专题1.28 二次函数的应用（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（浙教版）.docx

1、专题1.28 二次函数的应用（知识讲解）【学习目标】1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型【要点梳理】要点一、列二次函数解应用题 列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式对于应用题要注意以下步骤：(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所

2、设变量的单位要准确(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案(6)写出答案特别说明：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.要点二、建立二次函数模型求解实际问题一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系

3、式；(5)利用关系式求解问题特别说明：(1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：首先必须了解二次函数的基本性质； 学会从实际问题中建立二次函数的模型；借助二次函数的性质来解决实际问题.【典型例题】类型一：图形问题1如图，要用篱笆（虚线部分）围成一个矩形苗圃ABCD，其中两边靠的墙足够长，中间用平行于AB的篱笆EF隔开，已知篱笆的总长度为18米，设矩形苗圃A

4、BCD的一边AB的长为x（m），矩形苗圃ABCD面积为y（）(1)求y与x的函数关系式；(2)求所围矩形苗圃ABCD的面积最大值；【答案】(1)y2x218x(2)m2【分析】（1）设矩形苗圃ABCD的一边AB的长为x（m），矩形苗圃ABCD面积为y（），则，根据矩形的面积公式求解即可；（2）根据顶点坐标公式计算即可求解(1)解：设矩形苗圃ABCD的一边AB的长为x（m），矩形苗圃ABCD面积为y（），则，根据题意得：yx（182x）2x218x；(2)解：二次函数y2x218x（0x9），a20，二次函数图象开口向下，且当x时，y取得最大值，最大值为y（182）（m2）；【点拨】本题考查了一

5、元二次函数的应用，用代数式表示出是解题的关键举一反三：【变式1】 为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形小花园ABCD，小花园一边靠墙，另三边用总长40m的栅栏围住，如下图所示若设矩形小花园AB边的长为m，面积为ym2（1）求与之间的函数关系式；（2）当为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？【答案】（1）（1）.（）；（2）当x为时，小花园的面积最大，最大面积是【分析】（1）首先根据矩形的性质，由花园的AB边长为x m，可得BC=(40-2x)m，然后根据矩形面积即可求得y与x之间的函数关系式，又由墙长25m，即可求得自变量的x的范围；（2）用配方法

6、求最大值解答问题解：（1）四边形ABCD是矩形，AB=CD，AD=BC，AB=x m，BC=(40-2x)m，花园的面积为：y=ABBC=x(40-2x)=-2x2+40x，40-2x25，x+x40，x7.5，x20，7.5x20，y与x之间的函数关系式为：y=-2x2+40x（7.5x0，当时，y=0，解不等式，即可求解(1)解：如图，根据题意得：抛物线顶点坐标M（3，4），A（2，3）可设抛物线解析为：y=a（x-3）2+4，3=a（2-3）2+4，解得：a=-1，抛物线解析式为：y=-（x-3）2+4；(2)解：由题意可得：当y=0时， 0=-（x-3）2+4，解得：x1=1，x2=5

7、，抛物线与x轴交点为：（5，0），当k=4时，运动员落水点与点C的距离为5米；(3)解：根据题意，抛物线解析式为：y=a（x-3）2+k，将点A（2，3）代入得：a+k=3，即a=3-k，若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水，当时，即，解得：，当时，即，解得：，跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水时才能达到训练要求，k的取值范围为【点拨】此题主要考查了二次函数的应用，根据题意利用顶点式求出二次函数解析式是解题基础，判断入水的位置对应的抛物线上点的坐标特点是解题关键【变式2】 如图所示的是小青同学设计的一个动画示意图，某弹球P（看作一点）从数轴上表示8的点A处弹出后，呈抛物线yx28x

