专题09 圆的综合问题（重点突围）(解析版).docx

1、专题09 圆的综合问题【中考考向导航】目录【直击中考】1【考向一 利用圆性质求角的度数】1【考向二 利用圆性质求线段的长度】3【考向三 利用圆性质求圆的半径】11【考向四 利用圆性质求线段的最值】12【考向四 利用圆性质求阴影部分的面积】15【考向五 切线的证明综合应用】16【直击中考】【考向一 利用圆性质求角的度数】例题：（2022秋浙江杭州九年级校联考阶段练习）如图，四边形内接于，A为中点，则等于（）ABCD【答案】B【分析】根据，A为中点求出，再根据圆内接四边形的性质得到，即可求出答案【详解】解：A为中点，四边形内接于，故选B【点睛】此题考查圆周角定理，解决本题的关键是掌握在同圆中等弧所

2、对的圆周角相等、相等的弦所对的圆周角相等，圆内接四边形的性质：对角互补【变式训练】1（2022湖北省直辖县级单位校考二模）如图，一块直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于两点，连结，则的度数是（）ABCD【答案】B【分析】根据圆周角定理解决问题即可【详解】解：，故选：B【点睛】本题考查了圆周角定理，解决问题的关键是掌握圆周角定理，属于中考常考题型2（2022黑龙江哈尔滨校考二模）如图，、四个点均在上，则的度数为_【答案】#度【分析】首先连接，由、四个点均在上，可求得与的度数，然后由圆的内接四边新的性质，求得答案【详解】解：连接，故答案为：【点睛】此题考查了圆的内接四边形的性质、平行线的性质以

3、及等腰三角形的性质此题比较适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用3（2022内蒙古通辽模拟预测）如图所示，已知四边形是的一个内接四边形，且，则_【答案】#55度【分析】先根据圆周角定理求出的度数，再由圆内接四边形的性质即可得出结论【详解】解：，四边形是圆内接四边形，是四边形的一个外角，故答案为：【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理等内容，熟知圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键【考向二 利用圆性质求线段的长度】例题：（2022四川绵阳东辰国际学校校考模拟预测）如图，点A，B，C，D在上，点A为的中点，交弦于点E若，则的长是（）A2B4CD【答案】C

4、【分析】连接，根据圆周角定理求得，在中可得，可得的长度，故长度可求得，即可求解【详解】解：连接，在中，点A为的中点，故选：D【点睛】本题考查圆周角定理和垂径定理，解直角三角形，作出合适的辅助线是解题的关键【变式训练】1（2022江苏盐城盐城市第四中学（盐城市艺术高级中学、盐城市逸夫中学）校考模拟预测）如图，以为直径的与相切于点，点、在上，连接、，连接并延长交于点，与交于点(1)求证：；(2)若点是弧的中点，的半径为，求的长【答案】(1)见解析(2)8【分析】（1）根据切线的性质可得，再由为的直径，可得，从而得到，再由圆周角定理，即可求证；（2）根据点是弧的中点，可得，再由，可得，从而得到，设，

5、则，在中，根据勾股定理，即可求解【详解】（1）证明：与相切，即，为的直径，；（2）解：点是弧的中点，设，则，的半径为， ，在中，解得：，即【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的性质、勾股定理，解题的关键是利用同角的余角相等求得2（2022内蒙古通辽模拟预测）如图，与的边相切于点，与、边分别交于点、，是的直径(1)求证：是的切线；(2)若，求的长【答案】(1)见解析(2)3【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，根据平行线和等腰三角形的性质可得，再利用“边角边”证明，根据全等三角形的性质得到，即可证明是的切线；（2）设的半径为，则，根据勾股定理解求出r，进而求出的长度，再根据相似三角形的性质得到的

6、长度，根据全等三角形的性质即可求解【详解】（1）证明：如图，连接与的BC边相切于点B，是的直径，.，在与 中，是的切线；（2）解：设的半径为r，解得：，由（1）知，【点睛】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键3（2022湖北省直辖县级单位校考一模）如图，是的外接圆，是的直径，F是延长线上一点，连接，且(1)求证：是的切线；(2)若，求的长【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，是的直径，则，得到，由得到，又由得到，即可得到结论；（2）解直角三角形得到，得到，再证明，得到，设，进一步求得，即可得到答案

7、【详解】（1）解：连接，是的直径，又，又，即，是的切线；（2），在中，设，又，即，解得（取正值），【点睛】此题考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，熟练掌握相关定理是解题的关键4（2022四川绵阳东辰国际学校校考模拟预测）如图，为的直径，为弦，过点C的切线与的延长线交于点P，E为上一点，且，连接并延长交于点H(1)求证：(2)若，求的长【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接,由切线的性质可知,再证明,则,可得；（2）连接,根据为的直径得，根据得，得，利用勾股定理，解得或（舍去），则，证明，则，设，则，可得，解，则，由（1）可得，从而可得【详解】（1）解

