专题1.9 正方形的性质与判定（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）.docx

1、专题1.9 正方形的性质与判定（知识讲解）【学习目标】1理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；2掌握正方形的性质及判定方法【要点梳理】1、 定义：有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形。2、性质：（1）正方形具有菱形和矩形的所有性质。（2）正方形的四条边都相等，四个角都是直角。（3）正方形的对角线互相垂直平分且相等，两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。（4）正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形（四条）。3、判定：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形。（2）对角线互相垂直的矩形是正方形。 （3）有一个角是直角的菱形是正方形。（4）对角

2、线相等的菱形是正方形。4、面积：正方形面积=边长的平方；正方形面积=对角线乘积的一半5、中点四边形（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.【典型例题】类型一、据正方形性质求角的大小、线段的长及面积1如图，已知、分别是正方形边、边上的动点，（1）求证：；（2）设的面积为，的长为试求出与之间的函数表达式【答案】（1）见分析；（2）【分析】（1）由正方形的性质可得到AB=AD，运用HL证明即可得到结论；（2）由（1）可得BE=DF，进而得CF

3、=CE，根据可得结论解：（1）四边形ABCD是正方形，AB=AD=BC，又（HL）;（2）由（1）知，BE=DF又BC=DCCE=CF=xBE=DF=6-x =【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质以及三角形面积公式等知识，得到是解答此题的关键【变式1】在正方形ABCD中，E是BC边延长线上的一点，且CE=BD，则AEC=（）A30度B67.5 度C22.5 度D30度【答案】C【分析】先连接AC，根据正方形的性质，得出AC=EC，进而得到E=CAF，再根据平行线的性质，得出E=DAF，最后根据CAD=45，求得AEC的度数解：如图，连接AC，则正方形ABCD中，AC=BD

4、，CE=BD，AC=EC，E=CAF，ADEC，E=DAF，CAF=DAF，CAD=45，CAF=DAF=22.5，AEC=22.5，故选：C【点拨】本题主要考查了正方形的性质以及平行线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是作辅助线，构造等腰三角形ACE解题时注意：正方形的两条对角线相等，并且每条对角线平分一组对角【变式2】如图，正方形的边长为6，点E，F分别是边和的中点，连接，在上取点G，连接，若，则的长为_【答案】【分析】连接交于，根据正方形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，推出是等腰直角三角形，根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论解：连接交于，四边形是正方形，点、分别是边，的中

5、点，在与中，是等腰直角三角形，故答案为：【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键类型二、据正方形性质进行证明2如图，在正方形中，E为中点，连接，将沿折叠，点B的对应点为G，连接并延长交于点F，连接，(1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求的长【答案】(1)平行，理由见分析 (2)2【分析】（1）由折叠知，可得，根据E为的中点，可得，进而可得，根据，即可得证；（2）证明，得，设，则，勾股定理列出方程，解方程求解即可(1) 解： 理由如下：由折叠知，又E为的中点，(2) 四边形是正方形，又，,设，则，即解得即【点拨】本题考查了正方形的性质

6、，勾股定理，折叠的性质，HL证明三角形全等，全等三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键【变式1】如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，CE，DF交于点G，连接AG，下列结论不正确的是（）ABCD【答案】C【分析】证明BCECDF得到CE=DF，BCE=CDF，即可判断A、B；如图，取CD中点H，连接GH，AH，证明AHGAHD，得到AD=AG，即可判断D；根据现有条件不能证明AE=EG，即可判断C解：四边形ABCD是正方形，AB=BC=CD，CBE=DCF=90，E、F分别是AB，BC的中点，BE=CF，BCECDF（SAS），CE=DF，BCE=CDF，故A不符合题意；

7、BCE+DCE=90，CDF+DCE=90，DGC=90，即CEDF，故B不符合题意；如图，取CD中点H，连接GH，AH，则 同理可证AHDF，AHD=AHG，又AH=AH，GH=DH，AHGAHD（SAS），AD=AG，故D选项不符合题意，根据现有条件不能无法不能证明AE=EG，故C选项符合题意；【点拨】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中位等等，熟知正方形的性质是解题的关键【变式2】如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将ADE绕点A顺时针旋转90到ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G若BG3，CG2，则CE的长为_【答

8、案】解：如图所示，连接EG，由旋转可知ABFADE，DE=BF，AE=AF，AGEF，H为EF的中点，AG垂直平分EF，EG=FG，设CE=x，则DE=5-x=BF，FG=EG=BF+BG=8-x，C=90，CE2+CG2=EG2即x2+22=(8x)2解得x=，CE的长为，故答案为：.【点拨】本题主要考查了正方形的性质以及旋转的性质，解决该题的关键是根据勾股定理列方程.类型三、添加一个条件使四边形成正方形3如图，AD是ABC的中线，过点A、B分别作BC、AD的平行线，两平行线相交于点E(1)求证：AE=CD；(2)当AB、AC满足什么条件时，四边形AEBD是矩形？请说明理由；四边形AEBD是

