专题1.8 全等三角形几何模型（一线三垂直）（分层练习）（培优练）-2023-2024学年八年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）.docx

1、专题1.8 全等三角形几何模型（一线三垂直）（分层练习）（培优练）“一线三垂直”模型，是初中几何图形中的最重要模型，一般只要图形中出现一线三垂直或二垂或一垂图形，不管它是出现在全等图形中，还是在以后学习的相似图形中，函数图形中，它的辅助线、解题思路过程基本固定，一定要熟悉它的变化及用法。“三垂直模型”是一个应用非常广泛的模型，它可以应用在三角形，矩形，平面直角坐标系，网格，一次函数，反比例函数，三角函数，二次函数以及圆等诸多的中考重要考点之中，所以掌握好这一模型会使你在中考中技高一筹。其基本图形如下：拓展：当一线三垂直模型中三垂直改成三等角时，同样成立一、单选题1如图中，AEAB且AEAB，B

2、CCD且BCCD，若点E、B、D到直线AC的距离分别为6、3、2，则图中实线所围成的阴影部分面积S是()A50 B44 C38 D322如图，四边形ABCD是正方形，直线分别通过A，B，C三点，且，若与的距离为5，与的距离为7，则正方形ABCD的面积等于()A70 B74 C144 D148二、填空题3如图，ABC中，C90，点D为AC上一点，ABD2BAC45，若AD12，则ABD的面积为 4在中，点是射线上的一个动点，作，且，连接交射线于点，若，则 三、解答题5如图，中，点为射线上一动点，连结，作且（1）如图1，过点作交于点，求证：；（2）如图2，连结交于点，若，求证：点为中点（3）当点在

3、射线上，连结与直线交于点，若，则_（直接写出结果） 6如图，在ABC中，AB=AC=2，B=40，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作ADE=40，DE交线段AC于点E（1）当BDA=115时，EDC=_，AED=_；（2）线段DC的长度为何值时，ABDDCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求BDA的度数；若不可以，请说明理由7（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形如图1，已知：在中，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D，E求证：（2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如

4、图2，将（1）中的条件改为：在中，D，A，E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角请问结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边AB，AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高延长HA交EG于点I若，则_8通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：（1）如图1，BAD90，ABAD，过点B作BCAC于点C，过点D作DEAC于点E由1+22+D90，得1D又ACBAED90，可以推理得到ABCDAE进而得到AC ，BCAE我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”

5、模型；（2）如图2，BADCAE90，ABAD，ACAE，连接BC，DE，且BCAF于点F，DE与直线AF交于点G求证：点G是DE的中点；（深入探究）（3）如图，已知四边形ABCD和DEGF为正方形，AFD的面积为S1，DCE的面积为S2，则有S1 S2（填“、”）参考答案1D【分析】由已知和图形根据“K”字形全等，用AAS可证FEAMAB，DHCCMB，推出AM=EF=6，AF=BM=3， CM=DH=2，BM=CH=3，从而得出FH=14，根据阴影部分的面积=S梯形EFHD-SEFA-SABC-SDHC和面积公式代入求出即可解：AEAB，EFAF，BMAM，F=AMB=EAB=90，FEA

6、+EAF=90，EAF+BAM=90，FEA=BAM，在FEA和MAB中，FEAMAB（AAS），AM=EF=6，AF=BM=3，同理CM=DH=2，BM=CH=3，FH=3+6+2+3=14，梯形EFHD的面积=56，阴影部分的面积=S梯形EFHD-SEFA-SABC-SDHC=32故选D【点拨】本题考查了三角形的面积，梯形的面积，全等三角形的性质和判定等知识点，关键是把不规则图形的面积转化成规则图形的面积2B【分析】首先过点B和点D作垂线，构成大的正方形，然后利用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积得出答案解：分别过点B和点D作的垂线交于点E、H，交于点F、G，四边形EFGH是矩形又四边

7、形ABCD是正方形 ， ， 同理可证：，得到， ，即 四边形EFGH是正方形与的距离为5，与的距离为7， 故选：B【点拨】本题考查了全等三角形的应用，正确作出辅助线补成大正方形是解题关键336【分析】作DEDB交AB于E，EF垂直AC于F，则DEB=90-ABD=45，证出AE=DE=DB，通过证明AEFBCD，得出BC=AF=AD=6，由三角形面积公式即可得出答案解：作DEDB交AB于E，EF垂直AC于F，如图所示：则DEB=90-ABD=45，BDE是等腰直角三角形，DB=DE，ABD=2BAC=45，BAC=22.5，ADE=DEB-BAC=22.5=BAC，AE=DE=DB，AFE=9

8、0，F是AD中点，AF=FD，又C=90，CBD=90-45-22.5=22.5，在RtAEF和RtBCD中RtAEFRtBCD（AAS），AF=BC=AD=6，ABD的面积S=ADBC=126=36；故答案为：36【点拨】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积公式的的计算，熟记特殊三角形的判定和性质定理是解题关键44或6【分析】过点F作FDAC，交AC于点D，根据ADF=C=90，AFD=EAD，AF=AE，证明AFDEAC，则FD=AC=BC，AD=CE，又证明FDGBCG，得到CG=DG，由，设BC=5x，BE=2x；由点E是动点，则当点E在BC线段之间

9、时，CE=AD=3x，则AG=4x，CG=x，此时4；当点E在CB的延长线上时，CE=AD=7x，则AG=6x，CG=DG=x，此时6；即可得到答案.解：根据题意作出图形，过点F作FDAC，交AC于点D，ADF=C=90，AFAE，FAE=90，FAD+EAD=90，FAD+AFD=90，EAD=AFD，AF=AE，AFDEAC（AAS），FD=AC=BC，AD=CE，DGF=CGB，FDGBCG，CG=DG；由，设BC=AC=5x，BE=2x，由点E是动点，则当点E在BC线段之间时，如图：CE=AD=3x，CG=DG=x，AG=4x，；当点E在CB的延长线上时，如图：CE=AD=7x，CG=