8、：如图，连接，在和中，又，与相切，（2）解：如图，连接，为的直径，解得或（舍去），为切线，为的直径，又，设，则，解，由（1）可得，【点睛】此题考查切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、二次根式的化简等知识与方法，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，构造出直角三角形、全等三角形、相似三角形、矩形，利用全等三角形、相似三角形、矩形的性质以及勾股定理求得结果【考向三 利用圆性质求圆的半径】例题：（2022福建福州校考一模）如图，四边形内接于，则的半径为（）A4BCD【答案】B【分析】先根据圆内接四边形对角互补得出，由圆周角定理得出，根据可得出答案【详解】

9、连接，四边形内接于，由勾股定理得：，的半径为：故选：B【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角与圆心角的关系，解题的关键是熟练运用相关定理1（2022福建福州校考一模）如图，为的直径，P为延长线上的一点，过P作的切线，A为切点，则的半径等于_【答案】3【分析】连接，因为是的切线，得，结合已知在中运用勾股定理即可求解【详解】连接，是的切线，在中，即，解得，故答案为：3【点睛】本题考查了切线的性质和勾股定理的运用；掌握切线的性质构造直角三角形是解题的关键2（2022湖北省直辖县级单位校考一模）如图，点A，B，C在上， ，则的半径为 _【答案】【分析】过点A作交的延长线于点E，连接，先求出，则，利

10、用等腰直角三角形的性质得到，则，利用勾股定理求出的长即可得到答案【详解】解：过点A作交的延长线于点E，连接，故答案为：【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键3（2022云南文山统考三模）如图，在中，D、E分别是AB、BC上的点，过B、D、E三点作，交延长线于点F，(1)求证：；(2)当与相切于点D时，求的半径；(3)若，求的值【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到，即可证明；（2）连接，过点O作，垂足为M，求出，再证明，从而求出求的半径（3）过点D作，垂足为H，过点

11、B作，垂足为G，利用等积法求出，设，则，利用，即可求出的值【详解】（1）四边形是O的内接四边形，；（2）连接，过点O作，垂足为M，在中，与相切于点D，的半径为；（3）过点D作，垂足为H，过点B作，垂足为G，的面积，设，则，由（1）得：，解得：，经检验：是原方程的根，的长为【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆的切线的性质、相似三角形的性质与判定，解题的关键是能够根据题目的条件，进行推理证明【考向四 利用圆性质求线段的最值】例题：（2022安徽合肥校联考三模）如图，是的直径，点在上，是的中点，是直径上的一动点，若，则周长的最小值为（）A4B5C6D7【答案】C【分析】根据动点最值，将军饮马模型，

12、如图所示，作点关于的对称点，连接交于，周长为，由对称性知周长为，根据两点之间线段最短可知周长的最小为，利用圆心角、弧、弦的关系以及轴对称的性质进行计算即可得到答案【详解】解：作点关于的对称点，则点在上，连接交于，由对称性知，周长为，根据两点之间线段最短可知周长的最小为，点是的中点，是正三角形，周长的最小值为，故选：C【点睛】本题考查动点最值问题-将军饮马模型，涉及圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系以及轴对称性质，掌握圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系以及轴对称的性质是解决问题的关键【变式训练】1（2022广东江门校考一模）矩形中，点P为矩形内一个动点且满足，则线段的最小值为_【答案】#【分析】通过

13、矩形的性质和等角的条件可得，所以P点应该在以为直径的圆上，根据两边之差小于第三边及三点共线即可解决问题【详解】解：如图，四边形为矩形，点P在以为直径的上，在中，由勾股定理得， ，当P ，D ，O三点共线时，最小，的最小值为故答案为：【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，线段最小值问题及圆的性质，分析出P点的运动轨迹是解题的关键2（2022广东江门校考一模）中，点为的对称轴上一动点，过点作与相切，与相交于点，那么的最大值为_【答案】#【分析】设的对称轴交于F，连接，根据圆周角定理及题意得出点E在以为直径的圆上，由勾股定理得出，结合图形即可得出最大值【详解】解：设的对称轴交于F，连接，的对称轴，切

14、于F，是的直径，点E在以为直径的圆上， ，故答案为：【点睛】题目主要考查圆周角定理及等腰三角形的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出相应辅助线是解题关键【考向四 利用圆性质求阴影部分的面积】例题：（2022广东江门校考一模）如图，正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（）ABCD【答案】D【分析】如图，根据，求解即可【详解】解：如图， 四边形是正方形，是等腰直角三角形，故选：D【点睛】本题考查扇形的面积的计算，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用分割法解决问题，属于中考常考题型【变式训练】1（2022湖北省直辖县级单位校考一模）如图，在半径为2，圆心角

15、为的扇形内，以为直径作半圆，交弦于点D，则图中阴影部分的面积是（）A B C D 【答案】A【分析】已知为直径，则，在等腰直角三角形中，垂直平分，为半圆的中点，阴影部分的面积可以看作是扇形的面积与的面积之差【详解】解：在中，AB2，是半圆的直径，在等腰中，垂直平分，D为半圆的中点，故选：A【点睛】本题考查扇形面积的计算公式及不规则图形面积的求法，掌握面积公式是解题的关键2（2022春九年级课时练习）如图，矩形中，是中点，以点为圆心，为半径作弧交于点，以点为圆心，为半径作弧交于点，则图中阴影部分面积的差为_【答案】【分析】根据图形可以求得的长，然后根据图形即可求得的值【详解】解：在矩形中，是中点

