专题10截长补短模型综合应用（专项训练）（能力提升）（解析版）.docx

1、 专题10 截长补短模型综合应用（专项训练）（能力提升）1综合与实践【问题情境】数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，AEEP，EP与正方形的外角DCG的平分线交于P点试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明；【思考尝试】（1）同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题请在图1中补全图形，解答老师提出的问题【实践探究】（2）希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），AEP是等腰直角三角形，AEP90，连接CP，可以求出DCP的大小，请你思考并解答这个问题【拓展迁移】（

2、3）突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），AEP是等腰直角三角形，AEP90，连接DP知道正方形的边长时，可以求出ADP周长的最小值当AB4时，请你求出ADP周长的最小值【解答】解：（1）AEEP，理由如下：取AB的中点F，连接EF，F、E分别为AB、BC的中点，AFBFBECE，BFE45，AFE135，CP平分DCG，DCP45，ECP135，AFEECP，AEPE，AEP90，AEB+PEC90，AEB+BAE90，PECBAE，AFEECP（ASA），AEEP；（2）在AB上取AFEC，连接EF，

3、由（1）同理可得CEPFAE，AFEC，AEEP，FAECEP（SAS），ECPAFE，AFEC，ABBC，BFBE，BEFBFE45，AFE135，ECP135，DCP45，（3）连接CP，作DGCP，交BC的延长线于G，交CP于O，连接AG，由（2）知，DCP45，CDG45，DCG是等腰直角三角形，点D与G关于CP对称，AP+DP的最小值为AG的长，AB4，BG8，由勾股定理得AG4，ADP周长的最小值为AD+AG4+42如图，在边长为1的正方形ABCD中，点E是边BC上的动点（与点B、C不重合），过点D作DFAE，交射线BC于点F，作FPBD于点P，连结PA、PE（1）求证：ABEDC

4、F；（2）判断APE的形状，并说明理由；求的值；（3）设BEx，PDy，求y与x的函数关系式【解答】（1）证明：四边形ABCD是正方形，BCDABE90，ABDC，DCF180BCD90，ABEDCF，DFAE，AEBDFC，在ABE和DCF中，ABEDCF（AAS）；（2）解：APE是等腰直角三角形理由如下：如图，连接CP，四边形ABCD是正方形，ABDCBD45，ABBC，BPBP，ABPCBP（SAS），PAPC，APBCPB，FPBD，PBF45，PBF是等腰直角三角形，PBPF，PFBPBF45，ABEDCF，BECF，BEPFCP（SAS），PEPC，BPEFPC，PAPE，APE

5、APB+BPEBPC+FPCBPF90，APE是等腰直角三角形；APE是等腰直角三角形，ABEDCF，AEDF，；（3）设BEx，PDy，则BFx+1，PBF是等腰直角三角形，PB（x+1），BD，y（x+1），即yx+（0x1）3我们定义：如图1，在ABC中，把AC点绕点C顺时针旋转90得到CA，把BC绕点C逆时针旋转90得到CB，连接AB我们称ABC是ABC的“旋补交差三角形”，连接AB、AB，我们将AB、AB所在直线的相交而成的角称之为ABC“旋补交差角”，C点到AB中点E间的距离成为“旋转中距”如图1，BOB即为ABC“旋补交差角”，CE即为ABC“旋补中距”（1）若已知图1中AB的长

6、度等于4，当ACB90，则ABC“旋补交差角”BOB90，“旋补中距”CE长度2；（2）若图1中ACB的度数发生改变，则ABC“旋补交差角”度数是否发生改变？请证明你的结论，并直接判断ABC“旋补中距”是否也发生改变；（3）已知图2中ABC是ABC“旋补交差三角形”，AB的长度等于4，AB长度等于6，问OC是否存在最小值？如果存在，请求出具体的值，如果不存在，请说明理由【解答】解：（1）如图1，把AC点绕点C顺时针旋转90得到CA，把BC绕点C逆时针旋转90得到CB，ACA90BCB，ACAC，BCBC，ACB90，ACBACB90，ACB+ACA180，ACB+BCB180，点A，点C，点B

