，由（2）知CM2，BM=5-1，HE1，MF2HF，RtOEH中，OH=OE2-HE2=(5)2-12=2，AHOAOH=5-2，设HFx，则MF2x，由AB25可得：BM+MF+HF+AH25，（5-1）+2x+x+（5-2）25，解得：x1，HF1，MF2，BFBM+MF（5-1）+2=5+15（2021荆州）在矩形ABCD中，AB2，AD4，F是对角

11、线AC上不与点A，C重合的一点，过F作FEAD于E，将AEF沿EF翻折得到GEF，点G在射线AD上，连接CG（1）如图1，若点A的对称点G落在AD上，FGC90，延长GF交AB于H，连接CH求证：CDGGAH；求tanGHC（2）如图2，若点A的对称点G落在AD延长线上，GCF90，判断GCF与AEF是否全等，并说明理由【思路点拨】（1）由矩形的性质和同角的余角相等证明CDG与GAH的两组对应角相等，从而证明CDGGAH；由翻折得AGBDACDCG，而tanDAC=12，可求出DG的长，进而求出GA的长，由tanGHC即GHC的对边与邻边的比恰好等于相似三角形CDG与GAH的一组对应边的比，由

12、此可求出tanGHC的值；（2）GCF与AEF都是直角三角形，由tanDAC=12可分别求出CG、AG、AE、EF、AF、CF的长，再由直角边的比不相等判断GCF与AEF不全等【解答过程】（1）如图1，证明：四边形ABCD是矩形，DGAH90，DCG+DGC90，FGC90，AGH+DGC90，DCGAGH，CDGGAH由翻折得EGFEAF，AGHDACDCG，CDAB2，AD4，DGCD=AHAG=CDAD=tanDAC=24=12，DG=12CD=1221，GA413，CDGGAH，CGGH=CDGA，tanGHC=CGGH=CDGA=23（2）不全等，理由如下：AD4，CD2，AC=42

13、+22=25，GCF90，CGAC=tanDAC=12，CG=12AC=1225=5，AG=(25)2+(5)2=5，EA=12AG=52，EFEAtanDAC=5212=54，AF=(52)2+(54)2=554，CF25-554=354，GCFAEF90，而CGEA，CFEF，GCF与AEF不全等6（2021绥化）如图所示，四边形ABCD为正方形，在ECH中，ECH90，CECH，HE的延长线与CD的延长线交于点F，点D、B、H在同一条直线上（1）求证：CDECBH；（2）当HBHD=15时，求FDFC的值；（3）当HB3，HG4时，求sinCFE的值【思路点拨】（1）由正方形的性质得BC

14、CD，DCB90，再证DCEBCH，然后由SAS即可得出结论；（2）由全等三角形的性质得CDECBH，DEBH，再证EDH90，设BHa，则DH5a，则DEBHa，然后由勾股定理得EH=26a，过C作CMEH于M，过D作DNFH于N，则DNCM，由三角形面积关系求出DN=52626a，最后证FDNFCM，的FDFC=DNCM，即可求解；（3）过点E作PEDH交CF于P，过点E作EQCF于Q，先证PED为等腰直角三角形，得DEPE，再证BHGPEF（ASA），得HGEF4，然后求出QE=12PD=322，最后由锐角三角函数定义求解即可【解答过程】（1）证明：四边形ABCD是正方形，BCCD，DC

15、B90，ECH90，DCBBCEECHBCE，即DCEBCH，在CDE和CBH中，CD=CBDCE=BCHCE=CH，CDECBH（SAS）；（2）解：由（1）得：CDECBH，CDECBH，DEBH，四边形ABCD是正方形，CDBDBC45，CDECBH18045135，EDH1354590，BH：DH1：5，设BHa，则DH5a，DEBHa，在RtHDE中，EH=DE2+DH2=a2+(5a)=26a，过C作CMEH于M，过D作DNFH于N，如图1所示：则DNCM，DEH的面积=12DNEH=12DEDH，12DN26a=12a5a，解得：DN=52626a，CECH，ECH90，CM=1

16、2EH=262a，DNCM，FDNFCM，FDFC=DNCM=52626a262a=513；（3）解：过点E作PEDH交CF于P，过点E作EQCF于Q，如图2所示：PEDH，BHGPEF，FPEFDH135，四边形ABCD是正方形，ABCD，HBGFDH135，HBGEPF135，CDE135，EDQ45，EPQ45，PED为等腰直角三角形，DEPE，由（1）得：CDECBH，DEBH，DEBHPE3，在BHG和PEF中，BHG=PEFBH=PEHBG=EPF，BHGPEF（ASA），HGEF4，PED是等腰直角三角形，PD=2DE32，EQPD，QE=12PD=322，在RtFEQ中，sin

17、CFE=EQEF=3224=3287（2021福建）如图，在正方形ABCD中，E，F为边AB上的两个三等分点，点A关于DE的对称点为A，AA的延长线交BC于点G（1）求证：DEAF；（2）求GAB的大小；（3）求证：AC2AB【思路点拨】（1）由轴对称的性质可得AOAO，AADE，由三等份点可得AEEF，由三角形中位线定理可得DEAF；（2）由“ASA”可证ADEBAG，可得AEBG，可得GFBFGB45，通过证明点F，点B，点G，点A四点共圆，可得GABGFB45；（3）通过证明AFBAGC，可得ABAC=12，可得结论【解答过程】证明：（1）如图，设AG与DE的交点为O，连接GF，点A关于

18、DE的对称点为A，AOAO，AADE，E，F为边AB上的两个三等分点，AEEFBF，OE是AAF的中位线，DEAF；（2）AADE，AOE90DAEABG，ADE+DEA90DEA+EAO，ADEEAO，在ADE和BAG中，ADE=EAOAD=ABDAE=ABG=90，ADEBAG（ASA），AEBG，BFBG，GFBFGB45，FAGFBG90，点F，点B，点G，点A四点共圆，GABGFB45；（3）设AEEFBFBGa，ADBC3a，FG=2a，CG2a，在RtADE中，DE=AD2+AE2=9a2+a2=10aAG，sinEAOsinADE，OEAE=AEDE，OEa=a10a，OE=1

