专题10 完全平方公式的几何背景（两大类型）-2022-2023学年七年级数学下册《高分突破•培优新方法》（苏科版）.docx

1、 专题10 完全平方公式的几何背景（两大类型）【典例分析】【典例1】（2022秋南昌县期中）如图1所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形（1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于 ；（2）请用两种不同的方法列代数式表示图2中阴影部分的面积：方法 ；方法 ；（3）观察图2，直接写出（m+n）2，（mn）2，mn这三个代数式之间的等量关系；（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b8，ab5，求（ab）2的值【变式1-1】（2022春玄武区校级期中）观察图形，用两种不同的方法计算大长方形面积，我们可以验证等式（）A（a+b）（

2、a+2b）a2+3ab+2b2B（a+b）（2a+b）2a2+3ab+b2C（a+b）（a+2b）2a2+3ab+b2D（a+b）（2a+b）a2+3ab+2b2【变式1-2】（2022秋渝中区校级月考）如图，两个正方形边长分别为a，b，已知a+b7，ab9，则阴影部分的面积为（）A10B1 1C12D13【变式1-3】（2022春阜宁县期末）图1，是一个长为2m、宽为2n（mn）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2形式拼成一个正方形，那么中间阴影部分的面积为（）AmnBm2n2C（mn）2D（m+n）2【典例2】（2022春双流区校级期

3、中）著x满足（9x）（x4）4，求（4x）2+（x9）2的值解：设9xa，x4b，则（9x）（x4）ab4，a+b（9x）+（x4）5，（9x）2+（x4）2a2+b2（a+b）22ab522417请仿照上面的方法求解下面问题：（1）若x满足（7x）（x2）2，求（7x）2+（x2）2的值；（2）（n2021）2+（n2022）211，求（n2021）（2022n）；（3）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE2，CF6，长方形EMFD的面积是192，分别以MF、DF作正方形，求阴影部分的面积【变式2】（2022春盐都区月考）阅读理解：若x满足（30x）（x10）1

4、60，求（30x）2+（x10）2的值解：设30xa，x10b，则（30x）（x10）ab160，a+b（30x）+（x10）20，（30x）2+（x10）2a2+b2（a+b）22ab202216080解决问题：（1）若x满足（2020x）（x2016）2，则（2020x）2+（x2016）2 ；（2）若x满足（x2022）2+（x2018）2202，求（x2022）（x2018）的值；（3）如图，在长方形ABCD中，AB16，BC12，点EF是BC、CD上的点，且BEDFx，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为100平方单位，则图中阴

5、影部分的面积和为 平方单位【夯实基础】1（2022春盱眙县期中）如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1+S220，已知BG6，则图中阴影部分面积为（）A4B6C7D82（2022春庐阳区校级期中）如图所示，以长方形ABCD的各边为直径向外作半圆得到一个新的图形其周长为16，同时此图形中四个半圆面积之和为44，则长方形ABCD的面积为（）A10B20C40D803（2022春太原期中）通过两种不同的方法计算同一图形的面积可以得到一个数学等式，用这种方法可得到整式乘法中的一些运算法则或公式，例如，由图1可得等式（a+b）（c+d）a

6、c+ad+bc+bd，即为多项式乘法法则利用图2可得的乘法公式为（）A（a+b）2a2+b2B（a+b）2a2+2ab+b2C（a+b）2a2+b2+abD（a+b）（a+b）a2+b24（2022春新泰市期中）图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形（1）求图2中的阴影部分的正方形的周长；（2）观察图2，请写出下列三个代数式（a+b）2，（ab） 2，ab之间的等量关系；（3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB8，两正方形的面积和S1+S224，运用你由（2）所得到的等量关系，求图中阴影部分面

7、积5（2022秋上蔡县校级月考）（1）试用两种不同的方法表示图1中阴影部分的面积，从中你有什么发现，请用等式表示出来；（2）利用你发现的结论，解决下列问题：如图2，两个正方形的边长分别为a，b，且a+bab9，求图2中阴影部分的面积已知4a2+b257，ab6，求2a+b的值；若（20x）（x30）10，则（20x）2+（x30）2的值是 6（2022春顺德区校级期中）如图所示，在边长为a米的正方形草坪上修建两条宽为b米的道路（1）为了求得剩余草坪的面积，小明同学想出了两种办法，结果分别如下：方法： .方法： .请你从小明的两种求面积的方法中，直接写出含有字母a，b代数式的等式是： （2）根据

