专题1.30 特殊平行四边形重难点突破专题（专项练习）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）.docx

1、专题1.30 特殊平行四边形重难点突破专题（专项练习）一、 填空题类型一、最值问题1如图，正方形，是对角线上一动点，且，连接，若，则长度的最小值为_2如图，矩形ABCD中，AB2，AD4，E为BC的中点，F为DE上一动点，P为AF中点，连接PC，则PC的最小值是_3如图，在矩形ABCD中，点P在边AD上，点Q在边BC上，且，连接CP，QD，则的最小值为_二、 解答题类型二、条件（结论）探究型4如图，在四边形ABCD中，ABCD，ABAD，CBCD，点E是CD上一点，连接BE交AC于点F，连接DF(1) 求证：四边形ABCD是菱形；(2) 试探究BE满足什么条件时，EFDBCD，并说明理由5已知

2、是等边三角形，点B，D关于直线AC对称，连接AD，CD(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)在线段AC上任取一点（端点除外），连接PD将线段PD绕点逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处请探究：当点在线段AC上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？说明理由(3)在满足（2）的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明6已知，在正方形ABCD中，连接对角线BD，点E为射线CB上一点，连接AEF是AE的中点，过点F作FMAE于F，FM交直线BD于M，连接ME、MC(1)如图1，当点E在CB边上时依题意补全图1；猜想MEC与MCE之间的数量关系，并证明(2)如图2，当点E在CB边的延

3、长线上时，补全图2，并直接写出AE与MC之间的数量关系7小明学习了特殊的四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形(1)概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是_(2)性质探究：通过探究，直接写出垂美四边形ABCD的面积S与两条对角线AC、BD之间的数量关系：_(3)问题解决：如图2，分别以的直角边AC和斜边AB为边向外做正方形ACFG和正方形ABDE，连结BG、CE交于点N，CE交AB于点M，连结GE求证：四边形BCGE为垂美四边形；已知，则四边形BCGE的面积为_类型三、坐标系中的特殊四边

4、形8图，平面直角坐标系中，是坐标原点，直线经过点，与轴交于点，与轴交于点线段平行于轴，交直线于点，连接，(1) 填空：_，点的坐标是（_，_）；(2) 求证：四边形是平行四边形；(3) 动点从点出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点运动，直到点为止；动点同时从点出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点运动，直到点为止设两个点的运动时间均为秒当时，的面积是_在点，运动过程中，当时请直接写出此时的值_9如图，在以点为原点的平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，点C在y轴上，且轴，a，b满足点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动（回到为止）(1) 直接写出点A，B，C的坐标；(

5、2) 求出使得三角形CPO的面积是四边形OABC面积的一半的点P的横坐标；(3) 点运动t秒后，是否存在点到x轴的距离为个单位长度的情况若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由10对于平面直角坐标系中的两点和，给出如下定义：若，是某个矩形对角线的顶点，且该矩形的每条边均与轴或轴垂直，则称该矩形为点，的“对角矩形”，下图为“对角矩形”的示意图已知点的坐标为，点的坐标为(1) 当时，点，的“对角矩形”的面积的值为_； 若点，的“对角矩形”的面积是8，则的值为_；(2) 若点，的“对角矩形”是正方形，求直线的解析式类型四、特殊平行四边形中的动点问题11如图所示，在矩形中，cm，cm，点P从A开始沿

6、边以4m/s的速度运动，点Q从C开始沿边以2m/s的速度运动，如果点P，Q分别从A，C同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t s(1) 当时，求P，Q两点之间的距离(2) 当为何值时，线段与互相平分?(3) 当为何值时，四边形的面积为矩形面积的12如图，在矩形ABCD中，M是边AD的中点，P是边BC上的动点，且，垂足分别为E，F(1)当矩形ABCD的长与宽满足什么数量关系时，四边形PEMF是矩形？证明你的结论(2)若四边形PEMF是矩形，当点P运动到什么位置时，四边形PEMF是正方形？证明你的结论类型五、特殊平行四边形中的折叠问题13如图，将长方形ABCD沿对角线