19、010a，AO=AE2-OE2=a2-a210=31010aAO，AG=2105a，AOAO，AEEF，AF=21010a=105a，FAGFBG90，AFB+AGB180，AGC+AGB180，AFBAGC，又AFAG=12=BFCG，AFBAGC，ABAC=12，AC2AB8（2021南通）如图，正方形ABCD中，点E在边AD上（不与端点A，D重合），点A关于直线BE的对称点为点F，连接CF，设ABE（1）求BCF的大小（用含的式子表示）；（2）过点C作CG直线AF，垂足为G，连接DG判断DG与CF的位置关系，并说明理由；（3）将ABE绕点B顺时针旋转90得到CBH，点E的对应点为点H，连

20、接BF，HF当BFH为等腰三角形时，求sin的值【思路点拨】（1）由轴对称的性质可得ABBF，BEAF，可求CBF902，由等腰三角形的性质可求解；（2）通过证明点A，点D，点G，点C四点共圆，可得AGDACD45，由等腰三角形的性质可得AFB90，可得CFG45DGA，可证DGCF；（3）分三种情况讨论，由旋转的性质可得AECH，BEBH，ABECBHFBE，ABBC，由“ASA”可证ABENHB，可得BNAE=12AB，即可求解【解答过程】解：（1）如图1，连接BF，点A关于直线BE的对称点为点F，ABBF，BEAF，ABEEBF，CBF902，四边形ABCD是正方形，ABBC，BFBC，

21、BCF=180-(90-2)2=45+；（2）DGCF，理由如下：如图2，连接AC，四边形ABCD是正方形，ACD45，ADC90，CGAF，CGAADC90，点A，点D，点G，点C四点共圆，AGDACD45，ABBF，ABF2，AFB=180-22=90，AFC135，CFG45DGA，DGCF；（3）BEAB，BHBF，BHBF；如图3，当BHFH时，过点H作HNBF于N，将ABE绕点B顺时针旋转90得到CBH，ABECBH，EBH90ABC，AECH，BEBH，ABECBHFBE，ABBC，HBF90，BHFH，HNBF，BNNF=12BF=12AB，BNH90BAE，BHN，ABEBH

22、N，ABENHB（ASA），BNAE=12AB，BE=AE2+AB2=5AE，sin=AEBE=55，当BFFH时，FBHFHB90，BFH2ABF，ABFH，即点F与点C重合，则点E与点D重合，点E在边AD上（不与端点A，D重合），BFFH不成立，综上所述：sin的值为559（2021广州）如图，在菱形ABCD中，DAB60，AB2，点E为边AB上一个动点，延长BA到点F，使AFAE，且CF、DE相交于点G（1）当点E运动到AB中点时，证明：四边形DFEC是平行四边形；（2）当CG2时，求AE的长；（3）当点E从点A开始向右运动到点B时，求点G运动路径的长度【思路点拨】（1）利用平行四边形的

23、判定定理：两边平行且相等的四边形是平行四边形，（2）利用三角形相似，求出此时FG的长，再借助直角三角形勾股定理求解，（3）利用图形法，判断G点轨迹为一条线段，在对应点处求解【解答过程】解：（1）证明：连接DF，CE，如图所示：，E为AB中点，AEAF=12AB，EFABCD，四边形ABCD是菱形，EFABCD，四边形DFEC是平行四边形（2）作CHBH，设AEFAm，如图所示，四边形ABCD是菱形，CDEF，CDGFEG，CDCG=EFFG，FG2m，在RtCBH中，CBH60，BC2，sin60=CHBC，CH=3，cos60=BHBC，BH1，在RtCFH中，CF2+2m，CH=3，FH3

24、+m，CFCH+FH，即（2+2m）（3）+（3+m），整理得：3m+2m80，解得：m1=43，m22（舍去），AE=43（3）G点轨迹为线段AG，证明：如图，（此图仅作为证明AG轨迹用），延长线段AG交CD于H，作HMAB于M，作DNAB于N，四边形ABCD是菱形，BFCD，DHGEGA，HGCAGF，AEDH=AGHG，AFHC=AGHG，AEDH=AFCH，AEAF，DHCH1，在RtADN中，AD2，DAB60sin60=DNAD，DN=3cos60=ANAD，AN1，在RtAHM中，HMDN=3，AMAN+NMAN+DH2，tanHAM=32，G点轨迹为线段AGG点轨迹是线段AG如

25、图所示，作GHAB，四边形ABCD为菱形，DAB60，AB2，CDBF，BD2，CDGFBG，CDBF=DGBG，即BG2DG，BG+DGBD2，BG=43，在RtGHB中，BG=43，DBA60，sin60=GHBG，GH=233，cos60=BHBG，BH=23，在RtAHG中，AH2-23=43，GH=233，AG（43）+（233）=289，AG=273G点路径长度为273解法二：如图，连接AG，延长AG交CD于点WCDBF，FACW=AGGW，AGGW=AEDW，FACW=AEDW，AFAE，DWCW，点G在AW上运动下面的解法同上10（2021广东）如图，在四边形ABCD中，ABC

26、D，ABCD，ABC90，点E、F分别在线段BC、AD上，且EFCD，ABAF，CDDF（1）求证：CFFB；（2）求证：以AD为直径的圆与BC相切；（3）若EF2，DFE120，求ADE的面积【思路点拨】（1）先判断出DFE2EFC，同理判断出AFE2BFE，进而判断出2BFE+2EFC180，即可得出结论；（2）取AD的中点O，过点O作OHBC于H，先判断出OH=12（AB+CD），进而判断出OH=12AD，即可得出结论；（3）先求出CFE60，CE23，再判断出四边形CEMD是矩形，得出DM23，过点A作ANEF于N，同理求出AN=233，即可得出结论【解答过程】（1）证明：CDDF，D