8、状下落，落到数轴上后，该弹球继续呈现原抛物线状向右自由弹出，但是第二次弹出高度的最大值是第一次高度最大值的一半，第三次弹出的高度最大值是第二次高度最大值的一半，依次逐渐向右自由弹出(1)根据题意建立平面直角坐标系，并计算弹球第一次弹出的最大高度(2)当弹球P在数轴上两个相邻落点之间的距离为4时，求此时下落的抛物线的解析式【答案】(1)16(2)y（x4）（x44）【分析】（1）根据题意建立坐标系，根据函数解析式求出最大值即可；（2）分别求出弹球第二次、第三次的解析式，以及落地见的距离，当落地之间距离为4时求出解析式即可(1)解：根据弹球弹出的位置和函数解析式建立如图所示坐标系： 抛物线解析式为

9、yx28x（x4）2+16，函数最大值为16，弹球第一次弹出的最大高度为16；(2)解：当y0时，则x28x0，解得：x10，x28，第一次相邻两落点之间的距离为：|80|8，设第二次弹出时，弹球下落的抛物线的解析式为yx（xb），当x时，y168，（）8，解得b4或b4（舍去），所求抛物线的解析式为yx（x4），第二次相邻两落点之间的距离为4，设第三次弹出时，弹球下落的抛物线的解析式为y（x4）（xc），当x时，y164，解得c44或c44（舍去），所求抛物线的解析式为y（x4）（x44），第三次相邻两落点之间的距离为|444|4，相邻两落点之间的距离为4时，弹球下落抛物线的解析式为y（x4

10、）（x44）【点拨】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意求出函数关系式是解题的关键类型六：喷水问题6、如图，从某建筑物的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直），点A离地面的高度为6米，抛物线的最高点P到墙的垂直距离为2米，到地面的垂直距离为8米，如图建立平面直角坐标系(1)求抛物线的解析式；(2)求水落地离墙的最远距离OB【答案】(1)(2)6米【分析】（1）根据题意可知该抛物线顶点坐标，且经过点A（0，6），即可设抛物线的解析式为，再将A（0，6）代入，求出a即可；（2）对于该抛物线解析式，令y=0，求出x的值即可(1)解：由题意可知抛物线的顶点坐标为（2，

11、8），且经过点A（0，6），设抛物线的解析式为，把A（0，6）代入得，解得：， (2)解：令，得， 解得：，（舍去），水落地离墙的最远距离为6米【点拨】本题考查二次函数的实际应用根据题意，利用待定系数法求出解析式是解答本题的关键举一反三：【变式1】如图，一个圆形喷水池的中央垂直于水面安装了一个柱形喷水装置OA，O恰好在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的平面上，按如图所示建立直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式可以用表示，且抛物线经过点，请根据以上信息，解答下列问题：(1)求抛物线的函数关系式，并确定喷

12、水装置OA的高度；(2)喷出的水流距水面的最大高度是多少米？(3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？【答案】(1)喷水装置OA的高度为米；(2)喷出的水流距水面的最大高度是米；(3)水池的半径至少要1+米，才能使喷出的水流不至于落在池外【分析】（1）将点B、C坐标代入yx2+bx+c列方程组求出b、c的值即可得解析式，令x0可得y的值，即喷水装置OA的高度；（2）将抛物线解析式配方成顶点式即可得其最大值，即水流距水面的最大高度；（3）令y0可得对应x的值(1)解：根据题意，将点B（，），C（2，）代入yx2+bx+c，得：，解得：，y与x的函数关系式为：y

13、x2+2x+，当x0时，y，喷水装置OA的高度为米；(2)解：yx2+2x+（x1）2+，当x1时，y取得最大值，故喷出的水流距水面的最大高度是米；(3)解：当y0时，x2+2x+0，解得：x11，x21+，x110，不合题意，舍去，x21+，答：水池的半径至少要1+米，才能使喷出的水流不至于落在池外【点拨】本题是二次函数的实际应用，掌握抛物线顶点、与x轴交点、y轴交点的实际意义是解题的关键 【变式2】 某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛

14、物线第一象限部分的函数解析式为（1）求雕塑高OA和落水点C，D之间的距离；（2）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，请通过计算说明顶部F是否会碰到水柱?【答案】（1），CD22m；（2）不会【分析】（1）求雕塑高,直接令，代入求解可得；（2）可先求出的距离，再根据对称性求的长；再利用，计算出的函数值，再与的长进行比较可得结论解：（1）由题意得，A点在图象上当时，D点在图象上令，得解得：（不合题意，舍去）（2）由题意得：当时，不会碰到水柱【点拨】本题考查了二次函数的图像与性质及图像关于轴对称问题，解题的关键是：掌握二次函数的图像与性质类型七：增长率问题7、某种产品现在的年产量是，计划今后两年增加

15、产量如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？【答案】，y是x的函数【分析】根据题意可得一年后的产量是，再经过一年后的产量是，由此求解即可解：这种产品的原产量是，一年后的产量是，再经过一年后的产量是，即两年后的产量，即式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数【点拨】本题考查了函数关系式，利用增长问题获得函数解析式是解题关键，注意增加x倍是原来的（x+1）倍举一反三：【变式1】 为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出加快推进旧房改造工作的实施方案推进新型城镇化

16、建设，改善民生，优化城市建设（1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率；（2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？【答案】（1）20%；（2）6125000（元）【分析】（1）设平均增长率为x，根据题意列式求解即可；（2）设多改造y户，最高投入费用为w元，根据题意列式，然后根据二次函数的性质即可求出最大值解：（1）设平均增长率为x，则x0，由题意得：，解得：x=0

17、.2或x=-2.2（舍），答：该市这两年旧房改造户数的平均年增长率为20%；（2）设多改造a户，最高投入费用为w元，由题意得：，a=-50，抛物线开口向下，当a-50=0，即a=50时，w最大，此时w=612500元，答：旧房改造申报的最高投入费用为612500元【点拨】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确读懂题意列出式子，然后根据二次函数的性质进行求解【变式2】 为了打造“清洁能源示范城市”，东营市2016年投入资金2560万元用于充电桩的安装，并规划投入资金逐年增加，2018年在2016年的基础上增加投入资金3200万元.（1）从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年

18、平均增长率为多少？（2）2019年东营市计划再安装A、B两种型号的充电桩共200个.已知安装一个A型充电桩需3.5万元，安装一个B型充电桩需4万元，且A型充电桩的数量不多于B型充电桩的一半.求A、B两种型号充电桩各安装多少个时，所需资金最少，最少为多少？【答案】（1）从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为50%；（2）A、B两种型号充电桩分别安装66个，134个时所需资金最少，最少为767万元【分析】(1)设从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为x，根据等量关系，列出方程，即可求解；(2)设安装A型充电桩a个，则安装B型充电桩个，所需资金

19、为万元，列不等式，求出a的范围，再求出的函数解析式，进而可求出答案.解：（1）设从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为x，根据题意得：， 解得:，（舍去）.答：从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为50%； （2）设安装A型充电桩a个，则安装B型充电桩个，所需资金为万元.根据题意，得:，解得:， ， ， 随a的增大而减小.a为整数，当时，最小，最小值为（万元）.此时，.答：A、B两种型号充电桩分别安装66个，134个时，所需资金最少，最少为767万元.【点拨】本题主要考查一次函数，二次函数以及一元一次不等式的实际应用，找到数量关系，列出函

20、数解析式和一元一次不等式，是解题的关键.类型八：其他问题8、如图，抛物线与轴交于，与轴交于点连接，点在抛物线上运动(1)求抛物线的表达式；(2)若点在第四象限，点在的延长线上，当时，求点的坐标；【答案】(1)(2)【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式的方法即可求得答案（2）根据勾股定理的逆定理即可判断为直角三角形，从而利用等量代换即可求得，在轴上取点，连接，易证得，结合直线的解析式即可求得直线的解析式，根据交点的含义联立方程组，解方程组即可求得答案(1)解：把，代入，得，解得：，抛物线的解析式是解：(2)令，则，即，为直角三角形，在轴上取点，连接，如图，则，直线的解析式为，设直线的解析式为