7、AC折叠，使点B落在E处，若，则：(1) 试判断折叠后重叠部分三角形ACF的形状，并证明；(2) 求重叠部分三角形ACF的面积14如图，将矩形纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕的一端点在边上，另一端F在AD上，(1) 求证：四边形BGEF为菱形；(2) 求FG的长15图，一张矩形纸片ABCD，点E在边AB上，将BCE沿直线CE对折，点B落在对角线AC上，记为点F(1) 若AB4，BC3，求AE的长(2) 连接DF，若点D，F，E在同一条直线上，且DF2，求AE的长16 如图1，在四边形中，对角线、交于点O，平分(1)求证：四边形是菱形；(2)如图2，点E是边上一点，将四边形沿着翻折得到四边形

8、，若点恰好落在边的中点处，且，求菱形的周长17 如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，AE是折痕(1)如图1，若AB=4，AD=5，求折痕AE的长；(2)如图2，若AE=，且EC：FC=3：4，求矩形ABCD的周长18综合与实践在数学教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能例如教材八年级下册的数学活动折纸，就引起了许多同学的兴趣在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验实践发现：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF，把纸片展平：再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，折痕为BM，把纸片展平，连接

9、AN，如图；(1)折痕BM所在直线是否是线段AN的垂直平分线？请判断图中是什么特殊三角形？请写出解答过程(2)继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图，求GBN的度数(3)拓展延伸：如图，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接交ST于点O，连接AT；求证：四边形是菱形19如图，已知以ABC的三边为边，在BC的同侧分别作等边三角形ABD、BCE和ACF(1) 求证：四边形ADEF是平行四边形；(2) ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？是矩形？并说明理由；(3) 这样的平行

10、四边形ADEF是否总是存在？请说明理由20如图，矩形OABC中，点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标是，将矩形OABC沿直线BD折叠，使得点C恰好落在对角线OB上的点E处，折痕BD所在直线与y轴、x轴分别交于点D、F(1)求线段OE的长；(2)求点F的坐标；(3)若点M在直线上，则在直线BD上是否存在点P，使以C、D、M、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出满足条件的点P的坐标；不存在，说明理由参考答案12【解析】【分析】过C作于点，根据正方形的性质易得，进而得到，易得到是等腰直角三角形，进而求出，当E运动到时，CE最小，最小值即为CE的长度，此时EF最小值为，求出即可求解【详解】解

11、：过C作于点，如图：四边形ABCD是正方形，在和中，即，是等腰直角三角形，当CE最小时，EF最小，当E运动到时，CE最小，最小值即为CE的长度，此时EF最小值为，EF最小值为故答案为：2【点拨】本题主要考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，求出是解答关键2【解析】【分析】取AD中点H，连接BH，CH，设BH与AE的交点为O，连接CO，可证四边形DEBH是平行四边形，可得，由三角形中位线定理可得，可得点P在BH上，当CPBH时，PC有最小值，即可求解【详解】解：如图，取AD中点H，连接BH，CH，设BH与AE的交点为O，连接CO，如图所示：四边形ABCD是矩

12、形，ABCD2，ADBC4，点E是BC中点，点H是AD中点，AHCEDHBEAB=CD=2，四边形BEDH是平行四边形，点P是AF的中点，点H是AD的中点，点P在BH上，点P在BH上，当CPBH时，此时点P与H重合，PC有最小值，在RtCDH中，PC的最小值为，故答案为:【点拨】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，垂线段最短等知识，确定点P的运动轨迹是本题的关键313【解析】【分析】连接BP，在BA的延长线上截取AE=AB=6，连接PE，CE，PC+QD=PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE=AB=6，则

13、PC+QD=PC+PB=PC+PECE，根据勾股定理可得结果【详解】解：如图，连接BP，在矩形ABCD中，ADBC，AD=BC，AP=CQ，AD-AP=BC-CQ，DP=QB，DPBQ，四边形DPBQ是平行四边形，PBDQ，PB=DQ，则PC+QD=PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE=AB=6，连接PE，PABE，PA是BE的垂直平分线，PB=PE，PC+PB=PC+PE，连接CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PECE，BE=2AB=12，BC=AD=5，CE=13PC+PB的最小值为13故答案为：13【点拨】本题考查的是最短线路问题，矩形的

14、性质，全等三角形的判定与性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键4(1)见解析(2)当BECD时，EFDBCD，理由见解析【解析】【分析】（1）首先利用SSS定理证明ABCADC可得BAC=DAC，由平行线的性质可得CAD=ACD，再根据等角对等边可得AD=CD，再由条件AB=AD， CB=CD可得AB=CB=CD=AD，可得四边形ABCD是姜形；(2)首先证明BCFDCF可得CBF=CDF，再根据BECD可得BEC=DEF=90，进而得到EFD=BCD(1)证明：在ABC和ADC中，ABCADC(SSS)BACDACABCD，BACACDDACACDADCDABAD，CBCD，ABC