8、（1）中的等式，解决如下问题：已知：ab5，a2+b220，求ab的值；已知：（x2020）2+（x2022）212，求（x2021）2的值7（2022春上虞区期末）图1是一个长为2b，宽为2a的长方形，沿虚线平均分成四块，然后按图2拼成一个正方形解答下列问题（1）图2中阴影部分的面积可表示为 ；对于（ba）2，（b+a）2，ab，这三者间的等量关系为 （2）利用（1）中所得到的结论计算：若x+y3，xy，则xy （3）观察图3，从图中你能得到怎样的一个代数恒等式？再根据你所得到的这个代数恒等式探究：若m2+4mn+3n20（n0），试求的值8（2022春包头期末）如图，学校有一块长为（a+2

9、b）m，宽为（a+b）m的长方形土地，四个角留出四个边长为（ba）m的小正方形空地，剩余部分进行绿化（1）用含a、b的式子表示要进行绿化的土地面积；（结果要化简）（2）当a6，b10时，求要进行绿化的土地面积9（2022平泉市一模）如图，将一张矩形大铁皮切割成九块，切痕为虚线所示，其中有两块是边长都为m厘米的大正方形，两块是边长都为n厘米的小正方形，五块是长宽分别是m厘米、n厘米的全等小矩形，且mn（1）用含m、n的代数式表示切痕总长L；（2）若每块小矩形的面积为30平方厘米，四个正方形的面积和为180平方厘米，试求（m+n）2的值【能力提升】10（2022春江都区期中）把几个图形拼成一个新的

10、图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积例如，由图，从整体看，是一个面积为可得等式：（a+2b）（a+b）a2+3ab+2b2（1）（i）由图，可得等式： ；（ii）利用（i）所得等式，若a+b+c11，ab+bc+ac38，则a2+b2+c2 ；（2）如图，将边长分别为a、b的两个正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接BD和BF，若这两个正方形的边长a、b满足a+b10，ab20请求出阴影部分的面积；（3）图中给出了边长分别为a、b的小正方形纸片和两边长分别为a、b的长方形纸片，现有足量的这三种纸片（i）请用所给的纸片拼出一个

11、面积为2a2+5ab+2b2的长方形，并仿照图画出拼法并标注a、b；（ii）结合（i）拼图试着分解因式2a2+5ab+2b211（2022秋高青县期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2a2+2ab+b2，请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式；（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式；（3）若a+b+c10，ab+ac+bc35，利用得到的结论求a2+b2+c2的值 专题10 完全平方公式的几何背景（两大类型）【典例分析】【典例1】（2022秋南昌县期中）如图1所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿虚线用剪刀

12、均分成四个小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形（1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于 ；（2）请用两种不同的方法列代数式表示图2中阴影部分的面积：方法 ；方法 ；（3）观察图2，直接写出（m+n）2，（mn）2，mn这三个代数式之间的等量关系；（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b8，ab5，求（ab）2的值【解答】解：（1）由拼图可知，图中阴影部分的边长为mn，故答案为：mn；（2）阴影部分是边长为mn的正方形，因此面积为（mn）2，阴影部分的面积可以看作从边长为m+n的正方形面积中减去4个长为m，宽n的长方形面积，即（m+n）24mn，故答案为：（mn）2，（m+n）

13、24mn；（3）由（2）中两种方法所表示的图形的面积相等，可得，（mn）2（m+n）24mn；（4）a+b8，ab5，（ab）2（a+b）24ab642044【变式1-1】（2022春玄武区校级期中）观察图形，用两种不同的方法计算大长方形面积，我们可以验证等式（）A（a+b）（a+2b）a2+3ab+2b2B（a+b）（2a+b）2a2+3ab+b2C（a+b）（a+2b）2a2+3ab+b2D（a+b）（2a+b）a2+3ab+2b2【答案】A【解答】解：整体是长为a+2b，宽为a+b的长方形，因此面积为（a+2b）（a+b），整体是由6个部分的面积和，即a2+3ab+2b2，因此有（a+2