9、菱形？请说明理由；四边形AEBD是正方形？请说明理由【答案】(1)见分析(2)AB=AC；理由见分析；ABAC；理由见分析；AB=AC且ABAC；理由见分析【分析】（1）先证明四边形AEBD是平行四边形，再根据AD是ABC的中线，即可证得（2）根据特殊四边形AEBD的性质，反推回关于AB、AC的条件，再正向证明即可(1) 解：AE/BD，AD/BE，四边形AEBD是平行四边形，AE=BD，AD是ABC的中线，BD=CD，AE=CD(2)AB=ACAB=AC，AD是ABC的中线，ADCD，BDA=90四边形AEBD是平行四边形，四边形AEBD是矩形，ABACABAC，AD是ABC的中线，BD=A

10、D四边形AEBD是平行四边形，四边形AEBD是菱形AB=AC且ABACAB=AC且ABAC，ABC是等腰直角形AD是ABC的中线，BD=AD，BDAD，四边形AEBD是平行四边形，四边形AEBD是正方形【点拨】本题考查了中线的性质，平行四边形的性质和判定，特殊四边形的性质和判定等知识点的应用【变式1】平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，给出的四个条件AB=BC；ABC=90；OA=OB；ACBD，从所给的四个条件中任选两个，能判定平行四边形ABCD是正方形的概率是（）ABCD【答案】D【分析】先确定组合的总数，再确定能判定是正方形的组合数，根据概率公式计算即可解：一共有，；6种组合数

11、，其中能判定四边形是正方形有，4种组合数，所以能判定平行四边形ABCD是正方形的概率是，故选D【点拨】本题考查了概率公式计算，熟练掌握正方形的判定是解题的关键【变式2】如图，四边形是菱形，与相交于点，添加一个条件：_，可使它成为正方形【答案】【分析】根据“有一个角是直角的菱形是正方形”可得到添加的条件解：由于四边形 是菱形，如果 ，那么四边形是正方形故答案为： 【点拨】本题考查了正方形的判定，解决本题的关键是熟练掌握正方形的判定定理类型四、据正方形性质与判定求角的大小、线段的长及面积4如图，在ABC中，AB=BC，ABC=90，点D，E分别是边AB，BC的中点，点F，G是边AC的三等分点DF，

12、EG的延长线相交于点H，连接AH，CH，BF，BG(1)求证：四边形FBGH是菱形；(2)判断四边形ABCH的形状，并证明你的结论；(3)若DF，求AB的长【答案】(1)见分析 (2)四边形ABCH是正方形，理由见分析 (3)AB=6【分析】（1）由DF是ABG的中位线，则DFBG，同理EGBF，得四边形FBGH为平行四边形，再利用SAS证明ABFCBG，得BF=BG，从而证明结论；（2）连接BH交AC于点O，由（1）知，四边形ABCH是菱形，再根据AB=CB，可知四边形ABCH是正方形；（3）由菱形的性质可知FH=BG=2，则DH=DF+FH=+2=3，设AD=x，则AB=2x，利用勾股定理

13、即可解决问题(1)解：点F、G是边AC的三等分点，AF=FG=GC，又D为AB中点，DF是ABG的中位线，DFBG，同理EGBF，四边形FBGH为平行四边形，ABC=90，AB=BC，BAF=BCG=45，在ABF和CBG中，ABFCBG（SAS），BF=BG，四边形FBGH是菱形；(2)解：四边形ABCH是正方形，理由如下：如图，连接BH交AC于点O，四边形FBGH是菱形，OF=OG，OB=OH，FGBH，由（1）得AF=CG，OF+AF=OG+CG，即OA=OC，四边形ABCH是菱形，又ABC=90，四边形ABCH是正方形；(3)解：DF是ABG的中位线，BG=2DF=2，又四边形FBGH

14、是菱形，FH=BG=2，DH=DF+FH=+2=3，四边形ABCH是正方形，AH=AB，DAH=90，AD2+AH2=DH2，设AD=x，则AB=AH=2x，则x2+（2x）2=（3）2，解得：x1=3，x2=-3（舍），AB=2x=6【点拨】本题是四边形综合题，主要考查了三角形中位线定理，菱形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键【变式1】如图，将正方形绕点A顺时针旋转，得到正方形，的延长线交于点H，则的大小为（）ABCD【答案】B【分析】根据旋转的性质，求得BAE=38，根据正方形的性质，求得DBA=45，ABH=135，利用四边形的内