27、CFDFC，EFCD，DCFEFC，DFCEFC，DFE2EFC，ABAF，ABFAFB，CDEF，CDAB，ABEF，EFBAFB，AFE2BFE，AFE+DFE180，2BFE+2EFC180，BFE+EFC90，BFC90，CFBF；（2）证明：如图1，取AD的中点O，过点O作OHBC于H，OHC90ABC，OHAB，ABCD，OHABCD，ABCD，ABCD，四边形ABCD是梯形，点H是BC的中点，OH=12（AB+CD），连接并延长交BA的延长线于G，GDCO，AOGDOC，OAOD，AOGDOC（AAS），AGCD，OCOG，OH是BCG的中位线，OH=12BG=12（AB+AG）

28、=12（AF+DF）=12AD，OHBC，以AD为直径的圆与BC相切；（3）如图2，由（1）知，DFE2EFC，DFE120，CFE60，在RtCEF中，EF2，ECF90CFE30，CF2EF4，CE=CF2-EF2=23，ABEFCD，ABC90，ECDCEF90，过点D作DMEF，交EF的延长线于M，M90，MECDCEF90，四边形CEMD是矩形，DMCE23，过点A作ANEF于N，四边形ABEN是矩形，ANBE，由（1）知，CFB90，CFE60，BFE30，在RtBEF中，EF2，BEEFtan30=233，AN=233，SADESAEF+SDEF=12EFAN+12EFDM=12

29、EF（AN+DM）=122（233+23）=83311（2021青岛）已知：如图，在矩形ABCD和等腰RtADE中，AB8cm，ADAE6cm，DAE90点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s过点Q作QMBE，交AD于点H，交DE于点M，过点Q作QNBC，交CD于点N分别连接PQ，PM，设运动时间为t（s）（0t8）解答下列问题：（1）当PQBD时，求t的值；（2）设五边形PMDNQ的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式；（3）当PQPM时，求t的值；（4）若PM与AD相交于点W，分别连接QW和EW在运动过程中，

30、是否存在某一时刻t，使AWEQWD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由【思路点拨】（1）根据cosPBQ=BQPB=ABBD，构建方程，可知结论（2）如图2中，过点P作POQM于点O证明SS四边形DQPM+SDNQ=12（PQ+DH）QM+12QNND=12（HA+DH）QM+12QNND=12ADQM+12QNND，可得结论（3）如图3中，延长NQ交BE于点G根据PQPM，构建方程求解即可（4）存在证明HQWAEW，MHWPAW，推出QHAE=HWWA，HMPA=HWWA，推出QHAE=HMPA，由此构建方程求解即可【解答过程】解：（1）如图1中，由题意，BPDQt（cm），在矩形AB

31、CD中，AB8cm，BCAD6cm，BAD90，BD=AB2+AD2=82+62=10（cm），PQBD，PQB90，cosPBQ=BQPB=ABBD，10-tt=810，t=509，答：当PQBD时，t的值为509（2）如图2中，过点P作POQM于点O在等腰RtADE中，ADAE6，EAD90，BEAB+AE8+614（cm），QMBE，POHPAHOHA90，四边形OPAH是矩形，POAH，QMEB，DQMDBE，QDMQDM，DQMDBE，QMBE=DQDB，QM14=t10，QM=75t（cm），QNBC，DNQC90，CDBCDB，NDQCDB，DQDB=DNDCNQBC，t10=D

32、N8=NQ6，DN=45t（cm），QN=35t（cm）SS四边形DQPM+SDNQ=12（PQ+DH）QM+12QNND=12（HA+DH）QM+12QNND=12ADQM+12QNND=12675t+1235t45t=625t2+215tS与t之间的函数关系式为：S=625t2+215t（0t8）（3）如图3中，延长NQ交BE于点G 由（1）（2）可知DCAB，DNQ90，POQM，DNQNGABAD90，四边形NGAD是矩形，BGCN（8-45t）（cm），同理可证，四边形PGQO是矩形，QOPGBPCNt（8-45t）（95t8）（cm），1275t=95t8，t=8011，答：当PQ

33、PM时，t的值为8011（4）存在理由：如图4中，由（2）得DN=45t，QM=75t，QNBC，QMBE，DNQNQHNDH90，四边形NQHD是矩形，QHDN=45t，且QHD90，QHADAE90，AWEQWD，HQWAEW，同理可证MHWPAW，QHAE=HWWA，HMPA=HWWA，QHAE=HMPA，45t6=75t-45t8-t，t=72，经检验，t=72是分式方程的解，答：在运动过程中，t的值为72时，AWEQWD12（2021常德）如图1，在ABC中，ABAC，N是BC边上的一点，D为AN的中点，过点A作BC的平行线交CD的延长线于T，且ATBN，连接BT（1）求证：BNCN

34、；（2）在图1中AN上取一点O，使AOOC，作N关于边AC的对称点M，连接MT、MO、OC、OT、CM得图2求证：TOMAOC；设TM与AC相交于点P，连接PD，求证：PDCM，PD=12CM【思路点拨】（1）由“AAS”可证ATDNCD，可得CNATBN；（2）由轴对称的性质可得CNMCAT，ACNACM，由“SAS”可证TAOMCO，可得OTOM，TOACOM，即可得结论；将CM绕点M顺时针旋转，使点C落在点E上，连接AM，TE，由旋转的性质可得EMCMAT，由角的数量关系可证TACAEM，可得ATEM，可证四边形ATEM是平行四边形，可得TPPM，由三角形中位线定理可得结论【解答过程】证