14、b）（a+b）a2+3ab+2b2，故选：A【变式1-2】（2022秋渝中区校级月考）如图，两个正方形边长分别为a，b，已知a+b7，ab9，则阴影部分的面积为（）A10B1 1C12D13【答案】B【解答】解：根据题意可得，S阴a（aab+b）（a+b）3ab，把a+b7，ab9代入上式，则S阴（7239）11故选：B【变式1-3】（2022春阜宁县期末）图1，是一个长为2m、宽为2n（mn）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2形式拼成一个正方形，那么中间阴影部分的面积为（）AmnBm2n2C（mn）2D（m+n）2【答案】C【解答】解

15、：方法一：图2中四个长方形的面积的和图1的长方形的面积2m2n4mn，图2的大正方形的面积（m+n）2，图2中阴影部分的面积图2的大正方形的面积图2中四个长方形的面积的和（m+n）24mnm2+2mn+n24mnm22mn+n2（mn）2方法二：图中阴影部分是正方形，且四个边长都是（mn），阴影部分的面积（mn）2故选：C【典例2】（2022春双流区校级期中）著x满足（9x）（x4）4，求（4x）2+（x9）2的值解：设9xa，x4b，则（9x）（x4）ab4，a+b（9x）+（x4）5，（9x）2+（x4）2a2+b2（a+b）22ab522417请仿照上面的方法求解下面问题：（1）若x满足

16、（7x）（x2）2，求（7x）2+（x2）2的值；（2）（n2021）2+（n2022）211，求（n2021）（2022n）；（3）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE2，CF6，长方形EMFD的面积是192，分别以MF、DF作正方形，求阴影部分的面积【解答】解：（1）设7xa，x4b，则（7x）（x2）ab2，a+b7x+x43，（7x）2+（x2）2a2+b2（a+b）22ab32225；（2）设n2021a，n2022b，则（n2021）2+（n2022）2a2+b211，ab（n2021）（n2022）1，（n2021）（2022n）（n2021）（n2

17、022）ab（ab）2（a2+b2）5；（3）根据题意可得，MFx2，FDx6，（x2）（x6）192，设x2a，x6b，则（x2）（x6）ab192，ab（x2）（x6）4，S阴（x2）2（x6）2a2b2（a+b）（ab）（ab）4284112阴影部分的面积为112【变式2】（2022春盐都区月考）阅读理解：若x满足（30x）（x10）160，求（30x）2+（x10）2的值解：设30xa，x10b，则（30x）（x10）ab160，a+b（30x）+（x10）20，（30x）2+（x10）2a2+b2（a+b）22ab202216080解决问题：（1）若x满足（2020x）（x2016）

18、2，则（2020x）2+（x2016）2 ；（2）若x满足（x2022）2+（x2018）2202，求（x2022）（x2018）的值；（3）如图，在长方形ABCD中，AB16，BC12，点EF是BC、CD上的点，且BEDFx，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为100平方单位，则图中阴影部分的面积和为 平方单位【解答】解：（1）设2020xa，x2016b，则（2020x）（x2016）ab2，a+b（2020x）+（x2016）4，（2020x）2+（x2016）2a2+b2（a+b）22ab422212；故答案为：12；（2）设x2

19、022a，x2018b，则（x2022）2+（x2018）2a2+b2202，ab（x2022）（x2018）4，（x2022）（x2018）ab（ab）2（a2+b2）（4）220293；（3）根据题意可得，CFCDDF16x，CEBCBE12x，（16x）（12x）100，设16xa，12xb，则（16x）（12x）ab100，ab（16x）（12x）4，S阴（16x）2+（12x）2a2+b2（ab）2+2ab42+2100216图中阴影部分的面积和为216平方单位故答案为：216【夯实基础】1（2022春盱眙县期中）如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别

