专题1.21 特殊平行四边形“将军饮马”专题（基础篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）.docx

1、专题1.21 特殊平行四边形“将军饮马”专题（基础篇）（专项练习）一、单选题【知识点一】菱形将军饮马问题1如图，在菱形中，点E是对角线上一个动点（不与A，C重合），点F是边上一个动点，连接，则的最小值为（）A2BC4D2如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为AC6，BD8，点P是BC边上的一动点，则AP的最小值为（）A4B4.8C5D5.53如图，将两张长为10，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么，菱形周长的最大值为（）ABCD214如图，在菱形中，对角线，点分别是的中点，点在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是（）A

2、3B4C5D6【知识点二】矩形将军饮马问题5如图，在中，点是上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为（）AB13CD6如图，ABC中，BC4，D、E 分别是线段AB和线段BC上的动点，且BD=DE，F是线段AC上一点，且EF=FC，则DF的最小值为（ ）A3B2C2.5D47如图，ABC中，C90，AC10，BC8，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE6，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（）A10B3C26D38如图，在RtABC中，两顶点A，B分别在平面直角坐标系的y轴，x轴的正半轴上滑动，点C在第一象限内，连接OC，则OC的长的最大值

3、为（）A16B18CD【知识点三】正方形将军饮马问题9如图，正方形ABCD的面积为12，ABE为正三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上取一点P，使最小，则这个最小值为（）ABCD10如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，点P是AC边上的一个动点，连结BP，EP，则BPEP的最小值为（）ABCD111如图，已知正方形中，点E，F分别在边，上，连接，若，则的最小值为（）ABCD12如图，正方形的边长为4，点、分别为、的中点，点是对角线上的动点，则四边形周长的最小值为（ ）A4BC8D二、填空题【知识点一】菱形将军饮马问题13如图，在边长为1的菱形ABCD中，ABC60，将ABD

4、沿射线BD的方向平移得到ABD，分别连接AC，AD，BC，则AC+BC的最小值为_14如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC4，BD4，点P是AC上一动点，点E是AB的中点，则PD+PE的最小值为_15如图，在菱形中，分别是边，上的动点，连接，分别为，的中点，连接，则的最小值为_16如图，直角三角形中，为斜边上一动点，则线段长的最小值为_ 【知识点二】矩形将军饮马问题17如图，在矩形ABCD中，AB=3a，BC=4a，若点E是边AD上一点，点F是矩形内一点，BCF=30，则EF+CF的最小值是_18如图，点E是矩形纸片ABCD的边BC上的一动点，沿直线AE折叠纸片，点B落

5、在点位置，连接C若AB3，BC6，则线段C长度的最小值为 _19如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，为线段上的个动点，过点分别作轴于点，轴于点，连接，则长的最小值为_20如图，在矩形中，为中点，为上一动点，则的最小值为_【知识点三】正方形将军饮马问题21如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别为边BC，CD上两点，AE平分BAC，连接BF，分别交AE，AC于点G，M，点P是线段AG上的一个动点，过点P作PNAC，垂足为N，连接PM，则的最小值为_22定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最长距离，在平面内有一个正方形，边长为4，中心为O，在正方形外有一点P，OP=4

6、，当正方形绕着点O旋转时，则点P到正方形的最长距离的最小值为_23如图，在正方形ABCD中，AB=2，F是BD边上的一个动点，连接AF，过点B作BEAF于E，在点F变化的过程中，线段DE的最小值是_24如图，正方形ABCD边长为4，对角线AC上有一动点P，过P作PEPC于E，PFAB于F，连接EF，则EF的最小值为 _三、解答题25如图，在边长为2的菱形中，是边的中点，是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，求点到距离的最小值26如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，且已知AB=8，BC=4（1）判断ACF的形状，并说明理由；（2）求ACF的面积；（3）点