35、明：（1）ATBC，ATDBCD，点D是AN的中点，ADDN，在ATD和NCD中，ATD=BCDADT=CDNAD=DN，ATDNCD（AAS），CNAT，TDDC，ATBN，BNCN；（2）ATBN，ATBN，四边形ATBN是平行四边形，ABAC，BNCN，ANBC，平行四边形ATBN是矩形，TAN90，点M，点N关于AC对称，CNMC，ACNACM，ATCM，OAOC，OACOCA，OAC+ACN90，OCA+ACM90OCM，OCMTAN，又ATCM，OAOC，TAOMCO（SAS），OTOM，TOACOM，TOMAOC，OTOA=OMOC，TOMAOC；如图2，将CM绕点M顺时针旋转，

36、使点C落在点E上，连接AM，TE，EMCMAT，MECMCE，CAN+ACN90，CAN+ACM90，TAN+NAC+ACM180，TAC+ACM180，又AEM+CEM180，TACAEM，ATEM，四边形ATEM是平行四边形，TPPM，又TDDC，PDCM，PD=12CM13（2021无锡）已知四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是射线BC上的动点，以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，AEF90，设BEm（1）如图，若点E在线段BC上运动，EF交CD于点P，AF交CD于点Q，连接CF，当m=13时，求线段CF的长；在PQE中，设边QE上的高为h，请用含m的代数式表示h，

37、并求h的最大值；（2）设过BC的中点且垂直于BC的直线被等腰直角三角形AEF截得的线段长为y，请直接写出y与m的关系式【思路点拨】（1）过F作FGBC于G，连接CF，先证明ABEEGF，可得FGBE=13，EGABBC，则EGECBCEC，即CGBE=13，再在RtCGF中，即可求CF=23；ABE绕A逆时针旋转90，得ADE，过P作PHEQ于H，由ABEADE，BADE90，BAEDAE，AEBE，AEAE，BEDE，可得C、D、E共线，由EAQEAQ，可得EAEQ，故AEBAEQ，从而QEP90AEQ90AEBCEP，即EF是QEC的平分线，有PHPC，用ABEECP，可求CPm（1m），

38、即可得hm2+m；（2）分两种情况：当m12时，由ABEECP，可求HGm2+12m，根据MGCD，G为BC中点，可得MN=12DQ，设DQx，则EQx+m，CQ1x，RtEQC中，EC2+CQ2EQ2，可得MN=1-m2(1+m)，故yNHMGHGMN1-12m-1-m2(1+m)+m2，当m12时，由MGAB，可得HG=2m-12m，同可得MN=12DQ=1-m2(1+m)，即可得y=1+m22m2+2m，【解答过程】解：（1）过F作FGBC于G，连接CF，如图：四边形ABCD是正方形，AEF90，BAE90AEBFEG，BG90，等腰直角三角形AEF，AEEF，在ABE和EGF中，B=G

39、BAE=FEGAE=EF，ABEEGF（AAS），FGBE=13，EGABBC，EGECBCEC，即CGBE=13，在RtCGF中，CF=CG2+FG2=23；ABE绕A逆时针旋转90，得ADE，过P作PHEQ于H，如图：ABE绕A逆时针旋转90，得ADE，ABEADE，BADE90，BAEDAE，AEBE，AEAE，BEDE，ADC+ADE180，C、D、E共线，BAE+EAD90，DAE+EAD90，EAF45，EAFEAF45，在EAQ和EAQ中，AE=AEEAQ=EAQAQ=AQ，EAQEAQ（SAS），EAEQ，EQEQ，AEBAEQ，EQDQ+DEDQ+BE，QEP90AEQ90A

40、EBCEP，即EF是QEC的平分线，又C90，PHEQ，PHPC，BAECEP，BC90，ABEECP，CPBE=CEAB，即CPm=1-m1，CPm（1m），PHhm2+m（m-12）2+14，m=12时，h最大值是14；（2）当0m12时，如图：BAE90AEBHEG，BHGE90，ABEEGH，HGBE=EGAB，即HGm=12-m1，HGm2+12m，MGCD，G为BC中点，MN为ADQ的中位线，MN=12DQ，由（1）知：EQDQ+BE，设DQx，则EQx+m，CQ1x，RtEQC中，EC2+CQ2EQ2，（1m）2+（1x）2（x+m）2，解得x=1-m1+m，MN=1-m2(1+

41、m)，yNHMGHGMN1（m2+12m）-1-m2(1+m)1-12m-1-m2(1+m)+m2，当m12时，如图：MGAB，HGAB=GEBE，即HG1=m-12m，HG=2m-12m，同可得MN=12DQ=1-m2(1+m)，HNMGHGMN1-2m-12m-1-m2(1+m)=1+m22m2+2m，y=1+m22m2+2m，综上所述，y=1-12m-1-m2(1+m)+m2(0m12)1+m22m2+2m(m12)14（2021丹东）已知，在正方形ABCD中，点M、N为对角线AC上的两个动点，且MBN45，过点M、N分别作AB、BC的垂线相交于点E，垂足分别为F、G，设AFM的面积为S

42、1，NGC的面积为S2，MEN的面积为S3（1）如图（1），当四边形EFBG为正方形时，求证：AFMCGN；求证：S3S1+S2（2）如图（2），当四边形EFBG为矩形时，写出S1，S2，S3三者之间的数量关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若BG：GCm：n（mn），请直接写出AF：FB的值【思路点拨】（1）利用两个正方形性质易证AFMCGN；证法1：连接BD，则BD过点E，且BDAC，ABDCBD45，由知AMCN，易证ABMCBN，可得BMBN，进一步证明FBMOBN，从而得到AFMEON，同理CGNEOM，故S3S1+S2；证法2：利用半角模型证得BMNBMN（SAS），MNMN