16、，故答案为：【点睛】本题考查了扇形面积的计算、矩形的性质，解本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答3（2022秋四川泸州九年级统考期中）如图，分别是的直径和弦，半径于点过点作的切线与的延长线交于点，的延长线交于点(1)求证：是的切线；(2)若，求图中阴影部分的面积【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，可以证得，根据全等三角形的性质以及切线的性质定理可以得到，即，即可证得是的切线；（2）根据垂径定理得到，根据切线的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据三角形和扇形的面积公式即可得出结论【详解】（1）证明：连接，是的切线，是的直径，于

17、点，在和中，（SAS），是的半径，是的切线（2）解：于点，是的切线，在中，故答案为：【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，三角形和扇形的面积公式，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键4（2022江苏扬州校考三模）如图，RtABC中，为上一点，以为圆心，以为半径作圆与相交于点，点是O与线段BC的公共点，连接，并且(1)求证：是O的切线；(2)求图中阴影部分的面积【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，由是直径，得出，进而得出，由圆周角定理得出，进而得出，然后得出，再证明，得出，再证明是等边三角形，进而得出，证明，即可得出，即可得出结论（2）先求出等边三角形的面积为：

18、，由（1）可得出，求出扇形的面积为：，再由勾股定理得出，求出的面积为：，然后可求得阴影部分的面积【详解】（1）如图，连接，是直径， ， ， ，是等边三角形，是半径，是O的切线（2）是等边三角形，的面积为： ，扇形的面积为： ，由勾股定理可得：，的面积为：，阴影部分的面积为：【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，扇形的面积，等边三角形的判定与性质，正确作辅助线是解题的关键5（2022秋全国九年级专题练习）如图，已知，为的直径，过点A作弦垂直于直径于F，点B恰好为 的中点，连接，(1)求证：；(2)若，求的半径；(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积【答案】(1)证明见详解；(2)2；(3)【

19、分析】（1）连接 ，为的直径，得到两个直角及两条线段相等，再根据弧的中点得到弧相等，从而等到角相等，证明两个三角形全等即可得到答案；（2）连接，根据弧的中点得到弧相等，从而等到圆周角圆心角的关系，结合平角，求出的度数，在中根据勾股定理即可得到答案；（3）由（2）可得圆心角度数直接求扇形面积，再算出的面积即可得到阴影部分面积【详解】（1）证明：连接 ，为的直径，点B是 的中点，在与中，；（2）解：连接，点B是 的中点， 垂直于直径于F， ，在中，解得：；（3）由（2）可得， ，在中，【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、扇形的面积以及解直角三角形等，作出辅助线构建直角三角形和等边三角形是解题的

20、关键【考向五 切线的证明综合应用】例题：（2022湖南株洲校考二模）如图，在菱形中，是对角线上一点，垂足为，以为半径的分别交于点，交的延长线于点，与交于点(1)求证：是的切线；(2)若是的中点，求扇形的面积；求的长【答案】(1)见解析(2)，【分析】（1）过点作于点，证明即可；（2）先求出，再求出，代入扇形面积公式即可；过作，由，对应边成比例求出的长【详解】（1）解：证明：如图，过点作于点，是菱形的对角线，是的切线（2）是的中点，即，扇形的面积；如图，过作于点，【点睛】本题考查了圆的切线判定定理、菱形的性质、矩形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，关键在于熟练掌握证明是圆的切线的方法、菱形

21、的性质以及三角形相似的证明与性质的应用，特别是菱形的性质【变式训练】1（2022辽宁盘锦校考一模）如图，中，以为直径的交于点，点为延长线上一点，且(1)求证：是的切线；(2)若，求的半径【答案】(1)见解析(2)7【分析】（1）根据圆周角定理得出，按照等腰三角形的性质和已知的2倍角关系，证明为直角即可；（2）通过证得，根据相似三角形的性质即可求得【详解】（1）解：如图，连接，是直径，又是的半径是的切线；（2），设，则，即，的半径为7【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线构造直角三角形或等腰三角形2（2022广东云浮校联

22、考三模）如图1，O是的外接圆，是直径，交O于点E，且(1)求证：是O的切线；(2)若点E为线段的中点，判断以O、A、C、E为顶点的四边形的形状并证明；(3)如图2，作于点F，连接交于点G，求的值【答案】(1)见解析(2)四边形是菱形；证明见解析(3)【分析】（1）根据圆周角定理得出，再由等量代换得出，利用切线的判定即可证明；（2）连接，根据等边三角形的判定和性质得出为等边三角形，再由平行四边形及菱形的判定证明即可；（3）根据相似三角形的判定得出及，再由其性质求解即可【详解】（1）证明：是O的直径，为O的切线；（2）证明：连接，如图所示，为等边三角形，又，又，且，四边形是平行四边形，而，四边形是菱形；（3）解：，而，即，又，即，【点睛】题目主要考查切线的判定及圆周角定理，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键