7、共线，点B，点C，点A共线，AB、AB的交点O与点C重合，ABC“旋补交差角”BOB90，ACAC，ACBACB90，BCBC，ACBACB（SAS），ABAB4，点E是AB的中点，ACB90，CE2，故答案为：90，2；（2）ABC“旋补交差角”度数不变，ABC“旋补中距”长度不变，理由如下：把AC点绕点C顺时针旋转90得到CA，把BC绕点C逆时针旋转90得到CB，ACA90BCB，ACAC，BCBC，ACBBCA，在ACB和ACB中，ACBACB（SAS），CABCAB，点A，点A，点C，点O四点共圆，ACAAOA90BOB，如图2，延长CE至F，使CEEF，连接AF，BF，CEEF，AE

8、BE，四边形ACBF是平行四边形，ACB+FAC180，AFBC，ACB+ACB360ACABCB180，ACBCAF，又ACAC，AFBCBC，ACBCAF（SAS），ABCF4，CE2；（3）OC存在最小值，最小值为1，理由如下：如图3，取AB中点E，连接CE，CO，EO，ABC是ABC“旋补交差三角形”，BOB90，CEAB2，点E是AB中点，AOB90，OEAB3，在OCE中，OCOECE，当点C在线段OE上时，OC有最小值为OECE14如图，在RtABC和RtADE中，ABAC，ADAE，BACDAE90（ABAD），ADE绕点A旋转（1）如图1，若连接BD，CE，则BD与CE的关系

9、为 BDCE，BDCE；（2）如图2，若连接CD，BE，取BE中点F，连接AF，探究AF与CD的关系，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，当ADE旋转到如图3的位置时，点D落在BC延长线上，若AF3，AC，请直接写出线段AE的长【解答】解：（1）BDCE，BDCE，理由如下：如图1，设CE与BD交于点O，BACDAE90，BAC+CADDAE+CAD，即BADCAE，ABAC，ADAE，BADCAE（SAS），BDEC，ABDACE，ABD+CBD+ACB90，CBD+ACB+ACE90，BOC90，BDCE，故答案为：BDCE，BDCE；（2）AFCD，AFCD，理由如下：如图2，延长F

10、A交DC于点G，延长AF到点H，使FHFA，连接EH，F是BE中点，FEFB，又EFHBFA，EFHBFA（SAS），HEAB，HEBEBA，HEAB，HEA+BAE180，ABAC，HEAC，BACDAE90，CAD+BAE180，HEACAD，又ADAE，HEACAD（SAS），AHCD，EAHADC，FHFA，AFAHCD，DAE90，EAH+DAG90，ADC+DAG90，AGD90，AGCD，即AFCD；（3）如图3，过点A作ANBC于N，由（2）可知，CD2AF6，ABAC4，BAC90，ANBC，BCAB8，ANBCBNCN4，DNCD+CN10，AD2，AEAD25（1）阅读理

11、解：如图，在ABC中，若AB8，AC5，求BC边上的中线AD的取值范围可以用如下方法：将ACD绕着点D逆时针旋转180得到EBD，在ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是1 ；（2）问题解决：如图，在ABC中，D是BC边上的中点，DEDF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CFEF；（3）问题拓展：如图，在四边形ABCD中，B+D180，CBCD，BCD100，以C为顶点作一个50的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由【解答】（1）解：如图，将ACD绕着点D逆时针旋转180得到E

12、BD，则ACDEBD，ADDE，BEAC5，在ABE中，ABBEAEAB+BE，即3AE13，故答案为：1.5AE6.5；（2）证明：如图，延长FD至N，使DNDF，连接BN、EN，在FDC和NDB中，FDCNDB（SAS）BNFC，DFDN，DEDF，EFEN，在EBN中，BE+BNEN，BE+CFEF；（3）解：BE+DFEF，理由如下：如图，延长AB至点H，使BHDF，连接CH，ABC+D180，HBC+ABC180，HBCD，在HBC和FDC中，HBCFDC（SAS）CHCF，HCBFCD，BCD100，ECF50，BCE+FCD50，ECH50ECF，在HCE和FCE中，HCEFCE