7、P为AC上一动点，则PE+PF最小值为_27如图，点P（3m-1，-2m+4）在第一象限的角平分线OC上，APBP，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上(1)求点P的坐标(2)当APB绕点P旋转时，OA+OB的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值请求出OA2+OB2的最小值参考答案1B【分析】在菱形中，点B关于AB对称点为点D，过点D作AB的垂线交于点F，交AC于点E，这时最小为DF，根据三角函数得，即可算出答案解：如图所示，连接DE，DFABCD是菱形，当时，DF最小，这时 ，即的最小值为故选：B【点拨】本题考查菱形的性质和轴对称最短路线问题，解题关键是得到的最小值

8、为菱形ABCD中AB边上的高2B【分析】由垂线段最短，可得APBC时，AP有最小值，由菱形的性质和勾股定理可求BC的长，由菱形的面积公式可求解解：如图，设AC与BD的交点为O，点P是BC边上的一动点，APBC时，AP有最小值，四边形ABCD是菱形，ACBD，AOCOAC3，BODOBD4，BC，S菱形ABCDACBDBCAP，AP4.8，故选：B【点拨】本题考查了菱形的性质，勾股定理，确定当APBC时，AP有最小值是本题关键3C【分析】画出图形，设菱形的边长为x，根据勾股定理求出周长即可解：当两张纸条如图所示放置时，菱形周长最大，设这时菱形的边长为xcm，在RtABC中，由勾股定理：x2（10

9、x）2+22，解得：x，4x，即菱形的最大周长为cm故选：C【点拨】此题考查矩形的性质，本题的解答关键是怎样放置纸条使得到的菱形的周长最大，然后根据图形列方程4C【分析】先根据菱形的性质求出其边长，再作E关于AC的对称点E，连接EF，则EF即为PEPF的最小值，再根据菱形的性质求出EF的长度即可解：四边形ABCD是菱形，对角线AC6，BD8，AB5，作E关于AC的对称点E，连接EF，则EF即为PEPF的最小值，AC是DAB的平分线，E是AB的中点，E在AD上，且E是AD的中点，ADAB，AEAE，F是BC的中点，EFAB5故选C【点拨】本题考查的是轴对称最短路线问题及菱形的性质，熟知菱形的性质

10、是解答此题的关键5C【分析】先证四边形AMDN是矩形，连接AD，则MN=AD，当AD最短时，MN取最小值解：如图，连接AD，在中，于点，于点N， 四边形MDNA是矩形，当时，AD最短，线段的最小值为，故选：【点拨】本题考查了勾股定理，矩形的判定和性质，垂线段最短，做辅助线AD是解本题的关键6B【分析】过点D作DGBC于点G，过点F作FHBC于点H，当DFFH时，DF取得最小值，据此求解即可解：过点D作DGBC于点G，过点F作FHBC于点H，如图：BD=DE，EF=FC，BG=GE，EH=HC，当DFFH时，DF取得最小值，此时，四边形DGHF为矩形，DF=GH=BE+EC=BC=2故选：B【点

11、拨】本题考查了等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题7B【分析】根据三角形斜边中线的性质求得，由当、在同一直线上时，取最小值，即可求得的最小值解：中，点、分别是、的中点，当、在同一直线上时，取最小值，的最小值为：，故选：B【点拨】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理的应用等，明确、在同一直线上时，取最小值是解题的关键8B【分析】取AB的中点P，连接OP、CP，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得，再由勾股定理，可得CP=10，再由三角形的三边关系，即可求解解：如图，取AB的中点P，连接OP、CP， ，在 中，由勾股定理得： ， ，当O、P、C三点

12、共线时，OC最大，最大值为18故选：B【点拨】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，熟练掌握相关知识是解题的关键9B【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BE，BE与AC的交点即为点P的特殊位置，此时PD+PE=BE最小，而BE是等边ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为12，可求出AB的长，从而得出结果解：连接BD，与AC交于点F点B与D关于AC对称，PD=PB，PD+PE=PB+PE=BE最小正方形ABCD的面积为12，AB=又ABE是等边三角形，BE=AB=的最小值为故选：B【点拨】此题主要考查了轴对称最短路线问题，难点是确定点P的位置注意充分运用正方