43、，再由MANBAN+BAC45+4590，运用勾股定理得：AM2+AN2MN2，即AM2+CN2MN2，再由AMF、CGN和EMN都是等腰直角三角形，即可证得结论；（2）证法1，如图1，连接BD交AC于点O，易证FBMOBN，进而得到BFOB=BMBN，仿照上面同样的方法，可证BMBN=OBBG，即OB2BFBG，从而得到S矩形EFBGSABC，故S3S1+S2；证法2：与（1）同理利用半角模型即可证得结论；证法3：作BMN的外接圆O，则OMONOB，延长MO交BC于H，设AFb，CGa，则BHb，OHa，即可证得结论；（3）解法1：在（2）的条件下，有S矩形EFBGSABC，根据题意可设BG

44、mx，GCnx，ABBC（m+n）x，先求出BF的长，进而求出AF的长；解法2：设BGm，GCn，AFx，则BFm+nx，根据AMF、CGN和EMN都是等腰直角三角形，可得AM=2AF=2x，CN=2n，MN=2（mx），利用勾股定理建立方程求得x=m2-n22m，可得出答案解法3：如图3，设BGm，CGn，AFx，则OB=x2+n2，ONmx，由x2+n2=mx，求得：x=m2-n22m，进而得出BFm+nx=(m+n)22m，即可求得答案【解答过程】解：（1）在正方形ABCD和正方形EFBG中，ABCB，BFBG，FAMGCN45，AFMCGN90，ABBFCBBG，即AFCG，AFMCG

45、N（ASA）证法1：如图1，连接BD，则BD过点E，且BDAC，ABDCBD45，由知AFMCGN，AMCN，BAMBCN，ABBC，ABMCBN（SAS），BMBN，ABMCBN，MBN45ABD，FBM+MBOMBO+OBN，FBMOBN，BFMBON90，FBMOBN（AAS），FMON，AFMEON90，FAMOEN45，AFMEON（AAS），同理CGNEOM（AAS），SEOMSCGN，SEONSAFM，S3SMENSEOM+SEONSCGN+SAFM，S3S1+S2证法2：如图1，将BCN绕点B逆时针旋转90得到BAN，连接NF，则BNBN，ANCN，BANBCN45，BFNBG

46、N90，BFE90，BFN+BFE180，即M、F、N在同一条直线上，MBN4，CBN+ABM45，ABN+ABM45MBN，即MBNMBN，在BMN和BMN中，BN=BNMBN=MBNBM=BM，BMNBMN（SAS），MNMN，MANBAN+BAC45+4590，AM2+AN2MN2，即AM2+CN2MN2，AMF和CGN都是等腰直角三角形，AMFCNG45，EMNAMFENMCNG45，EMN是等腰直角三角形，S1=14AM2，S2=14CN2，S3=14MN2，S1+S2=14AM2+14CN2=14（AM2+CN2）=14MN2，S3S1+S2（2）S3S1+S2，理由如下：证法1：

47、如图2，连接BD交AC于点O，四边形ABCD是正方形，四边形EFBG为矩形，BDAC，BFMBON90，ABDCBD45，ACBD2OB，MBN45，FBMOBN45MBO，FBMOBN，BFOB=BMBN，同理BOMBGN，BMBN=OBBG，BFOB=OBBG，OB2BFBG，SABC=12OBAC=12OB2OB=OB2，S矩形EFBGBFBG，S矩形EFBGSABC，S1+S2SABCS五边形MFBGN，S3S矩形EFBGS五边形MFBGN，S3S1+S2证法2：如图2，将BCN绕点B逆时针旋转90得到BAN，连接NM，则BNBN，ANCN，BANBCN45，与（1）同理可得：BMNB

48、MN（SAS），MNMN，MANBAN+BAC45+4590，AM2+AN2MN2，即AM2+CN2MN2，AMF和CGN都是等腰直角三角形，AMFCNG45，EMNAMFENMCNG45，EMN是等腰直角三角形，S1=14AM2，S2=14CN2，S3=14MN2，S1+S2=14AM2+14CN2=14（AM2+CN2）=14MN2，S3S1+S2证法3：如图2，作BMN的外接圆O，则OMONOB，MBN45，MON90，OMON，OMNONM45，延长MO交BC于H，设AFb，CGa，则BHb，OHa，a2+b2OB2ON2，S3S1+S2（3）解法1：根据题意可设BGmx，GCnx，A

49、BBC（m+n）x，S矩形EFBG=SABC=12(m+n)2x2，即BFBG=12(m+n)2x2，BF=12(m+n)2x2BG=12(m+n)2x2mx=(m+n)2x2m，AF=AB-BF=(m2-n2)x2m，AF：BF=(m2-n2)x2m：(m+n)2x2m=（mn）：（m+n）解法2：BG：GCm：n（mn），设BGm，GCn，ABBCm+n，设AFx，则BFm+nx，AMF、CGN和EMN都是等腰直角三角形，AM=2AF=2x，CN=2n，MN=2（mx），AM2+CN2MN2，（2x）2+（2n）22（mx）2，化简整理，得：x=m2-n22m，即AF=m2-n22m，BF

50、m+n-m2-n22m=(m+n)22m，AFBF=m2-n22m：(m+n)22m=m2-n22m2m(m+n)2=m-nm+n解法3：如图3，设BGm，CGn，AFx，则OB=x2+n2，ONmx，x2+n2=mx，x=m2-n22m，BFm+nx=(m+n)22m，AF：BF=m2-n22m：(m+n)22m=m2-n22m2m(m+n)2=m-nm+n15（2021济南）在ABC中，BAC90，ABAC，点D在边BC上，BD=13BC，将线段DB绕点D顺时针旋转至DE，记旋转角为，连接BE，CE，以CE为斜边在其一侧作等腰直角三角形CEF，连接AF（1）如图1，当180时，请直接写出线