13、（SAS）EHEF，BE+DFEF6阅读下面材料：小军遇到这样一个问题：如图1，ABC中，AB6，AC4，点D为BC的中点，求AD的取值范围小军发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题他的做法是：如图2，延长AD到E，使DEAD，连接BE，构造BEDCAD，经过推理和计算使问题得到解决请回答：AD的取值范围是 参考小军思考问题的方法，解决问题：如图3，ABC中，E为AB中点，P是CA延长线上一点，连接PE并延长交BC于点D求证：PACDPCBD【解答】解：（1）1AD5，延长AD到E，使DEAD，连接BE，在ACD与EBD中，BDECDA，BEAC，2AE10，1AD5；（2）证明：延长P

14、D至点F，使EFPE，连接BF，BEAE，BEFAEP，在BEF与AEP中，BEFAEP，APEF，BFPA，又BDFCDP，BDFCDP，即PACDPCBD7【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题（1）如图1，ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，BDC120，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系解题思路：延长DC到点E，使CEBD，连接AE，根据BAC+BDC180，可证ABDACE易证得ABDACE，得出ADE是等边三角形，所以ADDE，从而探寻线段DA

15、、DB、DC之间的数量关系根据上述解题思路，请直接写出DA、DB、DC之间的数量关系是 ；【拓展延伸】（2）如图2，在RtABC中，BAC90，ABAC若点D是边BC下方一点，BDC90，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系，并说明理由；【知识应用】（3）如图3，两块斜边长都为14cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离PQ的长为 cm【解答】解：（1）如图1，延长DC到点E，使CEBD，连接AE，ABC是等边三角形，ABAC，BAC60，BDC120，ABD+ACD180，又ACE+ACD180，ABDACE，ABDACE（SAS），ADAE，BADCAE，AB

16、C60，即BAD+DAC60，DAC+CAE60，即DAE60，ADE是等边三角形，DADEDC+CEDC+DB，即DADC+DB，故答案为：DADC+DB；（2）DADB+DC，如图2，延长DC到点E，使CEBD，连接AE，BAC90，BDC90，ABD+ACD180，ACE+ACD180，ABDACE，ABAC，CEBD，ABDACE，ADAE，BADCAE，DAEBAC90，DA2+AE2DE2，2DA2（DB+DC）2，DADB+DC；（3）如图3，连接PQ，MN14，QMN30，QNMN7，MQ7，由（2）知PQQN+QM7+7，PQ，故答案为：8截长补短法，是初中几何题中一种添加辅

17、助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题（1）如图1，ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，BDC120，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系解题思路：延长DC到点E，使CEBD，根据BAC+BDC180，可证ABDACE，易证ABDACE，得出ADE是等边三角形，所以ADDE，从而解决问题根据上述解题思路，三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是；（直接写出结果）（2）如图2，RtABC中，BAC90，ABAC点D是边BC下方一点，BDC90，探索三条线段DA、DB、DC之间的等

18、量关系，并证明你的结论【解答】解：（1）结论：DADB+DC理由：如图1，延长DC到点E，使CEBD，连接AE，ABC是等边三角形，ABAC，BAC60，BDC120，ABD+ACD180，又ACE+ACD180，ABDACE，ABDACE（SAS），ADAE，BADCAE，ABC60，即BAD+DAC60，DAC+CAE60，即DAE60，ADE是等边三角形，DADEDC+CEDC+DB，即DADC+DB，（2）结论：DADB+DC，理由：如图2，延长DC到点E，使CEBD，连接AE，BAC90，BDC90，ABD+ACD180，ACE+ACD180，ABDACE，ABAC，CEBD，ABDACE（SAS），ADAE，BADCAE，DAEBAC90，DA2+AE2DE2，2DA2（DB+DC）2，DADB+DC；