13、形的性质：正方形的对角线互相垂直平分再根据对称性确定点P的位置即可，灵活运用对称性解决此类问题的关键10A【分析】根据正方形是轴对称图形，所在的直线是正方形的一条对称轴，进而根据对称性可知，BP+EPPD+PE，当在同一直线上时，的值最小为的长，进而根据勾股定理求得的值解：连接BD，正方形是轴对称图形，所在的直线是正方形的一条对称轴，无论P在什么位置，都有PDPB；故均有BP+EPPD+PE成立；连接DE与AC，所得的交点，即为BP+EP的最小值时的位置，如图所示：此时BP+EPDE，正方形ABCD的边长为2，DCBC2，E是BC的中点，EC1，在RtDEC中，DE，故选：A【点拨】本题考查了

14、轴对称的性质，勾股定理，理解对角线所在的直线是正方形的对称轴是解题的关键11B【分析】连接作关于的对称点，连接，则，证明，可得，根据，勾股定理即可求得，即的最小值解：如图，连接作关于的对称点，则，四边形是正方形，的最小值为的长，中，的最小值为故选B【点拨】本题考查了正方形的性质，线段和最值问题，添加辅助线将转化为是解题的关键12C【分析】作关于的对称点，连接交于点，根据轴对称性质及两点之间，线段最短，得到四边形的周长最小，即最小，再利用三角形三边关系解题即可解：如图，作关于的对称点，连接交于点，故点与点重合时，四边形的周长最小，即最小，和关于对称，则连接，同样，而，即所以当与重合时，四边形周长

15、最小，即为，故选：C【点拨】本题考查正方形的性质、轴对称与最值问题等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键13【分析】根据菱形的性质得到AB1，ABD30，根据平移的性质得到ABAB1，ABAB，推出四边形ABCD是平行四边形，得到ADBC，于是得到AC+BC的最小值AC+AD的最小值，根据平移的性质得到点A在过点A且平行于BD的定直线上，作点D关于定直线的对称点E，连接CE交定直线于A，则CE的长度即为AC+BC的最小值，求得DECD，得到EDCE30，于是得到结论解：在边长为1的菱形ABCD中，ABC60，ABCD1，ABD30，将ABD沿射线BD的方向平移得到ABD，ABAB

16、1，ABAB，四边形ABCD是菱形，ABCD，ABCD，BAD120，ABCD，ABCD，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，AC+BC的最小值AC+AD的最小值，点A在过点A且平行于BD的定直线上，作点D关于定直线的对称点E，连接CE交定直线于A，则CE的长度即为AC+BC的最小值，AADADB30，AD1，ADE60，DHEHAD，DE1，DECD，CDEEDB+CDB90+30120，EDCE30，如图，过点D作DHEC于H，,CE2CH，故答案为：【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，平移的性质，正确地理解题意是解题

17、的关键14【分析】连接DE，依据菱形的性质即可计算得到DE的长，再根据线段的性质，即可得到PD+PE的最小值为DE的长解：如图，连接DE，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC=4，BD=4，AO=AC=2，BO=BD=2，ACBD，AB=，AB=AD=BD，即ABD是等边三角形，点E是AB的中点，DE=，DP+PEDE，PD+PE的最小值为DE的长，即PD+PE的最小值为2，故答案为：2【点拨】此题考查了轴对称，最短路线问题，勾股定理，等边三角形的性质，关键是掌握菱形的性质以及线段的性质：两点之间，线段最短15【分析】连结AF，利用中位线的性质GH=AF，要使GH最小，只要A

18、F最小，由点F在BC，当AFBC时，AF最小，利用菱形性质求出，由确定ABF为等腰直角三角形，得出AF=BF，由勾股定理得：求出AF即可解：连结AF，分别为，的中点，GHAF，且GH=AF，要使GH最小，只要AF最小，由点F在BC，当AFBC时，AF最小，在菱形中，在RtABF中，ABF为等腰直角三角形，AF=BF，由勾股定理得：，GH最小=AF=故答案为：【点拨】本题考查动点图形中的中位线，菱形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理应用问题，掌握中位线的性质，菱形性质，等腰直角三角形的性质， 点F在BC上，AF最短，点A到BC直线的距离最短时由点A向直线BC作垂线，垂线段AF为最短是解题关键