20、是S1和S2，两正方形的面积和S1+S220，已知BG6，则图中阴影部分面积为（）A4B6C7D8【答案】A【解答】解：设BCa，CGb，四边形CEFG是正方形，CECGb，两正方形的面积和S1+S220，a2+b220，a+b6，（a+b）2a2+b2+2ab36，ab8，S阴ab4，故选：A2（2022春庐阳区校级期中）如图所示，以长方形ABCD的各边为直径向外作半圆得到一个新的图形其周长为16，同时此图形中四个半圆面积之和为44，则长方形ABCD的面积为（）A10B20C40D80【答案】C【解答】解：设ABa，BCb，由题意得：a+b16，+44a+b16，a2+b2176（a+b）2

21、a2+b2+2ab256176+2abab40S长方形ABCD40故选：C3（2022春太原期中）通过两种不同的方法计算同一图形的面积可以得到一个数学等式，用这种方法可得到整式乘法中的一些运算法则或公式，例如，由图1可得等式（a+b）（c+d）ac+ad+bc+bd，即为多项式乘法法则利用图2可得的乘法公式为（）A（a+b）2a2+b2B（a+b）2a2+2ab+b2C（a+b）2a2+b2+abD（a+b）（a+b）a2+b2【答案】B【解答】解：根据图2可得，（a+b）2a2+2ab+b2，故选：B4（2022春新泰市期中）图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小

22、长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形（1）求图2中的阴影部分的正方形的周长；（2）观察图2，请写出下列三个代数式（a+b）2，（ab） 2，ab之间的等量关系；（3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB8，两正方形的面积和S1+S224，运用你由（2）所得到的等量关系，求图中阴影部分面积【解答】解：（1）根据题意可得，阴影部分的正方形的周长为4（ab）；（2）根据题意可得，（a+b）（ab）+4ab；（3）设ACa，BCb，则a+b8，a+b24，根据题意可得，S阴ab（a+b）（a+b）（8224）105（2022秋上蔡县校级月考）（1）试用两种不同的方法

23、表示图1中阴影部分的面积，从中你有什么发现，请用等式表示出来；（2）利用你发现的结论，解决下列问题：如图2，两个正方形的边长分别为a，b，且a+bab9，求图2中阴影部分的面积已知4a2+b257，ab6，求2a+b的值；若（20x）（x30）10，则（20x）2+（x30）2的值是 【解答】解：（1）根据题意可得，方法一：S阴a2+b2，方法二：S阴（a+b）22aba2+b2；（2）根据题意可得，S阴a2+b2（a+b）ba2（a2ab+b2），a+bab9，a2+b2（a+b）22ab922963，S阴（639）27；（2a+b）24a2+b2+4ab57+4681，2a+b9；设20x

24、a，x30b，则（20x）（x30）ab10，a+b（20x）+（x30）10；（20x）2+（x30）2a2+b2（a+b）22ab（10）221080故答案为：806（2022春顺德区校级期中）如图所示，在边长为a米的正方形草坪上修建两条宽为b米的道路（1）为了求得剩余草坪的面积，小明同学想出了两种办法，结果分别如下：方法： .方法： .请你从小明的两种求面积的方法中，直接写出含有字母a，b代数式的等式是： （2）根据（1）中的等式，解决如下问题：已知：ab5，a2+b220，求ab的值；已知：（x2020）2+（x2022）212，求（x2021）2的值【解答】解：（1）方法，通过平移两

25、条路，草坪可看作边长为（ab）米的正方形，因此面积为（ab）2（平方米），方法，从大正方形面积里减去两条路的面积，即（a2abab+b2）平方米，也就是（a22ab+b2）平方米，所以有（ab）2a22ab+b2，故答案为：（ab）2，a22ab+b2，（ab）2a22ab+b2；（2）ab5，a22ab+b225，又a2+b220，ab；设x2020m，x2022n，则mn2，m2+n2（x2020）2+（x2022）212，m22mn+n24，即122mn4，mn4，（m+n）2（mn）2+4mn4+1620，（x2021）2（）25，答：（x2021）2的值为57（2022春上虞区期末）

26、图1是一个长为2b，宽为2a的长方形，沿虚线平均分成四块，然后按图2拼成一个正方形解答下列问题（1）图2中阴影部分的面积可表示为 ；对于（ba）2，（b+a）2，ab，这三者间的等量关系为 （2）利用（1）中所得到的结论计算：若x+y3，xy，则xy （3）观察图3，从图中你能得到怎样的一个代数恒等式？再根据你所得到的这个代数恒等式探究：若m2+4mn+3n20（n0），试求的值【解答】解：（1）阴影部分是边长为ba的正方形，因此面积为（ba）2，根据拼图以及面积之间的关系可得，（ba）2，（b+a）2，ab，这三者间的等量关系为（ba）2（b+a）24ab，故答案为：（ba）2；（ba）2（