15、BCDAD四边形ABCD是菱形(2)解：当BECD时，EFDBCD理由：由(1)知四边形ABCD为菱形，BCFDCF在BCF和DCF中，BCFDCF(SAS)CBFCDFBECD，BECDEF90BCD+CBFEFD+CDF90 EFDBCD【点拨】本题主要考查了菱形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，同角或等角的余角相等，灵活运用三角形全等的判定及性质是解本题的关键5(1)见解析(2)大小不变，理由见解析(3)，证明见解析【解析】【分析】（1）连接BD，由等边三角形的性质可得AC垂直平分BD，继而得出，便可证明；（2）连接PB，过点P作交AB于点E，PFAB于点F，可证明是等边三角形，由等

16、腰三角形三线合一证明，即可求解；（3）由等腰三角形三线合一的性质可得AF = FE，QF = BF，即可证明(1)连接BD，是等边三角形，点B，D关于直线AC对称，AC垂直平分BD，四边形ABCD是菱形；(2)当点在线段AC上的位置发生变化时，的大小不发生变化，始终等于60，理由如下：将线段PD绕点逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处，是等边三角形，连接PB，过点P作交AB于点E，PFAB于点F，则，是等边三角形，点B，D关于直线AC对称，点P在线段AC上，PB = PD，DPA =BPA，PQ = PD，QPF -APF =BPF -EPF，即QPA = BPE，DPQ =DPA -

17、QPA=BPA-BPE = APE = 60；(3)AQ= CP，证明如下：AC = AB，AP= AE，AC - AP = AB AE，即CP= BE，AP = EP，PFAB，AF = FE，PQ= PD，PFAB，QF = BF， QF - AF = BF EF，即AQ= BE，AQ= CP【点拨】本题考查了图形的旋转，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，菱形的判定等，熟练掌握知识点是解题的关键6(1)见解析；，见解析(2)见解析，AE =CM【解析】【分析】（1）根据题意作图；连接AM，利用ASA证明ADMCDM，推出MA=MC，即可得到MEC=MCE；（2）利用ASA证明ADM

18、CDM，推出MA=MC，MAD=MCD，再证明EMA是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求解(1)解：补全图如图所示，MEC=MCE，证明：连接AM，F是AE的中点，FMAE，MA=ME，四边形ABCD是正方形，BD是对角线，ADM=CDM，AD=CD，在ADM和CDM中，ADMCDM（ASA），MA=MC，ME=MC，MEC=MCE；(2)解：AE=CM，证明：补全图如图所示，连接MA，F是AE的中点，FMAE，MA=ME，四边形ABCD是正方形，BD是对角线，ADM=CDM，AD=CD，在ADM和CDM中，ADMCDM（ASA），MA=MC，MAD=MCD，MEC=MCE，MEC+MAD=D

19、CM+MCE=90，ADCE，DAE+CEA=180，MAE+MEA=90，AME=90，EMA是等腰直角三角形，AE=AM=CM【点拨】本题主要考查正方形的性质和线段垂直平分线的性质，关键是掌握两者性质定理并能灵活使用7(1)菱形和正方形(2)ACBD(3)证明见解析；【解析】【分析】(1)由平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可得出结论；(2)四边形ABCD的面积=ABC的面积+ADC的面积=ACBO+ACDO= ACBD；(3)连接CG、BE，证出GAB=CAE，由SAS证明GABCAE，得出BG=CE，ABG=AEC，再由角的互余关系和三角形内角和定理求出BNM=90，得出BGCE即

20、可；根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合(2)的结论计算即可(1)(1) 在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱形、正方形，菱形和正方形一定是垂美四边形；故答案为：菱形、正方形；(2)如图1所示：四边形ABCD的面积=ABC的面积+ADC的面积=ACBO+ACDO=ACBD；故答案为：ACBD；(3)证明：连接CG、BE，如图2所示:四边形ACFG和四边形ABDE是正方形，F=CAG=BAE= 90，FG= AG= AC= CF， AB= AE，CAG +BAC=BAE+BAC，即GAB= CAE，在GAB和CAE中， GABCAE (SAS)，BG=CE，ABG=