19、16【分析】先连接PC, 判定四边形ECFP是矩形, 得到EF=PC, 再根据当PC最小时, EF也最小, 根据垂线段最短, 可得当CPAB时, PC最小, 最后根据面积法, 求得CP的长即可得到线段EF长的最小值.解：连接PC, PEBC, PFCA,PEC=PFC=C=,四边形ECFP是矩形,EF=PC,当PC最小时, EF也最小,垂线段最短,当CPAB时,PC最小,AC=1, BC=2,AB=,又当CPAB时,PC=.线段EF长的最小值为.故答案为.【点拨】本题主要考查矩形的判定与性质及垂线段最短.173a【分析】作辅助线，先根据直角三角形30度角的性质可知CF=FH，得GH的长是EF+

20、CF的最小值，从而得结论解：过F作GHCD，交AD于G，BC于H，如图：四边形ABCD是矩形，D=BCD=90，ADBC，GHAD，CHF=90，BCF=30，FH=CF，点E是边AD上一点，EF+CF=EF+FH，即EF+CF的最小值是GH，GHC=BCD=D=90，四边形DGHC是矩形，GH=CD=AB=3a，即EF+CF的最小值是3a；故答案为：3a【点拨】本题考查了矩形的判定和性质，平行线的性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题关键是确定EF+CF的最小值是GH1833【分析】连接AC，当A、C共线时，C的值最小，进而解答即可解：如图，连接AC折叠，ABA3，四边形ABCD是矩形，

21、B90，AC，CACA，当A、C共线时，C的值最小为：33，故答案为：33【点拨】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，作出正确的辅助线，属于中考常考题型19【分析】由矩形的性质可知EFOP，可知当OP最小时，则EF有最小值，由垂线段最短可知当OPAB时，满足条件，求得A、B两点的坐标，即可求得EF的最小值解：在一次函数中，令x0，则y4，令y0，则x，A（0，4），B（，0）PEy轴于点E，PFx轴于点F，PEO=PFO=90，EOF=90，四边形PEOF是矩形，EFOP，当OPAB时，OP取得最小值，此时EF最小，A（0，4），点B坐标为（，0），OA

22、4，O B，由勾股定理得：AB，ABOPOAOB，OP故答案为：【点拨】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，矩形的性质，熟知矩形的性质和一次函数与坐标轴交点特征，熟练进行计算是解答此题的关键20【分析】作点E关于点C的对称点M，连接AM交CD于点F，连接EF，则此时的值最小，根据矩形的性质和勾股定理得出AM的值即可解：作点E关于点C的对称点M，连接AM交CD于点F，连接EF，则此时的值最小，EF=MF；EC=MC，EF+AF=AM，为中点，BE=CE=2，BM=6；在矩形中，B=90，；故答案为：【点拨】本题考查了矩形的性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识；正确的作出辅助线是解题的关键2

23、1【分析】根据题意，进而证明，可得,勾股定理求解即可解：如图，作，连接MH PNAC，AE平分BAC，即为所求，四边形是正方形正方形，又， AE平分BAC，在与中，是正方形的对角线，即的最小值为，故答案为：【点拨】本题考查了角平分线的性质，正方形的性质，垂线段最短，根据题意求得的最小值是的长是解题的关键22#【分析】由题意以及正方形的性质得OP过正方形ABCD的顶点时，点P到正方形的最长距离取得最小值，最小值为PA解：如图，OP过顶点A时，点O与这个图上所有点的连线中，OA最大，此时点P到正方形的最长距离取得最小值，最小值为PA，正方形ABCD边长为2，O为正方形中心，OAB=OBA=45，O