21、，把点代入，可得，直线的解析式为，解方程组，得或，点的坐标是【点拨】本题考查了待定系数法求函数解析式、等腰三角形的性质、勾股定理逆定理的应用、利用平行线表达式的关系求直线的表达式，运用待定系数法正确求出函数解析式，能根据，利用直线的解析式求出直线的解析式是解题的关键举一反三：【变式1】同学们在操场玩跳大绳游戏，跳大绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO与BD均为0.9米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为1.8米，距甲同学的水平距离为3米，以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为(1)求该抛物线的解析

22、式；(2)如果身高为1.4米的嘉嘉站在OD之间，当绳子甩到最高处时，求嘉嘉站在距点O的水平距离为多少时，绳子刚好通过他的头顶上方？(3)如果参与跳大绳的同学有12人，两人负责甩绳子，剩下的同学想要一起跳绳，当绳子甩到最高点且超过他们头顶时，问剩下的同学是否可以在OD之间一起跳大绳（12个同学身高与嘉嘉相同，且每个同学同方向站立时的脚跟之间距离不少于0.5米就可以一起玩）【答案】(1)抛物线的解析式是(2)当绳子甩到最高点时，嘉嘉站在距点O的水平距离为为或米处，此时绳子刚好通过她的头顶(3)剩下的个同学不能在OD之间一起跳大绳【分析】（1）已知抛物线解析式，求其中的待定系数，选定抛物线上两点 ，

23、坐标代入即可；（2）嘉嘉站在之间，将代入解析式求出的值，根据题意求解即可得出答案；（3）求出时的值，算出10个同学一起玩时脚跟之间的距离，即可得出答案(1)解：由题意的点，代入得，解得，抛物线的解析式是；(2)解：当时，即，解得：，当绳子甩到最高点时，嘉嘉站在距点O的水平距离为或米处，此时绳子刚好通过她的头顶；(3)解：当时，解得，根据12个同学身高与嘉嘉相同，每个同学同方向站立时的脚跟之间距离不少于0.5米就可以一起玩，去掉人负责甩绳子，还剩下人，当剩下的同学想要一起跳绳，当绳子甩到最高点且超过他们头顶时，不符合一起玩时每个同学同方向站立的脚跟之间距离不少于0.5米，剩下的个同学不能在OD之

24、间一起跳大绳【点拨】本题考查了二次函数的应用及坐标的求法，此题为数学建模题，解答本题的关键是注意审题，将实际问题转化为求函数最值问题，培养自己利用数学知识解答实际问题的能力 【变式2】 路上正在行驶的甲车，发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程（单位：m）、速度（单位：m/s）与时间（单位：s）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图像如图所示(1)当甲车减速至10m/s时，它行驶的路程是多少？(2)若乙车以9m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？【答案】(1)米，详见分析(2)6秒时，两车相距最近，最近距离为2米【分析】（1）设二次函数解

25、析式为s=at2+nt，a0，一次函数解析式为v=kt+m，k0，利用待定系数法求出各系数，再将v=10代入解析式求值即可；（2）乙车行驶的路程为9t，设两车之间的距离为h，则h=20+9ts，利用配方法求出h最小值即可(1)解：设二次函数解析式为s=at2+nt，a0，由题意得：，解得：，即二次函数解析式为：；设一次函数解析式为v=kt+m，k0，同理，解得：，即一次函数解析式为：，当v=10时，t=15v=5，此时，当甲车减速至10m/s时，它行驶的路程是米(2)解：由题意知，乙车行驶路程为9t，设甲、乙之间的距离为h（单位：米），则=，当t=6秒时，两车之间的距离h取最小值，即两车最近，最近距离为2米【点拨】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，掌握待定系数法求函数解析式及配方法求二次函数最值是解题关键