专题1.2 等腰三角形（分层练习）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）.docx

1、专题1.2 等腰三角形（分层练习）一、 单选题1（2024下全国七年级假期作业）等腰三角形的两边长为a，b，且满足，则它的周长为（）A12 B15 C12或15 D以上答案都不对2（2022上北京八年级北京交通大学附属中学校考期中）已知：是等腰三角形，是底边上的高，下面结论不一定成立的是（）A B C平分D 3（2023上江苏南京八年级南京市金陵汇文学校校考期末）如图，在中，D是的中点，连接下列结论： ；，其中，一定正确的个数是（）A1 B2 C3 D44（2019广东广州校联考一模）如图，直线ab，以直线a上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线a、b于点B、C，连接AC、BC若ABC6

2、5，则1（）A115 B80 C65 D505（2023上黑龙江哈尔滨八年级哈尔滨市第四十九中学校校考期中）如图，在中，则的长为（）.A2 B4 C6 D86（2023上广西贵港八年级统考期中）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（）A或 B C D或7（2023上山东淄博七年级淄博市淄川实验中学校考阶段练习）若等腰三角形顶角x度，底角是y度，则y与x函数关系是（）A BC D8（2023上山东滨州八年级统考期中）如图所示，是直线上任意两点，则下列结论错误的是（）A B平分但不垂直C垂直平分 D9（2022上江苏无锡八年级校考阶段练习）如图，已知在中，平分，

3、平分，且，若，则的周长是（）A B C D10（2023上广东惠州八年级统考期中）如图，坐标平面内一点，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（）A2 B3 C4 D111（2023上浙江金华八年级校联考阶段练习）如图，已知，点P在边OA上，OP4，点M，N在边OB上，PMPN，且，则（）A8 B6 C D12（2023上河南周口八年级校考阶段练习）如图，在中，BF平分交BD的延长线于点C，且垂足为E，则结论：，其中正确结论的个数是（）A2 B3 C4 D513（2023上浙江八年级期末）如图，在中，与相交于点P，于Q则与的关

4、系为（）A BC D14（2023上江苏八年级专题练习）如图，点，点B在y轴的正半轴上，将绕原点O顺时针旋转后得到，当点恰好落在上时，点的坐标为（）A B C D15（2023上湖北武汉八年级校联考阶段练习）如图，已知，点、在射线上，点、在射线上：、均为等边三角形，若，则的边长为（）A4044 B4046 C D二、 填空题16（2023上吉林长春八年级统考期末）一个等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是 度17（2021下广东佛山七年级校考阶段练习）如图，若，则 18（2015山东日照统考一模）已知ABC中，点D在BC边上，且DC=6、SADC=15、B=45，ABD是等腰三角形，则SA

5、BD= 19（2023下陕西宝鸡八年级统考期中）如图，在中，平分，交于点，且若，则 20（2023下青海果洛八年级统考期末）如图，在中，D为线段的中点，则的度数为 21（2023上福建龙岩八年级校联考期中）如图，在中，那么 若P是边上一动点，连接，则的长的取值范围为 22（2023上重庆沙坪坝八年级校考期中）中，点是边的中点，则的度数为 23（2023上广西来宾八年级统考期中）如图，上午9时，一艘船从A处出发，以每小时20海里的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A，B两点观望灯塔C，测得，则从B处到灯塔C的距离为 海里24（2022上山东德州九年级统考期中）已知锐角，如图，按下列步骤作图：

6、在边取一点D，以O为圆心，长为半径画，交于点C以D为圆心，长为半径画，与交于点E，连接并延长，使的延长线交于点P，连接，则的度数为 25（2023上河南驻马店八年级统考期中）如图，在等边中，点D为边的中点；点E为上一点，连接，且P为上的动点，连接，则的最小值为 26（2023上湖南衡阳八年级校考期末）如图所示中，在上，则的度数为 27（2023上黑龙江哈尔滨九年级校考期中）如图，在四边形中，对角线，则线段的长为 28（2023江苏徐州统考中考真题）如图，在中，点在边上将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为 29（2021上浙江绍兴八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线的函数解析式为