21、AEC，又AEC+AME = 90AME=BMN ，ABG十BMN=90BNM=90BGCE，四边形BCGE为垂美四边形；FG=CF=AC=4，ACB=90，AB= 5，BC=， BF= BC+CF= 7，在TtBFG中，BG= ，CE= BG=，四边形BCGE为垂美四边形，四边形BCGE的面积=，故答案为：【点拨】本题是四边形综合题目，考查的是垂美四边形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题关键8(1)-3，8，6(2)见解析(3)9或【解析】【分析】（1）代入C点坐标求出k的值，再根据线段平行于轴，交

22、直线于点，得出D点的纵坐标为6，代入反比例函数解析式求解即可；（2）先通过点的坐标求出OA=CD，再根据题意得出，即可证明；（3）作CHOD与H，设H的坐标为，由勾股定理得，算出CH的长度，根据运动时间求出PQ的长度即可求解；先确定四边形CPAQ是矩形，根据对角线相等确定PQ的长度，再根据P、Q的位置分情况计算即可(1)直线经过点，线段平行于轴，交直线于点，D点的纵坐标为6，点的坐标是，故答案为：，8，6；(2)由（1）知，点的坐标为，直线与轴交于点A，点A的坐标为，点的坐标为，又线段平行于轴，四边形为平行四边形；(3)作CHOD与H，点在直线上，设H的坐标为，由勾股定理得，即，解得或8（舍去

23、），时，故答案为：9；由（2）知，四边形是平行四边形，OD与AC互相平分，又点P、Q的运动速度相同，PQ与AC互相平分，四边形CPAQ是平行四边形，当时，四边形CPAQ是矩形，当时，当时，当P、Q运动至四边形CPAQ为矩形时，PQ=AC，当时，解得，当时，解得，综上，点，运动过程中，当时，t的值为或，故答案为：或【点拨】本题考查了一次函数的性质，平行线的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键9(1)，(2)3(3)或【解析】【分析】（1）直接根据矩形的性质写出坐标即可；（2）当P点在线段AB上时满足要求，此时P点横坐标与A点横坐标相等，即可作答；（3）点可能运动到或或上，所以

24、进行分类讨论(1)，根据平面直角坐标系得，轴，C点、B点的纵坐标相等，；(2)，ABx轴，轴，BCAB，可得四边形OABC是矩形，即四边形OABC的面积为：，当P点在线段AB上时，即有P点横坐标与A点横坐标相等为3，则有，此时P点横坐标为3，当P点在线段OA或者线段BC上时，此时P点横坐标小于A点横坐标，即，故此时P点不满足要求；当P点在OC上时，显然，不满足要求；综上：P点横坐标为3；(3)存在，如图2，点可能运动到或或上，当点运动到上时，解得：，,点的坐标为；当点运动到上时，即，点到的距离为4，解得：，不符合题意；当点运动到上时，即，解得：，点的坐标为，综上所述，点运动秒后，存在点到轴的距

25、离为个单位长度的情况，点的坐标为：或【点拨】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、绝对值与二次根式的非负性、坐标与图形的性质，解题的关键是掌握非负数的性质，矩形的性质10(1)6；5或-3(2)直线AC的解析式为y=-x+2或y=x【解析】【分析】（1）求出C（4，-1），根据 “对角矩形”的定义得到B（1，-1），求出AB、BC，再根据公式计算面积；求出AB=1-(-1)=2，BC=，利用面积公式得到，求出t即可；（2）根据正方形的性质得到AB=BC，列得方程，解得t=3或t=-1；利用待定系数法求出解析式(1)解：当t=4时，C（4，-1），四边形ABCD为“对角矩形”，A（1，1），B（1

26、，-1），AB=1+1=2，BC=4-1=3，“对角矩形”的面积=6，故答案为：6点A的坐标为，点的坐标为AB=1-(-1)=2，BC=，点A，的“对角矩形”的面积是8，解得t=5或t=-3；故答案为：5或-3；(2)点A，的“对角矩形”是正方形，AB=BC，解得t=3或t=-1；C（3，-1）或（-1，-1），设直线的解析式为y=kx+b，将A（1，1），C（3，-1）代入得，解得，直线的解析式为y=-x+2；设直线的解析式为y=mx+n，将A（1，1），C（-1，-1）代入得，解得，直线的解析式为y=x；综上，直线AC的解析式为y=-x+2或y=x【点拨】此题考查了矩形的性质，正方形的性质

