专题09 数列求和（通项含绝对值数列求和）(典型题型归类训练)（解析版）.docx

1、专题09 数列求和（通项含绝对值数列求和）(典型题型归类训练)目录一、典型题型1题型一：通项含绝对值1题型二：通项含取整函数3题型三：通项含自定义符号4二、专题09 数列求和（通项含绝对值数列求和）专项训练5一、典型题型题型一：通项含绝对值如：求的前项和例题1（2023福建宁德校考二模）已知为等差数列的前项和，(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前15项和【答案】(1)(2)【详解】（1）设等差数列的公差为，且，（2）由（1）可知其中故的前15项和为例题2（2023春广东深圳高二深圳第三高中校考期中）设等差数列的前项和为，且有最小值.(1)求数列的通项公式及前项和；(2)设数列的前项和为

2、，求.【答案】(1)；(2)【详解】（1）因为等差数列，故，又因，所以或，当时，的公差为，此时有最大值，无最小值不符合题意舍去，当时，的公差为，此时，有最小值满足题意，综上，.（2）当时，此时，当时，此时，故题型二：通项含取整函数如：求的前项和例题1（2023全国高三专题练习）为等差数列的前n项和，且记，其中表示不超过x的最大整数，如.（）求；（）求数列的前1000项和.【答案】（）（）1893.试题解析：（）设的公差为，据已知有，解得所以的通项公式为（）因为所以数列的前项和为例题2（2023山东东营高三广饶一中校考阶段练习）已知正项数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)若（其中表

3、示不超过的最大整数），求数列的前100项的和.【答案】(1)(2)147【详解】（1）因为，所以又因为为正项数列,所以,可得当时，当时，将代入上式验证显然适合，所以.（2）已知,因为，所以，所以.题型三：通项含自定义符号如：记表示x的个位数字，如求的前项和例题1（2020秋广东广州高二西关外国语学校校考期中）设为数列的前项和，.数列前项和为且.数列满足.（1）求数列和的通项公式；（2）记表示的个位数字，如，求数列的前30项的和.【答案】（1）；（2）.【详解】解：（1）.时，符合上式.又，而当时，因为，故，因此，所以数列为等比数列，故，故.（2）由（1）得，因为表示的个位数，因此均为周期数列，

4、且周期为5.将数列中每5个一组，前30项和可分为6组，其前30项的和为.例题2（2022秋安徽阜阳高三安徽省临泉第一中学校考期中）设为数列的前项和，数列满足.(1)求及；(2)记表示的个位数字，如，求数列的前20项和.【答案】(1)，；(2)【详解】（1）当时，由于也满足，则.，是首项为3，公差为2的等差数列，.（2），的前5项依次为1，3，5，7，9.，的前5项依次为3，5，7，9，1.易知，数列与的周期均为5，的前20项和为.二、专题09 数列求和（通项含绝对值数列求和）专项训练一、单选题1（2023秋江苏高二专题练习）设数列满足，且，若表示不超过的最大整数（例如，），则（）A2018B2

5、019C2020D2021【答案】B【详解】，是等差数列，首项为4，公差为2时， 当时，.故选：B2（2023全国高三专题练习）正项数列满足：，若前三项构成等比数列且满足，为数列的前项和，则的值为（）（表示不超过的最大整数）.A4040B4041C5384D5385【答案】C【详解】依题意，即，解得.则，结合，解得.依题意，所以数列是周期为的周期数列，所以.故选：C二、填空题3（2023全国高三对口高考）已知的前n项和，则 .【答案】【详解】当时，当时，取时，此式不满足，故的通项公式为，根据通项公式知，.所以故答案为：.三、双空题4（2023全国高三专题练习）对于数列，如果存在最小的一个常数，

6、使得对任意的正整数恒有成立，则称数列是周期为的周期数列.设，数列前项的和分别记为，则三者的关系式 ；已知数列的通项公式为，那么满足的正整数= .【答案】 或【详解】(1)因为数列是周期为的周期数列，则，所以.故答案为：.(2)因为，所以，所以当时，的前项和为，当时，的前项和为；满足，即，.而，(1)当时，所以，解得或；(2)当时，所以，解得不是整数，舍去.故答案为：或.四、解答题5（2023河南校联考模拟预测）已知数列是首项为1的等差数列，数列是公比为2的等比数列，且(1)求数列的通项公式；(2)设表示不超过的最大整数（如：），求集合中元素的个数【答案】(1)(2)36【详解】（1）设等差数列