7、，点A在线段上且满足，B点是x轴上一点，当是以OA为腰的等腰三角形时，则B点的坐标为 30（2023下北京海淀八年级中关村中学校考期中）如图，在中，有一动点自向以的速度运动，动点自向以的速度运动，若，同时分别从，出发（1）经过 秒，为等边三角形；（2）经过 秒，为直角三角形三、 解答题31（2022上山东济南七年级校考期中）如图，中，点P在上，垂足分别为D，E，已知（1）试说明；（2）求BE多长？32（2022上贵州黔南八年级统考期中）综合与实践如图，是等边三角形，分别是，的中点，连接（1）求证：；（2）在线段的延长线上取点，使，直线，交于点求证：33（2023上重庆渝中八年级重庆市求精中学校

8、校考期中）如图，在中，于D，于F（1）求证：；（2）若G是AE的中点，连接GD、GF，求证：34（2023上云南大理八年级统考期中）如图，在等边中，平分交于点，交于点（1）求证：是等边三角形；（2）试判断与的数量关系，并说明理由35（2023上广西南宁八年级校考阶段练习）如图，在中，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点B出发，沿方向运动，点Q从点C出发，沿方向运动，两点同时开始运动，当其中一个动点停止运动时，另一个动点随之停止运动，设运动时间为t秒（1）当点Q在边AC上运动时，点P的速度为每秒，点Q的速度为每秒填空：_cm，_cm（用含t的式子表示）；当是等腰三角形时，求t的值；（2） 连接A

9、P，PQ，当线段AP，PQ将分成三个全等三角形时，请直接写出点P的速度与点Q的速度的比值36（2023上辽宁大连八年级校联考期中）综合与实践（1）我们在第十二章全等三角形中学习了全等三角形的性所和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题.例如：我们在解决：“如下图，在中，线段DE经过点C，且于点D，于点E.求证：，”这个问题时，只要证明_，即可得到解决：（填空，不需证明） 类比应用（2）如下图，在平面直角坐标系中，点A、C分别在y轴和x轴上，点A坐标为，点，若是等腰直角三角形，求点B的坐标.拓展提升（3）如下图，平面直角坐标系中，若是等腰直角三角形，；点D是第一象限上方一点，

10、且，连接求的度数；若长为4，求四边形的面积.参考答案：1B【解析】略2B【分析】根据等腰三角形的性质即可确定答案解：由等腰三角形三线合一的性质可得：，平分，由等边对等角的性质可得，由等腰三角形的性质不一定有，除非是等腰直角三角形故选：B【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是关键3C【分析】根据等腰三角形的性质判断即可解：，故正确； ，D是的中点，故正确；，D是的中点，故正确；不能得出，故错误；正确的个数是3个，故选：C【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键4D【分析】首先由题意可得：ABAC，根据等边对等角的性质，即可求得ACB

11、的度数，又由直线l1l2，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得1的度数解：根据题意得：ABAC，ACBABC65，直线l1l2，1+ACB+ABC180，1180ABCACB180656550故选D【点拨】此题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质解题的关键是注意掌握两直线平行，内错角相等与等边对等角定理的应用5B【分析】本题考查三角形内角和定理、等腰三角形的判定、三角形外角的性质及角三角形的性质，熟知这些内容是正确解题的关键。利用已知条件可求的度数，进而知道，根据等腰三角形的判定得，再利用三角形外角性质得，然后根据含的直角三角形三边的关系可得到的长即可得解：在中，,，,，在中，故选：B6D【

12、分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键分类讨论：当该等腰三角形为锐角三角形时和当该等腰三角形为钝角三角形时，结合题意，先分别求出顶角的大小，从而即可求出其底角的大小解：如图，当该等腰三角形为锐角三角形时，由题意可知，；如图，当该等腰三角形为钝角三角形时，由题意可知，综上可知这个等腰三角形的顶角度数为或，故选：D7A【分析】本题考查等腰三角形的性质，函数关系式等知识，利用三角形内角和定理和外角的定义即可解决问题解题的关键是灵活运用所学知识解决问题解：等腰三角形顶角x度，底角是y度，故选A8B【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质

13、、等腰三角形的“三线合一”，证是解题关键解：，故A、D正确；即：，垂直平分故B错误，C正确；故选：B9B【分析】根据角平分线，平行线的性质，可得是等腰三角形，将的周长转换为的长，由此即可求解解：平分，平分，是等腰三角形，即，的周长是，故选：【点拨】本题主要考查角平分线，平行线，等腰三角形的综合，掌握角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质是解题的关键10C【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：为等腰三角形底边；为等腰三角形一条腰解：如图：为等腰三角形底边，符合条件的动点P有一个；为等腰三角形一条腰，符合条件的动点P有三个综上所述，符合条件的点P的个数共4个故选：C11C【分析】本题