27、，待定系数法求函数解析式，解一元一次方程，正确理解矩形的性质及正方形的性质是解题的关键11(1)cm(2)4s(3)3s【解析】【分析】（1）当t=2秒时，表示出QC，AP的长，利用勾股定理求出PQ的长即可（2）根据线段AQ与DP互相平分，则四边形APQDA为矩形，也就是AP=DQ，分别用含t的代数式表示，解出即可（3）用t表示出四边形APQD的面积，再求出矩形面积的进而得出即可(1)解：连接PQ，过D点P作PEDQ于点E，如图所示：AB=24cm，BC=10cm，点P从A开始沿AB边以4cm/s的速度运动，点QA从C开始沿CD边2cm/s的速度移动，当t=2秒时，QC=4cm，AP=8cm，

28、DQ=24-QC=20cm，则EQ=12cm，(cm)，P，Q两点之间的距离cm(2)AP=4t，DQ=24-2t，当线段AQ与DP互相平分，则四边形APQD为矩形时，则AP=DQ，即4t=24-2t，解得：t=4，故t为4s时，线段AQ与DP互相平分(3)P在AB上，解得：，t为3秒时，四边形APQD的面积为矩形面积的【点拨】本题考查了矩形的性质及勾股定理的应用，根据运动速度得出QC以及AP的长是解题关键12(1)当时，四边形PEMF是矩形，理由见解析(2)当点P运动到边BC的中点时，矩形PEMF是正方形，理由见解析【解析】【分析】（1）当时，四边形PEMF是矩形根据矩形的性质推出，得到，求

29、出，即可证得结论；（2）当点P运动到边BC的中点时，矩形PEMF是正方形；证明 ，得到由此得到四边形PEMF是正方形(1)当时，四边形PEMF是矩形证明：四边形ABCD是矩形，M是边AD的中点，又，四边形PEMF是矩形，即当时，四边形PEMF是矩形(2)当点P运动到边BC的中点时，矩形PEMF是正方形，此时证明：四边形PEMF为矩形，在和中，又四边形PEMF是矩形，矩形PEMF是正方形，即当点P运动到BC的中点时，四边形PEMF是正方形【点拨】此题考查了证明四边形是矩形，证明四边形是正方形，掌握矩形及正方形的判定定理及正确的论证方法是解题的关键13(1)AFC是等腰三角形(2)【解析】【分析】

30、（1）先根据平行线的性质得到DAC=ACB，再由图形折叠的性质可得到ACB=ACE，继而可得出DAC=ACE，这即可判断出后重叠部分三角形的形状；（2）设AF长为x，则CF=x，FD=9-x，在直角三角形CDF中，利用勾股定理可求出x，继而利用三角形面积公式进行计算求解(1)解：AFC是等腰三角形理由如下：四边形ABCD是矩形，ADBC，DAC=ACB，由图形折叠的性质可知：ACB=ACE，DAC=ACEAFC是等腰三角形；(2)设AF=CF=x，则FD=9-x，在RtCDF中，（9-x）2+32=x2，解得：x=5，AF=5，SAFC=AFCD=53=故重叠部分面积为【点拨】此题考查了图形的

31、折叠变换，能够根据折叠的性质和勾股定理求出AF的长是解答此题的关键14(1)见解析;(2)【解析】【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，根据折叠的性质，易证得EFG是等腰三角形，即可得EFBG，又由EFBG，即可得四边形BGEF为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得四边形BGEF为菱形；（2）过点F作FKBG于K，可得四边形ABKF是矩形，然后根据勾股定理，即可求得AF的长，继而求得FG的长(1)证明：四边形ABCD是矩形，ADBC，EFGBGF，图形翻折后点B与点E重合，GF为折线，BGFEGF，EFGEGF，EFGE，图形翻折后BG与GE完全重合，BGGE，EFBG，四边形B

32、GEF为平行四边形，四边形BGEF为菱形；(2)解：过点F作FKBG于K，则FKB90，AABKFKB90，四边形ABKF是矩形，FKAB8，BKAF，在RtABF中，AB8，A90，BFBG10，AF，BKAF6，GKBGBK1064，FG【点拨】此题考查了折叠的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，矩形的性质，以及勾股定理等知识此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用15(1)(2)AE2【解析】【分析】（1）根据勾股定理和折叠的性质，求出AF=2，设AEx，则，然后利用勾股定理，即可求出答案；（2）由折叠的性质，得到DCDE，又点D，F，E在同一条直线上，E