51、段AF与线段BE的数量关系；（2）当0180时，如图2，（1）中线段AF与线段BE的数量关系是否仍然成立？请说明理由；如图3，当B，E，F三点共线时，连接AE，判断四边形AECF的形状，并说明理由【思路点拨】（1）根据题意得BDDEEC=13BC，进而可得ABCFEC，得出FCAC=ECBC=13，由BC=2AC，推出ACBE=324，即可得出答案；（2）由CEF是等腰直角三角形，BAC90，ABAC，可得CAFCBE，推出AFBE=22仍然成立；如图3，过点D作DGBF于点G，由旋转得：DEBD=13BC，进而得出BDGBCF，推出AF=22BE=2BG=2CFCE，再由CAFCBE，推出C

52、AFACE，可得AFCE，利用平行四边形的判定即可得出答案【解答过程】解：（1）如图1，当180时，点E在线段BC上，BD=13BC，DEBD=13BC，BDDEEC，CEF是等腰直角三角形，CFEBAC90，ECFBCA45，ABCFEC，FCAC=ECBC=13，AFAC=BEBC=23，BC=2AC，BEBC=BE2AC=23，BEAC=223，即ACBE=322=324，AFBE=AFACACBE=23324=22；（2）AFBE=22仍然成立.理由如下：如图2，CEF是等腰直角三角形，ECF45，CFCE=22，在ABC中，BAC90，ABAC，BCA45，CACB=22，ECFBC

53、A，CFCE=CACB，ACF+ACEBCE+ACE，ACFBCE，CFCA=CECB，CAFCBE，AFBE=CFCE=22，AFBE=22仍然成立四边形AECF是平行四边形理由如下：如图3，过点D作DGBF于点G，由旋转得：DEBD=13BC，BGDBFC90，DBGCBF，BDGBCF，DGCF=BGBF=BDBC=13，BDDE，DGBE，BGEG，BGEGEF，EFCF，CFBG=13BF，由知，AF=22BE=2BG=2CFCE，CAFCBE，CAFCBE，ACFBCE，CEFCBE+BCE45，BCE+ACEACB45，CBEACE，CAFACE，AFCE，AFCE，四边形AEC

54、F是平行四边形16（2021黑龙江）已知ABC60，点F在直线BC上，以AF为边作等边三角形AFE，过点E作EDAB于点D请解答下列问题：（1）如图，求证：AB+BF2BD；（2）如图、图，线段AB，BF，BD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明【思路点拨】（1）如图中，连接BE，在BC的延长线上截取BT，使得BTBA，连接AT根据等边三角形的性质得到ATAB，AFAE，TABFAE60，推出TAFBAE，证得ATFABE，根据全等三角形的性质得到TFBE，ATBABE60，根据直角三角形的性质得到BD=12BE，等量代换即可得到结论；（2）如图中，结论：ABBF2BD连接BE，在B

55、C的延长线上截取BT，使得BTBA，连接AT根据等边三角形的性质得到ACAB，AFAE，CABFAE60，推出CAFBAE，证得ACFABE，根据全等三角形的性质得到CFBE，CABE60，根据直角三角形的性质得到BD=12BE，等量代换即可得到结论如图中，结论：BFAB2BD，证明类似中【解答过程】（1）证明：如图中，连接BE，在BC的延长线上截取BT，使得BTBA，连接ATBABT，ABT60，ABT是等边三角形，ABT，AEF是等边三角形，ATAB，AFAE，TABFAE60，TAFBAE，在ATF与ABE中，AT=ABTAF=BAEAF=AE，ATFABE（SAS），TFBE，ATBA

56、BE60，EDAB，DEB30，BD=12BE，TF2BD，BTAB，AB+BF2BD（2）如图，结论：ABBF2BD理由：连接BE，在BC的延长线上截取BT，使得BTBA，连接ATABT，AEF是等边三角形，ATAB，AFAE，TABFAE60，TAFBAE，在ATF与ABE中，AT=ABTAF=BAEAF=AE，ATFABE（SAS），TFBE，ATFABE60，EBD60，EDAB，DEB30，BD=12BE，TF2BD，BTAB，AB2BD，ABBF2BD如图，结论：BFAB2BD理由：连接BE，在BC上截取BT，使得BTBA，连接ATABT，AEF是等边三角形，ATAB，AFAE，T

57、AFBAE，在ATF与ABE中，AT=ABTAF=BAEAF=AE，ATFABE（SAS），TFBE，ATFABE120，EBD60EDAB，DEB30，BD=12BE，TF2BD，BTAB，BFAB2BD17（2021沈阳）在ABC中，ABAC，CDE中，CECD（CECA），BCCD，D，ACB+ECD180，点B，C，E不共线，点P为直线DE上一点，且PBPD（1）如图1，点D在线段BC延长线上，则ECD1802，ABP（用含的代数式表示）；（2）如图2，点A，E在直线BC同侧，求证：BP平分ABC；（3）若ABC60，BC=3+1，将图3中的CDE绕点C按顺时针方向旋转，当BPDE时，

58、直线PC交BD于点G，点M是PD中点，请直接写出GM的长【思路点拨】（1）利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质求解即可（2）如图2中，连接BD证明PBCCDE，可得结论（3）分两种情形：如图31中，设BP交AC于J图32中，设PC交BC于K，当BPDE时，利用三角形的中位线定理，可得GM=12PB，求出PB，可得结论【解答过程】（1）解：如图1中，CECD，DE，ECD1802，ECBE+D2，ABAC，ABCACB2，PBPD，PBDD，ABPABCPBD，故答案为：1802，（2）证明：如图2中，连接BDCBCD，PBPD，CBDCDB，PBDPDB，PBCPDC，ACB+ECD180