24、ACB，OA=OB=，OP=4，最小值为PA=4-；故答案为：4-【点拨】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，理解点到图形的距离是解题的关键23#【分析】取AB的中点G，以G为圆心，AB为直径作圆G，当D、E、G共线时，此时DE取得最小值解：BEAF于E，即AEB=90，取AB的中点G，点E的运动轨迹为以AB为直径，G为圆心的圆弧当D、E、G三点共线时，DE取得最小值，如图，AB=AD=2，AG=EG=1，DG=，DE=即线段DE的最小值是故答案为：【点拨】本题主要考查了正方形的性质，圆的性质，勾股定理，本题关键是确定DE取最小值的位置242【分析】由垂线段最短可得当点P是正方形对角线AC和B

25、D的交点时，此时BP最小，可证四边形BEPF是矩形，可得FEBP，即EF的最小值为BP的最小值为2解：当点P是正方形对角线AC和BD的交点时，此时BP最小，四边形ABCD是正方形，BDAC于点P，正方形ABCD边长为4，BPBD42，PEBC，PFAB，ABBC，四边形BEPF是矩形，FEBP，EF的最小值为BP的最小值为2，故答案为：2【点拨】本题考查了正方形的性质，垂线段最短，矩形的判定与性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键25【分析】解：由折叠知，又是的中点，故点在以点为圆心长为半径的上，如解图，过点作于点，在菱形中，是等边三角形是的中点，点与点重合，故点A到距离的最小值为26（1

26、）ACF是等腰三角形，理由见分析；（2）10；（3）【分析】（1）根据折叠的性质可得：1=2，再由矩形的性质，可得2=3，从而得到1=3，即可求解；（2）设FD=x，则AF=CF=8-x，再由勾股定理，可得DF=3，从而得到CF=5，即可求解；（3）连接PB，根据折叠的性质可得ECPBCP，从而得到PE=PB，进而得到当点F、P、B三点共线时，PE+PF最小，最小值为BF的长，再由勾股定理，即可求解解：（1）ACF是等腰三角形，理由如下：如图，由折叠可知，1=2，四边形ABCD是矩形，ABCD，2=3，1=3，AF=CF，ACF是等腰三角形；（2）四边形ABCD是矩形且AB=8，BC=4，AD

27、=BC=4，CD=AB=8，D=90，设FD=x，则AF=CF=8-x，在RtAFD中，根据勾股定理得AD2+DF2=AF2，42+x2=（8-x）2，解得x=3，即DF=3，CF=8-3=5，；（3）如图，连接PB，根据折叠得：CE=CB，ECP=BCP，CP=CP，ECPBCP，PE=PB，PE+PF=PE+PB，当点F、P、B三点共线时，PE+PF最小，最小值为BF的长，由（2）知：CF=5，BC=4，BCF=90， ，即PE+PF最小值为 故答案为：【点拨】本题主要考查了矩形与折叠问题，等腰三角形的判定，熟练掌握矩形和折叠的性质是解题的关键27(1)P（2，2）；(2)不变，定值为4；

28、OA2+OB2的最小值为8【分析】（1）根据在第一象限的角平分线OC上的点的横坐标与纵坐标相等，构建方程求出m即可（2）过点P作PMy轴于M，PNOA于N证明四边形OMPN是正方形，再证明PMBPNA（ASA），推出BM=AN，可得结论；根据垂线段最短原理以及勾股定理即可求解(1)解：点P （3m-1，-2m+4）在第一象限的角平分线OC上，3m-1=-2m+4，m=1，P（2，2）；(2)过点P作PMy轴于M，PNOA于NPMO=PNO=MON=90，四边形OMPN是矩形，OP平分MON，PMOM，PNON，PM=PN，四边形OMPN是正方形，P（2，2），PM=PN=OM=ON=2，APBP，APB=MPN=90，MPB+BPN=BPN+NPA=90，MPB=NPA，在PMB和PNA中，PMBPNA（ASA），BM=AN，OB+OA=OM-BM+ON+AN=2OM=4连接AB，AOB=90，OA2+OB2=AB2BPA=90，AB2=PA2+PB2=2PA2，OA2+OB2=2PA2，当PA最小时，OA2+OB2也最小根据垂线段最短原理，PA最小值为2OA2+OB2的最小值为8【点拨】本题考查坐标与图形变化-旋转，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题