15、角和定理计算即可解：根据旋转的性质，得BAE=38，四边形ABCD是正方形，DBA=45，ABH=135，四边形AEFG是正方形，E=90，DHE=360-90-38-135=97，故选B【点拨】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，四边形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质，旋转的性质是解题的关键【变式2】如图，在ABC中，ACB90，ACBCD是边AB上一动点，连接CD，以CD为直角边在CD左侧作等腰直角CDE，且DCE90，连接AE，则DE长度的最小值为 _；ADE面积的最大值为 _【答案】 【分析】要求DE得最小值，只需求CD、CE的最小值，过C作AB的垂线交AB于F，CF即为CD=CE的

16、最小值，然后运用勾股定理即可求得DE的最小值；当DE最小时，ADE为等腰直角三角形，此时其面积有最大值，然后求解即可解：如图：过C作AB的垂线交AB于FCF是CD的最小值ACB90，ACBCAB=CFABCF=1CD=CE的最小值为1，AF=1DE的最小值为GCE=90、CFA=90，CAG=90，CG=CF=1四边形AFCG是正方形AF=AG=1当D点在F点时，ADE的面积最大，且等腰AGF的面积ADE的面积最大值为： 故答案为：，【点拨】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、旋转的性质、正方形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键类型五、据正方形性质与判定进行证明5如图，点

17、E为正方形ABCD外一点，AEB90，将RtABE绕A点逆时针方向旋转90得到ADF，DF的延长线交BE于H点(1)试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；(2)已知BH7，DH17，求BC的长【答案】(1)四边形AFHE是正方形，理由见分析； (2)13【分析】（1 ）根据旋转的性质可得AEBAFD90，EAF90，AEAF，从而可得四边形AFHE是正方形；（2 ）连接BD，先在RtDHB中利用勾股定理求出BD，再在RtBCD中求出BC，即可解答(1)解：四边形AFHE是正方形，理由：由旋转得：AEBAFD90，EAF90，AFH180AFD90，四边形AFHE是矩形，由旋转得：AEAF，四

18、边形AFHE是正方形；（2）连接BD，四边形AFHE是正方形，DHE90，DHB180DHE90，BH7，DH17，BD13，四边形ABCD是正方形，BCCD，C90，BC13，BC的长为13【点拨】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理及旋转性质，作辅助线直角三角形是解题关键【变式1】如图，四边形ABCD、AEFG均为正方形，其中E在BC上，并连接BG下列判断正确的是（）A12B12C34D34【答案】C【分析】根据正方形的每一个角都是直角求出BADEAG90，然后根据同角的余角相等可得12，根据直角三角形斜边大于直角边可得AEAB，从而得到AGAB，再根据三角形中长边所对的角大于短边所对的角

19、求出34解：四边形ABCD、AEFG均为正方形，BADEAG90，BAD2DAE90，EAG1DAE90，12，在RtABE中，AEAB，四边形AEFG是正方形，AEAG，AGAB，34故选：C【点拨】本题考查了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，同角的余角相等的性质，要注意在同一个三角形中，较长的边所对的角大于较短的边所对的角的应用【变式2】如图，在正方形中，E是边的中点，将沿折叠，得到，延长交于G，连接，（1）_；（2）_；（3）正方形的边长为_【答案】 1 45 3【分析】（1）由翻折的性质及全等三角形的性质可求出AG=FG；（2）根据正方形的性质及角的和差关系可得；（3）设边

20、长为x，得到BG=x-1，BE=，GE=1+，根据勾股定理列出方程，故可求解解：（1）根据折叠的意义，得DECDEF，EFEC，DFDC，CDEFDE，DADF，DGDG，RtADGRtFDG（HL），ADGFDG，AGFG=1（2）DECDEF，RtADGRtFDGGDEFDGFDE（ADFCDF）45（3）DECDEF，RtADGRtFDGGF=GA=1，EC=EF设正方形边长为x，得到BG=x-1，BE=，GE=1+，在RtBEG中，GE2=BG2+BE2（1+）2=（x-1）2+（）2解得x=3正方形的边长为3故答案为：1；45；3【点拨】此题考查了翻折性质、正方形的性质、全等三角形的

21、判定与性质等，掌握其性质是解决此题关键类型六、 中点四边形6如图，在四边形中，分别是，的中点，分别是对角线，的中点，依次连接，连接，（1）求证：四边形是平行四边形；（2）当时，与有怎样的位置关系？请说明理由；【答案】（1）见分析；（2）当AB=CD时，EFGH，理由见分析【分析】（1）利用三角形的中位线定理可以证得四边形EGFH的一组对边平行且相等，即可证得；（2）根据菱形的判定和性质定理即可得到结论解：（1）四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点，FG=CD，FGCDHE=CD，HECDFG=EH，FGEH，四边形EGFH是平行四边形；（2）解：当AB=CD时，E