27、b+a）24ab；（2）由（1）可得，（xy）2（x+y）24xy9+716，xy4，故答案为：4；（3）整个长方形是长为a+3b，宽为a+b，因此面积为（a+3b）（a+b），整个长方形的面积也可看作8个部分的面积和，即a2+4ab+3b2，因此有（a+3b）（a+b）a2+4ab+3b2；m2+4mn+3n20（n0），即（m+n）（m+3n）0，m+n0或m+3n0，1或38（2022春包头期末）如图，学校有一块长为（a+2b）m，宽为（a+b）m的长方形土地，四个角留出四个边长为（ba）m的小正方形空地，剩余部分进行绿化（1）用含a、b的式子表示要进行绿化的土地面积；（结果要化简）（2

28、）当a6，b10时，求要进行绿化的土地面积【解答】解：（1）由于S绿化面积S长方形4S小正方形，因此有，（a+b）（a+2b）4（ba）2a2+3ab+2b24a2+8ab4b2（11ab3a22b2）m2，答：绿化的面积为（11ab3a22b2）m2；（2）当a6，b10时，原式660108200352（m2）答：当a6，b10时，绿化的土地面积为352m29（2022平泉市一模）如图，将一张矩形大铁皮切割成九块，切痕为虚线所示，其中有两块是边长都为m厘米的大正方形，两块是边长都为n厘米的小正方形，五块是长宽分别是m厘米、n厘米的全等小矩形，且mn（1）用含m、n的代数式表示切痕总长L；（2

29、）若每块小矩形的面积为30平方厘米，四个正方形的面积和为180平方厘米，试求（m+n）2的值【解答】解：（1）L2（m+2n）+2（2m+n）2m+4n+4m+2n6m+6n（cm）；（2）每块小矩形的面积为30cm2，即mn30cm2，四个正方形的面积为180cm2，即m2+n290cm2，（m+n）2m2+2mn+n2，90+23090+60150（cm2）【能力提升】10（2022春江都区期中）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积例如，由图，从整体看，是一个面积为可得等式：（a+2b）（a+b）a2+3ab

30、+2b2（1）（i）由图，可得等式： ；（ii）利用（i）所得等式，若a+b+c11，ab+bc+ac38，则a2+b2+c2 ；（2）如图，将边长分别为a、b的两个正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接BD和BF，若这两个正方形的边长a、b满足a+b10，ab20请求出阴影部分的面积；（3）图中给出了边长分别为a、b的小正方形纸片和两边长分别为a、b的长方形纸片，现有足量的这三种纸片（i）请用所给的纸片拼出一个面积为2a2+5ab+2b2的长方形，并仿照图画出拼法并标注a、b；（ii）结合（i）拼图试着分解因式2a2+5ab+2b2【解答】解：（1）（i）由题意得，（a+b+c）2

31、a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，故答案为：（a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（ii）a+b+c11，ab+bc+ac38，a2+b2+c2（a+b+c）22（ab+ac+bc）1217645；故答案为：45；（2）a+b10，ab20，S阴影a2+b2（a+b）ba2a2+b2ab（a+b）2ab10220503020；（3）（i）根据题意，作出图形如下：（ii）由上面图形可知，2a2+5ab+2b2（a+2b）（2a+b）11（2022秋高青县期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2a2+2ab+

32、b2，请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式；（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式；（3）若a+b+c10，ab+ac+bc35，利用得到的结论求a2+b2+c2的值【解答】解：（1）图2整体是边长为a+b+c的正方形，因此面积为（a+b+c）2，图2也可以看作9个部分的面积和，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，因此有（a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）（a+b+c）2（a+b+c）（a+b+c）a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，即：（a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，（3）把a+b+c10，ab+ac+bc35，代入（a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，得100a2+b2+c2+235，a2+b2+c21007030，答：a2+b2+c2的值为30