14、考查了含度角的直角三角形的性质、勾股定理以及等腰三角形的性质，如图过作于C，根据含度角的直角三角形的性质得出，再根据勾股定理即可得出，再根据等腰三角形的性质即可得出，最后根据线段的和差即可得出答案，熟练掌握性质定理是解题的关键解：过作于C，故选：12C【分析】本题主要考查等腰直角三角形的判定和性质、直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，根据题意易得，然后根据三角形全等的性质及线段的数量关系可进行排除选项解：，平分，在与中，故正确中，故正确中，平分交的延长线于点C，即，故正确无法证明，故错误由可知，故正确四项正确，故选：C13B【分析】此题考查了等边三角形的性质，勾股定理及全等三角形的判定及

15、性质等知识点的综合运用能力，证明是解题的关键解：，是等边三角形（SAS），故选：B14C【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，过作轴于C，先判定是等边三角形，从而利用“与都是含30度角的直角三角形求解即可”，正确作出辅助线是解题的关键.解：过作轴于C，将绕原点O顺时针旋转后得到，当点恰好落在上时，又，是等边三角形，点，点的坐标为故选：C15C【分析】本题考查的是等边三角形的性质、三角形的外角性质，等腰三角形的判定及其性质，总结出规律是解题的关键根据等边三角形的性质得到，根据三角形的外角性质求出，得到，根据等腰三角形的判定定理得到

16、，然后找到规律即可得解解：为等边三角形，同理可得，的边长为故选：C16【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和，解答时根据等腰三角形两底角相等，求出顶角度数即可解：因为其底角为40，所以其顶角故答案为：100174【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质即可解决问题解：，是的边的中线，故答案为：4【点拨】此题考查了等腰三角形的性质此题比较简单，解题的关键是注意掌握等腰三角形中三线合一定理的应用18或或25解：试题分析：先根据三角形面积公式得到ACD中，DC边上的高，再分三种情况：（1）AD=BD；（2）BA=BD;（3）AB=AD;进行讨论即可求解试题解析：ACD中，DC边上的高为152

17、6=5AD=BD，如图1所示：AD=BD=5SABD=552=；（2）BA=BD，如图2所示：BA=BD=5=5SABD=552=；（3）AB=AD，如图3所示；BD=52=10SABD=1052=25考点：1等腰三角形的性质；2等腰直角三角形19【分析】根据等边对等角，含角的直角三角形的性质可得，由此即可求解解：是直角三角形，平分，在中，故答案为：【点拨】本题主要考查含角的直角三角形的性质，掌握含特殊角的直角三角形的性质是解题的关键20/60度【分析】先根据三角形内角和定理得出，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半得出，根据中点得出，推出，得出是等边三角形，即可得出答案解：，D为线段的中点

18、，是等边三角形，故答案为：【点拨】本题考查等边三角形的判定与性质，30度角所对的直角边等于斜边的一半，正确理解题意是解题的关键21 6 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，由直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，求出AB的长，即可解决问题解：在中，AP的长的取值范围是故答案为：22【分析】本题考查了等腰三角形的性质，两角相等可得出是等腰三角形及，由等腰三角形“三线合一”即可求解解：，即是等腰三角形，点是边的中点，是的角平分线，2360【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，等角对等边，先根据三角形外角的性质求出，得到，再根据路程速度时间求出答案即可解：，上午9时，一

19、艘船从A处出发，以每小时20海里的速度向正北航行，中午12时到达B处，海里故答案为：6024【分析】由作法得，先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，再计算出，然后计算即可解：由作法得，故答案为：【点拨】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了等腰三角形的性质253【分析】本题考查了等边三角形的性质，轴对称性质，垂线段最短，因为是等边三角形，故点B关于的对称点为点C，过点C作垂线交于点，交于点，此时有最小值；解：是等边三角形，点D为边的中点；点B关于的对称点为点C，过点C作垂线交于点，交于点，如

20、图所示：则此时有最小值：垂线段最短，因为等边三角形的三边都满足“三线合一”故，此时有最小值为故答案为：26【分析】本题主要考查利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质，熟练掌握性质是解题的关键根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，再根据等边对等角的性质，代入数据计算即可求出的度数解：，即，故答案为：27【分析】作，由，证，根据勾股定理，即可求解解：如图，作，根据勾股定理，故答案为：【点拨】本题主要考查三角形的全等证明、勾股定理，等腰三角形的性质，余角的性质，垂线定义理解，掌握相关知识并正确画出辅助线是解题的关键28【分析】由折叠性质可知，然后根据三角不等关系可进行求解