59、，2D+ECD180，ACB2，ABAC，ABC2，ABPPBC，PB平分ABC（3）解：如图31中，设BP交AC于JBPPD，BPPD，PBD是等腰直角三角形，CBCD，PBPD，PG垂直平分线段BD，BGDG，PMMD，GM=12PB，ABCACB60，ECD18060120，ACB是等边三角形，CECD，CDE30，PBCPDC30，BJC90，CJ=12BC=3+12，BJ=3CJ=3+32，CPDCPJ45，PJJC=3+12，PBBJ+PJ=3+2，GM=3+22如图32中，设PC交BC于K，当BPDE时，同法可证GM=12PBPBC30，GPBPBC+PCB45，PCBPCD15

60、，KCE120151590，E30，CECB=3+1，CK=EC3=1+33，KBBCCK=233，PBBKcos30=23332=1，GM=12PB=12，综上所述，GM的长为3+22或1218（2021安徽）如图1，在四边形ABCD中，ABCBCD，点E在边BC上，且AECD，DEAB，作CFAD交线段AE于点F，连接BF（1）求证：ABFEAD；（2）如图2若AB9，CD5，ECFAED，求BE的长；（3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求BEEC的值【思路点拨】（1）先根据题意得出ABAE，DEDC，再证四边形ADCF是平行四边形，得出AFCD，进而得出AFDE，再由平行线性质

61、得AEDBAF，进而证得结论；（2）先证明EADCFE，得ADEF=DECE=AECF，根据四边形ADCF是平行四边形，得ADCF，AFCD，进而可得CF4=5CE=9CF，求得CF6，CE=103，再利用ABEDEC，求得答案；（3）如图3，延长BM、ED交于点G，先证明ABEDCE，得出ABDC=AEDE=BECE，设DCDEa，CEb，ABDC=AEDE=BECE=x，则ABAEax，AFCDa，BEbx，可得EFAEAFaxaa（x1），再利用ABFEGF，列方程求解即可【解答过程】解：（1）如图1，AECD，AEBBCD，ABCBCD，ABCAEB，ABAE，DEAB，DECABC，

62、AEDBAF，ABCBCD，DECBCD，DEDC，CFAD，AECD，四边形ADCF是平行四边形，AFCD，AFDE，在ABF和EAD中，AB=AEBAF=AEDAF=DE，ABFEAD（SAS）；（2）方法：CFAD，EADCFE，ECFAED，EADCFE，ADEF=DECE=AECF，由（1）知：四边形ADCF是平行四边形，ADCF，AFCD，AB9，CD5，AE9，DE5，EFAEAF954，CF4=5CE=9CF，CF24936，即CF6，CE=103，ABCBCDAEBDEC，ABEDEC，BEAB=ECDC，即BE9=1035，BE6；方法：由（1）知ABFEAD，ABFEAD

63、，EADCFE，ABFCFE，ABCAEB，ABCABF+EBF，AEBCFE+ECF，EBFECF，BAEAEDECF，EBFBAE，BEFAEB，BEFAEB，BEEF=AEBE，即BE4=9BE，BE6；（3）如图3，延长BM、ED交于点G，ABE，DCE均为等腰三角形，且ABCDCE，ABEDCE，ABDC=AEDE=BECE，设DCDEa，CEb，ABDC=AEDE=BECE=x，则ABAEax，AFCDa，BEbx，EFAEAFaxaa（x1），ABDG，ABGGAD的中点M，AMDM，AMBDMG，AMBDMG（AAS），DGABax，EGDG+DEax+aa（x+1），ABDG

64、（即ABEG），ABFEGF，ABEG=AFEF，即axa(x+1)=aa(x-1)，x22x10，解得：x1+2或x1-2（舍去），BEEC=x1+219（2021鞍山）如图，在ABC中，ABAC，BAC（0180），过点A作射线AM交射线BC于点D，将AM绕点A逆时针旋转得到AN，过点C作CFAM交直线AN于点F，在AM上取点E，使AEBACB（1）当AM与线段BC相交时，如图1，当60时，线段AE，CE和CF之间的数量关系为 AECF+CE如图2，当90时，写出线段AE，CE和CF之间的数量关系，并说明理由（2）当tan=43，AB5时，若CDE是直角三角形，直接写出AF的长【思路点拨】

65、（1）结论：AECF+CE如图1中，作CTAF交AM于T想办法证明ATCF，ETCE，可得结论结论：EC=2（AECF）过点C作CQAE于Q想办法证明CFAQ，CE=2EQ，可得结论（2）分两种情形：如图31中，当CDE90时，过点B作BJAC于J，过点F作FKAE于K利用勾股定理以及面积法求出CD，再证明FKCD，可得结论如图32中，当ECD90时，DAB90，解直角三角形求出AK，可得结论【解答过程】解：（1）结论：AECF+CE理由：如图1中，作CTAF交AM于TABAC，BAC60，ABC是等边三角形，CACB，ACB60，AFCT，CFAT，四边形AFCT是平行四边形，CFAT，AD

66、CBDE，DEBACD，ACDBED，ADBD=CDED，ADDC=BDED，ADBCDE，ADBCDE，ABDCED60，CTAF，CTEFAE60，CTE是等边三角形，ECET，AEAT+ETCF+CE故答案为：AECF+CE如图2中，结论：EC=2（AECF）理由：过点C作CQAE于QCFAM，CFA+MAN180，MAN90，CFAFAQ90，CQA90，四边形AFCQ是矩形，CFAQ，ADCBDE，DEBACD，ACDBED，ADBD=CDED，ADDC=BDED，ADBCDE，ADBCDE，ABDCED45，CQE90，CE=2EQ，AECFAEAQEQ，EC=2（AECF）（2）

67、如图31中，当CDE90时，过点B作BJAC于J，过点F作FKAE于K在RtABJ中，tanBAJ=BJAJ=43，AB5，AJ3，BJ4，ACAB5，CJACAJ532，BC=BJ2+CJ2=22+42=25，12ACBJ=12BCAD，AD=5425=25，CD=AC2-AD2=52-(25)2=5，FKAD，CDEFKD90，CDFK，CFDK，四边形CDKF是平行四边形，FKD90，四边形CDKF是矩形，FKCD=5，tanFAKtanCAB=43，FKAK=43，AK=345，AF=AK2+FK2=(5)2+(354)2=554如图32中，当ECD90时，DAB90，CFAM，AKF

