专题1.19 添加条件证明三角形全等（分层练习）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）.docx

1、专题1.19 添加条件证明三角形全等（分层练习）从判定两个三角形全等的方法可知,要判定两个三角形全等,需要知道这两个三角形分别有三个元素(其中至少一个元素是边)对应相等,这样就可以利用题目中的已知边角迅速、准确地确定要补充的边角,有目的地完善三角形全等的条件,从而得到判定两个三角形全等的思路。1如图，在和中，在同一直线上，且，(1) 请你添加一个条件：_，使；（只添一个即可）(2) 根据（1）中你所添加的条件，试说明的理由 如图，在ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E、F，连接CE、BF添加一个条件，使得BDFCDE，并加以证明你添加的条件是 （不添加辅助线

2、） 3如图，四边形中，点E在对角线上，且，如果_，那么请填上能使结论成立的一个条件，并证明你的结论 4如图，点D，E分别在线段上，现给出下列条件：；，请你选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使得，并证明 5在，这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答问题：如图，点A、D、B、E在同一条直线上，若_，求证：（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分）6如图，点C，E，F，B在同一直线上，下列3个条件：；，选出能推出的一个条件已知：如图，_（写出一种情况即可）；求证： 7如图，C为BE上一点，点A、D分别在BE两侧，AC = CD，AB = CE，请你添加一个条件，使

3、ABC CED，你添加的条件是 ，并写出证明过程 8课上，老师提出了这样一个问题：已知：如图，请你再添加一个条件，使得(1) 同学们认为可以添加的条件并不唯一，你添加的条件是_，并完成证明(2) 若添加的条件是，证明：9如图，在五边形中， (1) 请你添加一个条件，使得，并说明理由；(2) 在(1)的条件下，若，求的度数 10如图，点D在上，(1)添加条件：_（只需写出一个），使；(2)根据你添加的条件，写出证明过程11如图，ABC中，点D是BC中点，连接AD并延长到点E，连接BE(1)若要使，应添上条件： ；(2)证明上题；(3)在ABC中，若AB5，可以求得BC边上的中线AD的取值范围是

4、12如图，在，这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答问题：如图，在中，D是BC边上一点，DE，DF分别是和高，EF交AD于O，若_，(1) 求证：；(2) 若，求的面积 13如图 ，在ABC中，点D在AB上，点E在BC上，BD=BE（1）请你再添加一个条件，使得BEABDC，并给出证明你添加的条件是 ；（2）证明： 14如图，在长方形ABCD中，ABCD6cm，BC10cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒：（1）PC cm（用t的代数式表示）（2）当t为何值时，ABPDCP？（3）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以

5、vcm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这样v的值，使得ABP与PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由 15如图，已知，（1）若添加条件，则吗？请说明理由；（2）若运用“”判定与全等，则需添加条件：_；（3）若运用“”判定与全等，则需添加条件：_16如图，在ABC中，点D在线段BC上，12，AEAC（1）在不添加任何字母的情况下，请再补充一个条件，使得ABCADE，你补充的条件是 （至少写出两个可行的条件）；（2）请你从所给条件中选一个，使ABCADE，并证明17如图，在ABC中，点D在AB上，点E在BC上，BDBE（1）请你再添加一个条件，使得BEABDC，并给出证明你添加

6、的条件是 （2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形 （只要求写出一对全等三角形，不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母，不必写出证明过程） 18已知：点O到ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OBOC(1)如图，若点O在BC上，求证：BC；(2)如图，若点O在ABC的内部，求证：ABOACO.19如图，ABAC，CDBD，AC、BD相交于点O已知ABCD，利用 可以判定ABODCO；已知ABCD，BADCDA，利用 可以判定ABDDCA；已知ACBD，利用 可以判定ABCDBC；已知AODO，利用 可以判定ABODCO；已知ABCD，BDAC，利用 可以判定ABDDCA；2