21、解：，由折叠的性质可知，当、B三点在同一条直线时，取最小值，最小值即为；故答案为【点拨】本题主要考查勾股定理、折叠的性质及三角不等关系，熟练掌握勾股定理、折叠的性质及三角不等关系是解题的关键29或或【分析】根据y=-x+3可求出点M，N的坐标，过点A作AEy轴于点E，作AFx轴于点 F，由AN=2AM可得，段可得AF=2AE，设A（x，-x+3），得-x+3=2x，求出x的值，得点A坐标，求出AO的长，再根据是以OA为腰的等腰三角形可得点B坐标解：由令当x=0时，y=3；当y=0时，x=3，M（0，3），N（3，0）OM=ON=3过点A作AEy轴于点E，作AFx轴于点 F，AN=2AMAF=2

22、AE，设A（x，-x+3），-x+3=2x，解得，x=1，-x+3=2A（1，2） 是以OA为腰的等腰三角形点B的坐标为：或或故答案为或或【点拨】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等妥三角形的判断，求出点A坐标是解答本题的关键30 10 6或15【分析】（1）设经过秒，为等边三角形，先求出，再根据等边三角形的判定可得当时，为等边三角形，由此建立方程，解方程即可得；（2）设经过秒，为直角三角形，分两种情况：和，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可得解：点自运动至所需时间为，点自运动至所需时间为，（1）设经过秒，为等边三角形，由题意得：，要使为等边三角形，则，解得，符合题意，

23、故答案为：10（2）设经过秒，为直角三角形，由题意得：，当时，为直角三角形，即，解得，符合题意；当时，为直角三角形，即，解得，符合题意；故答案为：6或15【点拨】本题考查了等边三角形的判定、含30度角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键31（1）见分析；（2）2【分析】（1）根据已知易得，再由，利用同角的余角相等易得，进而证明；（2）由全等三角形性质可知解：（1）证明：，在和中，（2）由（1）得，【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，根据利用同角的余角相等证明角相等是证明关键32（1）见分析；（2）见分析【分析】（1）由等边三角形的性质得出，证出是

24、等边三角形，可得，即可得出结论；（2）根据全等三角形的判定即可证明解：（1）证明：是等边三角形，分别是，的中点，是等边三角形，；（2）证明：，是等边三角形，在和中，【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键33（1）证明过程见详解；（2）证明过程见详解【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握全等三角形判定方法和性质的运用是解题的关键（1）根据题意可证，由此即可求解；（2）如图，连接，得到等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，再证明，得到，由此即可求解（1）解：，在，中，；（2）

25、解：如图所示，连接，点为中点，是等腰直角三角形，在，中，即，34（1）见分析；（2）【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定；（1）根据等边三角形的性质可得，根据平行线的性质得出，进而可得，则，即可得证；（2）根据三线合一可得，进而根据是等边三角形,即可得出结论（1）解：是等边三角形， ，则是等边三角形；（2）是等边三角形，平分交于点，是等边三角形；即35（1），；（2）【分析】（1）由点P、Q的速度和线段的和差关系即可列出代数式；根据等腰三角形的性质可得，得到关于的方程，解方程即可；（2）根据全等三角形的判定可以推出当，点运动到线段的中点时，线段AP，PQ将分成三个全等三角形，设，由勾股定理

26、建立方程求得的长，由运动时间相同，则速度之比为路程之比，即可得到答案（1）解：，故答案为：，；点Q在边AC上运动，当是等腰三角形时，则，即，解得：（2）解：如图，当，时，此时点运动到线段的中点，在中，设，则，在中，解得：，点P与点Q运动的时间相同，点P的速度与点Q的速度的比为：【点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用，全等三角形的判定，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正确列出代数式，建立方程是解题的关键36（1），；（2）；（3）；8【分析】（1）证明，可得结论；（2）过点作轴垂线，垂足为，证明，由全等三角形的性质得出，（3）过点作于点，交的延长线于点，证明，由全等三角形的性质得出，得出；由全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质可得出答案解：（1），又，在和中，；故答案为：，；（2）过点作轴垂线，垂足为，由题意知：，在和中，故点坐标为；（3）过点作于点，交的延长线于点，平分，；，由可知，和都是等腰直角三角形，【点拨】本题是三角形综合题，考查全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是利用数形结合的思想，找出所求问题需要的关系，通过三角形的全等可以得到相关的角和边之间的关系