68、DAB90，在RtACK中，tanCAK=CKAK=43，AC5，CK4，AK3，MANCAB，CANDAB90，CAB+BAF90，BAF+AFK90，AFKCAB，tanAFK=AKFK=43，FK=94，AF=AK2+KF2=32+(94)2=154综上所述，满足条件的AF的值为554或15420（2021重庆）在等边ABC中，AB6，BDAC，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线BD上一点，连接EF（1）将线段EF绕点E逆时针旋转60得到线段EG，连接FG如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG，求线段DG的长；如图2，点E不与点A，B重合，GF的延长线交BC边于

69、点H，连接EH，求证：BE+BH=3BF；（2）如图3，当点E为AB中点时，点M为BE中点，点N在边AC上，且DN2NC，点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60得到线段EP，连接FP，当NP+12MP最小时，直接写出DPN的面积【思路点拨】（1）过D作DHGC于H，先证明BGF是等边三角形，求出CD长度，再证明BFCFGF，从而在RtBDC中，求出CF=CDcosDCF=3cos30=23，即得GF，在RtCDH中，求出DHCDsin30=32和CHCDcos30=332，可得GHGF+FH=532，RtGHD中，即可得到DG=GH2+DH2=21；过E作EPAB交BD

70、于P，过H作MHBC交BD于M，连接PG，作BP中点N，连接EN，由ABC+EFH180，得B、E、F、H共圆，可得FBHFEH，从而可证HFGF，由E、P、F、G共圆可得BMHGPF60，故GFPHFM，PFFM，可得NFMH，BFMH+EP，在RtBEP中，EPBEtan30=33BE，RtMHB中，MHBHtan30=33BH，即可得到BE+BH=3BF；（2）以M为顶点，MP为一边，作PML30，ML交BD于G，过P作PHML于H，设MP交BD于K，RtPMH中，HP=12MP，NP+12MP最小即是NP+HP最小，此时N、P、H共线，而将线段EF绕点E顺时针旋转60得到线段EP，可得

71、QKPFEP60，从而可证MLAC，四边形GHND是矩形，由DN2NC，得DNGH2，由等边ABC中，AB6，点E为AB中点时，点M为BE中点，可得BM=32，BDABsinA33，RtBGM中，MG=12BM=34，BGBMcos30=334，可求MHMG+GH=114，GDBDBG=934，RtMHP中，可得HP=11312，从而可得PNHNHPGDHP=433，故SDPN=12PNDN=433【解答过程】解：（1）过D作DHGC于H，如图：线段EF绕点E逆时针旋转60得到线段EG，点E与点B重合，且GF的延长线过点C，BGBF，FBG60，BGF是等边三角形，BFGDFC60，BFGF，

72、等边ABC，AB6，BDAC，DCF180BDCDFC30，DBC=12ABC30，CD=12AC=12AB3，BCGACBDCF30，BCGDBC，BFCF，GFCF，RtFDC中，CF=CDcosDCF=3cos30=23，GF23，RtCDH中，DHCDsin30=32，CHCDcos30=332，FHCFCH=32，GHGF+FH=532，RtGHD中，DG=GH2+DH2=21；过E作EPAB交BD于P，过H作MHBC交BD于M，连接PG，作BP中点N，连接EN，如图：EF绕点E逆时针旋转60得到线段EG，EGF是等边三角形，EFGEGFGEF60，EFH120，EFGF，ABC是等

73、边三角形，ABC60，ABC+EFH180，B、E、F、H共圆，FBHFEH，而ABC是等边三角形，BDAC，DBCABD30，即FBH30，FEH30，FHE180EFHFEH30，EFHFGF，EPAB，ABD30，EPB60，EPF120，EPF+EGF180，E、P、F、G共圆，GPFGEF60，MHBC，DBC30，BMH60，BMHGPF，而GFPHFM，由得GFPHFM（AAS），PFFM，EPAB，BP中点N，ABD30，EP=12BPBNNP，PF+NPFM+BN，NF=12BM，RtMHB中，MH=12BM，NFMH，NF+BNMH+EP，即BFMH+EP，RtBEP中，E

74、PBEtan30=33BE，RtMHB中，MHBHtan30=33BH，BF=33BE+33BH，BE+BH=3BF；补充方法：构造等腰BFM，使BFMEFH120，且BFMF，如图：FBMFBH30，BM与BH共线，可证BEFMHF（SAS），BEHM，BE+BHHM+BHBM，而BFM120，且BFMF，可得BM=3BF，BE+BH=3BF；（2）以M为顶点，MP为一边，作PML30，ML交BD于G，过P作PHML于H，设MP交BD于K，如图：RtPMH中，HP=12MP，NP+12MP最小即是NP+HP最小，此时N、P、H共线，将线段EF绕点E顺时针旋转60得到线段EP，F在射线QF上运

75、动，则P在射线MP上运动，根据“瓜豆原理”，F为主动点，P是从动点，E为定点，FEP60，则F、P轨迹的夹角QKPFEP60，BKM60，ABD30，BMK90，PML30，BML60，BMLA，MLAC，HNA180PHM90，而BDAC，BDCHNAPHM90，四边形GHND是矩形，DNGH，等边ABC中，AB6，BDAC，CD3，又DN2NC，DNGH2，等边ABC中，AB6，点E为AB中点时，点M为BE中点，BM=32，BDABsinA6sin6033，RtBGM中，MG=12BM=34，BGBMcos30=334，MHMG+GH=114，GDBDBG=934，RtMHP中，HPMHtan30=11312，PNHNHPGDHP=433，SDPN=12PNDN=433