7、0如图，已知BDEC，ABDE，要推得ABCDEC；（1）若以“SAS”为依据，还缺条件_；（2）若以“ASA”为依据，还缺条件_；（3）若以“AAS”为依据，还缺条件_； 21如图，在长方形中，=6，10，点从点出发，以2/秒的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒：（1）_；（用的代数式表示）（2）如图当为何值时，？（3）如图当点从点开始运动，同时，点以/秒从出发沿向点运动，一点到达终点时两点都停止运动当为何值时，与全等？ 22根据全等图形的定义，我们把能够完全重合（即四个内角、四条边分别对应相等）的四边形叫做全等四边形请借助三角形全等的知识，解决有关四边形全等的问题如图，已知，四边形ABCD

8、和四边形ABCD 中，AB = AB，BC = BC，B =B，C =C，现在只需补充一个条件，就可得四边形ABCD 四边形ABCD下列四个条件： A =A；D =D； AD=AD；CD=CD；（1）其中，符合要求的条件是 （直接写出编号）（2）选择（1）中的一个条件，证明四边形ABCD 四边形ABCD 23在直角三角形中，直线过点 (1) 当时，如图1，分别过点和作直线于点，直线于点求证：；如图2，过点作直线于点，点与点关于直线对称，连接交直线于，连接求证：(3) 当cm，cm时，如图3，点与点关于直线对称，连接、点从点出发，以每秒1cm的速度沿路径运动，终点为，点以每秒3cm的速度沿路径运

9、动，终点为，分别过点、作直线于点，直线于点，点、同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为秒当与全等时，求的值24如图、中，点E、D分别是正ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN中以C点为顶点的相邻两边上的点，且BE=CD，DB交AE于P点（1）求图中，APD的度数为_；（2）图中，APD的度数为_，（3）图中，APD的度数为_；参考答案1(1) (2)见解析【分析】（1）根据全等三角形的判定定理即可求解（2）结合（1）的条件，利用ASA即可求证【详解】（1）解：添加使，故答案为：（2），即，在和中，【点拨】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形的判定定理是解题的关键2

10、DE=DF(答案不唯一)，理由见详解【详解】解：添加的条件是：DE=DF理由如下：点D是BC的中点，BD=CD，在BDF和CDE中，BDFCDE故答案为：DE=DF3，证明见解析【分析】添加条件：，根据平行线的性质得，结合已知利用证明全等即可【详解】添加条件：，证明如下：，在和中，故答案为：【点拨】本题考查了全等三角形的证明，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键4见解析【分析】添加，由证明即可【详解】解：添加，使得，证明：在和中，【点拨】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键5A=E（答案不唯一）【分析】由“ASA”可证ABCEDF，可得EF=AC【详解】解：若A

11、=E，AD=BE，AB=DE，ADF=CBE，FDE=CBA，在ABC和EDF中，ABCEDF（ASA），EF=AC故答案为：A=E（答案不唯一）【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键6或；见解析【分析】若选，由可得，由定理可得，利用三角形的性质定理可得结果；若选，由可得，可证得，利用全等三角形的性质定理可得结果【详解】.法一：若选，证明如下：，法二：若选，证明如下：，【点拨】本题只要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键7BC=ED（答案不唯一），证明见解析【分析】可添加：BC=ED，利用SSS即可证明结论【详解】解：可添加：BC=ED

12、，证明如下在ABC和CED中ABCCED（SSS）故答案为：BC=ED（答案不唯一）【点拨】此题考查的是添加条件，使两个三角形全等，掌握全等三角形的各个判定定理是解题关键8(1)答案不唯一，证明见解析 (2)见解析【分析】（1）添加条件，直接证明，即可得证；（2）连接，证明，得出，进而证明，即可得证【详解】（1）答案不唯一，添加条件，证明：在与中，故答案为：；（2）连接，如图，在与中，在与中，【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键9(1)见解析； (2)【分析】（1）或根据或，证明即可求解；（2）根据得出，继而根据三角形内角和定理得出，根据即可求解【详