33、FCB，然后证明，即可求出答案(1)解：如图1，矩形纸片ABCD中，AB4，BC3，故由勾股定理可得AC5由折叠知：FCBC3，EFCB90，BEFE设AEx，则在RtAFE中，解得：(2)：如图2，矩形纸片ABCD中，DCEBEC，由折叠知：BECFEC，DCEFEC，DCDE又点D，F，E在同一条直线上，EFCB，DFC90，DFCDAE90，而CFCBDA，AEDF2【点拨】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确地运用折叠的性质进行计算16(1)证明见解析(2)16【解析】【分析】（1）运用平行线性质及角平分线的性质

34、，证得DCADAC，从而得到CDAD，通过等量代换可得，CDAB，由ABCD，得四边形ABCD是平行四边形，结合ADAB，得到平行四边形ABCD是菱形（2）通过翻折性质及已知条件，设E=DE=x则C=2x，BC= DC=4x，在RtBCE中，RtBE中，分别运用勾股定理，建立关于x的方程，解方程，从而求出菱形的周长(1)证明：ABCD，CABDCA，AC为DAB的平分线，CABDAC，DCADAC，CDAD，又ADABCDABABCD，CDAB，四边形ABCD是平行四边形，又ADAB，平行四边形ABCD是菱形；(2)解：四边形ADEB沿着BE翻折得到四边形，且恰好为DC的中点，BECD ， 设

35、E=DE=x，则C=2x，BC= DC=4x，在RtBCE中，BC=4x，CE=3x，则BE=x，在RtBE中，解得x=1，DC=4x=4，菱形ABCD周长为16 .【点拨】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理求直角三角形的边长，运用翻折性质，大胆设未知数建立方程是解题的关键17(1)(2)【解析】【分析】（1）由勾股定理求出BF，CF的长，设EF=DE=x，则CE=4-x，得出22+（4-x）2=x2，解方程即可得解；（2）设EC=3x，则FC=4x，得出EF=DE=5x，设AF=AD=y，则BF=y-4x，在RtABF中，得出（8x）2+（y-4x）2=y2，则y=10x，得出（10x）2

36、+（5x）2=（）2，解出x的值，求出AD和AB的长，则答案可求出(1)解：四边形ABCD是矩形，ABC=90，AB=CD=4，AD=BC=5，由折叠可知，AD=AF=5，DE=EF，BF=3，FC=BC-BF=5-3=2，设EF=DE=x，则CE=4-x，CF2+CE2=EF2，22+（4-x）2=x2，解得：x=，DE=，AE=；(2)解：EC：FC=3：4，设EC=3x，则FC=4x，EF= =5x，DE=5x，AB=CD=8x，设AF=AD=y，则BF=y-4x，在RtABF中，AB2+BF2=AF2，（8x）2+（y-4x）2=y2，解得y=10x，在RtADE中，AD2+DE2=A

37、E2，（10x）2+（5x）2=（）2，解得x=或x=-（舍去），AD=10x=2，AB=8x=，矩形ABCD的周长为（2+）2=【点拨】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及方程思想是解题的关键18(1)折痕BM所在直线是线段AN的垂直平分线，是等边三角形，过程见解析(2)(3)见解析【解析】【分析】（1）由折叠的性质可得ANBN，AEBE，NEA90，BM垂直平分AN，BAMBNM90，可证ABN是等边三角形；（2）由折叠的性质可得ABGHBG45，可求解；（3）由折叠的性质可得AOAO，AAST，由“AAS”可证ASOATO，可得SOTO，由菱形的判定可证

38、四边形SATA是菱形(1)解：如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，EF垂直平分AB，ANBN，AEBE，NEA90，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，BM垂直平分AN，BAMBNM90，ABBN，ABANBN，ABN是等边三角形，(2)解：折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，ABGHBG45，GBNABNABG15，(3)证明：折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A处，ST垂直平分AA，AOAO，AAST，ADBC，SAOTAO，ASOATO，（AAS）SOTO，四边形ASAT是平行四边形，又AAST，四边形SATA是菱形【点拨】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质