7、的公差为，由题意可知，因为，所以，解得，所以，故（2）因为，所以，所以因为，所以当时，则，又，故；当时，则，故；当时，则，故；当时，则，故，依次类推，当时，则，故，由于集合中的元素互异，需要减去重复出现的元素，所以集合中元素的个数为个6（2023全国高二专题练习）从条件；中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.已知数列的前项和为，_.(1)求的通项公式；(2)表示不超过的最大整数，记，求的前项和.【答案】(1)若选或，,；选，(2)若选或，；选，【详解】（1）若选：因为，所以，两式相减得，整理得，即，所以为常数列，所以；若选：因为，所以，两式相减，得，因为，所以，故为等差数列，则；若选：由，

8、变形得：，则，易知，所以，则为等差数列，由，则，所以，由当时，也满足上式，所以.（2）若选或：由题意，当时，；当时，；当时，；.若选：由题意，当时，；当时，；当时，；.7（2023全国高三专题练习）在；是与的等比中项，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.问题：已知为公差不为零的等差数列，其前项和为为等比数列，其前项和为常数，（1）求数列的通项公式；（2）令其中表示不超过的最大整数，求的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】答案见解析【详解】若选：由已知，所以通项，故不妨设的公差为.则解得所以由，则，所以.若选：由已知，通项故.不妨设的公差为，则，解得所以.由

9、，则，所以.若选：由已知，所以通项，故不妨设的公差为.则，因为解得所以.由则，所以.8（2023全国高三专题练习）已知等差数列中，公差，是和的等比中项；（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【详解】（1）是和的等比中项，所以，即，又由，即，整理得，所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，则，当时，所以，当时，记数列的前项和为，则，所以，综上得：.9（2023全国高三专题练习）已知数列的前n项和为.（1）求数列的通项公式；（2） 求数列的前n项和.【答案】（1），（2）【详解】解：（1）当时，即，当时， 时，满足上式，所以（2）由得，而，所以当时，当时，当时，

10、当时，所以10（2023秋江西南昌高三南昌市外国语学校校考阶段练习）已知数列是单调递增的等差数列，设其前项和为，已知，且成等比数列.(1)求的通项公式：(2)定义为不大于的最大整数，求数列的前项和.【答案】(1)，(2)【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意可知，因为，且成等比数列，所以，解得或（舍去），所以，（2）由（1）得，所以，所以，当时，当时，当时，当时，当时，当时，当时，所以数列的前项和为，令，则，所以，所以.11（2023春广西北海高二统考期末）已知函数的首项，且满足.(1)求证：为等比数列，并求；(2)对于实数，表示不超过的最大整数，求的值.【答案】(1)证明见解析，(2)61

11、0【详解】（1）因为，所以，又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，整理得到，所以.（2）因为，所以.设，所以，所以所以，所以.因为，所以，所以.12（2023春河南高二校联考期末）已知等比数列是递减数列，设其前n项和为，已知，且，成等差数列.(1)求的通项公式；(2)定义为不大于x的最大整数，若等差数列的首项为，公差为的公比，求数列的前15项和.【答案】(1)(2)34【详解】（1）设等比数列的公比为q，因为，成等差数列，所以.因为，所以.得，所以，代入，得.解得或（舍去）.所以.（2）由（1）可得，所以，则.所以.当时，.当时，当时，当时，所以数列的前15项和为.13（2023全

12、国高二随堂练习）等差数列中，公差，令，求数列的前n项和【答案】【详解】由题意知等差数列中，公差，故，令，故当时，；当时，故.14（2023全国高三专题练习），记表示的个位数字，如， 求数列的前20项的和【答案】【详解】因为，分别表示，的个位数，所以为1,3,5,7,9的周期数列，且周期为5，为3,5,7,9,1周期数列，且周期为5，将数列中每5个一组，前20项和可分为4组， 其前20项的和为故答案为：.15（2022春安徽滁州高二校考阶段练习）已知数列是以2为公差的等差数列， ，成等比数列，数列前项和为，且.(1)求数列和的通项公式；(2)记表示x的个位数字，如， 求数列的前20项的和.【答案】(1)，bn =2n+ 1；(2).【详解】（1）由a1，a2， a5成等比数列可得，即，解得a1=1，所以，又，则有，当n2时，所以bn =2n+ 1，又满足此式综上，.（2）因为，分别表示an，bn的个位数，所以， 均为周期数列，且周期为5，将数列中每5个一组，前20项和可分为4组， 其前20项的和T20为