13、解】（1）证明：添加：或在和中，或（2）， ，【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键10(1) (2)见解析【分析】（1）根据已知条件可得，结合三角形全等的判定条件添加条件即可；（2）结合（1）的条件，根据三角形全等的判定条件添加条件进行证明即可【详解】（1）添加的条件是：,故答案为；（2），即，又【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定，确定出三角形全等判定条件是解答本题的关键11(1)或AD=DE（答案不唯一） (2)见解析 (3)0.5AD4.5【分析】（1）若要使ACDEBD，应添上条件：或AD=DE（答案不唯一）；（2）由AC

14、与BE平行，得到两内错角相等，再由D为BC的中点，得到BD=CD，利用AAS可得出三角形ACD与EBD全等；（3）在三角形ABE中，利用两边之差小于第三边，两边之和大于第三边得到AE的取值范围，由D为AE的中点，得到AD的取值范围【详解】（1）解：可添加：或AD=DE（答案不唯一）（2）证明：，CAD=E，ACD=EBD，又D为BC的中点，BD=CD，在ACD和EBD中，ACDEBD（AAS）；若添加AD=DE又D为BC的中点，BD=CD，在ACD和EBD中，ACDEBD（SAS）；（3）解：ACDEBD，AD=DE=AE，BE，在ABE中，AEAB-BE=5-4=1，AE AB+BE=5+4

15、=9，1AE90.5AD4.5故答案为：0.5AD4.5【点拨】此题考查了全等三角形的判定和性质及三角形的三边关系，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理12(1)证明过程见解析 (2)16【分析】（1）若，利用证明；若，利用证明；若，利用证明；（2）根据，可得，根据即可求解【详解】（1）证明：若DE，DF分别是 和 高在和中若DE，DF分别是 和 高在和中若DE，DF分别是 和 高在和中（2）解：【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识点，掌握全等三角形的判定方法和性质是解答本题的关键13（1）BC=BA（答案不唯一）；（2）见解析【分析】(1)根据三角形

16、全等的判定方法添加条件即可；(2)根据已知条件，用（ASA）判定BEABDC即可；【详解】解：(1)添加条件为：BC=BA；(2)证明：由题意可知：BD=BE，BC=BA，在BEA和BDC中， BEABDC（SAS）【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键14（1）(102t)；（2）t2.5；（3）存在；v的值为2.4或2【分析】（1）根据题意求出BP，计算即可；（2）根据全等三角形的判定定理解答；（3）分ABPQCP和ABPPCQ两种情况，根据全等三角形的性质解答.【详解】解：（1）点P的速度是2cm/s，ts后BP=2tcm，PC=BCBP=(10

17、2t)cm，故答案为：(102t)（2）当t=2.5时，ABPDCP，当t=2.5时，BP=CP=5，在ABP和DCP中， ABPDCP；（3）B=C=90，当AB=PC,BP=CQ时,ABPPCQ，102t=6，2t=vt，解得，t=2，v=2，当AB=QC,BP=CP时, ABPQCP，此时，点P为BC的中点，点Q与点D重合，2t=5, vt=6，解得，t=2.5，v=2.4，综上所述，当v=1或v=2.4时，ABPPCQ全等【点拨】本题考查的是矩形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握矩形的对边相等、四个角都是直角以及全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键.15

18、（1），见解析；（2）；（3）【分析】(1)添加条件，只要再推导出AF=BE，便可利用“AAS”证明出，即可得；(2)要利用“”判定与全等，已经有了，。可以得到AF=BE，只要再找到图形中以AF、BE为边另外一组角相等即可；(3)要运用“”判定与全等，已知条件中已经有了，即一边一角的条件，由“”的特点，再找到，的另外一边相等即可【详解】解：（1）.理由如下：因为，所以，即.在和中，因为，.所以，所以.（全等三角形的对应边相等）.（2）；（3）.【点拨】本题考查的是全等三角形的判定，熟记各判定定理的内容并理解它们的要点是解决此类题型的关键16（1）B=ADE；BC=DE；（2）见解析【分析】（1