39、，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，等边三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键19(1)证明见解析；(2)当ABAC时，四边形ADEF是菱形，当BAC150时，四边形ADEF是矩形理由见解析；(3)不总是存在，理由见解析【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得出ACAF，ABBD，BCBE，EBCABD60，求出DBEABC，根据SAS推出DBEABC，根据全等得出DEAC，求出DEAF，同理ADEF，根据平行四边形的判定推出即可；（2）当ABAC时，四边形ADEF是菱形，根据菱形的判定推出即可；当BAC150时，四边形ADEF是矩形，求出DAF90，

40、根据矩形的判定推出即可；（3）这样的平行四边形ADEF不总是存在，当BAC60时，此时四边形ADEF就不存在(1)证明：ABD、BCE和ACF是等边三角形，ACAF，ABBD，BCBE，EBCABD60，DBEABC60EBA，在DBE和ABC中，DBEABC（SAS）， DEAC，ACAF，DEAF，同理ADEF，四边形ADEF是平行四边形；(2)解：当ABAC时，四边形ADEF是菱形，理由是：ABD和AFC是等边三角形，ABAD，ACAF，ABAC，ADAF，四边形ADEF是平行四边形，四边形ADEF是菱形；当BAC150时，四边形ADEF是矩形，理由是：ABD和ACF是等边三角形，DAB

41、FAC60，BAC150，DAF90，四边形ADEF是平行四边形，四边形ADEF是矩形；(3)解：这样的平行四边形ADEF不总是存在，理由是：当BAC60时，DAF180，此时点D、A、F在同一条直线上，此时四边形ADEF就不存在【点拨】本题考查了菱形的判定，矩形的判定，平行四边形的判定，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键20(1)4(2)(3)存在，【解析】【分析】（1）根据矩形的性质，结合勾股定理求解OB的长，由折叠的性质可求BE的长，利用OE=OB-BE可求解；（2）设点D的坐标为（0，a），则OD=a，CD=8-a，利用OBD的面积可求

42、解D点坐标，再利用待定系数法可求解直线DF的关系式，进而求解F点坐标；（3）（3）在直线BD上存在点P，使以C、D、M、P为顶点的四边形是平行四边形，易求CD=3，点M在直线y=-0.5x上，点P在直线BD上，要使以C、D、M、P为顶点的四边形是平行四边形，需CD与MP平行且相等或CP与MD平行且相等，当CD与MP平行且相等时，设P点坐标为（m，0.5m+5），则M（m，-0.5m），根据MP=3可求解P点坐标；当CP与MD平行且相等时，设P点坐标为（m，0.5m+5），则M（-m，0.5m），可得关于m的方程，解方程可求解P点坐标(1)解：（1）矩形OABC中，点A在x轴上，点C在y轴上，点

43、B的坐标是（6，8），OA=6，AB=8，OAB=90，由折叠知，BE=BC=6，OE=OB-BE=10-6=4；(2)设点D的坐标为（0，a），则OD=a，CD=8-a，BC=6，CD=DE=8-a，OB=10，解得a=5，即点D的坐标为（0，5），设折痕所在直线BD的解析式为y=kx+b，点D（0，5），点B（6，8）在直线BD上，得，即折痕所在直线BD的解析式是y=0.5x+5，当y=0时，0.5x+5=0解得x=-10，点F的坐标是（-10，0）；(3)在直线BD上存在点P，使以C、D、M、P为顶点的四边形是平行四边形，理由：由（2）知BD的解析式y=0.5x+5，D（0，5），又C（

44、0，8），CD=3，点M在直线y=-0.5x上，点P在直线BD上，要使以C、D、M、P为顶点的四边形是平行四边形，需CD与MP平行且相等或CP与MD平行且相等，当CD与MP平行且相等时，设P点坐标为（m，0.5m+5），则M（m，-0.5m），MP=|（0.5m+5）-（-0.5m）|=3，解得，m1=-2，m2=-8，P1（-2，4），P2（-8，1）当CP与MD平行且相等时，设P点坐标为（m，0.5m+5），则M（-m，0.5m），|8-（0.5m+5）|=|0.5m-5|，解得m=8，P3（8，9）由上可得，满足题意的点P坐标是P1（-2，4），P2（-8，1），P3（8，9）【点拨】本题主要考查的是一次函数的综合应用，涉及的知识点：矩形的性质，折叠与对称，勾股定理，一次函数的应用，平行四边形的性质，还运用了方程思想，解题时注意分类讨论解决