22、FGH，理由：由（1）知四边形EGFH是平行四边形，当AB=CD时，EH=CD，EG=AB，EG=EH，四边形EGFH是菱形，EFGH【点拨】本题考查的是三角形中位线定理的应用，平行四边形和菱形的判定，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半和菱形的对角线互相垂直是解题的关键【变式1】如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点则下列说法：若，则四边形EFGH为矩形；若，则四边形EFGH为菱形；若AC与BD互相垂直且相等，则四边形EFGH是正方形；若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分其中正确的个数是（）A1B2C3D4【答案】A【分析】先根据

23、三角形中位线定理证明四边形EFGH是平行四边形，然后根据菱形，矩形，正方形的判定进行逐一判断即可解：点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，EH是ABD的中位线，同理， EH=GF，GH=EF，四边形EFGH是平行四边形，若AC=BD，则EH=GF=GH=EF，则四边形EFGH是菱形，故错误；若ACBD，则EFEH，平行四边形EFGH是矩形，故错误；若AC与BD互相垂直且相等，结合的判断可知四边形EFGH是正方形，故正确；若四边形EFGH是平行四边形，并不能推出AC与BD互相平分，故错误，故选A【点拨】本题主要考查了中点四边形，三角形中位线定理，熟知中点四边形的知

24、识是解题的关键【变式2】某花木场有一块如等腰梯形ABCD的空地(如图)，各边的中点分别是E、F、G、H，用篱笆围成的四边形EFGH场地的周长为40cm，则对角线AC=_cm【答案】20解：等腰梯形的对角线相等，EF、HG、GF、EF均为梯形的中位线，EF=HG=GF=EF=AC又EF+HG+GF+EF=40cm，即2AC=40cm，则AC=20cm对角线AC=20cm类型七、正方形的综合问题7如图，四边形是正方形，点E是上一点，连接，以为一边作正方形，连接(1)求证：；(2)如图，连接交于点H，连接，求证：；(3)在（2）的条件下，若，点H恰为中点，求的面积【答案】(1)证明见分析 (2)证明

25、见分析 (3)【分析】（1）由正方形的性质得ABAD，BADEAG90，AEAG，再证BAEDAG，然后证ADGABE（SAS即可得出结论；（2）证AEHAGH（SAS），得EHGH，再证C、D、G三点共线，然后由GHDGDHBEDH，即可得出结论；（3）设BEx，则CE4x，DGBEx，EHBEDHx2，再由勾股定理得出方程，求出x，则CE4x，然后由三角形面积公式即可得出答案解：(1)四边形是正方形四边形是正方形在和中(2)由（1）知H，D，G三点共线四边形是正方形在和中，(3)四边形是正方形，H恰中点设，则由（2）知在中，由勾股定理知解得， 【点拨】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性

26、质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三点共线等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型【变式1】将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，则下列说法：AEDE；EGGC；BEBF；若AB1，则AD，正确的有（）ABCD【答案】B【分析】根据矩形的性质和折叠的性质可得E，G分别为AD，CD的中点，再根据勾股定理可得AD，再根据三角形的性质得到EGGC，即可得到结果；解：四边形ABCD是矩形，C90，ABCD，ADBC，由折叠的性质得：AEO

27、EDE，CGOGDG，E，G分别为AD，CD的中点，故正确，设CD2a，AD2b，则AB2aOB，DGOGCGa，BG3a，BCAD2b，在RtBCG中，CG2+BC2BG2，即a2+（2b）2（3a）2，b22a2，ba，ABCD1，AD，故正确，EOGD90，EGOG，OGGC，EGGC，故正确，不妨设BEBF，则BEFBFEDEFAEB60，这个显然不可能，故错误故选：B【点拨】本题主要考查了利用矩形的性质证明，准确分析判断是解题的关键【变式2】如图，四边形是轴对称图形，且直线l是对称轴，则下列结论；是等边三角形；四边形是正方形.其中正确的是_.(只填写序号）【答案】【分析】根据轴对称图形的性质，结合菱形的判定方法以及全等三角形的判定方法分析得出答案解：因为是四边形的对称轴，则，则，同理可得：，所以四边形是菱形，但无法确定是否是正方形，根据菱形的性质，可以得出以下结论：所以，故正确；BD不一定等于AB，故不一定是等边三角形，故错误；四边形是正方形，故错误；在和中，故正确故答案为【点拨】此题主要考查了轴对称以及菱形的判断与菱形的性质，注意：对称轴垂直平分对应点的连线，轴对称图形中对应角相等，对应边相等