19、）利用全等三角形的判定定理进一步得出答案即可；（2）从（1）中选取一个条件，根据全等三角形判定定理进一步证明即可.【详解】（1）12，E+AOE=C+COD，AOE=COD，E=C，又AE=AC，当B=ADE时，ABCADE（AAS）；当BC=DE时，ABCADE（SAS）；故答案为：B=ADE；BC=DE； （2）证明当B=ADE时，ABCADE，理由如下： 1=2， E+AOE=C+COD，AOE=COD，E=C，在BAC和DAE中ABCADE（AAS）【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握相关概念是解题关键.17（1）见解析；（2）见解析.【分析】本题是开放题，应先确定选择哪对

20、三角形，再对应三角形全等条件求解【详解】（1）添加条件例举：BA=BC；AEB=CDB；BAE=BCD；证明例举（以添加条件AEB=CDB为例）：AEB=CDB，BE=BD，B=B，BEABDC（2）另一对全等三角形是：ADFCEF或AECCDA故答案为AEB=CDB；ADFCEF或AECCDA【点拨】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件18(1)详见解析;(2)详见解析【分析】根据HL判断直角三角形全等即可.【详解】在RtOEC和RtOFB中，RtO

21、ECRtOFB(H.L.)，BC(全等三角形的对应角相等)(2)在RtOEC和RtOFB中，RtOECRtOFB(H.L.)，ABOACO【点拨】此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知HL判定直角三角形的方法.19AAS；SAS；HL；ASA；SSS.【分析】结合已知条件和垂直条件,根据全等三角形的判定即可解题.【详解】解：由垂直可得BAOCDO，和对顶角AOBDOC，结合ABCD，可利用AAS判定ABODCO，故答案为AAS；由条件ABDC，BADCDA，结合ADDA，利用SAS可以判ABDDCA，故答案为SAS；由垂直可得BACCDB，ACDB，结合BCCB，利用HL可以判定ABC

22、DCB，故答案为HL；由垂直可得BAOCDO，AODO，且对顶角AOBDOC，利用ASA可判定ABODCO，故答案为ASA；由条件ABDC，BDCA，结合ADDA，利用SSS可以判定ABDDCA，故答案为SSS【点拨】本题考查了全等三角形的判定,中等难度,熟悉全等三角形的判定方法是解题关键.20 BC=EC A=EDC ACB=DCE (或ACD=BCE)【详解】试题分析：根据三角形全等的判定方法，和题目中所给的条件，依次去判断添加哪一个条件；现有的条件是，BDEC，ABDE，如以“SAS”为依据，还缺边相等，找边即可；若以“ASA”为依据，还缺角相等，找角即可；以“AAS”为依据，也是缺角相

23、等，找角即可试题解析：B=DEC，AB=DE（1）要利用SAS，则还缺少一边即：BC=EC（2）要利用ASA，则缺少一角即：A=EDC（3）要利用AAS，则缺少一角即：ACB=DCE故填BC=EC，A=EDC，ACB=DCE点拨：本题属开放型的题目，解答关键是明白SAS、ASA、AAS的含义，据已知，缺什么条件，找什么条件，直接或间接的都可以答案不唯一是本题的特点要根据已知条件的位置选择方法21（1）；（2）；（3）或2【分析】（1）根据点的运动速度可得的长，再利用即可得到的长；（2）已知，根据三角形全等的条件可得当时，可得；（3）此题主要分两种情况当，时，；当，时，然后分别计算出的值，进而得