10、DG=x，AG=6x，；故答案为4或6.【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，解题的关键是正确作出图形，分析得到线段之间的关系.注意：点D是动点，需要考虑D点的位置.5（1）见分析；（2）见分析；（3）或【分析】（1）证明AFDEAC，根据全等三角形的性质得到DF=AC，等量代换证明结论；（2）作FDAC于D，证明FDGBCG，得到DG=CG，求出CE，CB的长，得到答案；（3）过F作FDAG的延长线交于点D，根据全等三角形的性质得到CG=GD，AD=CE=7，代入计算即可解：（1）证明：FDAC，FDA=90，DFA+DAF=90，同理，CAE+DAF=90，DFA

11、=CAE，在AFD和EAC中，AFDEAC（AAS），DF=AC，AC=BC，FD=BC；（2）作FDAC于D，由（1）得，FD=AC=BC，AD=CE，在FDG和BCG中，FDGBCG（AAS），DG=CG=1，AD=2，CE=2，BC=AC=AG+CG=4，E点为BC中点；（3）当点E在CB的延长线上时，过F作FDAG的延长线交于点D，BC=AC=4，CE=CB+BE=7，由（1）（2）知：ADFECA，GDFGCB，CG=GD，AD=CE=7，CG=DG=1.5，同理，当点E在线段BC上时，故答案为：或.【点拨】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题

12、的关键6（1）25，65；（2）2，理由见详解；（3）可以，110或80.【分析】（1）利用邻补角的性质和三角形内角和定理解题；（2）当DC=2时，利用DEC+EDC=140，ADB+EDC=140，求出ADB=DEC，再利用AB=DC=2，即可得出ABDDCE（3）当BDA的度数为110或80时，ADE的形状是等腰三角形解：（1）B=40，ADB=115，BAD=180-B-ADB=180-115-40=25，AB=AC，C=B=40，EDC=180-ADB-ADE=25，DEC=180-EDC-C=115，AED=180-DEC=180-115=65；（2）当DC=2时，ABDDCE，理由

13、：C=40，DEC+EDC=140，又ADE=40，ADB+EDC=140，ADB=DEC，又AB=DC=2，在ABD和DCE中， ABDDCE（AAS）；（3）当BDA的度数为110或80时，ADE的形状是等腰三角形，BDA=110时，ADC=70，C=40，DAC=70，ADE的形状是等腰三角形；当BDA的度数为80时，ADC=100，C=40，DAC=40，ADE的形状是等腰三角形【点拨】本题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，但难度不大，属于基础题7（1）见分析；（2）结论成立，理由见分

14、析；（3）3.5【分析】（1）由条件可证明ABDCAE，可得DA=CE，AE=BD，可得DE=BD+CE；（2）由条件可知BAD+CAE=180-，且DBA+BAD=180-，可得DBA=CAE，结合条件可证明ABDCAE，同（1）可得出结论；（3）由条件可知EM=AH=GN，可得EM=GN，结合条件可证明EMIGNI，可得出结论I是EG的中点解：（1）证明：如图1中，BD直线l，CE直线l，BDA=CEA=90，BAC=90，BAD+CAE=90，BAD+ABD=90，CAE=ABD，在ADB和CEA中，ADBCEA（AAS），AE=BD，AD=CE，DE=AE+AD=BD+CE（2）解：成

15、立理由：如图2中，BDA=BAC=，DBA+BAD=BAD+CAE=180-，DBA=CAE，在ADB和CEA中，ADBCEA（AAS），AE=BD，AD=CE，DE=AE+AD=BD+CE（3）如图3，过E作EMHI于M，GNHI的延长线于NEMI=GNI=90由（1）和（2）的结论可知EM=AH=GNEM=GN在EMI和GNI中，EMIGNI（AAS），EI=GI，I是EG的中点SAEI=SAEG=3.5故答案为：3.5【点拨】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键8（1）DE；（2）见分析；（3）=【分

16、析】（1）根据全等三角形的性质可直接进行求解；（2）分别过点D和点E作DHFG于点H，EQFG于点Q，进而可得BAF=ADH，然后可证ABFDAH，则有AF=DH，进而可得DH=EQ，通过证明DHGEQG可求解问题；（3）过点D作DOAF交AF于O，过点E作ENOD交OD延长线于N，过点C作CMOD交OD延长线于M，由题意易得ADC=90，AD=DC，DF=DE，然后可得ADO=DCM，则有AODDMC，FODDNE，进而可得OD=NE，通过证明ENPCMP及等积法可进行求解问题解：（1），；（2）分别过点D和点E作DHFG于点H，EQFG于点Q，如图所示：，ABFDAH，AF=DH，同理可知

17、AF=EQ，DH=EQ，DHFG，EQFG，DHGEQG，DG=EG，即点G是DE的中点；（3），理由如下：如图所示，过点D作DOAF交AF于O，过点E作ENOD交OD延长线于N，过点C作CMOD交OD延长线于M四边形ABCD与四边形DEGF都是正方形ADC=90，AD=DC，DF=DEDOAF，CMOD，AOD=CMD=90，OAD+ODA=90，CDM+DCM=90，又ODA+CDM=90，ADO=DCM，AODDMC，OD=MC，同理可以证明FODDNE，OD=NE，MC =NE，ENOD，CMOD，EPN=CMP，ENPCMP，,即【点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定、直角三角形的两个锐角互余及等积法，熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键