24、到的值【详解】解：（1）点从点出发，以秒的速度沿向点运动，点的运动时间为秒时，则；（2）当时，理由：当时，在和中，；即：时，解得：，（2）当，时，解得：，解得：；当，时，解得：，解得：综上所述：当或2时与全等【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形全等的条件，找准对应边22（1）；（2）选，证明见解析【分析】（1）连接AC、AC，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；（2）连接AC、AC，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论【详解】（1）符合要求的条件是，当选择A=A时，证明：连接AC 、AC，在ABC与 ABC中，ABC ABC(SAS )， AC=AC，AC

25、B=ACB，BAC=B A C ，BCD=BCD，BCD - ACB=BCD-ACB，ACD=ACD， BAD=BAD，BAD - BAC=BAD - BAC，DAC= DAC，在ACD和ACD 中，ACD ACD(ASA ) ，D=D ，DC=DC，DA=DA，四边形ABCD和四边形ABCD中，AB=AB，BC=BC，AD=AD，DC=DC，B=B，BCD=BCD，D=D，BAD=BAD，四边形ABCD 四边形ABCD；当选择D=D时，证明：同理得到AC=AC，ACD=ACD，D=D，在ACD和ACD中，ACD ACD(AAS ) ，D=D ，DC=DC，DA=DA，四边形ABCD和四边形A

26、BCD中，AB=AB，BC=BC，AD=AD，DC=DC，B=B，BCD=BCD，D=D，BAD=BAD，四边形ABCD四边形ABCD；当选择AD=AD时，在ACD和ACD中，AC=AC，ACD=ACD，AD=AD，不符合全等的条件，不能得到ACD ACD；（2）选CD = CD，证明：连接 AC、AC，在ABC与ABC中，ABC ABC(SAS )， AC=AC， ACB=ACB ， BAC=B A C ，BCD=BCD，BCD - ACB=BCD - ACB，ACD=ACD， 在ACD和ACD中，ACD ACD(SAS ) ，D=D ， DAC=DAC， DA=DA，BAC+DAC=B A

27、C+DAC， 即BAD=BAD，四边形ABCD和四边形ABCD 中，AB=AB，BC=BC，AD=AD，DC=DC，B=B， BCD=BCD， D=D， BAD=BAD，四边形ABCD 四边形ABCD【点拨】本题考查了多边形的全等，全等三角形的判定和性质，多边形的全等可以通过作辅助线转化为证明三角形全等问题关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL23(1)见解析；见解析 (2)3.5或5或6.5【分析】（1）根据同角的余角相等得到，根据全等三角形的判定定理证明即可；根据对称的性质得到，根据全等得到，结合线段的和差可得结论；（2）分点沿路径运动、点沿路径运动

28、、点沿路径运动、点沿路径运动四种情况计算即可【详解】（1）解：证明：，直线，在和中，；证明：点与点关于直线对称，；（2）由题意得，cm，由（1）得，当时，当点沿路径运动时，解得，不合题意，当点沿路径运动时，解得，当点沿路径运动时，解得，当点沿路径运动时，解得，综上所述，当或5或6.5时，【点拨】本题属于三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键24 60 90 108【详解】试题分析：（1）由观察图形可以看出APD是APB的一个外角，APD=BAE+ABD又可得出ABEBCD，由此便可求出APD=ABP+BAE=ABP+CBD=ABE=60（2）同理，APD=M，即等于多边形的内角（3）同理，APD=BPE，即等于多边形的内角试题解析：（1）ABC是等边三角形，AB=BC，ABE=BCD=60BE=CD，ABEBCDBAE=CBDAPD=ABP+BAE=ABP+CBD=ABE=60（2）同理可证：ABEBCD，AEB+DBC=180-90=90，APD=BPE=180-90=90；（3）同理可证ABEBCD，AEB+DBC=180-108=72，APD=BPE=180-72=108点拨：此题主要考查三角形全等的判定的应用，三角形外角的性质等知识，本题有一定的难度，要注意思考